1.2乘法公式 同步达标测试题 2025-2026学年湘教版七年级数学下册

2025-2026学年湘教版七年级数学下册《1.2乘法公式》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．为了运用平方差公式计算时，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若a，b的值使得成立，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 4．利用平方差公式计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2 5．若长方形玻璃的长为，对应的宽为，则此玻璃的面积为（    ） A． B． C． D． 6．若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 8．我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（    ）． A．53 B．35 C．47 D．68 二、填空题（满分24分） 9．若是一个完全平方式，那么m的值是______． 10．若，则的值为___________． 11．已知，则的值为______． 12．已知，则代数式的值为________． 13．（1）当，时，式子的值是_________； （2）已知，则的值是_________． 14．若满足，则的值为 ___________． 15．定义一种新的运算，如．则_________． 16．如下图所示正方形是由边长为，的两个正方形和两个长与宽分别为，的长方形组成．参照下图，可获得等式：．那么，个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个小长方形，无重叠、无缝隙拼成另一个大的正方形，则可获得等式__________． 三、解答题（满分72分） 17．用简便方法计算： (1)； (2)． 18．利用乘法公式进行计算： (1) (2) 19．解方程：． 20．先化简，再求值：，其中，． 21．（1）用简便方法计算： ________；________；________；________． （2）你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来． 22．观察下列算式： ， ， ， ...... 说明当n为自然数时，的正确性． 23．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 原式 ． ②，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值； 请根据以上材料解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)如图1矩形面积为，如图2正方形面积为，根据图中数据比较，大小． 24．阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 25．我们在学习“整式的乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，得到一些代数恒等式．如图1，沿长方形中的虚线将这个长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积； 方法1：_____，方法2：_____； (2)根据（1）中得到的关系式，填空：若，，则_____； (3)实际上，有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示．如图3，从整体来看是边长为的正方形，可得图3的面积为；从部分来看，图3是由1个边长为的正方形、1个边长为的正方形以及2个长为，宽为的长方形组成，可得图3的面积为，因此可以得到完全平方公式． ①由图4可得等式：_____ ②若实数满足，求的值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查整式的乘法运算，涉及多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，巧用平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键． 根据运算法则和完全平方公式、平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A、，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了平方差公式及添括号法则，根据平方差公式的结构特点及添括号法则即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．D 【分析】本题考查了完全平方公式，正确运用公式是关键；利用完全平方公式把左边展开，再比较关于x的对应系数可求出a，b的值，即可求代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了平方差公式． 将化为，根据平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 根据平方差公式计算即可． 【详解】解：若长方形玻璃的长为，对应的宽为， 则此玻璃的面积为， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 7．D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，先将化成，再将代入即可. 【详解】解：原式 原式= 故选：． 8．A 【分析】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 故选：A 9．21或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式的形式整理，再根据对应系数相等解答即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即， 解得或. 故答案为：21或. 10． 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的用法；根据平方差公式求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了整体法、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将当作整体，解出对应的一元二次方程的根即可． 【详解】解：令，则有， ∴， ， ， ∴， ∴． 故答案为： ． 12． 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，完全平方公式，解题关键是掌握完全平方公式． 先利用已知式子求得，再整体代入求值． 【详解】解：， 移项，得， 两边平方，得， 即， 所以， 故答案为：． 13．（1）9（2）64 【分析】本题考查平方差公式的灵活应用，求代数式的值，熟记平方差公式是解本题的关键． （1）先化简，再把，，代入计算即可； （2）先变形，再代值计算即可． 【详解】解：（1）． ， 当，时，原式， 故答案为：9； （2）． 当时，原式. 故答案为：64． 14． 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．先通过代数替换将已知等式转化为关于的方程，求出的值，再代入目标表达式计算结果即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，先利用多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据两种方式得到的面积相等，列出等式，即可求解． 【详解】根据题意可画图如下： 由图知，． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的应用，解题的关键是准确识别公式结构并正确运用公式展开计算． （1）利用完全平方公式展开，利用平方差公式展开，去括号后合并同类项； （2）将看作整体，利用平方差公式展开，再利用完全平方公式展开并整理． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，乘法公式，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据乘法公式去括号，进而进行求解即可． 【详解】解：， 化简，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．，1 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21．（1）399，899，1599，2499；（2）规律：两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，． 【分析】本题考查了平方差公式． （1）通过观察，每个乘法算式中的两个数都相差2，可以利用平方差公式进行简便计算，即； （2）由（1）可知两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，用含有字母的式子表示为． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：399，899，1599，2499； （2）解：由（1）发现规律：两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，因此用含有字母的式子表示为． 22．见解析 【分析】本题考查了整式的乘法． 通过代数变换，将左边表达式展开并化简，验证是否等于右边表达式． 【详解】证明：∵，， ∴． 令， 则左边表达式为， ∵， 又， ∴左边表达式右边． 因此，等式成立． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据文中提供的解题方法解答即可； （2）根据图形的面积公式，作差解答即可． 本题考查了配方法，非负性，求最小值，比较大小，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴的最小值是． （2）解：根据题意，得矩形面积为， 正方形面积为， 由， 由， 故， 故即． 24．(1)130 (2)16 (3)28 【分析】（1）设，由已知条件得，根据即可求解； （2）设，结合已知可得，将两边分别平方，然后整体代换即可求解； （3）观察图形，根据线段的构成将，用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积，根据（2）的方法计算即可． 【详解】（1）解：设，则 ， ∴． （2）解：设， 则 ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵正方形的边长为x，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 25．(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）利用面积公式列式即可； （2）把，代入运算即可； （3）①利用面积公式列式即可；②把，代入运算即可． 【详解】（1）解：方法一：∵图中阴影部分正方形边长， ∴阴影部分面积； 方法二：∵图中大正方形面积，一个小矩形的面积， ∴阴影部分面积； 故答案为：；； （2）解：∵若，， ∴， 故答案为：； （3）解：①由图4可得等式：； 故答案为：； ②：∵， ∴， ∴把，代入可得： ， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $