精品解析：江西南康中学2025-2026学年第二学期高二开学数学作业

江西省南康中学2025~2026学年度第二学期高二开学数学作业 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 在的展开式中，系数为（ ） A. 48 B. 32 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理直接得出结论． 【详解】， 所以的系数为． 故选：D． 2. 已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ） A. 10 B. 16 C. 11 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义转化为到抛物线准线的距离求解即可. 【详解】记抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知， 所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为． 故选：C 3. 将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（ ） A. 120种 B. 216种 C. 240种 D. 432种 【答案】B 【解析】 【分析】先分成四组，再排列即可求解. 【详解】依题意， 情况一：甲，乙单独作为一组，剩余3人分成2组， 则有种方案； 情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他2人作为3组， 则有种方案； 情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他2人作为3组， 则有种方案； 所以总共的方案为：种. 故选：B. 4. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可知，进而可得，相交于圆心，列式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径为1， 因为，则， 由题意可知：，相交于圆心， 则，整理得所以． 故选：B. 5. 有栋大楼排成一排，某电信公司要选择其中栋楼的楼顶建设基站，基站不能建在相邻栋大楼上，以免信号互相干扰，则这座基站相邻2座之间至少有栋大楼的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合，求出基本事件的个数和事件包含的基本事件的个数，再利用古典概率公式，即可求解 【详解】有栋楼不建基站，这栋楼形成个空， 从这个空中随机选个插入建设基站的栋楼，有（种）方法， 记事件：3座基站相邻2座之间至少有2栋大楼，事件包含以下几种情况， ▲○○▲○○▲○，▲○○▲○○○▲，▲○○○▲○○▲，○▲○○▲○○▲， 其中“▲”表示建立基站的楼的位置，“○”表示不建基站的楼的位置，共4种方法， 因此所求概率为， 故选：A． 6. 等差数列前项和为，则（ ） A. 44 B. 48 C. 52 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可 【详解】. 故选：C. 7. 若正项等比数列的公比，且成等差数列，则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由等比数列的第3，5及6项成等差数列，根据等差数列的性质得到第5项的2倍等于第3项加上第6项，然后利用等比数列的通项公式化简后，得到关于的方程，根据不等于1且各项为正，求出方程的解即可得到满足题意的值，进而把所求的式子也利用等比数列的通项公式化简后，得到关于的式子，把的值代入即可求出值． 【详解】解：由、、成等差数列，得到， 则，由，，得到， 可化为：，又， ，解得：或（小于0，不合题意，舍去）， 则． 故选：． 【点睛】本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，属于基础题． 8. 已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，延长ON交于A，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 10. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. 是等差数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 不满足上式， 所以， 对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误， 对于B，由于，，，所以， 所以不是等差数列，所以B错误， 对于C，由，得，所以当时，，所以C正确， 对于D，，因为， 所以当或4时，取得最大值，所以D正确， 故选：CD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 存在直线与交于，两点，且为的中点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线定义分析判断；对于B：可知在双曲线的渐近线上方，结合双曲线定义分析判断；对于C：根据直线与双曲线的位置关系以及渐近线的性质分析判断；对于D：利用点差法运算求解. 【详解】由双曲线的方程可知：，，，且焦点在x轴上， 则，，双曲线的渐近线方程为， 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项B：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当，，三点共线时，取得等号，故B正确； 对于选项C：当过的直线与双曲线相切时，有两条与双曲线只有一个公共点； 当过的直线与渐近线平行时，也有两条与双曲线只有一个公共点， 所以过点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：设，， 若为的中点，可得，， 因为，两式相减可得， 即为，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立方程，消去y可得， 则， 即直线与双曲线相交，可得直线存在，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷､商品种类齐全､性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数）： 1 2 3 4 5 （万人） 20 50 100 150 180 根据表中的数据，可以求出，若预测该公司的网购人数能超过300万人，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】求出样本中心，根据样本中心在回归直线上求回归方程，再由求的范围，即得最小值. 【详解】由题设，， 所以，即，则， 令，可得，又x为整数， 所以的最小值为8. 故答案为：8 13. 如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为平面，平面，则，同理可知， 所以， . 故答案为：. 14. 若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 ________ 【答案】32 【解析】 【分析】根据已知条件及双曲线的定义，再利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，即 ， 根据已知条件做出图形如图所示 设，则 由双曲线的定义知，①，②， 由余弦定理得③， 联立①②③，得 ，即， 又，所以， 所以，即. 所以为直角三角形， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码. （1）求的分布列； （2）求的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列； （2）由（1）的分布列可得概率. 【小问1详解】 由已知可得随机变量的可能取值有：，，，， 所以，，，， 所以分布列为 【小问2详解】由（1）得. 16. 2021年，乐山市38家A级旅游景区累计接待游客1743万人次，同比2020年增长33.69%，其中多数人为自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在“五一”旅游期间，随机抽取了100名游客，得如下所示的列联表： 自助游 非自助游 合计 男性 30 45 女性 10 合计 100 请将上面的列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“自助游”与性别有关系？ 附：，其中． 【答案】列联表见解析，没有95%的把握认为“自助游”与性别有关系 【解析】 【分析】先完善列联表，再计算，和3.841比较，作出判断即可. 【详解】2×2列联表如下所示： 自助游 非自助游 合计 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 得的观测值：．∵ ∴没有95%的把握认为自助游与性别有关系． 17. （1）已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程； （2）如图，已知圆和定点，P为圆O外一点，直线PQ与圆O相切于点Q，若，求点P的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）0. 【解析】 【分析】设动点坐标为，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可. 【详解】（1）设，则，， ， 化简整理得，， 所以点的轨迹方程为：. （2）设，依题意，则， 即，即， 整理得. 18. 已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长． 【答案】（1） 因为四边形是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故，且， 因为平面平面，且， 所以平面 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）要证，只需证平面，只需证，由题易证； （2）由体积求出的长，建立空间直角坐标系，假设，求出平面的法向量，由余弦值为，求出，进而可求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设到平面的距离为，因为等边三角形的边长为4， 所以三棱锥的体积为，所以， 因为，所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系； 则，，设 因为⊥平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 又， 故 取，则， 得， 因为二面角的余弦值为， 所以 解得：或（舍去），此时． 19. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． （1）求双曲线的标准方程； （2）点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴时，，，设，利用三角形面积公式求解； （2）设出直线，然后与双曲线的方程联立，再结合根与系数的关系，从而可求解. 【小问1详解】 当轴时，不失一般性，不妨设 ， 由题得，则，则双曲线的方程为， 故双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 设直线，，，， 联立双曲线方程，得， 于是，得， 由于直线，令，则， 由于， 那么，于是 ， 令，则，那么， 从而. 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（2）问中合理设出直线的方程并与双曲线联立，然后结合根与系数关系并利用换元法求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省南康中学2025~2026学年度第二学期高二开学数学作业 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 在的展开式中，系数为（ ） A. 48 B. 32 C. D. 2. 已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ） A. 10 B. 16 C. 11 D. 26 3. 将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（ ） A. 120种 B. 216种 C. 240种 D. 432种 4. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 有栋大楼排成一排，某电信公司要选择其中栋楼的楼顶建设基站，基站不能建在相邻栋大楼上，以免信号互相干扰，则这座基站相邻2座之间至少有栋大楼的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列前项和为，则（ ） A. 44 B. 48 C. 52 D. 56 7. 若正项等比数列的公比，且成等差数列，则等于 A. B. C. D. 8. 已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 10. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. 是等差数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 存在直线与交于，两点，且为的中点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷､商品种类齐全､性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数）： 1 2 3 4 5 （万人） 20 50 100 150 180 根据表中的数据，可以求出，若预测该公司的网购人数能超过300万人，则的最小值为__________. 13. 如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______. 14. 若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 ________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码. （1）求的分布列； （2）求的概率. 16. 2021年，乐山市38家A级旅游景区累计接待游客1743万人次，同比2020年增长33.69%，其中多数人为自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在“五一”旅游期间，随机抽取了100名游客，得如下所示的列联表： 自助游 非自助游 合计 男性 30 45 女性 10 合计 100 请将上面的列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“自助游”与性别有关系？ 附：，其中． 17. （1）已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程； （2）如图，已知圆和定点，P为圆O外一点，直线PQ与圆O相切于点Q，若，求点P的轨迹方程． 18. 已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长． 19. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． （1）求双曲线的标准方程； （2）点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $