《7.3二次根式的加减》同步达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）八年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四学制）八年级数学下册《7.3二次根式的加减》 同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分32分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是（   ） A． B． C．4 D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 6．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 7．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分交于点，作交于点．若则的面积为（   ） A． B． C．12 D． 二、填空题（满分32分） 9．如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 10．计算的结果是_______． 11．分母有理化：_________，__________． 12．已知，则______． 13．不等式的解集为______． 14．若，，则代数式的值为____________． 15．观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式______． 16．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为___________，宽为___________． 三、解答题（满分56分） 17．先化简，再求值：，其中． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 19．规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 20．已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 21．[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 22．阅读下列材料，解答下列问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中有一种数学思想叫作换元，它可以简化我们的计算． (1)计算：． (2)已知是正整数，，，，求的值． (3)已知，求的值． 参考答案 1．C 【详解】解： A、与不是同类二次根式，不能合并，A错误； B、与不是同类二次根式，不能合并，B错误； C、，计算正确，C正确； D、与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 2．C 【分析】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键． 先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】解：A、不能与合并，故不符合题意； B、不能与合并，故不符合题意； C、能与合并，故符合题意； D、不能与合并，故不符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据矩形周长公式，周长等于两倍的长加宽，先化简为，再计算周长，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形相邻两边长分别为，，且， ∴它的周长是， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了平方差公式与幂的运算性质，掌握平方差公式化简二次根式是解题的关键． 将指数拆分，利用平方差公式简化乘积，再结合幂的运算性质计算结果． 【详解】解：∵ , ∴ 原式 ． 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查二次根式的加减法应用，根据三角形周长公式，将三边长相加合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：三角形的周长 ． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的运算，理解新定义运算和掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据定义将给定的实数代入规定的新运算公式，再利用二次根式的化简法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：A． 8．A 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，从而可得，如图，过作于，证明，然后在中，利用勾股定理求出，再进一步即可解答． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， ， ， 如图，过作于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A 【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次根式的运算，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键． 9． 【分析】本题主要考查了同类二次根式，两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：两个最简二次根式 与 能合并， 与 的被开方数相同， ， 解得：． 故答案为：. 10． 【详解】 ． 11． / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 【详解】解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 12．12 【分析】先化简二次根式，从而求出的结果，进而得到和b的值，最后计算的结果． 【详解】解：， ， 又∵， ∴，， ． 13． 【分析】此题考查了二次根式的运算和解一元一次不等式，熟练掌握二次根式的混合运算和解不等式的步骤是关键． 通过移项和合并同类项，将不等式变形为，然后根据不等式的性质（除以正数不等号方向不变）求解，并有理化分母 【详解】解：， 移项得， 即， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 14． 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握整体代入思想是解题的关键． 先将原式利用多项式乘以多项式法则变形，再将、的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查含二次根式的数字规律探究，关键是拆分等式的各部分，分别找出与序号的对应关系． 【详解】解：首先分析左边：第个等式的整数部分为从3开始的第个奇数，即； 根号内的数依次为，，，…，对应， 故左边整体为． 再分析右边：第个等式为与的算术平方根差的平方，即， 所以第个等式为． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查二次根式的应用，判断出矩形的长，宽可得结论． 【详解】解：由题意矩形的长为， 宽为， 故答案为：；． 17．； 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，解题的关键是掌握分式的运算法则． 先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18．(1)0 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （2）原式化简二次根式，再合并即可； （3）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （4）原式化简二次根式，再合并即可； （5）原式化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 19．(1)， (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）分两种情况，①当和均为有理数时，然后对所给的进行处理，求出，，进行验证即可；②当和中一个是有理数，另一个是无理数时，有，而此时为无理数，与“平衡数”的概念矛盾，由此可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，知，， ，． （2）解：和不是关于的“平衡数”． 理由如下：①当和均为有理数时， ，即 ，， 解得，． 当，时，， 与不是关于的“平衡数”． ②假设与是关于1的“平衡数”，则有，即， 将代入中，得：， 再根据“，至少有一个是有理数”的条件分类讨论： ①若为有理数，则也为有理数， 此时必有且，分别解得和，产生矛盾， ②若为无理数，则必为有理数， 但从来看，一个有理数等于一个无理数，产生矛盾． 综上，假设不成立． 故与不是关于1的“平衡数”． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 20．(1)3 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． （1）结合题意，求得，然后化简求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）通过比较两式倒数的大小来判断原两式的大小，计算其倒数时可使用分母有理化，比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：原式 ． （3）解：， 理由：， ， ， ， ． 21．(1)，（答案均不唯一） (2)①，② (3)2025 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式： （1）根据有理化因式的定义进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；；（答案均不唯一） （2）解：①； ②； （3）解： ． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）依据题意，先分母有理化，再合并同类二次根式，然后化简二次根式后进行有理数的运算； （2）先计算出，再利用分母有理化得到，接着利用得到，然后解一次方程即可； （3）先设，，则，，根据完全平方公式变形公式求出即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2），， ，， ， ， ． （3）解：设，，则． ， ， ， ， ． ， （负值已舍去）， ． 学科网（北京）股份有限公司 $