8.5.3 平面与平面平行题型训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.5.3 平面与平面平行 题型一 判断面面平行 1．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 2．如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． B．当为中点时， C．存在点，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值 3．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有___个． 4．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 题型二 证明面面平行 5．已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 6．如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于，两点），若，且，则（    ） A． B．存在点，使得平面 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成角的余弦值的最小值为 7．如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 8．如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 题型三 补全面面平行的条件 9．已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 10．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________ 11．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 题型四 面面平行证明线线平行 12．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 13．如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 14．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于___ 15．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型五 面面平行证明线面平行 16．如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 17．如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．存在点P，使得直线与共面 C．的最小值为 D．若M为线段上的动点，且平面．则的最小值为 18．如图，在棱长为3的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点（含边界），且满足平面，则线段长度的取值范围为______.    19．如图，在多面体中，底面四边形为等腰梯形，∥，，为正三角形，四边形为直角梯形，，，为平面上的点． (1)当点在直线上时，求线段的长度，使得∥平面； (2)若∥平面，求线段的最小值． 题型六 空间平行的转化 20．在平行六面体中，，分别为棱，上的点，且，，直线与平面的交点，则的值为（   ） A． B． C． D． 21．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点，使得直线平面 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 22．如图所示，记几何体W是棱长为1的正方体割去两个三棱锥，后剩余的几何体．给出下列四个结论： ①几何体W的体积为； ②几何体W的表面积为； ③几何体W的顶点均在某个球面上，则该球的半径为； ④若几何体W被与平面平行的平面所截的截面多边形的每条边长都相等，则平面与平面的距离为． 其中所有正确结论的序号是______． 23．如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型七 面面平行证明面面平行 24．点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．无数 25．如图，在长方体中，，，，E是棱上的一个动点，下列命题正确的是（   ） A．长方体外接球的表面积为 B．过A，E，三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为 C．在棱上存在相应的点G，使得平面 D．若，点F在四边形（包括边界）上运动，且平面，则的最小值为 26．在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于________. 27．如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求： (1)正四棱锥的表面积； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5.3 平面与平面平行 题型一 判断面面平行 1．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【分析】由面面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D 2．如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． B．当为中点时， C．存在点，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【分析】对于A，直接使用中位线的性质即可证明；对于B，使用等腰三角形的中线性质即可证明；对于C，使用反证法即可否定结论；对于D，直接计算出三棱锥的体积即可验证. 【详解】对于A，由于分别是的中点，故. 而，所以，故A正确； 对于B，当是的中点时，由于，故，而，所以，故B正确； 对于C，假设平面平面，则两平面没有公共点，从而两直线没有公共点，又由于两直线都在下底面内，故. 而，这意味着和重合，矛盾，故C错误； 对于D，设到平面的距离和到直线的距离分别为和，则，从而三棱锥的体积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于C选项对线面平行和线线平行定义的运用. 3．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有___个． 【答案】2 【分析】举反例否定①③，进而得到可以判断两个平面α与β平行的条件为②④. 【详解】如图取α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①； 若存在平面γ，使α、β都平行于γ，则可以判断两个平面α与β平行.②是正确的； 若α与β相交，如图所示，, ，且l与m，n两直线等距离， 则α内不共线的三点A，B，C到β的距离相等. 所以排除③； 存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ. 则可以判断两个 平面α与β平行. ④是正确的． 故答案为：2 4．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 【答案】当为的中点时，平面//平面．理由见解析 【详解】当为的中点时，平面平面．理由如下： 为的中点，为的中点，连接， 易证四边形是平行四边形，则． 平面，平面． 平面． 分别为的中点， ，同理可得平面，又， ∴平面平面． 反之，当不为的中点时，设为中点，则平面平面， 而平面与平面相交，即平面与平面相交，矛盾. 综上，为的中点时，平面平面. 题型二 证明面面平行 5．已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，上靠近点C的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，在正四棱柱中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】 取的中点，上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，如图所示. 在正四棱柱中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知， 又， ∴四边形是平行四边形，∴. ∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在矩形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：C. 6．如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于，两点），若，且，则（    ） A． B．存在点，使得平面 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成角的余弦值的最小值为 【答案】AC 【分析】对A，利用勾股定理逆定理即可判断；对B，利用反证法结合面面平行的判定定理即可判断；对C，将其转化为与的关系即可判断；对D，将异面直线夹角进行转化，再利用余弦定理即可判断. 【详解】由题意，得． 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，假设存在点，使得平面． 因为平面平面，所以平面． 又平面平面，所以平面平面， 而平面与平面相交，矛盾，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，如图，取的中点，连接，则． 显然，所以异面直线与所成的角即为． 由，得为正三角形，所以， 所以，故D错误． 故选：AC． 7．如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 8．如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理可得答案. 【详解】，分别是棱，的中点， 是的中位线，． 平面，平面， 平面． 同理可得平面． 又，平面，平面， ∴平面平面． 题型三 补全面面平行的条件 9．已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，由线面关系判断面面关系判断A、B、D，利用线面垂直的性质及面面平行的判定即可判断C. 【详解】A：由，，则、可能相交或平行，不合要求； B：由，，则、可能相交或平行，不合要求； C：由，若、且相交，则，又，故，所以，符合. D：由与、所成角相等，则、可能相交或平行，不合要求； 故选：C 10．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________ 【答案】 【分析】先推导出，EFBD1，平面平面，由在上且平面平面，可得，从而 【详解】∵平面AEF平面BD1G，且平面AEF∩平面BB1D1D=EF，平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1，∴EFBD1，∴ 易得平面ADD1A1平面BCC1B1，又BG⊂平面BCC1B1，∴BG平面ADD1A1， 又∵平面AEF平面BD1G，BG⊂平面BD1G，∴BG平面AEF， ∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF， ∴BGAF，∴BG､AF可确定平面ABGF， 又知平面ABB1A1平面CDD1C1， 平面ABGF∩平面ABB1A1=AB，平面ABGF∩平面CDD1C1=FG， ∴ABFG，∴CDFG. ∴. 故答案为：. 11．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，为中点，证明见解析 【分析】分析，当为中点时，由线面平行判定定理得平面，平面，再结合面面平行判定定理求证即可得结论. 【详解】存在，为中点时，平面平面， 连接，设，连接，易知， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面. 题型四 面面平行证明线线平行 12．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 13．如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据面面平行的性质定理和棱台的结构特征判断. 【详解】∵平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又因为，所以，AD正确； 同理根据面面平行的性质定理得,则B正确. 14．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于___ 【答案】 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点， 由平面平面，平面平面， 平面平面，得，由为的中点，得为的中点， 设直线分别交、的延长线于点、，连接交棱于点， 连接交棱于点，连接、，则截面为六边形， 由，为中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为. 故答案为： 15．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，    又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 题型五 面面平行证明线面平行 16．如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件中的平行关系去证明∥，从而根据相似可计算，再计算即可. 【详解】在正方体中， 因为平面∥平面，且平面， 所以∥平面， 因为平面平面，平面， 所以， 又，分别是，的中点，所以∥， 又∥，由平行的传递性可知∥， 因为，所以 所以， 故在直角三角形中，. 故选：C. 17．如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．存在点P，使得直线与共面 C．的最小值为 D．若M为线段上的动点，且平面．则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用正方体性质可知，再由线面平行定理可证明A正确，利用反证法假设存在点P，使得直线与共面，可得出结论与平面平面矛盾，因此B错误；以为旋转轴，将旋转到与平面共面，易知，再由余弦定理计算可得C正确，根据面面平行判定定理可证得平面平面，再由其性质可得平面，设，利用三角形相似以及二次函数性质可判断D正确. 【详解】对于A，如下图所示： 由正方体性质可知， 又平面，平面，所以平面，即A正确； 对于B，假设存在点P，使得直线与共面， 显然三点共面，若直线与共面，则可知点在平面内， 又P为线段上的动点，即在平面内， 因此可知点在平面与平面的交线上，显然这与平面平面矛盾，因此B错误； 对于C，以为旋转轴，将旋转到与平面共面，如下图所示： 易知，若要使取得最小值，只需连接交于点， 因此为，且， 在中，，所以， 即，所以的最小值为，可得C正确； 对于D，过点作交于点，过点作交于点，连接，如下图所示： 因为，平面，平面，所以平面； 又，平面，平面，所以平面； 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； 设，则， 显然， 所以， 所以当时，即时，取最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD 18．如图，在棱长为3的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点（含边界），且满足平面，则线段长度的取值范围为______.    【答案】 【分析】在取点，使得，连接，分别证得平面和平面，得到平面平面，得到在线段上，根据为等腰三角形，即可求解. 【详解】如图所示，分别在取点，使得， 连接，可得， 在正方体中，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又由，且，可得为平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且为正方形内一动点，所以在线段上， 在中，可得， 在中，可得，且， 所以为等腰三角形，取的中点，连接， 在中，可得， 所以的最短距离为，最长距离为， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：.    19．如图，在多面体中，底面四边形为等腰梯形，∥，，为正三角形，四边形为直角梯形，，，为平面上的点． (1)当点在直线上时，求线段的长度，使得∥平面； (2)若∥平面，求线段的最小值． 【答案】(1)4 (2)． 【分析】（1）由∥平面，利用线面平行的性质得到∥,    证得，再在等腰梯形中利用题设中条件求即可；. （2）过点作∥交的延长线于点，过点作∥，交的延长线于点，得到平面∥平面.记为直线上任意一点，由面面平行的性质得到∥平面，线段的最小值为点到的距离.再通过证明，得到是以2为边长的等边三角形，求边上的高即得的最小值. 【详解】（1）因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥． 又因为四边形为等腰梯形，∥， 所以四边形为平行四边形，因此． 在上找一点，使得． 因为，所以为等边三角形， 因此， 又因为在等腰梯形中，，所以. 所以∥． 又因为∥，所以四边形为平行四边形， 因此，所以． （2）过点C作∥交的延长线于点，过点作∥，交的延长线于点， ∵∥，平面，平面，∴∥平面， 同理∥平面， 又因为平面， 所以平面∥平面. 直线上任意一点记为，则平面，所以∥平面． 所以线段的最小值为点到的距离，即中以为顶点的高． 因为∥∥，所以四边形，四边形为平行四边形， 所以,为平行四边形， 所以， 所以是以2为边长的等边三角形，则高为， 因此线段的最小值为． 题型六 空间平行的转化 20．在平行六面体中，，分别为棱，上的点，且，，直线与平面的交点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等体积法得，计算可得，，代入化简即可. 【详解】设平行六面体的体积为， 因为平行六面体的上下底面平行，所以平面与上下底面的交线互相平行， 设为平面与上底面的交线，为与的交点，则， 连接, 由等体积法可得， 设平行六面体的上下底面的距离为， ， 因为在平行六面体中， 因为， 由等角定理可知各内角相等， 所以， 所以，， 又因为各内角相等或互补， 所以， 所以， 因为, , ， 所以, 所以， 即. 故选：D. 21．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点，使得直线平面 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A， ∵正方体的对面互相平行， ∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 如图所示，设为的中点， 因为，平面，平面， 所以平面， 假设直线平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为分别为正方形的边的中点，所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 而直线与平面相交，所以直线与平面相交， 这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故B错误. ∵，平面，不在平面内， ∴平面， 又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值， ∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确； 将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 故选：ACD. 22．如图所示，记几何体W是棱长为1的正方体割去两个三棱锥，后剩余的几何体．给出下列四个结论： ①几何体W的体积为； ②几何体W的表面积为； ③几何体W的顶点均在某个球面上，则该球的半径为； ④若几何体W被与平面平行的平面所截的截面多边形的每条边长都相等，则平面与平面的距离为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】根据表面积、体积公式判断①②，几何体的外接球即为正方体的外接球，求出正方体的外接球的直径，即可判断③，作出截面，根据面面平行的性质及相似三角形判断④； 【详解】解：依题意，所以，故①正确； ，， ， 所以，故②错误； 几何体的外接球即为正方体的外接球，正方体的外接球的直径恰为体对角线， 所以该球的半径为，故③正确； 如图，设截面为平面，依题意平面平面，所以、， 所以且，所以 又，即，即，解得， 所以，则，故平面与平面的距离为，即④正确； 故答案为：①③④ 23．如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 题型七 面面平行证明面面平行 24．点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】假设过点P且平行于平面的平面有两个，可判断重合. 【详解】假设过点P且平行于平面的平面有两个， 则由面面平行的性质知， 又都过P点，故重合， 所以过点P且平行于平面的平面只有一个. 故选：B 25．如图，在长方体中，，，，E是棱上的一个动点，下列命题正确的是（   ） A．长方体外接球的表面积为 B．过A，E，三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为 C．在棱上存在相应的点G，使得平面 D．若，点F在四边形（包括边界）上运动，且平面，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】由长方体外接球特征，可知体对角线长为直径，即可判断A；由截面性质，过A，E，三点的平面截长方体所得截面为平行四边形，其周长为，将空间体侧面做展开，可知A，E，三点共线时有最小值，可判断B；假设平面，若E与C与重合，的平行线与平面相交，可判断C；由条件，E点为的一个三等分点，则在上取三等分点，在上取二等分点，可确定F的轨迹，即可确定D选项. 【详解】A选项：由已知，长方体体对角线长， 其中，R为外接球的半径，则，外接球的表面积，A选项正确； B选项： 在长方体的棱上取点F，满足，连接、， 因为,则，同理可证， 则四边形为平行四边形，是过A，E，三点的平面截长方体所得截面， 则周长， 将侧面与沿着展开，可得侧面展开图如下图所示， 当A，E，三点共线时有最小值， 此时，B选项正确； C选项中，假设平面，若E与C与重合，在上取点H，满足， 则，由图可知，的平行线与平面相交，假设不成立， C选项错误； D选项：E点为的一个三等分点，则在上取三等分点N，在上取二等分点M， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在上取靠近的三等分点P， 连接，因为，所以， 由等分关系，，所以， 平面，平面， 所以平面， 又，平面 所以平面平面，结合题意可知F的轨迹为. 又因为，所以，， 所以的最小值是等边三角形的高线，，D选项正确. 故选： 26．在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于________. 【答案】 【分析】连接交于点，连接、，过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使，证明出平面平面，计算出的面积，即可得解. 【详解】如图，连接交于点，连接、. 因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 故截面平行于平面. 过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使. ，，，. 因为平面，平面，所以，平面， 又因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 易得，故， 因为， 易知是边长为的等边三角形，所以，， 因此，. 故答案为：. 27．如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求： (1)正四棱锥的表面积； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)在侧棱上存在一点，使平面，满足． 【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果； （2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【详解】（1）正四棱锥中，，， 侧面的高， 正四棱锥的表面积． （2） 在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接，． 在中，有， 平面，平面，平面， 由于，． 又由于， 平面，平面，平面， ，平面平面，得平面， 1 学科网（北京）股份有限公司 $