小专题8 利用两点之间线段最短求最值(2023.24(2))-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（贵州专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“利用两点之间线段最短求最值”核心考点，紧密对接中考说明，结合2023年中考24题（2）等真题，按“两定一动”“一定两动”“两定两动”“造桥问题”等模型分类梳理，明确线段和最小、差最大等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于模型化突破与真题实战结合，如“将军饮马”问题通过对称点转化培养几何直观（数学眼光），解析中用全等、勾股定理推理（数学思维），像矩形中PM-PO最大值问题，示范对称构造与计算技巧，帮助学生掌握解题方法。教师可依此系统指导复习，助力学生中考冲刺提分。

数 学 贵州 课堂精讲册 1 第一部分　立足教材过基础 第七单元　图形的变化 小专题8　利用两点之间线段最短求最值 （2023.24（2）） 模型解读 1. 线段和最小问题 问题：已知两定点A，B，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小. 情形1：定点A，B在直线l异侧 　 作法：连接AB交直线l于点P，AB的长为PA＋PB的最小值. 情形2：定点A，B在直线l同侧(将军饮马) 作法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，A'B的长为PA＋ PB的最小值. 2. 线段差最大问题 问题：已知定点A，B，在l上找一点P，使｜PA－PB｜的值最大. 情形1：定点A，B在直线l同侧 作法：连接AB并延长交直线l于点P，此时｜PA－PB｜最大. 情形2：定点A，B在直线l异侧 作法：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，此 时｜PA－PB｜最大. 1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD上的动 点，E是 AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为(　B　) A. B. 2 C. D. 2 B 2. 如图，AD是等边三角形ABC的高线，E为AB的中点，点P是AD上的 一个动点，当△PBE的周长最小时，∠ABP的度数是(　C　) A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° C 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中 点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大 值为 ⁠. 　 【解析】在矩形ABCD中，AD＝4，MD＝1，∴AM＝3.如解图，连接MO并延长交BC于点P， 则此时PM－PO的值最大，且PM－PO的最大值为OM的长.∵AM∥CP ，∴∠MAO＝∠PCO. ∵AO＝CO，∠AOM＝∠COP，∴△AOM≌△COP(ASA)，∴OM＝OP，AM＝CP＝3，∴PB＝1.过点M作MN⊥BC于点N， ∴四边形MNCD是矩形， ∴MN＝CD＝3，CN＝DM＝1，∴PN＝4－1－1＝2，∴MP＝ ＝ ，∴OM＝ ， ∴PM－PO的最大值为 . 第3题解图 模型解读 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点 N，使得△PMN的周长最小. 作法：分别作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，连接P'P″分别交OA， OB于点M，N，此时△PMN周长最小. 4. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90° ，点M，N分别是BC， AB边上的动点，∠B＝56° ，当△DMN的周长最小时，则∠MDN的度 数是 ⁠. 68°　 【解析】如解图，延长DA到点E使DA＝AE，延长 DC到点F，使CF＝DC，连接EF交AB于点N，交 BC于点M，此时△DMN的周长最小.∵∠DAB＝ ∠DCB＝90° ，∴DM＝FM，DN＝EN，∴∠E ＝∠ADN，∠F＝∠CDM. ∵∠B＝56° ， ∴∠ADC＝124° .设∠MDN＝α ，∴∠ADN＋ ∠CDM＝124°－α ，∴∠DNM＋∠DMN＝ 2(124°－α)，∴α＋2(124°－α)＝180° ，解得α＝ 68° . 第4题解图 5. 如图，已知∠ACB＝30° ，M为∠ACB内部任意一点，且CM＝5， E，F分别是CA，CB上的动点，则△MEF的周长的最小值为 ⁠. 5　 【解析】如解图，分别作点M关于CA，CB的对称点P，Q，连接PQ，分别交CA，CB于点E，F，连接CP，CQ，MP，MQ，此时△MEF的周长有最小值，且为PQ的长.∵点M关于CA的对称点为P，∴ME＝PE，CM＝CP，∠PCA＝∠MCA. ∵点M关于CB的对称点为Q，∴MF＝QF，CM＝CQ，∠QCB＝∠MCB，∴CP＝CQ＝CM＝5， ∠PCQ＝∠PCE＋∠MCE＋∠QCF＋∠MCF＝2∠ACB＝60° ，∴△PCQ是等边三角形，∴PQ＝CP＝CQ＝5， ∴△MEF的周长的最小值＝PQ＝5. 模型解读 问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点 N，使得四边形PQNM周长最小. 作法：分别作点P，Q关于OA，OB的对称点P'，Q'，连接P'Q'交OA， OB于点M，N，此时四边形PQNM周长最小. 6. 如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x 轴 上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值 是 ⁠. 6 　 【解析】如解图，分别作点A关于x轴的对称点E，作 点B关于y轴的对称点 F，连接EF交x轴于点D，交y 轴于点C，连接AD，BC. 此时AB＋BC＋CD＋AD 的值最小.∵A(－3，－1)，B(－1，－3)，∴E(－3， 1)，F(1，－3)，∴AB＝2 ，EF＝4 ，即四边形 ABCD的周长的最小值是AB＋BC＋CD＋AD＝AB ＋EF＝6 . 第6题解图 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分 别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为 ⁠ ⁠. 10＋ 2 　 模型解读 一、异侧线段和最小问题(“造桥”问题) 问题：已知l1∥l2，且在两定点A，B之间，l1，l2之间的距离为d，在 l1，l2上分别找M，N两点，使MN⊥l1且AM＋MN＋BN的值最小. 作法：将点A向下平移d个单位得到点A'，连接A'B交直线l2于点N，过点 N作NM⊥l1，则A'B＋MN是AM＋MN＋BN的最小值. 二、同侧线段和最小问题 问题：已知两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找M，N两点(M在N 左侧)，使MN＝d，且AM＋MN＋BN的值最小. 作法：将点A向右平移d个单位得到点A'，作点A'关于直线l的对称点A″， 连接A″B交直线l于点N，将点N向左平移d个单位得到点M，点M，N 即为所求. 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上 的动点，EF∥BC，则AF＋CE的最小值是 ⁠. 10　 【解析】如解图，延长BC到点G，使CG＝ EF，连接FG，AG. ∵EF∥CG，EF＝ CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝ FG，∴AF＋CE＝AF＋FG，∴当A，F，G 三点共线时，AF＋CE的值最小为AG，由勾股 定理得，AG＝ ＝ ＝10，∴AF＋CE的最小值为10. 9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝ 60°，点E，F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小 值为 ⁠. 14＋2 　 【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF＝2，连接BE，B'F，∴BE＝B'F，B″F＝B'F，此时四边形BEFC的周长为BE＋EF＋FC＋BC＝B″F＋EF＋FC＋BC，当点C，F，B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小，最小为B″C＋EF＋BC. ∵AB＝4，BB'＝2，∠ABC＝60°，∴B'B″经过点A，∴AB'＝2 ，∴B'B″＝4 .∵BC＝12，∴B'C＝10， ∴B″C＝ ＝2 ，∴B″C＋EF ＋BC＝14＋2 ，即四边形BEFC周长的最小 值为14＋2 . 26 $