内蒙古自治区锡林郭勒盟 三县 2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

《2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 九年级数学开学摸底考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D B C C C A 1．B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移； 根据左加右减，上加下减的平移规律可得答案． 【详解】 解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线是． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了动点函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作于，由函数图象可知，，进而由得，又由得，设，则，利用勾股定理可得，得到，，再根据解答即可求解，理解题意，看懂函数图象是解题关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 又由函数图象可得，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 由图象可知，当动点运动到点时，即为拐点， ∴， 故选：． 3．D 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和等边三角形的判定与性质，掌握正多边形的性质是解题的关键．设正六边形的中心为，连接，则是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：设正六边形的中心为，连接，如图， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵正六边形对角线的长为8， ∴． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握抛物线与轴的交点个数确定△的符号，并利用对称性是解题的关键．根据图象判断二次函数与各项系数符号的关系． 【详解】解：图象与轴的负半轴相交， ， 故①不正确； 当时，， 即， ， ， ， 解得， 故②不正确； 对称轴为直线，， ，即， 故③正确； 图象与轴有两个交点， ，即， ， 故④正确； 二次函数与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根， 故⑤正确； 综上，正确的有：③④⑤， 故选：B． 5．C 【分析】由抛物线开口向下得到，由抛物线的对称轴为直线得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则，①错误；观察图象得到当时，，即，代入可得，②正确；当时，，即，③正确；求出时，y有最大值，可得，变形后得到，④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①错误； 当时，，即， ∵， ∴，故②正确； 当时，，即，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴， ∴，故④正确． 综上，结论正确的个数是3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 6．C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且顶点坐标为． ∵， ∴和时的函数值相等． ∵，当时，函数取得最大值， ∴， 又∵当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由切线的性质得，首先连接，易证得，然后由全等三角形的对应角相等，求得，即可证得是的切线判断①，根据三角形的内角和是判断②；根据余角的性质得到，即可得到，判断③；根据相似三角形的性质得到，判断④． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴是的切线，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ， ， ∵，， ∴， ， ， 即，故④正确. 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用；连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形为矩形， ， 为的直径，， 的半径为， ， 点为的中点， ， ， ，， ，， 设，，其中， 则， 解得：或 舍去， 即，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解．画树状图，共有9个等可能的结果，两次取出的小球颜色不同的结果有4个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，两次取出的小球颜色不同的结果有4个， ∴两次取出的小球颜色不同的概率为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，求弧长，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用弧长公式计算即可求解，掌握圆内接四边形的性质和弧长公式是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴， ∴这块扇形玉石的周长， 故答案为：． 11．/ 【分析】在上分别截取，使，连接，则四边形是正方形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为正方形的外接圆．根据在中，所对圆周角均等于，得出在与矩形的重叠部分的边界以及边界以内的点M满足，然后求出对应区域面积即可得解． 【详解】解：如图，在上分别截取，使，连接，则四边形是正方形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为正方形的外接圆． ，， 是等腰直角三角形，， 在中，所对圆周角均等于，， ∴在与矩形的重叠部分的边界以及边界以内的点M满足， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴所有符合条件的点形成区域的面积是： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧所对圆周角相等，矩形的性质，正方形的判定和性质，扇形面积的计算等知识，在矩形中作出使成立的点P的轨迹是解题关键． 12．/ 【分析】过点A作交延长线于点Q，连接，首先求出，证明出，得到，然后得到点A，P，C，Q四点共圆，求出，然后利用得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作交延长线于点Q，连接 ∵， ∴ ∵等腰，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵等腰， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点A，P，C，Q四点共圆 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，圆内接四边形性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解． 13．(1)见解析 (2)选中的两人恰好一男一女的概率为 【分析】本题考查求扇形统计图中数据补全扇形统计图，画树状图或列表法求概率，解题的关键在于根据统计图得到需要的信息． （1）根据得分为“B”的人数，结合扇形统计图算出总人数，进而求出C占的百分比、A占的百分比，利用得到的百分比补全扇形统计图，即可解题； （2）根据题意列出表格得到所有情况数，找出选中的两人恰好一男一女的情况数，最后根据概率公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意得：（人）， 则C占的百分比为；A占的百分比为， 补全扇形统计图，如图所示； （2）解：根据题意列表如下： 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 所有等可能的情况有6种，其中选中的两人恰好一男一女的情况有3种， 则选中的两人恰好一男一女的概率为． 14．(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查圆周角定理，切线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是综合运用上述知识点． （1）连接交于点．由垂径定理可得，再证明，即可得出，由此解题； （2）连接，过点作于点，先证明，从而可得，再利用等腰三角形三线合一可得，由为的中点，，可得为的中点．设，进而由得，，解得，，由此求出的周长为． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点． 为的中点， ，，． 在和中． ， ， ∴． ； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴． 为的切线， ， ． 又，，， ， ∴， 为的中点，， 由（1）知， ，， ， ，． 为的中点，， ∴ 为的中点． 设，则． 由得，，解得， 的周长为． 15．(1) (2) (3)当时，取最大值，最大值为 【分析】（）把代入函数式计算即可求解； （）求出时的速度，即可得小球的平均速度，进而即可求解； （）用表示出平均速度，根据可得函数解析式，再根据二次函数的性质解答即可求解；本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴小球的初始速度， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴小球的平均速度， ∴小球向前滚动的运动路程为； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 16．图见解析 【分析】本题考查作图旋转变换、平行线的性质、解直角三角形，三角形相似，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．先将线段绕点B顺时针旋转得到线段，延长到点，连接交于即为所求． 【详解】解：先将线段绕点B顺时针旋转得到线段，延长于点，连接交于即为所求， ， ， ， ， ， ． 17．（1） （2） 【分析】本题考查的实数的混合运算与分式的化简，解题的关键是熟练准确地运用各种运算法则． （1）根据求特殊角三角函数值、乘方、绝对值等运算法则进行计算即可； （2）将分式的分母因式分解再通分，再进行加法运算，最后再将除法运算转化为乘法运算，有公因式的要约去． 【详解】（1）解： （2） 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用扇形的面积公式计算即可． （2）如图中，当与相切时，的值最大．解直角三角形即可解决问题． （3）①如图中，连接，．证明，即可解决问题；②如图3，当中点P旋转至点B时，点C到所在直线距离最小为2，如图4，当中点P旋转至点Q时，点C到所在直线距离最大为6，即可得到取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴（大于半圆的扇形）， 故答案为：． （2）解：如图1中，当与相切时，的值最大． ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同法当与相切时，， ∴的最大值为． 故答案为：． （3）解：①结论：．理由：如图中，连接，． ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②由题意，， 如图，当中，点P旋转至点B时，点C到所在直线距离最小为2； 如图，当中，点P旋转至点Q时，点C到所在直线距离最大为6； ∴在旋转过程中，点C到所在直线的距离的取值范围为． 【点睛】本题考查了求扇形的面积，切线的性质，特殊角的三角函数，相似三角形的判定与性质，图形的性质等知识，综合性较强，难度较大，熟知相关知识，根据题意画图，并添加辅助线是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 九年级数学开学摸底考试 考试范围：九年级上、下册；考试时间：100分钟；满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发， 沿匀速运动， 回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，正六边形对角线的长为8，则正六边形的边长为（　　） A．2 B． C． D．4 4．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　）    A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 5．（本题3分）二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（本题3分）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点E，连接．下列结论：①是的切线；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 8．（本题3分）如图，半径为的圆中有一个内接矩形，，点是的中点，于点，若矩形的面积为，则线段的长为     A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9．（本题3分）袋中有三个小球，分别为1个红球和2个黄球，它们除颜色外完全相同，随机取出一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球颜色不相同的概率为______． 10．（本题3分）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是弧上两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是__________． 11．（本题3分）如图，矩形中，，．点为矩形内一点，且，则所有符合条件的点形成区域的面积是_____． 12．（本题3分）如图，等腰，，在上，，，在上，则的长______． 三、解答题（共64分） 13．（本题8分）重庆一中皇冠实验中学于4月16日顺利完成了中招体考．为了了解体考测试成绩，从初三学生中随机调查了若干名学生，调查结果分以下四种：“50”、“48-49”、“46-47”、“45及以下”，分别记为“A”、“B”、“C”、“D”．其中得分为“B”的有5人，得分为“C”的有1人，根据调查结果绘制了如下不完整的扇形统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题： (1)把扇形统计图补充完整； (2)得分为“A”的同学中有3人来自初三（1）班，其中男生2人，女生1人；得分 为“B”的同学中有2人来自初三（1）班，其中1男1女．现在要从得分为“A”和得分为“B”的初三（1）班同学中各选1人来谈谈各自对“中招体考”的感想，请用画树状图或列表法求选中的两人恰好一男一女的概率． 14．（本题8分）如图，已知是的直径，为上一点，为的中点，过点作于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 15．（本题10分）一个小球在平地上以一定的初始速度（单位：）开始向前滚动，并且均匀减速．已知小球滚动的速度（单位：）与滚动时间（单位：）的函数解析式是． (1)直接写出小球的初始速度：__________． (2)已知在匀变速直线运动中，小球滚动的距离平均速度时间，每个时间段内的平均速度（其中是初始速度，是滚动秒后的速度），求小球向前滚动的运动路程． (3)设小球向前滚动的路程为（单位：），求出关于的函数解析式，并求出的最大值． 16．（本题12分）如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先将线段绕点B顺时针旋转得到线段，再在上画点E，使得． 17．（本题12分）（1）计算： （2）化简： 18．（本题14分）如图，点B在数轴上对应的数是，以原点O为圆心、的长为半径作优弧，使点A在原点的左上方，且，点C为的中点，点D在数轴上对应的数为8． (1)_____________； (2)点P是优弧上任意一点，则的最大值为___________； (3)在（2）的条件下，当最大，且时，固定的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转． ①连接，，在旋转过程中，与有何数量关系，并说明理由； ②直接写出在旋转过程中，点C到所在直线的距离d的取值范围． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $