专题03 乘法公式（计算题专项训练）数学湘教版新教材七年级下册

专题03 乘法公式（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材；内容预览：3类训练共30题】 训练1 乘法公式计算 一般乘法公式是代数中用于快速计算多项式乘法的公式，常见的有平方差公式、完全平方公式等 （1）平方差公式：； （2）完全平方公式：，. 先观察式子结构，匹配对应的乘法公式；明确公式中“a”和“b”分别代表的数或式子（可以是单项式、多项式）； 代入公式时注意符号和系数的计算，避免漏项。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．计算： （1）（x﹣3y）2； （2）（2x+y）2（y﹣2x）2． 2．计算： （1）（a﹣1）（a+1）（a2+1）； （2）（2x+3）2（2x﹣3）2． 3．计算下列各题： （1）（﹣a+1）（a+1）（a2+1）； （2）（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）． 4．计算： （1）（2x+3y）2﹣4（x+y）（x﹣y）； （2）（x+y﹣6）（x﹣y+6）． 5．计算： （1）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2； （2）（x+2y+4）（x+2y﹣4）． 6．计算：（3m﹣n+4）（3m﹣n﹣4）． 7．计算：（3﹣2x+y）2﹣（2x﹣y）•（2x+y）． 8．计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣y）（y+2x）． 9．计算：（x+2y）（﹣x﹣2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y）． 10．计算：． 训练2 利用乘法公式进行简便计算 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 利用乘法公式进行简便计算的核心是观察式子结构，将其转化为符合公式的形式，从而避免复杂的多项式乘法。 关键步骤总结 ①观察结构：找“相同项与相反项”（平方差）或“单一数/式子的平方”（完全平方）； ②变形转化：通过拆数、补项等方式，凑成公式形式； ③套用公式：注意符号和系数，简化计算。 方法指导 1．用简便方法计算： （1）102×98； （2）1012﹣202+1． 2．计算（用简便方法并写出解题过程）： （1）499×501； （2）10012﹣2002+1． 3．用简便方法计算： （1）186.52﹣186.5×173+86.52； （2）3002﹣304×296． 4．用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01； （2）2022+202×196+982． 5．用简便方法计算： （1）2024×2026﹣20252； （2）1.4352+2.87×2.565+2.5652． 6．运用乘法公式进行简便运算： （1）2012； （2）49×51﹣2500． 7．用简便方法计算： （1）13.142﹣6.28×13.14+3.142； （2）19992﹣2000×1998． 8．用简便方法计算： （1）2022+202×196+982； （2）1232﹣122×124． 9．简便计算：． 10．简便计算：． 训练3 利用乘法公式巧求值 利用乘法公式求值的核心是通过公式变形，将未知量与已知条件建立联系，从而简化计算。 关键步骤总结 ① 分析所求式子：判断是否直接符合公式，或需要变形； ②关联已知条件：通过公式变形，将未知量用已知量（如a+b、ab）表示； ③整体代入计算：若涉及多项式，可将其视为整体简化运算。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知a，b为实数，若a+b＝13，ab＝36，求： （1）（a﹣b）2的值； （2）求：a4+b4的值． 2．已知（a﹣b）2＝15，，求a4+b4的值． 3．已知a﹣b＝10，ab＝20，求下列式子的值． （1）a2+b2；（2）（a+b）2． 4．已知a2+b2＝12，a﹣b＝3，分别求ab和a+b的值． 5．已知（x+y）2＝4，（x﹣y）2＝16，求下列各式的值． （1）x2+y2；（2）xy；（3）x4+y4． 6．已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求： （1）a2+b2的值； （2）4a2﹣3ab+4b2的值． 7．已知正实数x满足． （1）求的值； （2）求与的值． 8．已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值． 9．已知a+b＝2，b+c＝17，求2a2+3b2+3c2+2ab+4bc﹣2ac的值． 10．已知a＝2014x+2010，b＝2014x+2012，c＝2014x+2014，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材；内容预览：3类训练共30题】 训练1 乘法公式计算 一般乘法公式是代数中用于快速计算多项式乘法的公式，常见的有平方差公式、完全平方公式等 （1）平方差公式：； （2）完全平方公式：，. 先观察式子结构，匹配对应的乘法公式；明确公式中“a”和“b”分别代表的数或式子（可以是单项式、多项式）； 代入公式时注意符号和系数的计算，避免漏项。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．计算： （1）（x﹣3y）2； （2）（2x+y）2（y﹣2x）2． 【解答】解：（1）（x﹣3y）2＝x2﹣6xy+9y2； （2）（2x+y）2（y﹣2x）2 ＝[（2x+y）（y﹣2x）]2 ＝（y2﹣4x2）2 ＝y4﹣8x2y2+16x4． 2．计算： （1）（a﹣1）（a+1）（a2+1）； （2）（2x+3）2（2x﹣3）2． 【解答】解：（1）原式＝（a2﹣1）（a2+1） ＝a4﹣1； （2）原式＝[（2x+3）（2x﹣3）]2 ＝（4x2﹣9）2 ＝16x4﹣72x2+81． 3．计算下列各题： （1）（﹣a+1）（a+1）（a2+1）； （2）（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）． 【解答】解：（1）（﹣a+1）（a+1）（a2+1） ＝（1﹣a2）（1+a2） ＝1﹣a4； （2）（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y） ＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+4y2 ＝﹣4xy+8y2． 4．计算： （1）（2x+3y）2﹣4（x+y）（x﹣y）； （2）（x+y﹣6）（x﹣y+6）． 【解答】解：（1）原式＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣4y2） ＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+4y2 ＝12xy+13y2． （2）原式＝x2﹣（y﹣6）2 ＝x2﹣y2+12y﹣36． 5．计算： （1）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2； （2）（x+2y+4）（x+2y﹣4）． 【解答】解：（1）原式＝﹣（2a+b）（2a﹣b）﹣（a﹣3b）2 ＝﹣（4a2﹣b2）﹣（a2﹣6ab+9b2） ＝﹣4a2+b2﹣a2+6ab﹣9b2 ＝﹣5a2+6ab﹣8b2； （2）原式＝（x+2y）2﹣42 ＝x2+4xy+4y2﹣16． 6．计算：（3m﹣n+4）（3m﹣n﹣4）． 【解答】解：原式＝[（3m﹣n）+4][（3m﹣n）﹣4] ＝（3m﹣n）2﹣42 ＝9m2﹣6mn+n2﹣16． 7．计算：（3﹣2x+y）2﹣（2x﹣y）•（2x+y）． 【解答】解：原式＝9﹣12x+4x2+2y（3﹣2x）+y2﹣（4x2﹣y2） ＝9﹣12x+4x2+6y﹣4xy+y2﹣4x2+y2 ＝9﹣12x+6y﹣4xy+2y2． 8．计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣y）（y+2x）． 【解答】解：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣y）（y+2x） ＝6x2﹣5xy﹣6y2﹣（4x2﹣y2） ＝6x2﹣5xy﹣6y2﹣4x2+y2 ＝2x2﹣5xy﹣5y2． 9．计算：（x+2y）（﹣x﹣2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y）． 【解答】解：（x+2y）（﹣x﹣2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y） ＝﹣（x+2y）（x+2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y） ＝﹣（x+2y）2﹣（y+2x）（y﹣2x） ＝﹣（x2+4xy+4y2）﹣（y2﹣4x2） ＝﹣x2﹣4xy﹣4y2﹣y2+4x2 ＝3x2﹣4xy﹣5y2． 10．计算：． 【解答】解：原式 ． 训练2 利用乘法公式进行简便计算 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 利用乘法公式进行简便计算的核心是观察式子结构，将其转化为符合公式的形式，从而避免复杂的多项式乘法。 关键步骤总结 ①观察结构：找“相同项与相反项”（平方差）或“单一数/式子的平方”（完全平方）； ②变形转化：通过拆数、补项等方式，凑成公式形式； ③套用公式：注意符号和系数，简化计算。 方法指导 1．用简便方法计算： （1）102×98； （2）1012﹣202+1． 【解答】解：（1）原式＝（100+2）×（100﹣2） ＝10000﹣4 ＝9996； （2）原式＝1012﹣2×101×1+12 ＝（101﹣1）2 ＝1002 ＝10000． 2．计算（用简便方法并写出解题过程）： （1）499×501； （2）10012﹣2002+1． 【解答】解：（1）原式＝（500﹣1）×（500﹣1） ＝250000﹣1 ＝249999； （2）原式＝10012﹣2×1001×1+1 ＝（1001﹣1）2 ＝10002 ＝1000000． 3．用简便方法计算： （1）186.52﹣186.5×173+86.52； （2）3002﹣304×296． 【解答】解：（1）186.52﹣186.5×173+86.52 ＝186.52﹣2×186.5×86.5+86.52 ＝（186.5﹣86.5）2 ＝1002 ＝10000； （2）3002﹣304×296 ＝3002﹣（300+4）×（300﹣4） ＝3002﹣（3002﹣16） ＝3002﹣3002+16 ＝16． 4．用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01； （2）2022+202×196+982． 【解答】解：（1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝10.12﹣2×10.1×0.1+0.12＝（10.1﹣0.1）2＝100； （2）2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982＝（202+98）2＝3002＝90000． 5．用简便方法计算： （1）2024×2026﹣20252； （2）1.4352+2.87×2.565+2.5652． 【解答】解：（1）原式＝（2025﹣1）×（2025+1）﹣20252 ＝20252﹣1﹣20252 ＝﹣1； （2）原式＝1.4352+2×1.435×2.565+2.5652 ＝（1.435+2.565）2 ＝42 ＝16． 6．运用乘法公式进行简便运算： （1）2012； （2）49×51﹣2500． 【解答】解：（1）2012＝（200+1）2 ＝2002+2×200×1+12 ＝40000+400+1 ＝40401； （2）49×51﹣2500 ＝（50﹣1）（50+1）﹣2500 ＝502﹣1﹣2500 ＝2500﹣1﹣2500 ＝﹣1． 7．用简便方法计算： （1）13.142﹣6.28×13.14+3.142； （2）19992﹣2000×1998． 【解答】解：（1）原式＝13.142﹣2×3.14×13.14+3.142 ＝（13.14﹣3.14）2 ＝100； （2）原式＝19992﹣（1999+1）（1999﹣1） ＝19992﹣19992+1 ＝1． 8．用简便方法计算： （1）2022+202×196+982； （2）1232﹣122×124． 【解答】解：（1）原式＝2022+2×202×98+982； ＝（202+98）2 ＝3002 ＝90000； （2）原式＝1232﹣（123﹣1）（123+1） ＝1232﹣1232+1 ＝1． 9．简便计算：． 【解答】解：原式 ． 10．简便计算：． 【解答】解：原式＝（22+18）2+（20）×（20） ＝402+202 ＝1600+400 ＝1999． 训练3 利用乘法公式巧求值 利用乘法公式求值的核心是通过公式变形，将未知量与已知条件建立联系，从而简化计算。 关键步骤总结 ① 分析所求式子：判断是否直接符合公式，或需要变形； ②关联已知条件：通过公式变形，将未知量用已知量（如a+b、ab）表示； ③整体代入计算：若涉及多项式，可将其视为整体简化运算。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知a，b为实数，若a+b＝13，ab＝36，求： （1）（a﹣b）2的值； （2）求：a4+b4的值． 【解答】解：（1）（a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝132﹣4×36 ＝169﹣144 ＝25； （2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝132﹣2×36＝97， ∴a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝972﹣2×362 ＝9409﹣2592 ＝6817． 2．已知（a﹣b）2＝15，，求a4+b4的值． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝15， ∴a2﹣2ab+b2＝15， ∵ab， ∴a2+b2＝15﹣5＝10， ∴a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝102﹣2×（）2 ＝100﹣12.5 ＝87.5． 3．已知a﹣b＝10，ab＝20，求下列式子的值． （1）a2+b2；（2）（a+b）2． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝102+2×20＝100+40＝140； （2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×20＝100+80＝180． 4．已知a2+b2＝12，a﹣b＝3，分别求ab和a+b的值． 【解答】解：∵a﹣b＝3， ∴（a﹣b）2＝9， ∴a2﹣2ab+b2＝9， ∵a2+b2＝12， ∴12﹣2ab＝9， 解得：ab＝1.5， ∵（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ＝12+3 ＝15， ∴a+b＝±． 5．已知（x+y）2＝4，（x﹣y）2＝16，求下列各式的值． （1）x2+y2； （2）xy； （3）x4+y4． 【解答】解：（1）依题意，（x+y）2+（x﹣y）2＝4+16＝20， 则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝2x2+2y2＝20 即x2+y2＝20÷2＝10． （2）由（1）得x2+y2＝10， ∵（x+y）2＝4， 则2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝4﹣10＝﹣6， ∴xy＝﹣6÷2＝﹣3； （3）由（2）得xy＝﹣3， ∴（xy）2＝x2y2＝9， x4+y4 ＝（x2﹣y2）2+2x2y2 ＝82+2×9 ＝82． 或x4+y4 ＝（x2+y2）2﹣2x2y2 ＝[（x+y）2﹣2xy]2﹣2x2y2 ＝[4﹣2×（﹣3）]2﹣2×9 ＝100﹣18 ＝82． 6．已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求： （1）a2+b2的值； （2）4a2﹣3ab+4b2的值． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13， ∴两式相加可得2（a2+b2）＝30， 则a2+b2＝15； （2）两式相减可得4ab＝4， 则ab＝1， 那么4a2﹣3ab+4b2＝4（a2+b2）﹣3ab＝4×15﹣3×1＝57． 7．已知正实数x满足． （1）求的值； （2）求与的值． 【解答】解：（1）∵， ∴． 又x为正实数， ∴； （2）． ， ∵ ∴， 解得：． 8．已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值． 【解答】解：，① ，② 由①+②，得 a﹣c，③ ∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2， ∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）， ∵a2+b2+c2＝1， ∴2﹣2（ab+bc+ca）， ∴ab+bc+ca． 9．已知a+b＝2，b+c＝17，求2a2+3b2+3c2+2ab+4bc﹣2ac的值． 【解答】解：∵a+b＝2，b+c＝17， ∴a﹣c＝﹣15， ∴原式＝（a2﹣2ac+c2）+（a2+2ab+b2）+2（b2+2bc+c2） ＝（a﹣c）2+（a+b）2+2（b+c）2 ＝（﹣15）2+22+2×172 ＝225+4+578 ＝807． 10．已知a＝2014x+2010，b＝2014x+2012，c＝2014x+2014，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值． 【解答】解：原式 ＝12 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $