精品解析：四川成都市盐道街外国语学校2025-2026学年高一上学期期末检测数学试卷

2025～2026学年度上期期末高一年级检测 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“”为全称量词命题，该命题的否定为“”. 故选：D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数都是上的减函数， 因此函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在的区间为. 3. 下列是函数的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令， 所以函数的对称中心是， 显然不存在使得，当时， 所以函数的一个对称中心为，选A. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以为偶函数，排除B、D， 当时，，当时，，所以A对，C错. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，在上单调递增，在上单调递减， 所以，，且， 则 6. 已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的图象恒过点可求出点A的坐标，代入直线方程可得到的关系式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解. 【详解】因为函数的图象恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数基本关系可求的值. 【详解】因为，所以， 而，故， 所以， 而， 所以. 8. 已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（ ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象的平移及对称中心得到是奇函数，结合得到是周期为8的周期函数，从而得到，结合已知条件及奇函数求出，即可得到. 【详解】根据函数平移的性质，函数的图象可由函数向右平移1个单位得到， 因为函数关于对称，所以函数关于对称， 即是奇函数，满足. ，即，， 所以，所以是周期为8的周期函数. ， 又时，，所以，所以. 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，取可判断；对B、C，由不等式性质可判断；对D，取可判断. 【详解】对A，当时，不成立，故A错误； 对B，若，则，由不等式的性质，故B正确； 对C，若，则，C正确； 对D，若，不妨取，则，D错误. 故选：BC. 10. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数为偶函数 C. 令函数，则不等式的解集为 D. 若函数，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断AB；判断为偶函数且上为增函数，从而可将函数不等式转化为，故可求函数不等式的解，从而判断C，利用作差法结合基本不等式判断D. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点，所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为，且的定义域为， 故为偶函数，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 因为在上为增函数，而在上为增函数， 故在上为增函数，而即为， 故，故即的解集为，故C错误； 对于D， ， 而 ， 因为，，故， 当且仅当等号成立，故， 故，即， 当且仅当等号成立，故D成立. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】探讨函数的性质并作出图象，数形结合求解判断ABC；换元并求出的根，进而确定函数零点个数. 【详解】函数图象对称轴为，在上递减，在上递增， 函数在上递减，在上递增，在上递减，在上递增， ，在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 方程有四个不同的根，即直线与函数的图象有4个交点， 对于A，，A正确； 对于B，由，得或或或，因此，B正确； 对于C，由，得，整理得， 又，则，因此，C错误； 对于D，令，由，得，解得或或或， 当时，无解；当时，有2个解； 当或时，各有3个解，因此函数有8个零点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为圆心角，则扇形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的面积公式计算即可求解. 【详解】已知，， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 分析】且解不等式即可． 【详解】且，由此解得,故填 【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0． 14. 已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将已知不等式变形后构造减函数，根据分段函数的单调性及衔接点处的单调性列方程组可求解. 【详解】因为，所以， 令函数，则是减函数. 因为， 所以， 因为是减函数，所以在上单调递减， 在上单调递减，且衔接点左侧函数值不小于右侧函数值. 当时，根据的图象可知， 在上，随着x的增大，与的差越来越大， 即在上单调递增，不符合题意，所以， 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求得，，再结合集合的交并补运算，即可求解； （2）由题意可得是的真子集，进而可得，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，， 所以或， 又，解不等式得， 所以， 所以，或； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以或，解得或， 故实数a的取值范围是. 16. 已知函数. （1）求，，，的值（用含的式子表示结果）； （2）观察（1）中的结果，你发现了什么结论？证明你的结论 【答案】（1），，， （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据解析式求函数值； （2）根据（1）得到结论，然后利用对数运算法则证明即可. 【小问1详解】 ，， ，. 【小问2详解】 结论：若，则， 证明如下： . 17. 已知函数. （1）写出函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求在区间上的值域； （3）若是偶函数，求值以及的单调减区间. 【答案】（1），对称轴方程： （2） （3），的单调递减区间为 【解析】 【小问1详解】 函数最小正周期为； 令，解得：， 所以函数的对称轴方程为：. 【小问2详解】 当时，，所以， 所以，即函数在区间上的值域为. 小问3详解】 因为， 所以， 又因为是偶函数，所以，所以， 因为，所以，所以， 令，解得： ， 所以函数的单调递减区间为. 18. 为了预防冬季流感，某学校对教师用过氧乙酸熏蒸进行消毒，已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示． （1）从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； （2）据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室； （3）若空气中每立方米的含药量不少于0.5毫克，且连续16分钟时，才有消毒效果，根据所得函数模型，问这样消毒是否达到预期的效果． 【答案】（1）； （2）小时； （3）达到． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象以及题意即可求出； （2）解不等式即可求出； （3）根据不等式的解集区间长度与分的关系即可判断． 【小问1详解】 当时，设（为待定系数），根据点在直线上，所以；同理，当时，，解得：，故从药物释放开始，y与t的函数关系式为：． 【小问2详解】 由题意可知，，解得：，即消毒小时后，学生才能回到教室． 【小问3详解】 由可得，或，解得：，所以空气中每立方米的含药量不少于0.5毫克，且连续时间，所以，根据所得函数模型，这样消毒达到了预期的效果． 19. 悬链线（Catenary）是一种曲线，指的是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软且不能伸长的链条，其在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为与之对应的函数称为双曲正弦函数，令. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）设. ①证明的值为定值，并求这个定值； ②把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）①证明见解析，定值为；②存在，的值为1，2，3. 【解析】 【分析】（1）先确定的定义域，再根据奇偶性定义，计算并与比较，判断奇偶性. （2）①将和代入表达式，化简后证明其和为定值. ②先利用①的结论，将中的项两两配对求和，计算出的表达式；再化简，求其值域，最后根据不等式有解的条件，建立关于的不等式求解. 【小问1详解】 是奇函数， 证明如下： 由题意得 ，定义域为，关于原点对称. 对任意，有：  . 因此是上的奇函数, 【小问2详解】 ①  故的定值为. ② 将区间等分为份，等分点满足， 由①得. 倒序相加得：，  ， 化简不等式左边：   ， 又，,由基本不等式， 当且仅当取等号（时无意义）， 故，因此： 且. 不等式有解等价于， 即：  ， 又为正整数，故存在满足条件的，值为1，2，3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上期期末高一年级检测 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 下列是函数的对称中心是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知，且，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（ ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A 若，则 B 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数为偶函数 C. 令函数，则不等式的解集为 D. 若函数，，，则 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为圆心角，则扇形的面积为______. 13. 函数的定义域为______． 14. 已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 已知函数. （1）求，，，的值（用含的式子表示结果）； （2）观察（1）中的结果，你发现了什么结论？证明你的结论 17. 已知函数. （1）写出函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求在区间上的值域； （3）若是偶函数，求的值以及的单调减区间. 18. 为了预防冬季流感，某学校对教师用过氧乙酸熏蒸进行消毒，已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示． （1）从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； （2）据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室； （3）若空气中每立方米的含药量不少于0.5毫克，且连续16分钟时，才有消毒效果，根据所得函数模型，问这样消毒是否达到预期的效果． 19. 悬链线（Catenary）是一种曲线，指的是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软且不能伸长的链条，其在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为与之对应的函数称为双曲正弦函数，令. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）设. ①证明的值为定值，并求这个定值； ②把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $