第20章 勾股定理（单元卷•能力培优试卷）2025-2026学年人教版数学八年级下学期单元复习试卷

2025-2026学年八年级数学下学期第章20单元试卷 （培优卷） 人教版 考试范围：第20章勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）在中，的对边分别是，下列命题中假命题是（   ） A．若，则是直角三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则不一定是直角三角形 D．若，则一定不是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了命题的真假，三角形内角和定理及勾股定理逆定理的应用，需逐一分析各选项是否符合直角三角形的判定条件，据此进行作答即可． 【详解】解：A、由，总份数为， ∴， 故是直角三角形，为真命题； B、设三边为、、， 则，满足勾股逆定理， 故是直角三角形，为真命题； C、由，结合内角和， 得， 即， 此时， 但无法确定是否有直角（如，时为直角三角形；，时则不是），为真命题； D、因为仅说明以为斜边时不成立，但不能说明一定不是直角三角形，故为假命题； 故选：D 2．（3分）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”则这个风车的外围周长是（    ） A．44 B．51 C．76 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求直角三角形斜边长，再根据图形特点计算风车外围周长． 【详解】解：“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为：， 则这个风车的外围周长是：． 故选：C． 3．（3分）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 4．（3分）如图，中，于D，垂直平分， 交于F， 交于E，， 若，， 则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理．由垂直平分线得到，，，由勾股定理得到，再由面积法得到，接着求出，即可计算的周长． 【详解】解：∵垂直平分，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故选：B． 5．（3分）如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，先由面积关系证明，然后证明，，，最后得到，再由求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 由题意得，， ∵ ∴， ∴， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 6．（3分）如图，在中，以为边作等边三角形，以为边作等边三角形，连接并延长交于点．则下列结论：①，②，③是等腰三角形，④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】结合等边三角形的性质推出，再根据全等三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理判断求解即可． 【详解】解：如图，是直角三角形， ∴， ∵与都是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①②正确； ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； 在中，， ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 7．（3分）如图，在中，，，，是上的一点，连接，将沿折叠使得点的对应点落在边的下方，得到，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，根据等腰三角形的性质可知，，由勾股定理可得，由折叠的性质可知，，根据含角的直角三角形的性质，由勾股定理即可求出，再根据线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示， 在中，，， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， 由折叠可知，， ， 在中，， ， ， ． 故选：D． 8．（3分）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图， ∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，， ∴斜边长为， ∴，，， ∴， 故选：B． 9．（3分）如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接，作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解． 【详解】解：在上取点，使，连接，作于点， 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点H重合时，的最小值为的长， ， ， ， ， ， ， 则的最小值为． 10．（3分）如图，在中，，，，是上一点，连接，过作的垂线，与的延长线相交于点．下列的结论错误的是（   ） A． B． C． D．面积的最大值为 【答案】D 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式的应用，在上取点，使得，连接，过点作的垂线，交延长线于点，设交于点，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，都是等腰直角三角形，求出，易证，从而证明，即判断选项A；再证明，得到，求出，即判断选项B；易证是等腰直角三角形，得到，求出，从而得到，即可判断C选项；设，则，求出，进而得到，根据的面积等于，再利用完全平方公式变形即可得到面积的最大值，即可判断D选项． 【详解】解：在上取点，使得，连接，过点作的垂线，交延长线于点，设交于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴是等腰直角三角形， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， 当两点重合时，则两点重合，此时， 则，故选项C正确，不符合题意； 设，则， ∵ ∴， ∴的面积等于， ∵， ∴，的面积有最大值，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）如图，在中，，，点P是上的动点，的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查“垂线段最短”，勾股定理，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 推导出当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，求出，根据，得到，解得，即可解答． 【详解】解：∵点P是上的动点， ∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 12．（3分）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 13．（3分）已知 中为 边上的高，，，的面积为，边长为_____． 【答案】或 【分析】先利用三角形面积公式求出高的长度，再通过勾股定理求出的长，分在内部和外部两种情况，结合勾股定理计算的边长即可得到答案； 【详解】解：∵的面积为，，为 边上的高， ∴， 在中，，，，根据勾股定理，得 ， ①当高在内部时，点D在线段上， 在中，，，，根据勾股定理，得 ， ②当高在外部时，点D在线段的延长线上， ， 在中，，，，根据勾股定理，得 ， 故答案为：或． 14．（3分）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【答案】 【分析】通过观察已知等式中各底数的变化规律，分别归纳出第k个等式中三个数的底数表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知等式可得 第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2， 第二个数的底数为，指数为2， 第三个数的底数为，指数为2， 则第k个等式为 当时 ， ， ， 所以第⑦个等式为． 15．（3分）如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，点到直线的距离，等边三角形的性质与判定，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形． 如图，过点作交于点，通过已知条件结合折叠的性质可证明为等边三角形，得到，进而得到，根据直角三角形两个锐角互余得到；再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到，最后根据勾股定理求出的长度，即为点到的距离． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由翻折可知，， 是边的中点， ， 又∵， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ， ，即点到的距离为， 故答案为：． 16．（3分）如图，为等边三角形，是边上一点，是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，点与点对应，和分别交于点，，若，，，则的面积为 __________ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，灵活利用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．在中，先求得，利用含有角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求得的长，由折叠性质得：，，，由此得，在中，设，可得，，进而得的长，在中，利用含有角的直角三角形的性质得到，再由勾股定理得，从而表示出的长，根据，可求得的值，得到，的长，进而根据三角形的面积公式求解即可得解． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 由折叠性质得：，，， 在中，， ， ， 和都是直角三角形， 在中，设， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ，解得， ，， 的面积为：． 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 18．（6分）如图，在中，已知，以为直角边向外作（），分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，．已知，，，请问的大小是多少？ 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其应用，解题关键在于把握题中各半圆面积之间的隐含关系．先根据圆的面积公式将，，，分别用含，，，的式子表示，再根据勾股定理得出等式，再转化为，即可求出结果． 【详解】解： ，， 根据勾股定理，得． ， 同理可得，， ． 又 ，，， ． 19．（8分）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 20．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，点均在小正方形的顶点上． (1)将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点、的对应点），请画出四边形； (2)画出等腰直角，点在小正方形的顶点上，且的面积为； (3)连接，并直接写出线段的长_____． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）由点的平移法则移动点到点，连接顶点即可得到四边形； （2）由判断等腰直角的斜边为，再结合得到等腰直角三角形的直角边长为，找出点即可； （3）连接，在网格中由勾股定理求出线段的长即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：如图所示： ． 21．（10分）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）解：由题意可知，， ， ∵， ∴，即． （3）解：如图所示：可解释的代数恒等式为． 22．（10分）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点和均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． (1)在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点为格点． (2)在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点为格点． (3)在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点为格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）使为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边，可得，画出三角形即可． （2）根据题意，画底为2，高为3的等腰三角形即可． （3）使，且即可． 【详解】（1）解：如图①，三角形即为所求． 理由：, 所以，三角形即为所作； （2）解：如图②，等腰三角形即为所求． 理由：∵，， ∴， ∴三角形是等腰三角形， ； （3）解：如图③，等腰直角三角形即为所求． 理由：∵，， ∴， 又， ∴， ∴是等腰直角三角形． 23．（12分）（1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，若，，则________． （2）如图2，在长方形中，，，点为上一点，，动点沿折线运动（不与点，重合），连接，将沿着翻折得到．当时，求的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形） 【答案】（1）　　（2）或 【分析】（1）证明，即可得到，，据此即可求得答案； （2）分两种情况讨论：①当在上时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，证明，设，可得，，结合勾股定理，即可求得答案；②当在上时，作关于对称的，过作，交延长线于点，过作，交的延长线于点，证得，设，可得，，结合勾股定理，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： （2）①当在上时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． ∵， ∴四边形是长方形． ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴． 由折叠得， ∴． ∴，． ∴，． 设，则，． 在中，由勾股定理，得， ∴，解得． ∴． ∴． ②当在上时，作关于对称的． 过作，交延长线于点，过作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ∴，． 同理可证． ∴，． ∴． 设，则，． ∴． 在中，由勾股定理，得 ，即 解得 ∴． ∴． 综上所述，的面积为或． 24．（12分）【课本再现】 （1）苏科新版数学八年级上册第50页习题第6题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．判断与是否相等，并证明你的结论； 【初步探究】 （2）学习小组在没有改变图形的情况下，进行了如下探究：如图2，若与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接、．以下结论：①；②平分；③；④是等边三角形；⑤恒成立的结论的序号________； 【深入探究】 （3）学习小组通过改变点的位置，得到如下探究：如图3，若A、C、E不在一条直线上，其他条件不变，且始终保持．连接、、，试判断、、为边的三角形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （4）学习小组通过改变三角形的形状，经过深入思考，进行了如下探究：如图4，若A、C、E不在一条直线上，和是以和为直角的等腰直角三角形，且，，连接、，判断的值是否为定值？若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）①②④⑤；（3）等边三角形，见解析；（4）200 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定定理． （1）由等边三角形性质得，，，则，进而得，由此依据判定和全等再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知：，，则，根据三角形内角和可判断①，作，，由（1）知，则对应边上的高相等，根据角平分线的判定定理可判断②，根据已知条件不能判定点O一定是的中点，可判断③，证明得到根据可判断④，根据得到，根据得到，根据可判断⑤； （3）由等边三角形性质得，，，进而得，由此依据判定和全等得，证明，进而依据判定和全等得，继而得，由此可得出以、、为边的三角形的三角形是等边三角形； （4）连接，相交于点O，与相交于点M，由等腰直角三角形性质得，，，进而得，由此依据判定和全等得，再证明得，由勾股定理得，，，则，据此可得为定值． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴，结论①恒成立，符合题意； 如图，作，， 由（1）知， 则对应边上的高相等， 点C在的平分线上，即平分，结论②恒成立，符合题意； 根据已知条件不能判定点O一定是的中点，结论③不恒成立，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，结论④恒成立，符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即，结论⑤恒成立，符合题意； 综上所述：恒成立的结论序号①②④⑤． 故答案为：①②④⑤； （3）解：以、、为边的三角形是等边三角形，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴以、、为边的三角形是等边三角形； （4）解：连接，相交于点O，与相交于点M，如图所示： ∵和是以和为直角的等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， 即， ∴，，，都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第章20单元试卷 （培优卷） 人教版 考试范围：第20章勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）在中，的对边分别是，下列命题中假命题是（   ） A．若，则是直角三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则不一定是直角三角形 D．若，则一定不是直角三角形 2．（3分）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”则这个风车的外围周长是（    ） A．44 B．51 C．76 D． 3．（3分）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 4．（3分）如图，中，于D，垂直平分， 交于F， 交于E，， 若，， 则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 5．（3分）如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 6．（3分）如图，在中，以为边作等边三角形，以为边作等边三角形，连接并延长交于点．则下列结论：①，②，③是等腰三角形，④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 7．（3分）如图，在中，，，，是上的一点，连接，将沿折叠使得点的对应点落在边的下方，得到，当时，（    ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 10．（3分）如图，在中，，，，是上一点，连接，过作的垂线，与的延长线相交于点．下列的结论错误的是（   ） A． B． C． D．面积的最大值为 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）如图，在中，，，点P是上的动点，的最小值为_______． 12．（3分）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 13．（3分）已知 中为 边上的高，，，的面积为，边长为_____． 14．（3分）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 15．（3分）如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为______． 16．（3分）如图，为等边三角形，是边上一点，是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，点与点对应，和分别交于点，，若，，，则的面积为 __________ ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 18．（6分）如图，在中，已知，以为直角边向外作（），分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，．已知，，，请问的大小是多少？ 19．（8分）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 20．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，点均在小正方形的顶点上． (1)将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点、的对应点），请画出四边形； (2)画出等腰直角，点在小正方形的顶点上，且的面积为； (3)连接，并直接写出线段的长_____． 21．（10分）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 22．（10分）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点和均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． (1)在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点为格点． (2)在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点为格点． (3)在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点为格点． 23．（12分）（1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，若，，则________． （2）如图2，在长方形中，，，点为上一点，，动点沿折线运动（不与点，重合），连接，将沿着翻折得到．当时，求的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形） 24．（12分）【课本再现】 （1）苏科新版数学八年级上册第50页习题第6题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．判断与是否相等，并证明你的结论； 【初步探究】 （2）学习小组在没有改变图形的情况下，进行了如下探究：如图2，若与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接、．以下结论：①；②平分；③；④是等边三角形；⑤恒成立的结论的序号________； 【深入探究】 （3）学习小组通过改变点的位置，得到如下探究：如图3，若A、C、E不在一条直线上，其他条件不变，且始终保持．连接、、，试判断、、为边的三角形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （4）学习小组通过改变三角形的形状，经过深入思考，进行了如下探究：如图4，若A、C、E不在一条直线上，和是以和为直角的等腰直角三角形，且，，连接、，判断的值是否为定值？若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $