精品解析：黑龙江大庆实验中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

大庆实验中学实验二部2025级高一下开学考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求绝对值不等式，再根据交集概念计算即可. 【详解】，，． 故选：D． 2. 在中，点D在边上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】因为点D在边上，且， 所以. 故选：C. 3. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用单调性结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为，， 所以，所以在有零点， 因为和都是上的增函数， 所以在上单调递增， 所以存在唯一零点. 故选：B 4. 关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，即可求解． 【详解】由得，， 因为，所以， 得， 由不等式（）解集中恰有2个整数， 得，得， 故实数取值范围是． 5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于初始点，经过（）秒后运动到点，当第一次等于3时，正数的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】利用第一次等于3时求出旋转角度，再结合初始位置即可得最终位置. 【详解】因为是逆时针旋转，当第一次等于3时，即旋转了， 又因为每旋转一周需要180秒，那么旋转则需要秒. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由奇函数及其单调性确定的取值，再解一元二次不等式，然后可得. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 由函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，且， 则当时，得或， 当时，得或， 由，得或，由，得， 由，得或， 得或， 得或， 由，得或或或， 故的解集为： 7. 记函数，的两个零点为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，即，列方程解，不妨设，可知，.利用诱导公式结合倍角公式逐项分析判断. 【详解】令，即， 联立方程，解得或， 不妨设，则，， 且，则，. 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 对于选项AB：因为，则， 且， 可得，， 则，故A错误； 且，故B错误； 故选：D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据判断为的一个零点，得到的一个等式，代入，根据二次函数的单调性及的取值范围即可求得最小值. 【详解】因为的定义域为， 所以在上恒成立. 当时，；当时，；当时，. 所以对于二次函数， 当时，；当时，， 所以为的一个零点，且为右侧零点， 即，所以. 则. 要满足当时，，只需左侧零点，解得. 而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（   ） A. 函数（且）的图象所过定点的坐标为 B. 函数的单调递增区间是 C. 若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出定点坐标判断A；求出单调递增区间判断B；举例说明判断C；由单调性列式求出范围判断D. 【详解】对于A，对，当时，恒有，因此 所求定点坐标为，A错误； 对于B，函数的定义域为R，函数在上单调递增 ， 在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此所求递增区间为，B正确； 对于C，当时，，而，解得， 即直线与函数的图象只有1个交点，C错误； 对于D，由函数在上单调递增， 得，解得，D正确. 故选：BD 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当在区间上的最小值为时，的取值范围是 B. 当在区间上没有最小值时，的取值范围是 C. 若，使得在区间上的值域为，则的取值范围是 D. 若，使得，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由得根据条件列出不等式或，求解即可；对于B，由得根据条件列出不等式求解即可；对于C，求出的最小正周期，由求解的范围即可；对于D，由得需求“若，时，的取值范围”，进而得解. 【详解】对于A，由得，因为在区间上的最小值为， 所以或，解得，即的取值范围是，故A正确； 对于B，由得因为在区间上没有最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B正确； 对于C，的最小正周期为，因为在区间上的值域为， 所以,解得，的取值范围是，故C不正确； 对于D，由得若，，则，解得， 所以若，使得，则的取值范围是，故D正确 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边经过点，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，利用三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】由于角的终边经过点，故， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数若关于的方程恰有3个实数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求得当时，有两个实数解，将问题转化为当时，有唯一实数解，进而求解. 【详解】当时，， 令，解得：，. 当时，， 方程恰好有一个实数解，即方程在上恰有一个实数解， 解得：，. 因为方程只有一个解，所以需满足：, 所以. 14. 在中，是边上一点，且，，，则的最小值为______ 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理将边表示成关于角的形式，再利用倍角公式、两角和的余弦公式、诱导公式将表达式化简得出，再根据角的范围利用换元法和二次函数性质求出其最小值即可. 【详解】依题意，记，则，又，如下图 根据三角形内角和可得，所以， 由可得， 记，由正弦定理可得； 由可得，因此， 所以， 代入可得; 又因为 ; 所以; ; 因，所以，令 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. 即的最小值为4. 故答案为：4 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数的图象经过，，三点，且的最小值为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求出最小正周期，从而可得，再结合，可求得，，再结合，从而可求解. （2）结合（1）中结论再利用整体代换法即可求解. 【小问1详解】 ）由题意的图象经过，三点，且的最小值为， 可得的最小正周期，则，解得． 则， 由， 故，， 又因为，所以． 故． 【小问2详解】 由于，所以， 故，． 所以函数的值域为． 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）解不等式. 注：本题中涉及的复合函数的单调性无需证明，只需说明单调性即可. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再根据奇函数的定义判断即可. （2）结合函数的奇偶性及单调性解不等式即可. 【小问1详解】 是奇函数. 证明：由于恒成立，恒成立， 故的定义域为， 又 ， 所以是奇函数. 【小问2详解】 等价于， 因为为奇函数，故， 所以只需证即可. 当时，，单调递增， 故在上单调递增， 又为奇函数，且，故在上单调递增， 所以，即，故， 又在定义域内单调递增， 所以，解得，所以不等式解集为. 17. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用正弦定理得，再根据辅助角公式、倍角公式化简，然后结合正弦函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 ，即， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 则， 所以 ， 因为三角形ABC是锐角三角形，所以，得， 所以，则，即， 所以的取值范围为. 18. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，进而得，利用对数的运算即可求解； （2）由（1）得，利用复合函数的单调性判断的单调性，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，利用基本不等式即可求解； （3）对任意的，存在，使得，即在上的最小值不小于在上的最小值，利用单调性先求，即在上有解，则在上有解，令，再令，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由，所以， 即， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数的单调性得在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立， 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以，故实数的取值范围是； 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值. 因为在上单调递增， 所以当时，. ，则在上有解， 则在上有解， 令，， 令，，则，当且仅当时取等号， ∴，∴. 19. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”. （1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由： （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围； （3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答. (2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答. (3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答. 【小问1详解】 假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有， 即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域， 而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R， 所以函数不是 “自均值函数”. 【小问2详解】 依题意，存在，对于，存在，有，即， 当时，的值域是，因此在的值域包含， 当时，而，则， 若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意， 于是得，，要在的值域包含， 则在的最小值小于等于0，又时，递减，且， 从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，存在，对于，存在，有，即， 当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值， 当时，在单调递增，在的值域是， 由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求， 当时，函数的对称轴为， 当，即时，在单调递增，在的值域是， 由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则， 当，即时，，，，， 由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求， 由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时； 综上得：或， 所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或. 【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学实验二部2025级高一下开学考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，点D在边上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于初始点，经过（）秒后运动到点，当第一次等于3时，正数的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 6. 已知函数是定义在上的奇函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 记函数，的两个零点为和，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（   ） A. 函数（且）的图象所过定点的坐标为 B. 函数的单调递增区间是 C. 若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当在区间上的最小值为时，的取值范围是 B. 当在区间上没有最小值时，的取值范围是 C. 若，使得在区间上的值域为，则的取值范围是 D. 若，使得，则的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边经过点，则_____________． 13. 已知函数若关于的方程恰有3个实数解，则实数的取值范围为______. 14. 在中，是边上一点，且，，，则的最小值为______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数的图象经过，，三点，且的最小值为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）解不等式. 注：本题中涉及的复合函数的单调性无需证明，只需说明单调性即可. 17. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 18. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”. （1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由： （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围； （3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $