期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面、面面平行证明，通过多几何体典例构建空间观念，培养逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明线面平行|3例+3变式|直三棱柱、正方体等几何体，含中点、翻折等条件|以线线平行为核心，通过中位线、平行四边形等转化| |证明面面平行|3例+3变式|平行四边形、圆锥等几何体，涉及中点、比例关系|需两组相交直线平行，体现线面平行到面面平行的递进|

期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练 期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练 考点目录 证明线面平行 证明面面平行 考点一 证明线面平行 例1．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面. （2）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积. 【详解】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 例2．（25-26高一下·甘肃金昌·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）通过平移得到或其补角就是异面直线与所成的角，利用余弦定理即可求出其余弦值. 【详解】（1）若分别为，的中点，，， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，不在平面内，平面； （2） 取中点，连接AE，AF，BG，FG，， 四边形为正方形，且， 四边形是平行四边形， 又且，四边形是平行四边形， ，，或其补角就是异面直线与所成的角. 在中，，，， 由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 例3．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 变式1．（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【详解】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 变式2．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； （2）通过在、上取点构造辅助线，证明平面平面，再由面面平行的性质得平面. 【详解】（1） 在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2） 若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 变式3．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正四棱柱中，E为的中点.，． (1)求证：平面BDE； (2)求异面直线与DE所成角的余弦值. 【答案】(1)连接交于点F，连接， ∵正四棱柱，为AC中点， 又为的中点， ∴在中有， 而平面，平面，平面； (2) 【分析】（1）连接AC交BD于点F，连接EF，根据线面平行定理证明； （2）取中点G，连接，，确定异面直线与DE所成角即为直线与所成角，根据异面直线夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）取中点G，连接，， 是正四棱柱，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴异面直线与DE所成角即为直线与所成角， ，，， ∴在中，， 所以异面直线与DE所成角的余弦值． 考点二 证明面面平行 例1．（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 例2．（25-26高一下·河北·期中）如图，在三棱锥中，，，分别为侧棱，，上异于端点的点，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上取靠近点的三等分点，连接，则在线段上是否存在点，使，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 同理可证得平面， 又因为，，平面， 所以平面平面． (2)存在，点是线段上靠近点的三等分点． 【分析】（1）根据题意证明平面，平面，再结合面面平行的判定定理即可证明； （2）连接，显然与相交，设交点为，进而结合面面平行的性质定理得，再结合几何关系即可求得点是线段上靠近点的三等分点. 【详解】（1）略 （2）解：存在．点是线段上靠近点的三等分点． 理由如下： 连接，显然与相交，设交点为． 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以． 所以在线段上存在点，使得． 由可得，且． 设， 如图，在平面内，有，即，， 又因为， 所以有， 所以点是线段上靠近点的三等分点． 例3．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 变式1．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面. （2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，因为分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面； 连接，则，且， 可得四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. （2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为, 三棱锥的体积为, 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为, 所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 变式2．（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. （2）取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 又因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面， 所以平面平面. 变式3．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练 期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练 考点目录 证明线面平行 证明面面平行 考点一 证明线面平行 例1.(25-26高一下山东青岛期中)如图所示，直三棱柱ABC-A,BC,的底面是边长为2的正三角形，点E,F分 别是棱CC,BB,上的点，点M是线段AC的中点，EC=2FB=2. A B C M (I)求证BM∥平面AEF; (2)若C,E=BF,求多面体AEF-A,B,C,的体积 例2.(25-26高一下·甘肃金昌·期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E,F分别是棱BB, DD,的中点 D B E D… A B (I)求证：BD∥平面C,EF; (2)求异面直线B,F与CE所成角的余弦值 期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练 例3.(25-26高一下·浙江温州期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BCI1AD, BC=AD,面PBC∩面PHD=l,E是PD的中点 D M B (I)求证：CE//平面PAB; (2)求证：111AD; 变式1.(25-26高一下·四川宜宾·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点P到平面ABCD的 距离为2，AD=2,E、F分别是PB和BD的中点. D E D B (I)证明：EF/平面PAD; (2)求三棱锥C-PBD的体积. 2 期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练 变式2.(25-26高一下·安徽六安·期中)如图，等腰梯形ABCD中，AB/CD,CD=2AB=2AD=4,AE⊥CD, 垂足为E,将ADE沿AE翻折，得到四棱锥P-ABCE.在四棱锥P-ABCE中，点M,N分别在线段PB,AC上， 且AN、BM NC MP 2 P E M E A B (I)若PE⊥EC,求直线BC与直线PA所成角的余弦值 (2)求证：MN//平面PCE 变式3.(25-26高一下·天津河东·阶段检测)在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，E为CC的中点.AB=BC=1, AA=4. D C A B (1)求证：AC/平面BDE: (2)求异面直线AC与DE所成角的余弦值， 期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练 考点二 证明面面平行 例1.(24-25高一下·河南焦作阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E,F,G分别是 PD,AC,PA的中点，平面PABO平面EFG=I证明： A >D (1)EFIII (2)平面EFG平面PBC. 例2.(25-26高一下·河北期中)如图，在三棱锥0-ABD中，E,F,H分别为侧棱OA,OB,OD上异于端点 的点，且OH=0E0F OD OA OB 0 D A (I)求证：平面EFH∥平面ABD; (2)在线段BD上取靠近点B的三等分点C,连接AC,则在线段FH上是否存在点G,使ACEG,若存在，求出点 G的位置；若不存在，请说明理由. 期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练 例3.(25-26高一下·广西南宁·期中)如图，一个圆锥的顶点是P,O是底面的圆心，AB是底面的一条直径， AB=2. B C D ()考∠PA0-号，求该辆维的体积： ②若Q是PA巾点，C、D是底面图上两点，∠A0C=胥CD∥AB,求证：平面QC0/平面P8D. 变式1.(25-26高一下广东珠海·期中)如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，M,N,E,F分别是棱 AB,AD,BC,C,D的中点， D C E A D B (I)求证：平面AMN/平面DBEF; (2)已知正方体的棱长为2，求平面AMW与平面DBEF把正方体分成的三部分的体积之比. 5 期末复习：证明线面平行、证明面面平行专项训练 变式2.(25-26高一下山西运城期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E为棱DD,的中点，F为棱BB,的中 点 M D A B D B (I)连接C,F并延长，交平面ABCD于点P,求证：C,B,P三点共线： ②点M在棱4的延长线上，且4M-M,求证：平面MA1/平面EFC. 变式3.(25-26高一下·北京朝阳阶段检测)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点G,E,F,P分别为棱 AB,D C,BC,AA,的中点，点M是棱AD上的一点，且DM=3A,M. D E N B D G B (I)求证：D,G/平面DBFE; (2)己知点N是棱AB,上的一点，且B,N=3AN,求证：平面PMN/I平面DBFE, 6