第6节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（贵州专用）

该初中数学中考复习课件系统覆盖一元二次方程的概念、解法、判别式、根与系数关系及实际应用等核心考点，对接贵州中考说明，分析近三年考点分布，归纳变化率、销售问题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“核心知识梳理+中考真题变式练”，如通过2025贵州真题示范因式分解法，用推理能力分析判别式参数范围，以模型观念解决象棋比赛循环问题，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此指导分层复习，提升中考得分率。

数 学 贵州 课堂精讲册 1 第一部分　立足教材过基础 第二单元　方程（组）与不等式（组） 第6节　一元二次方程及其应用 核心知识全梳理 贵州考法变式练 1. 一元二次方程的相关概念 概念 只含有1个未知数，并 且未知数的最高次数是 2的整式方程 如：x2＋2＝0① 一元二次方程； 2x2＋3x－1＝2(x2－4)② ⁠一元二 次方程(填“是”或“不是”) 一般 形式 如：方程3x2－2x＝1的二次项系数是 ③ ，一次项系数是④ ，常数 项是⑤ ⁠ 是　 不是　 3　 －2　 －1　 返回目录 2. 一元二次方程的解法 例1. 求下列方程的解： (1)方程(x＋2)2＝8的根为 ⁠ ⁠； (2)用三种方法解方程：x2＋4x－12＝0. 配方法：由原方程得x2＋4x＋ ＝ ⁠， 即 2＝ ，←配方(两边同时加一次项系数一半的平方) 解得 ⁠. 公式法：原方程中，a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠ . 注意系数符号 b2－4ac＝ ，←当Δ＜0，方程无解，Δ≥0，用求根公式 由求根公式，得x＝ ⁠ ⁠. 即方程的解为 ⁠ ⁠. x1＝2 －2，x2＝－2 －2　 4　 16　 (x＋2)　 16　 x1＝2，x2＝－6　 1　 4　 －12　 64　 ＝－2±4　 x1＝2，x2＝－6 返回目录 因式分解法： 原方程可转化为( ⁠ )( )＝0， 即 ＝0或 ⁠＝0， 解得 ⁠. 【易错提醒】对于因式分解法，例如解3x(x－2)＝2(x－2)，应先移项再分解因式，切 勿直接约去公因式导致漏解. x－2 x＋6　 x－2　 x＋6　 x1＝2，x2＝－6　 切勿直接约去公因式导致漏解 返回目录 【方法总结】一元二次方程的四种解法： (1)直接开平方法：形如(x＋n)2＝p(p≥0)的根为x＝⑥ ⁠； (2)配方法：适用二次项系数化为1后一次项系数为偶数的方程. ax2＋bx＋c＝0 x2＋2mx＋m2＝n (x＋m)2＝n； (3)公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的解为x＝ ⑦ ⁠； (4)因式分解法：ax2＋bx＋c＝0 (x－m)(x－n)＝0，根为x1＝ ⑧ ⁠，x2＝⑨ ⁠. 解法选择(优先顺序) 直接开平法→因式分解法→配方法→公式法 ± －n　 　 m　 n　 返回目录 1. 一元二次方程根的判别式(根的判别式为b2－4ac，用Δ 表示，即Δ＝b2 －4ac) (1)Δ＝b2－4ac＞0⇔ 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有⑩ ⁠ 的实数根； (2)Δ＝b2－4ac＝0⇔ 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有⑪ ⁠ 的实数根； (3)Δ＝b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)⑫ ⁠实 数根. 两个不相 等　 两个相 等　 没有　 返回目录 【技巧点拨】一元二次方程根的判别式的应用：(1)不解方程，直接判断方 程的根的情况； (2)根据一元二次方程根的情况，确定参数的取值范围(此时若二次项系数 含未知参数，注意二次项系数不为0的隐含条件). 返回目录 2. 一元二次方程根与系数的关系(2022版课标调整为考查内容) 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2 ＝⑬ 　－ 　，x1x2＝⑭ 　 　.(前提条件：b2－4ac≥0) － 　 　 返回目录 【拓展变形】根据完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2和分式的性质，可 推出以下等量关系： (1) ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3) ＋ ＝ ；(4) ＋ ＝ . 返回目录 例2. 根据下列问题，列方程. (1)[变化率问题]某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿，设平均每月工业产值增长率为x，则可列方 程： ⁠； (2)[循环问题]某校九年级毕业时，每个同学都送全班其他同学各一张相片作纪念，全班共送了2070张相片. 若全班有x名学生，列出方 程： ⁠； (3)一个直角三角形的三条边长是三个连续整数，设斜边的长为x，则可列方程： ⁠ ⁠； 50(1＋x)2＝72　 x(x－1)＝2070　 (x－2)2＋(x－1)2＝ x2 返回目录 (4)[面积问题]如图，在长和宽分别为6和4的矩形ABCD中，若空白部分的面积为15，设阴影部分的宽为x，分别列出各图中的方程. ① ② ③ ⁠⁠ (6－2x)(4－2x)＝15 (6－x)(4－x)＝15　 (6－x)(4－x)＝15　 返回目录 【方法总结】一元二次方程实际应用中的常见数量关系： (1)变化率问题：设a为原来的量，b为变化后的量，增长(下降)次数为2.平均增长率为x，则a(1＋x)2＝b；平均下降率为x，则a(1－x)2＝b. (2)每每问题：若单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的数量为⑮ 件； (3)病毒传播问题：若初始数据为a个，每次传播x个，则第二轮后共有⑯ ⁠ 个； (4)循环问题：①单循环赛问题：若共有n人，则单循环赛总次数为 ⑰ ⁠； ②互赠礼物问题：若共有n人，则送礼物总份数为n(n－1). (5)面积问题：如(4)题 ·b　 a(1＋x)2　 　 返回目录 1. (人教九上P4练习T1改编)已知关于x的方程(m－1)x2－2x＝0. (1) 若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ⁠； (2) 若该方程是一元一次方程，则m的值是 ⁠； (3) 若m＝0，则该方程的二次项是 ，一次项系数是 ，常 数项是 ⁠. m≠1　 1　 －x2　 －2　 0　 返回目录 2. (1)(2025贵州15题)一元二次方程x2－1＝0的根是 ⁠； (2)一元二次方程x2－2x＝0的解是 ⁠. x1＝1，x2＝－1　 x1＝2，x2＝0　 返回目录 3. (2022贵阳17(2)题)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解 法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中 任选两个，并解这两个方程. ①x2＋2x－1＝0； ②x2－3x＝0； ③x2－4x＝4； ④x2－4＝0. 解：(答案不唯一，挑选其中两个方程进行求解即可) ①利用公式法：∵a＝1，b＝2，c＝－1， ∴b2－4ac＝22－4×1×(－1)＝8＞0， ∴x＝ ＝－1± ，即x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . ②利用因式分解法：x(x－3)＝0，∴x1＝0，x2＝3. 返回目录 ③利用配方法：等号两边都加上4，得x2－4x＋4＝8， ∴(x－2)2＝8，∴x－2＝±2 ， ∴x1＝2＋2 ，x2＝2－2 . ④利用直接开平方法：x2＝4，∴x1＝－2，x2＝2. 返回目录 4. (2023贵州15题)若一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个相等的实数根， 则k的值是 ⁠. 　 返回目录 【变式设问】对于上述方程. (1)若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ⁠； (2)若该方程没有实数根，则k的取值范围是 ⁠； (3)若k＝－1，则该方程的根的情况是 ⁠； (4)易错若方程有实数根，则k的值可以为 ⁠. k＜ 且k≠0　 k＞ 　 有两个不相等的实数根　 1(答案不唯一)　 返回目录 【温馨提示】(1)若题中说明方程有两个实数根或为一元二次方程，则隐含 条件为二次项系数a≠0；(2)若未说明方程类型，则需分a＝0和a≠0两种 情况. 返回目录 5. (2022黔东南州改编)已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0的两根分 别记为x1，x2，若x1＝－1，则a－x1－x2的值为(　B　) A. －1 B. 1 C. 2 D. －2 B 返回目录 【变式设问】在上述方程中，若a＝4时，则： ①x1x2＝ ⁠； ② ＋ ＝ ， ＋ ＝ 　－ 　. －4　 12　 － 　 返回目录 6. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率 相同，则每次降价的百分率为(　C　) A. 20％ B. 22％ C. 25％ D. 28％ C 返回目录 7. [每每问题](2025遵义红花岗区一模)商场某种商品平均每天可售30件， 每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查 发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件. 若商场销售该 商品日盈利要达到2100元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x 元，依题意可列方程(　D　) A. (50＋x)(50－2x)＝2100 B. (50＋x)(30＋2x)＝2100 C. (50－x)(30－2x)＝2100 D. (50－x)(30＋2x)＝2100 D 返回目录 8. (课标P148例71改编)如图，学校计划围建一个矩形花园，它的一边是墙 (长度大于10 m)，其余三边利用长为10 m的围栏.当该花园的面积为12 m2 时，平行于墙的花园的边长为 m. 6或4　 返回目录 9. (2025贵阳白云区二模)象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久 的历史和深厚的文化底蕴. 九年级(1)班利用课余时间开展象棋比赛，班主 任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与 ⁠个选手比赛 一局，比赛总共有 局； (n－1)　 n(n－1)　 返回目录 (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 解：由(1)知这次比赛共有n个选手参加，比赛总共有 n(n－1)局， 依题意，得 n(n－1)×2＝1980， 整理，得n2－n－1980＝0， 解得n1＝45，n2＝－44(不符合题意，舍去). 答：这次比赛共有45个选手参加. 返回目录 返回目录 30 $