精品解析：山西大学附属中学校2025-2026学年高三年级第二学期3月模块诊断数学试题

山西大学附中 2025～2026学年高三年级第二学期3月模块诊断 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：闫芙蓉 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知集合，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 5. 函数在区间上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 32 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（   ） A. 没有空盒子的方法共有16种 B. 有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 10. 椭圆上的动点M与点的距离的最小值为，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 记内角，，的对边分别是，，，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 13. 若直线平分圆的周长，则的最小值为_____. 14. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．如图，已知和都是正三角形，，，且，，三点共线，设点是内的任意一点，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，． （1）若函数是偶函数，求实数的值． （2）若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值． 16. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行． （1）求实数的值； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． （1）求的标准方程； （2）若（不在直线上)，证明：直线过定点． 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. （1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面. （2）如图2，若二面角为直二面角，分别是的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围. （3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年高三年级第二学期3月模块诊断 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：闫芙蓉 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】求出给定数据组的中位数、众数、平均数，举例说明判断ABC；利用数据的波动大小判断D. 【详解】数据由小到大排列为：1，1，2，3，3，3，4，5，5，其中位数、众数、平均数都为3， 去掉数据1，剩余数据的中位数、众数都不变；去掉数据3，剩余数据的平均数不变，ABC不是； 若任意去掉其中一个数据，剩余数据的波动性发生变化，方差一定发生变化，D是. 故选：D 2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义，可得答案. 【详解】由角的终边经过点，所以 根据任意角三角函数定义，得. 故选：C 3. 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则可得答案. 【详解】由复数 满足 为虚数单位)， 可得 ， 所以 . 故选： D. 4. 已知集合，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集元素 (1,3) 同时属于集合 和 ，将其代入两个集合对应的方程，得到关于、的方程组，解方程组即可求出、 的值. 【详解】由题可得，解得，所以. 故选：B. 5. 函数在区间上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再根据判断即可. 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称，且 ， 所以为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A，C. 因为，故排除B. 故选：D. 6. 已知是等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设数列首项为，公比为，则，再解方程组结合等比数列通项公式即可求解． 【详解】根据题意，设数列首项为，公比为， ， ，代入，，解得， ， ． 故选：C． 7. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用台体的体积公式，以及相似比性质，结合换元思想来求解即可. 【详解】设米斗的上底面边长为，高为，则米斗的下底面边长为， 故，得． 设米的深度为，半斗米所形成的正四棱台的下底面边长为， 则，则， 则， 得，则， 化简得．令， 则，， 即，则， 故选:A． 【点睛】关键点睛：（1）根据正四棱台的结构特征求出半斗米所形成的正四棱台的下底面的边长的表达式；（2）换元，令，将方程化为并配凑为． 8. 已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】分别取，的中点E，F，连接，，,利用极化恒等式得到，，原式转化为,再求线段的最大值即可. 【详解】如图： 分别取，的中点E，F，连接，，. 所以,,又， 所以由极化恒等式得 ， 同理， 所以 连接, 由，，得， 所以在以O为圆心，为半径的圆上.所以的最大值为， 所以的最大值为24. 故选：C 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（   ） A. 没有空盒子的方法共有16种 B. 有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】ABD 【解析】 【分析】没有空盒即将4个球在4个盒子上进行全排列即可判断A；有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解判断B；恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，且必然有1个盒子中放了2个球，求解即可判断C；只需从4盒4球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即可判断D． 【详解】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确． 故选：ABD. 10. 椭圆上的动点M与点的距离的最小值为，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，故，构造函数，得到二次函数的最小值为，结合对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】设，则， 则， 即函数最小值为， 对称轴为，其中，故， 原条件等价于或， 解得：或. 故选：BD. 11. 记内角，，的对边分别是，，，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用余弦定理即可判断，对于B利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C利用余弦定理、正弦定理及两角和的正弦公式即可判断，对于D令代入有，由三角形三边关系求出解出的范围，即可求解，进而判断D． 【详解】对于A：由余弦定理知， 又，所以，即，故A正确； 对于B：由余弦定理知， 由基本不等式知，即，当且仅当时，等号成立. 所以，又，所以，即角的最大值为，故B正确； 对于C： 若，则， 即， 所以，即，也即， 整理得，不合题意，故C错误； 对于D：令，代入中可得，. 由得，，即， 解得. . 令，易知在上单调递增， 当且，， 当且，， 所以在上的值域为， 的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二项式定理展开式的通项公式计算可得. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，得，所以的系数是. 故答案为： 13. 若直线平分圆的周长，则的最小值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】直线平分圆的周长，即过圆心，可得a、b的关系，然后利用基本不等式可解. 【详解】圆即圆，则圆心为， 由题知直线过圆心，所以有， 所以， 当，即时，等号成立. 故答案为：. 14. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．如图，已知和都是正三角形，，，且，，三点共线，设点是内的任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，再由余弦定理可得，可证是直角三角形，将绕点顺时针旋转到，则， 则，当且仅当，，，四点共线时等号成立，可证为费马点时，取最小值， 法一：几何法，由余弦定理可得长度； 法二：解析法，以点为原点建立平面直角坐标系，可得点同时在两圆上，联立圆的方程可得解； 法三：代数法，设，由正弦定理可表示各边长，可得，，代入可得解. 【详解】如图 由题设有，而，， 由余弦定理可得，所以， 故是直角三角形，且，． 将绕点顺时针旋转到，则， 则， 当且仅当，，，四点共线时等号成立， 此时，， 即为费马点时，取最小值， 法一：几何法 因为，， 所以，， 故当且仅当为费马点时，取最小值且最小值为． 法二：解析法 如图，以点为原点建立平面直角坐标系，且，， 由费马点的定义知点满足， 故在以为弦且半径为的劣弧上， 设圆心为，而，故，故，故圆， 同理也在以为弦且半径为的劣弧上，其方程为， 由， 可得， 再代入其中一式解得，（，舍）， 所以取最小值时，，，取最小值为． 法三：代数法 设，则， 由费马点的性质可得，（），由正弦定理可得且， 故， 整理得到， 解得， 即，， 此时， 而，同理， 故的最小值为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，． （1）若函数是偶函数，求实数的值． （2）若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义和和角公式可求答案； （2）解出方程的根，求出通项公式，利用分组求和的方法可得答案. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，所以，，整理可得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由得， 解得， 从小到大排列为：，所以， . 16. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行． （1）求实数的值； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求得，得到，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）知，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与，即可求解. 【小问1详解】 解：因为函数，可得， 所以，即曲线在点处的切线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得， 故实数的值为． 【小问2详解】 解：由（1）知， 因为，所以由，即． 设， 则在上恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围是． 17. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． （1）求的标准方程； （2）若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率及的值，求出的值，代入双曲线方程即可. （2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和和两根之积，根据进行化简，进而求出定点坐标. 【小问1详解】 因为，， 所以，故的标准方程为. 【小问2详解】 证明：设直线的方程为，，. 由，得， 则，，， 又，则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，则直线过定点. 综上，直线过定点． 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 19. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. （1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面. （2）如图2，若二面角为直二面角，分别是的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围. （3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，结合平面平面，即可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，根据求出的范围，将平面与平面所成锐二面角的余弦值表示为的函数，再求范围. （3）是四面体的表面积，可证， ，从而证得结论. 【小问1详解】 由题意知， 而是的中点， 所以， 又平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 【小问2详解】 在平面内作的垂线作为轴，所以轴， 如图以为坐标原点，分别以为轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，设， 所以， 则， 所以， . 设平面的法向量， 得， 取， ， 解得. 设平面的法向量， 得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为，则 ， 由于在上单调递增，故， 故， 所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是； 【小问3详解】 S是四面体的表面积，，令与面所成角为， ， ， 因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是， （取不到等号）， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $