精品解析：天津市第四十二中学2026届高三下学期开学考试数学试题

高三数学 一、选择题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解对数不等式和一元二次不等式，得到集合,再利用集合的交集定义求解即得. 【详解】由可得，即， 由可得， 即， 则. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合题干条件，由绝对值的定义知，可得等价于，从而判断“”是“”的充要条件. 【详解】若，则，且不同时为零，所以，所以； 若，则由，知，所以，所以. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断. 【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 4. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ）. A. 若是一对异面直线，且，则. B. 若，则. C 若，，，，则. D 若，，则. 【答案】A 【解析】 【详解】A，过直线作平面分别交于，由线面平行的性质可得：， 即，因为，所以，同理可得过作平面交于，即可得， 因为异面，所以是内的相交直线，根据面面平行的判定定理，可得，故A正确； B，若，则可能相交、异面，即不一定平行，故B错误； C，面面垂直的性质定理要求，题中没有这个条件，当不在内时，不能推出，故C错误； D，若，，则可能平行、斜交，即不一定垂直，故D错误. 5. 下列说法正确是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B. 设且，则 C. 在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 D. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义可判断A，根据正态分布的对称性求解可判断B，根据决定系数的性质可判断C，根据相关系数的性质可判断D， 【详解】对于A，因为，所以数据的第60百分位数为5，故A错误； 对于B，因为且，则， 所以，故B错误； 对于C，在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故C正确． 对于D，两个随机变量线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1，故D错误； 故选：C 6. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列性质与基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由等差数列性质可得，又、， 则 ， 当且仅当即、时等号成立； 故的最小值为. 故选：B. 7. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C 8. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 9. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由定义求出抛物线方程，再由渐近线和离心率求出双曲线方程. 【详解】因为上一点到其焦点的距离为， 由定义可得，得，所以抛物线方程为. 代入点，可得， 双曲线左顶点为，渐近线斜率为， 由得，直线的斜率为， 因渐近线与直线平行，则，即， 两边平方得，将代入，得，解得（故）， 所以，则，双曲线方程为. 故选：A. 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，复数满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简可得，代入求模公式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 11. 在的展开式中，的系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式定理得，二项式的展开式的通项如下， 为，其中， 令，可得，所以的系数. 故答案为：. 12. 若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】表示位于轴上方的单位圆，包含，直线过定点，求出直线与圆相切时的值，数形结合得到答案 【详解】两边平方得， 表示位于轴上方的单位圆，包含， 直线过定点，同一坐标系内画出图形如下： 当过点时，，解得， 当与相切时， 圆心到的距离为，解得， 由对称性可知，当曲线与直线有两个不同的交点时， 实数的取值范围是. 故答案为： 13. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为__________；若从甲箱中随机摸出3个球，用表示摸出红球的个数，则随机变量的数学期望为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先运用全概率公式求摸到红球的概率，再利用超几何分布的期望公式求随机变量的数学期望即可. 【详解】①若先从甲箱摸出的是红球，其概率为 ， 放入乙箱后，乙箱有 个红球，6个白球（共11个球）， 此时再从乙箱摸出红球的概率为 ； 若从甲箱摸出的是白球，其概率为 ， 放入乙箱后，乙箱有4个红球， 个白球（共11个球）， 此时从乙箱摸出红球的概率为 . 由全概率公式，可得概率为：； ②服从超几何分布（超几何分布的期望公式为 ， 其中 是抽取数， 是总体红球数， 是总体球数）， 所以：. 故答案：；. 14. 如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由题意可得：，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算得到关于的二次函数，即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：， 设，即，据此可得：， 故，同理可得， 据此可得：， 则 ， 由于，所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 15. 在中，点是边的中点，在线段上，设且， 则 _____；若且的面积为，则的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，化简得到，结合，求得，设，求得，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为为的中点，可得， 又因为在线段上，则存在实数使得，即, 可得，整理得， 因为，所以且，解得； 由且，可得，所以， 设，即，则， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据同角三角函数关系，结合正弦定理和面积公式即可求解， （3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，，由余弦定理得，，解得. 【小问2详解】 因为，，， 由正弦定理得，，， 所以的面积. 【小问3详解】 因为，所以是锐角，，， ，， 所以. 17. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设列方程可得，进而求解即可； （2）由（1）可得，，，椭圆的方程为，设直线的方程为，可得，联立直线与椭圆方程，结合题意可求得，进而得到直线的方程，根据平分可得点到直线的距离也为，结合点到直线的距离公式可求得，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，，，，的面积为， 则， 即，所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 而，即，则，则， 则椭圆的方程为，即. 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，则，即， 联立，得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以，，即，， 所以直线的方程为，即， 因为平分，又点到直线的距离为， 则点到直线的距离也为，所以，所以， 所以椭圆方程为. 19. 已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求； （3）记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 【答案】（1），； （2）； （3）480. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式分别求出数列与的公差、公比，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，按奇偶分组求和，再利用裂项相消法及错位相减法求和即得. （3）根据给定条件，分段求出数列的前100项，再求出它们的和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由是和的等比中项，得， 即，而，解得，因此； 设等比数列的公比为，由，，得，而，解得， 因此. 【小问2详解】 由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，， 因此， 设； 设，， 两式相减得， 因此，所以. 【小问3详解】 由，，，，，，， 得对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个， 所以. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【小问1详解】 当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 （i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ）. A. 若是一对异面直线，且，则. B. 若，则. C. 若，，，，则. D. 若，，则. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B. 设且，则 C. 在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 D. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 6. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 6 7. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 9. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，复数满足，则__________. 11. 在的展开式中，的系数为___________． 12. 若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 13. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为__________；若从甲箱中随机摸出3个球，用表示摸出红球的个数，则随机变量的数学期望为__________. 14. 如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为____________． 15. 在中，点是边的中点，在线段上，设且， 则 _____；若且的面积为，则的最小值为_____. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值. 17. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 18. 已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 19. 已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求； （3）记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $