7.3二次根式的加减（题型专练）数学鲁教版五四制八年级下册

7.3 二次根式的加减 题型一：判断是否为同类二次根式 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南周口·月考）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 题型二：利用同类二次根式求参数 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 2．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 3．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 5．（24-25七年级下·吉林长春·月考）若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 6．（23-24八年级下·云南昆明·月考）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 题型三：利用二次根式的运算判断选项是否正确 1．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型四：二次根式混合运算（计算题） 1．（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）计算： (1) (2) (3) 2．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) 4．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 7．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算题 (1)； (2) 题型五：判断计算过程是否正确 1．（25-26八年级下·全国·周测）下面是小华同学解答题目的过程：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 小华的解题过程是否有错误？如果有，请指出从第几步开始犯错并写出正确的解答过程． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 3．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解： …第1步 …第2步 …第3步 …第4步 任务： (1)从第2步到第3步运用的乘法公式是________（选填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第________步； (3)请写出正确的完整的解题过程． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解： ……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 (1)从第2步到第3步运用的乘法公式是______（选填“完全平方式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第______步； (3)请写出正确的解题过程； (4)请根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项． 题型六：二次根式加减混合运算中估算 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）的结果在（   ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 2．（25-26九年级上·重庆铜梁·月考）估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）估计的值应在（        ）之间 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 5．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）估计的运算结果应在（   ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间 6．（25-26八年级上·重庆·月考）估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 7．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．（2026九年级·全国·专题练习）若n为正整数，且满足估算，则n的值为 ． 题型七：利用分母有理化比较大小 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）． 2．（25-26八年级上·四川达州·期中）已知，．则与的大小关系是 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·月考）已知 ，，，用 “ ” 连接 、 、 是 ． 4．（25-26八年级上·上海·月考）比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 5．（24-25九年级上·全国·月考）比较大小关系： ， ． 题型八：已知字母的值化简求值 1．（25-26九年级上·海南海口·月考）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 2（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 3．（25-26八年级上·上海·月考）已知，求的值 4．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）（1）已知，化简：． （2）已知，． ①求的值； ②的值． 6．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)填空：______；______； (2)化简，已知． ①求的值； ②求的值． 题型九：已知代数式的值化简求值 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 2．（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 4．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 6．（24-25八年级上·上海·月考）已知：，，且，求的值． 题型十：二次根式的应用 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8米/秒），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图是一块长方形空地，计划在正方形区域种植绿植，在正方形区域种植花卉，在长方形区域设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为，求长方形健身区域的面积． 6．（24-25九年级上·山西晋城·期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 题型一：二次根式中分母有理化 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： (1)_____； (2)利用上面结论，求的值． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 5．（25-26八年级上·上海·假期作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 题型二：二次根式中比较大小 1．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 2．（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 3．（25-26九年级上·全国·月考）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 5．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 题型三：二次根式中新定义题型 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）对于实数、作新定义：，，在此定义下，计算： ． 5．（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）我们定义新运算※的规则是当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 1．（25-26八年级下·全国·周测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建三明·月考）为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 6．（25-26八年级下·全国·周测）已知，当分别取1，2，3，…，2025时，所对应的值的总和是 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 8．（25-26八年级上·浙江台州·月考）小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则的面积是 ． 9．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）计算： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 11．（25-26八年级下·全国·周测）已知实数，满足等式，求的值． 12．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题： 已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 二次根式的加减 题型一：判断是否为同类二次根式 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式， 最简二次根式， 掌握知识点是解题的关键． 先将化简为，然后检查各选项化简后是否含有，若不含则不能合并，即可解答． 【详解】解：∵， ∴与合并的二次根式必须化简后含有． 对于A∶，含有，可合并． 对于B∶，含有，可合并． 对于C∶，含有，不含有，不可合并． 对于D∶，含有，可合并． 故选：C． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，判断其被开方数是否与相同，只有D选项化简后为，符合题意． 同类二次根式需化简后比较被开方数，化简为，与被开方数相同． 【详解】解：∵， ∴与的被开方数均为3， 故与是同类二次根式． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河南周口·月考）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式. 判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后，比较根号内的被开方数是否相同. 【详解】解：A.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； B.与根号内的被开方数相同，是同类二次根式； C.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； D.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B. 5．（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断．解题的关键在于，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同．根据二次根式的化简，化简后再判断出同类二次根式即可． 【详解】选项A：化简 ，化简 ，两式最简形式被开方数均为，为同类二次根式．符合题意； 选项B: 和 ，被开方数分别为 和 ，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项 C: 和 ，被开方数分别为和，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项D: 和 ，化简后不是二次根式，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选A． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 题型二：利用同类二次根式求参数 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 2．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 3．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、同类二次根式的定义、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 先根据二次根式和分式有意义的条件求得，进而得；再根据同类二次根式的被开方数相同求得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 5．（24-25七年级下·吉林长春·月考）若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）根据同类二次根式的定义可得，直一步计算即可解答； （2）代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得， 解得； （2）解：∵， ∴． 6．（23-24八年级下·云南昆明·月考）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式： （1）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此得到，则； （2）根据（1）所求得到，据此化简二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 题型三：利用二次根式的运算判断选项是否正确 1．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一计算各选项，判断其正确性 【详解】解：A、，，，而 ，故A错误； B、== ，故B正确； C、= ，而，故C错误； D、 不是同类二次根式，不能相减，故D错误 故选B 2．（25-26八年级下·全国·周测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需要根据二次根式的运算法则逐一判断选项的正确性． 【详解】解：A、是有理数，是无理数，二者不是同类二次根式，不能合并，所以，不符合题意； B、根据二次根式的除法法则（，），则，符合题意； C、根据二次根式的乘法法则，则，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题关键是掌握同类二次根式才能合并，以及二次根式乘除运算的法则． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括减法、除法、加法和乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、 ，，∴ ，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，正确的计算是解题的关键. 通过直接计算每个选项，验证其正确性即可. 【详解】解：A、∵ > ， ∴A错误，不符合题意； B、∵ ≠ ， ∴B错误，不符合题意； C、∵ = = , ∴C正确，符合题意； D、∵ = , = , ∴ = , 则 = ≠ 1， ∴ D错误，不符合题意. 故选：C. 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握同类二次根式才能合并，二次根式乘除运算的法则是解题的关键． 根据二次根式的加减、乘除运算法则，逐一验证每个选项的计算是否符合规则，从而确定正确选项． 【详解】解：A、，，A错误，不符合题意； B、，B错误，不符合题意； C、，C错误，不符合题意； D、，D正确，符合题意． 故选：D． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质，二次根式的加减乘除，根据二次根式的性质和二次根式的加减乘除运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 题型四：二次根式混合运算（计算题） 1．（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再进行加法计算即可； （2）按顺序先分别进行绝对值的化简、算术平方根的运算、立方根的运算、有理数的乘方运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （3）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，然后再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的混合运算，平方根、绝对值、负整数指数幂、零指数幂以及乘法公式等，解题关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，零次幂，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的除法计算，再计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先用完全平方公式计算，再运用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及根式化简、除法与乘法的运算顺序．解题的关键是先对各个根式进行化简，再按照从左到右的顺序依次进行除法和乘法运算，注意约分与有理化处理，最终化简得到最简形式． 本题考查实数的混合运算，涉及立方根、分母有理化、平方运算以及绝对值的处理．解题的关键是按照运算顺序逐步化简每一项，注意符号处理和有理化方法的应用，最后合并同类项得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可； （2）分别根据二次根式的除法法则和乘法法则计算第一项和第二项，然后进行减法运算即可； （3）先化简，根据乘法分配律计算，计算负整数次幂，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据二次根式的除法法则，乘法分配律计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式计算前半部分，再计算二次根式乘法，最后合并即可； （2）先展开完全平方公式，再化简绝对值，最后合并； （3）用平方差公式计算前半部分，展开完全平方公式计算后半部分，再合并． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式及绝对值的化简，解题关键是熟练运用公式简化计算，准确处理绝对值与二次根式的运算． 7．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算题 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，最后再进行加减法计算即可； （2）先计算完全平方公式，负指数次幂，零次幂以及对分母进行有理化，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型五：判断计算过程是否正确 1．（25-26八年级下·全国·周测）下面是小华同学解答题目的过程：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 小华的解题过程是否有错误？如果有，请指出从第几步开始犯错并写出正确的解答过程． 【答案】有错误，从第二步开始犯错．，过程见解析 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则即可找出错误和正确计算． 【详解】解：有错误，从第二步开始犯错． 原式 ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）小明从第③步开始出错的； 故答案为：③； （2）原式 ． 3．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解： …第1步 …第2步 …第3步 …第4步 任务： (1)从第2步到第3步运用的乘法公式是________（选填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第________步； (3)请写出正确的完整的解题过程． 【答案】(1)平方差公式 (2)3 (3)见解析 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握乘法公式，是解题的关键： （1）利用平方差公式进行计算； （2）第3步，的平方计算错误； （3）利用乘法公式进行计算即可． 【详解】（1）解：从第2步到第3步运用的乘法公式是平方差公式； 故答案为：平方差公式； （2）第3步，的平方计算错误； 故答案为：3； （3） ． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解： ……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 (1)从第2步到第3步运用的乘法公式是______（选填“完全平方式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第______步； (3)请写出正确的解题过程； (4)请根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项． 【答案】(1)平方差公式； (2)3； (3)见详解； (4)二次根式的运算，最后结果应化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方差公式的特征，即可解答； （2）利用二次根式的性质进行计算，即可解答； （3）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答； （4）根据二次根式运算的注意事项，即可解答． 【详解】（1）解：从第2步到第3步运用的乘法公式是平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）解：上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第3步， 故答案为：3； （3）解：正确的解题过程如下： （4）解：根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项：二次根式的运算，最后结果应化为最简二次根式． 题型六：二次根式加减混合运算中估算 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）的结果在（   ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的乘除法法则进行计算，再估算的范围，从而确定整体值的区间． 【详解】解：∵ 原式 = . 又∵ , ∴ , ∴ , 即 , 故结果在到之间． 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆铜梁·月考）估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的混合运算，先根据二次根式的运算法则化简式子，再利用无理数的估算即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在2到3之间． 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）估计的值应在（        ）之间 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算．先根据二次根式的混合运算进行计算，然后通过平方数估计无理数的范围，从而确定整体值的区间． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， ∴． 因此，的值在10和11之间， 故选：D． 5．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）估计的运算结果应在（   ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先算乘法，再算减法，最后用平方法估算平方根的取值范围． 【详解】解： = ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ 结果在 3 到 4 之间． 故选：B． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，熟练掌握二次根式混合运算和无理数估算方法是解决问题的关键．先将表达式化简为，然后通过估计 的值范围，确定整个表达式的取值范围即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴原式的值在5与6之间； 故选：B． 7．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．将原表达式化简为，再根据，即可求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴ ∴， ∴ 故选：B． 8．（2026九年级·全国·专题练习）若n为正整数，且满足估算，则n的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算二次根式的混合运算，再估算该运算结果的范围，从而确定n的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 题型七：利用分母有理化比较大小 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，分母有理化，通过有理化分母，将 化简为 ，再比较与 的大小． 【详解】解： ． 由于 ，故 ， 因此 ． 故答案为 ：． 2．（25-26八年级上·四川达州·期中）已知，．则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，通过对进行分母有理化，化简后得到，与的值相同，因此与相等． 【详解】解：已知，对分母进行有理化：分子和分母同时乘以， 得， 又， 所以 ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·月考）已知 ，，，用 “ ” 连接 、 、 是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分子有理化及实数大小比较，利用平方差公式分子有理化是解题的关键． 先把各式分子有理化，再比较大小． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·月考）比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·全国·月考）比较大小关系： ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据二次根式运算及分母有理化比较无理数的大小，根据二次根式的乘方及分母有理化计算比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，． 题型八：已知字母的值化简求值 1．（25-26九年级上·海南海口·月考）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 2（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)20 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将、的值代入所求代数式计算即可得解； （2）先计算出，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·上海·月考）已知，求的值 【答案】3 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 4．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化． （1）先进行分母有理化，再进行加减即可； （2）利变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知 ，， ． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）（1）已知，化简：． （2）已知，． ①求的值； ②的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由二次根式的性质化简即可得出结果； （2）先求出，，①再结合完全平方公式计算即可得出结果；②先通分，再整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ①； ②． 6．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)填空：______；______； (2)化简，已知． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据分母有理化计算即可求解； （2）①先求得，得出，再整体代入代数式，即可求解； ②根据 ，将整体代入代数式，即可求解； 【详解】（1）， ， 故答案为：， （2）解：①∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ②∵， ∴ 题型九：已知代数式的值化简求值 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【答案】 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 2．（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2)14 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 4．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 6．（24-25八年级上·上海·月考）已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 题型十：二次根式的应用 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8米/秒），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 【答案】(1)下落的时间为秒； (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时： ， 答：下落的时间为秒； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 【答案】(1) (2) (3)甲的侧面积更小，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得，根据甲，乙两个盒子侧面积可推出，结合即可求解； （3）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴． ∴， ∴甲盒子的侧面积为：， 故答案为： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵甲，乙两个盒子侧面积和为， ∴， 又， ∴． ∴． （3）解：甲的侧面积为：，乙的侧面积为：． ∴ ∵（） ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴当时，甲的侧面积更小， 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为． 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去个花坛面积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图是一块长方形空地，计划在正方形区域种植绿植，在正方形区域种植花卉，在长方形区域设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为，求长方形健身区域的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是正确求出正方形和长方形的边长以及掌握二次根式的运算法则． 先求出正方形，正方形的边长，即可得到矩形健身区域的长和宽，即可求解面积． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴矩形健身区域的宽，长， ∴矩形健身区域的面积为． 6．（24-25九年级上·山西晋城·期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 【答案】(1)该座钟摆针的摆动周期为 (2)在内，该座钟发出70次滴答声 【分析】本题主要考查了代数式求值、有理数除法运算的应用、二次根式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接将，，代入，再根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先根据题意列式，然后运用有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：将，，代入，得 答：该座钟摆针的摆动周期为． （2）解：，（次）． 答：在内，该座钟发出70次滴答声． 题型一：二次根式中分母有理化 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： (1)_____； (2)利用上面结论，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、二次根式的乘法法则、平方差公式等知识点，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键． （1）分子分母同时乘以，然后根据平方差进行计算即可； （2）先根据例2化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由例2可得：， ． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值； （1）通过分母有理化，将分母乘以后化简． （2）每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消． （3）先将分母有理化得到，然后通过变形，平方后得到，再代入所求表达式．仿照题的方法化简即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：9； （3）解：∵， ∴， ∴，则，即， ∴． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式. （1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，然后比较所得结果的大小可得答案． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； （2）， 理由如下： ， ， ， ， 所以． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·上海·假期作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式化简，掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可； （2）分子分母直接乘以分母的有理化因式，化简即可； （3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：， ， 故． 题型二：二次根式中比较大小 1．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 2．（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 3．（25-26九年级上·全国·月考）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （）根据题意分母有理化即可求解． （）先分母有理化，再比较大小即可求解． （）由新定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1） ，， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 5．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 题型三：二次根式中新定义题型 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）对于实数、作新定义：，，在此定义下，计算： ． 【答案】 【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可． 【详解】解： = = = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键． 5．（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）我们定义新运算※的规则是当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解决本题的关键是理解题目中的新定义，熟练掌握二次根式加减运算. 根据题意，分别先比较和，和的大小，再根据新定义运算，最后根据运算法则求最后的结果. 【详解】解： 原式 故答案为：. 1．（25-26八年级下·全国·周测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式与幂的运算性质，掌握平方差公式化简二次根式是解题的关键． 将指数拆分，利用平方差公式简化乘积，再结合幂的运算性质计算结果． 【详解】解：∵ , ∴ 原式 ． 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 先进行化简，再进行估算即可． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴数轴上最接近的是A． 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建三明·月考）为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式分别求得正方形和正方形的边长，进而得出长方形的长和宽，最终可求得总面积． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法运算，解题关键是熟练掌握各运算的法则，按顺序逐步计算并准确合并同类二次根式． 先分别计算负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法，再合并同类项，最后对比选项得出结果． 【详解】解：先逐步计算各部分： 负整数指数幂：； 绝对值： = ； 二次根式除法： = = = ； 合并计算：原式 ． 故选：C． 5．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 6．（25-26八年级下·全国·周测）已知，当分别取1，2，3，…，2025时，所对应的值的总和是 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了二次根式的化简、绝对值的分段化简与分段函数的求和，掌握将二次根式化为绝对值形式后，根据字母取值范围分段计算是解题的关键． 先将根号内的式子化为完全平方式，转化为绝对值形式，再根据与的大小关系分情况化简函数，最后分别计算不同取值对应的值，求和得到结果． 【详解】解：由 ，因 ，故 当 时，， ； 当 时，， ； 取时：；；总和为． 取到时，共个值，每个，总和为． 故所有值的总和为． 故答案为 ：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形与圆的面积公式，解题关键是熟练运用二次根式的乘法性质化简计算，同时准确建立不同图形面积的等量关系． 先根据长方形面积公式求出长方形面积，再结合圆的面积公式建立等式，求解圆的半径，过程中会用到二次根式的乘法运算． 【详解】解：①计算长方形的面积： ． 根据二次根式乘法性质可得：． ②设圆的半径为，根据圆的面积公式，且，则： ， ． ∵半径， ∴． 8．（25-26八年级上·浙江台州·月考）小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则的面积是 ． 【答案】11 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的拓展知识，读懂题意，从图形中找出有用的信息是解题的关键．作于点H，先求出，由图可得出，化简代入数值即可． 【详解】解：作于点H， 在等边中，， ， ， ， 同理，， 在中，， ， ∵，，， ， 故答案为：11． 9．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式乘法，算术平方根，化简绝对值进行化简，然后合并即可； （）先通过完全平方公式，平方差公式进行化简，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【答案】不正确．正确的解答过程见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号，再结合二次根式的乘法法则化简，同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再依据二次根式的乘法法则化简，同时注意根号化简后绝对值的符号处理． 【详解】解：不正确．正确的解答过程如下： ，， ， ， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·全国·周测）已知实数，满足等式，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出、的值，再结合二次根式的乘除运算法则化简求值． 【详解】解：∵一个数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴非负项的和为时，每一项都为，可得方程组： 解得 化简二次根式：． 当时， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质和二次根式的乘除运算，解题关键是利用非负性求出、的值，再通过二次根式的运算法则化简式子后代入求值． 12．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题： 已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法应用，熟练掌握该知识点是关键． 先求出的值，再利用海伦公式求解即可． 【详解】解：，，， ， ． 故张大爷这块菜地的面积为． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）分两种情况，①当和均为有理数时，然后对所给的进行处理，求出，，进行验证即可；②当和中一个是有理数，另一个是无理数时，有，而此时为无理数，与“平衡数”的概念矛盾，由此可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，知，， ，． （2）解：和不是关于的“平衡数”． 理由如下：①当和均为有理数时， ，即 ，， 解得，． 当，时，， 与不是关于的“平衡数”． ②假设与是关于1的“平衡数”，则有，即， 将代入中，得：， 再根据“，至少有一个是有理数”的条件分类讨论： ①若为有理数，则也为有理数， 此时必有且，分别解得和，产生矛盾， ②若为无理数，则必为有理数， 但从来看，一个有理数等于一个无理数，产生矛盾． 综上，假设不成立． 故与不是关于1的“平衡数”． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $