第10节 反比例函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（贵州专用）

该初中数学中考复习课件系统覆盖反比例函数核心考点，包括图像与性质、k的几何意义、解析式确定及实际应用。对接贵州中考说明，分析近三年考情，归纳图像辨析、面积计算、函数综合等必考题型，突出备考针对性。 课件亮点在于“真题变式+模型精讲”，如2025贵州真题改编题训练k的几何意义应用，结合数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），示范待定系数法求解析式、函数综合题分类讨论技巧，帮助学生掌握得分要点，教师可依此高效规划复习，提升冲刺效果。

数 学 贵州 课堂精讲册 1 第一部分　立足教材过基础 第三单元　函数 第10节　反比例函数及其应用 核心知识全梳理 贵州考法变式练 方法模型精讲练 解析式 y＝ (k为常数，k≠0)，也可以为x·y＝k或y＝k·x－1 k的 符号 k① ⁠0 k＜0 ＞　 返回目录 大致图象(双曲 线) ② ⁠ 　 返回目录 所在 象限 一、三 ③ ⁠ 增减性 在每个象限内，y随x的增大而④ ⁠ 在每个象限内，y随x的增大而⑤ ⁠ 图象 特征 (1)无限接近坐标轴，但永不相交(x≠0，y≠0)； (2)｜k｜越大，离坐标轴越远 点坐标特征 横坐标与纵坐标的积恒为 ⑥ (即xy＝k) 二、四　 减小　 增大　 k　 返回目录 对称 性 中心对称：关于⑦ 成中心对称；轴对称：关于直线y＝x 和直线⑧ ⁠成轴对称 原点　 y＝－x　 返回目录 k的几 何意义 如图，过双曲线y＝ 上任意一点P(x，y)分别作x轴， y轴的垂线PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝｜xy｜ ＝⑨ ⁠ ⁠ k｜　 ｜k｜　 返回目录 常见 变形 S阴影＝⑩ ⁠ ⁠ S阴影＝⑪ ⁠ ⁠ S阴影＝⑫ ⁠ k｜　 ｜k｜ 2｜k｜　 ｜k｜ 返回目录 【解题技巧】(1)因为k有正、负之分，所以用k表示三角形或四边形的面 积时，要给k加绝对值；(2)利用k的几何意义解题时，常过图象上的点向 坐标轴作垂线构造同底等高三角形(或平行四边形). 返回目录 方法一：用待定系数法确定反比例函数的解析式(代入一点即可)； 方法二：利用k的几何意义确定反比例函数的解析式(一定要注意k的正 负). 返回目录 例. (1)图象过点(1，2)的反比例函数的解析式为 ⁠； (2)如图，A为反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形ABOC的面积 为3，则这个反比例函数的解析式为 ⁠. y＝ 　 y＝－ 　 返回目录 1. 反比例函数与一次函数的综合(常见设问及解题技巧见本书P37【技巧解 读】) 返回目录 2. 反比例函数的实际应用(实际问题中的常见数量关系) (1)行程问题：速度＝ ；　　　(2)销售问题：销量＝ ； (3)面积问题：矩形：长＝ ；三角形：底＝ ； 返回目录 (4)跨学科问题：①压强＝ ；②电流＝ ；③密度问题：密度 ＝ ；④杠杆平衡：阻力×阻力臂＝动力×动力臂(2025年贵州真题素 材)； (5)表格数据类问题：当给出x，y的多组值，且每组对应值的乘积相同 时，y是关于x的反比例函数. 返回目录 【特别提醒】一般情况下，在反比例函数的实际应用题中，k＞0，x＞ 0，即图象位于第一象限. 返回目录 1. (2025贵州12题改编)已知函数y1＝x(x≥0)与y2＝kx－1(x＞0)的图象如图 所示，点B的横坐标是1，点C的坐标是(1，9)，给出下列结论： ①BC＝8； ②交点A的坐标为(3，3)； ③当x＞3时，y1＜y2. 其中，正确的个数是(　C　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 返回目录 【变式设问】在上述条件下，若直线y1＝x与y2＝kx－1的图象的另一交点 为D，则点D的坐标为 ⁠. (－3，－3)　 返回目录 2. (2024贵州18题)已知点(1，3)在反比例函数y＝ 的图象上. (1)求反比例函数的表达式； 解：将点(1，3)代入y＝ ，得k＝3， ∴反比例函数的表达式为y＝ ； 返回目录 (2)点(－3，a)，(1，b)，(3，c)都在反比例函数的图象上，比较a，b，c 的大小，并说明理由. 解：b＞c＞a.理由如下： 方法一：画出草图(略)，描出三点位置，由图象得b＞c＞a； 方法二：将点(－3，a)，(1，b)，(3，c)代入y＝ ， 得a＝－1，b＝3，c＝1，∴b＞c＞a. 返回目录 【变式设问】在上述条件下，当－3＜x＜－1时，函数y的取值范围 为 ⁠. －3＜y＜－1　 返回目录 3. (人教九下P7例3改编)如图，已知点A在双曲线y＝ (x＞0)上，过点A 作AB⊥x轴于点B. (1)若△AOB的面积为6，则k的值为 ； 12　 返回目录 (2)若反比例函数的图象经过点(2，3)，过点A作y轴的垂线，垂足为C，则四边形OBAC的面积为 ⁠. 6　 返回目录 4. 如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝ (x ＞0)，y＝－ (x＞0)的图象交于A点和B点，若C为y轴上任意一点，连 接AC，BC，则△ABC的面积为 ⁠. 　 返回目录 5. (人教九下P17T8改编)在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时 间的比叫作功率，即所做的功一定时，功率P(W)与做功所用的时间t(s)是 反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是(　C　) A. P与t的函数关系式为P＝ B. 当t＝5时，P＝12000 C. 当t＞5时，P＞12000 D. P随t的增大而减小 C 返回目录 6. (2025贵阳南明区二模)如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力 下降. 经调查发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片的焦距x(米)是反比例函 数关系，图象如图所示. (1)写出该反比例函数的表达式； 解：由题意可设y＝ (k≠0)， 将(0.2，500)代入y＝ 得500＝ ，解得k＝100， ∴y＝ (x＞0)； 返回目录 (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经 复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.25米，求小妮现在的眼镜度数比 原来的眼镜度数增加了多少度. 解：由(1)可知，当x＝0.25时，y＝ ＝400. ∵400－200＝200(度)， ∴小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200 度. 返回目录 7. (2025贵州18题)小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(ɡāo)的 古代汲水工具(如图1)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在 横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB＝1 m，若图 中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始 终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l 的变化，如下表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a 图1 图2 返回目录 (1)表格中的a的值是 ⁠； 100　 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a 返回目录 (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l的关系，在如图2所 示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； 解：画出F与l的函数图象如解图所示： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a 图1 图2 返回目录 (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减 小？请说明理由. 解：当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下： ∵Fl＝300是定值，且F，l都是正数， ∴这条曲线是反比例函数的一支. ∴其函数表达式为F＝ (l＞0). ∵300＞0，∴在第一象限内，F随l的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F减小. 返回目录 反比例函数与一次函数的综合 技巧解读 反比例函数与一次函数结合的常见问题及解题技巧： 1. 不等式问题 (y＝k1x＋b与y＝ ) (1)求交点横坐标 联立关系式，得一元二次方程，求解得交点横坐标xA，xB. 返回目录 (2)画草图、分区 (3)观察图象得答案 若 ＞k1x＋b，位于区域Ⅰ，Ⅲ，则x＜xB或0＜x＜xA； 若 ＜k1x＋b，位于区域Ⅱ，Ⅳ，则xB＜x＜0或x＞xA. 返回目录 2. 交点问题 (y＝k1x＋b与y＝ ) 方法一：系数判断 若两个函数的系数k1，k2同号，则必有2个交点； 若异号，则有0个或1个或2个交点. 方法二：联立解析式判断 ①联立解析式得k1x＋b＝ ； ②化简得关于x的一元二次方程k1x2＋bx－k2＝0； ③根据根的判别式求交点问题. 返回目录 3. 面积问题 解决坐标系中的面积问题的关键是“转化”. 面积 线段问题 点坐标问题 面积的多种解法(如设问6)： ①S △ABC＝ CD(xB－xA)＝ (yC－yD)(xB－xA)； ②S △ABC＝ AC·d B到AC＝ (xC－xA)(yA－yB). 返回目录 【解题技巧】(选择填空中)利用反比例函数中k的几何意义直接求解. S阴影＝｜k｜ 返回目录 8. (真题组合改编)如图1，已知一次函数y＝－x－3的图象与反比例函数y ＝ 的图象相交于A(－4，m)，B(n，－4)两点. [求函数表达式](1)(2022贵阳19题)求这个反比例函数的表达式； 图1 返回目录 解：∵一次函数y＝－x－3的图象过点A(－4，m)， ∴m＝－(－4)－3＝1， ∴点A的坐标为(－4，1). ∵反比例函数y＝ 的图象过点A， ∴k＝－4×1＝－4， ∴这个反比例函数的表达式为y＝－ ； 返回目录 [反比例函数与不等式关系](2)(2022贵阳19题)根据图象写出使一次函数值 小于反比例函数值的x的取值范围； 图1 返回目录 解：∵反比例函数y＝－ 的图象过点B(n，－4)， ∴－4＝－ ，解得n＝1. ∵一次函数值小于反比例函数值， ∴一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴在y轴左侧，一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为－4＜x ＜0； 在y轴右侧，一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为x＞1. 综上所述，一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为－4＜x＜0 或x＞1； 返回目录 [交点问题](3)已知反比例函数y＝ (k≠0)的图象与正比例函数y＝ ax(a≠0)的图象相交于M，N两点，若点M的坐标是(－2，2)，则点N的 坐标是 ⁠； (2，－2)　 图1 返回目录 (4)写出一个一次函数，使其图象过点(0，5)，且与反比例函数y＝ 的图 象没有公共点； 解：设一次函数的表达式为y＝cx＋5(c≠0)， 联立 整理得cx2＋5x＋4＝0. ∵两个函数图象没有公共点，∴Δ＝25－16c＜0，解得c＞ ， ∴c可取2，∴一次函数的表达式为y＝2x＋5；(答案不唯一) 图1 返回目录 [图象平移问题](5) 将一次函数y＝－x－3的图象向上平移6个单位长度， 求平移后的图象与反比例函数y＝ 图象的交点坐标； 解：一次函数y＝－x－3的图象向上平移6个单位长度得到y＝－x＋3. 联立 解得 ∴交点坐标为(4，－1)和(－1，4)； 图1 返回目录 [函数与几何图形结合](6)如图2，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，求 △ABC的面积和BC的长. 图2 解：∵A(－4，1)，AC⊥y轴于点C， ∴C(0，1)，∴AC＝4. 又∵B(1，－4)，∴点B到直线AC的距离为5， ∴S△ABC＝ ×4×5＝10，BC＝ ＝ . 返回目录 【变式】若正比例函数y＝mx与反比例函数y＝ 的图象相交于E，F两 点，过点E作ED⊥x轴于点D，连接FD，若S△EFD＝10，则k＝ ⁠. 10或－10 返回目录 9. (2025贵州一模)如图，将等腰Rt△ABC的一条直角边放在x轴上，点 A(－1，0)，C(3，0)，斜边AB与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点 D(1，n). (1)求n，k的值； 解：根据题意可知：直线AB的解析式为y＝x＋1， 当x＝1时，y＝n＝2，∴D(1，2)， ∵点D在反比例函数图象上， ∴k＝1×2＝2，∴k＝2，n＝2； 返回目录 (2)若在该反比例函数图象上有一点G，过点G作x轴的平行线，分别交 BC，AB于点E，F. 当GE＝GF时，求点G的坐标. 解：由(1)可知，反比例函数的解析式为y＝ ，设 点G的坐标为(m， )，在一次函数y＝x＋1中，当y ＝ 时，x＝ －1，∴F(－1， )，E(3， ). ∵GE＝GF，∴m－(－1)＝3－m， 整理得m2－m－1＝0，解得m＝ 或m＝ (舍去)， ∴G(， －1). 返回目录 返回目录 49 $