专题03 函数与实际问题（专题专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 函数与实际问题 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新情境 跨学科 阅读探究 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01：从函数图像中获取信息 题型02：一次函数与最大利润问题 题型03：一次函数与行程问题 题型04：反比例函数与实际问题 题型05：二次函数与销售问题 题型06：二次函数与拱桥 / 隧道问题 题型07：二次函数与投球问题 题型08：二次函数与图形问题 题型09：函数与实际问题（新考法问题） 题型10：函数与实际问题（新情境问题） 题型11：函数与实际问题（函数综合问题） 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新情境问题】（考查二次函数与反比例函数的实际应用，及根据实际规律选择合适模型的能力） 1．（2025年广东省东莞市松山湖未来学校中考数学二模试卷）综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 【跨学科问题】（考查一次函数与反比例函数的解析式求解，及结合函数性质解决实际取值范围问题） 2．（浙江省杭州市第六中学2025年中考三模数学试卷）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【阅读探究类问题】（考查双曲线性质、解直角三角形的实际应用，及结合季节特点分析轨迹形状的跨学科能力） 3．（2025年江苏省南京鼓楼区一模数学试卷）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 从函数图像中获取信息 1．（2026·河南周口·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器(如图①中的)，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化(如图②)，空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图③．下列说法不正确的是（   ） A．空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值小于 C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D．当时，燃气报警器为报警状态 2．（2025·河南洛阳·一模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息见下表，则下列说法正确的是（    ） 信息窗1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A．甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B．当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D．当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，乙需要的水的质量更多 3．（2025·山西长治·一模）常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（   ）      A．随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D．随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 4．（2025·江苏南通·模拟预测）小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图． 结合图象信息，小成给出如下说法： 小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫． 其中正确的说法是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·青海玉树·模拟预测）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：）．两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系．下列结论：；普通列车出发与动车相遇；普通列车行驶时，动车到达终点乙地；经过或两车相距，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 题型02 一次函数与最大利润问题 6．（2025山东省模拟）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警察提速后的速度，并求、的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 8．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 9．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 10．（2025·湖南株洲·三模）【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高100元； 素材二：购买3个种书架和2个种书架共需要2300元： 素材三：种书架的数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 (1)求两种书架的单价； (2)设购买个种书架，购买书架的总费用为元，试求出总费用最少时的购买方案． 题型03 一次函数与行程问题 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在一条平坦笔直的道路上依次有、、三地，甲车先从地向地匀速行驶，小时后，乙车从地出发，先匀速行驶到地，装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米/时，匀速行驶到地，结果比甲车晚半小时到达目的地．甲、乙两车距各自出发地的路程（单位：千米），（单位：千米）与甲车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值______；的值______；甲车的速度为______千米/时； (2)求乙车减速前的速度，及图象中线段的函数解析式； (3)直接写出乙车出发多少小时与甲车相距千米． 12．（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 13．（2025·江苏苏州·二模）小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼．小西先跑，10分钟后小傅才开始跑，小傅跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小西与小傅的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小西跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小西 不分段 A档 4000米 小傅 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值； (3)若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米． 14．（2025·山西忻州·模拟预测）【函数图象分析】阅读以下素材，完成相应的任务． 判断车辆是否因超速被罚款 背景 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在提示牌与隧道口之间会有雷达测速仪进行两次测速，且测速时有闪光提示，根据规定，若平均车速超速以上未达到，将处以200元以内罚款 素材一 如图1，当物体做匀减速运动时，在其速度关于时间的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动距离，即 素材二 雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速 素材三 某车以126千米/时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前600米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度关于时间的函数图象如图2所示，和是两次雷达测速的时间（已知速度1米/秒千米/时） 问题解决： (1)直接写出该车进入隧道口时的速度为________米/秒． (2)如图2，当第一次闪光时，车速已经降到了108千米/时，求时间． (3)在（2）的条件下，从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由． 题型04 反比例函数与实际问题 15．（2026·甘肃·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在数学课堂上注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分． (1)求当时，与之间的函数表达式． (2)张老师安排了一道课堂探究题，要求学生注意力指标数不低于才能高效完成．请问张老师安排这道题的时间段最长可以持续多少分钟？ 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 17．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 18．（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ． 题型05 二次函数与销售问题 19．（2026·河北沧州·一模）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： 场) 万元) (1)求与之间满足的函数关系式； (2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？ (3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 20．（2026·湖北襄阳·二模）某网店销售一种成本为每件元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于元，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系． (1)求该网店每天销售该商品的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ (3)为了回馈顾客，该网店决定每销售一件商品就捐赠元给慈善机构，若扣除捐赠后的利润随的增大而增大，求的取值范围． 21．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 22．（25-26九年级上·山东济南·月考）“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)求出关于的函数关系式； (2)按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 题型06 二次函数与拱桥 / 隧道问题 23．（2026·陕西·一模）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 24．（2025·山西·一模）综合与实践 弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米． 数学建模 (1)在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式； 问题解决 (2)现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点A，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置． 25．（2025·四川绵阳·一模）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 26．（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为． 【建立模型】 （1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式； 【初步应用】 （2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度； 【拓展应用】 （3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围． 27．（2025·山西临汾·二模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为． (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）． 题型07 二次函数与投球问题 28．（2026·陕西西安·二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点，，，是一个斜坡，坡比为．现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若击球手在处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． 29．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 30．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． (1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． (2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) (3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 31．（2025·河南·模拟预测）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 32．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 题型08 二次函数与图形问题 33．（2025·山东济宁·二模）【实践课题】在形状不规则的布片上裁剪面积最大的矩形布片 【实践工具】剪刀，直尺，量角器等 【实践活动】如图，图形是由线段及曲线围成的一个形状不规则的布片，其中曲线DE是某个反比例函数的图象的一部分．经测量得知，，，，，，，点A到线段的距离为．现要求按照图示方式在这个不规则布片上裁剪下一个矩形布片，其中线段在线段上，而点M和Q分别在线段和曲线上．为便于解决问题，某同学在老师的指导下，在图中建立了与反比例函数图象相对应的平面直角坐标系（以直线为x轴，以过点A且垂直于的直线为y轴）． (1)请帮他在所建立的坐标系中求出直线和曲线所对应的函数解析式； (2)若要使裁剪下的矩形布片的面积最大，矩形布片的长和宽应该分别是多少？ 34．（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 35．（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践． 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上，现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且． 榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系． 请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； (3)学校按照榕榕的方案进行种植发现：无论设计在何处，和区域种植之和始终是定值，请说明理由，并证明． 36．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）．剪切并得出以下数据： x/cm … 1 2 3 4 … y/ … 4 6 6 4 … 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论…… 问题解决： （1）博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围）； （2）选择一块特殊废料如图3所示，．当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大； 建模分析： （3）如图4所示，若（其中a，b，c为常数），． 设，当矩形的面积y取最大值时，求的长（用含常数的代数式表示）． 题型09 函数与实际问题（新考法问题） 37．（2025·内蒙古·模拟预测）综合与实践 【实验操作】为了解电动汽车电池需要多长时间能充满电，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程．某综合实践小组设计如下两组实验： 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量与充电时间t（小时）的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）是一次函数关系，数据记录如表． 已行驶里程s（千米） 0 100 200 300 电量 100 75 50 25 【建立模型】（1）结合表中的数据求出仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）之间的函数关系式； 【解决问题】（2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点600千米处的目的地．若电动汽车平均每小时行驶100千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 38．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 39．（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 40．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 41．（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 42．（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 43．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 题型10 函数与实际问题（新情境问题） 44．（2026·山西长治·一模）消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆． (1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为． ①求抛物线的函数表达式． ②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留） (2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围． 45．（2026·湖北·模拟预测）项目式学习∶ 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1． 由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2． 汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速x（） 0 5 10 15 20 25 刹车距离y（） 0 6.5 17 31.5 50 72.5 【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y(单位：)为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的y关于x的函数表达式． 【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 【任务三】 研发中心生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围． 46．（25-26九年级上·山东威海·期中）问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 47．（2025·广西柳州·一模）钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日  天气：阴  能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． (1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． (2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 题型11 函数与实际问题（函数综合问题） 48．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 49．（2025·辽宁锦州·三模）某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．饲养B种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．画出两函数的图象如图所示． (1)求函数的表达式． (2)王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？ 50．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 51．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）项目式学习 项目主题：利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集：某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示时，温度降到． 问题解决：结合图象信息及项目所给信息，解决下列问题： (1)在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．求智能控制系统设定的恒温温度； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时间有多少小时？ 52．（2025·广东广州·一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____； (2)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (3)求三明治机工作温度在以上持续时间． 二阶·素养进阶练 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． (1)输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． (2)某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 2．（25-26九年级上·河北·期末）为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数（人）与检票时间（分钟）、开放检票通道数量（个）之间的关系，有以下发现： 发现：候车总人数（人）； 发现：已检票人数（人）； 发现：排队人数（人）候车总人数已检票人数． （其中，且为整数） 请你结合调配团队的发现，完成下面问题： (1)当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为 ； (2)在（）的条件下，排队人数（人）在第几分钟达到最大值，最大值是多少？ (3)若要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，请你直接写出至少应打开几条检票通道？ 3．（25-26九年级上·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 4．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在矩形中，，，点在边上．连接，过点作． ①当______时，是等腰三角形； ②求的最小值； （2）如图②，矩形是某公园示意图，其中米，米．为了进一步改善人居环境，现需要对公园进行改扩建．根据现场勘察情况，边的外边有一片空地可以扩建．设计部门打算把扩建部分设计为直角三角形，即，且，同时要在扩建后的五边形公园中的边上开一个门，使得点到点、点的距离相等且．试问这样的设计能否实现？若能，求出扩建部分的面积及点到点的距离；若不能，请说明理由． 5．（2025·黑龙江·模拟预测）快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 6．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 7．（2025·江西抚州·二模）调查校园学生寝室晾衣项目 背景材料 图1是某校男生寝室前用绳子晾衣图片，经观察测量得到如下信息： 绳子两端距离，绳子中间最低点到线段的距离为，以的中点为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（图2），其函数关系为． 任务一：数学建模 （1）根据给定数据，求抛物线的解析式，并直接写出自变量的取值范围； 任务二：实际应用 （2）若，之间两个夹子，之间的距离为，且，求点到的距离； 任务三：问题解决 （3）若为了防风加固，在晾衣绳中间加一根竹竿，使原晾衣绳子变成两条与原抛物线形状相同的抛物线（竹竿在轴所在直线上，且竹竿顶端点在抛物线上）．点到线段的距离为．求此时晾衣绳最低点到线段的距离． 8．（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 9．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 真●题●验●证 1．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论：①小球运动时间是时，高度为；②小球运动中高度可以是；③当时，高度h随着时间t的增大而减小．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 3．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 4．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 5．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 6．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为_______千克． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 8．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 9．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 10．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 11．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数与实际问题 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新情境 跨学科 阅读探究 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01：从函数图像中获取信息 题型02：一次函数与最大利润问题 题型03：一次函数与行程问题 题型04：反比例函数与实际问题 题型05：二次函数与销售问题 题型06：二次函数与拱桥 / 隧道问题 题型07：二次函数与投球问题 题型08：二次函数与图形问题 题型09：函数与实际问题（新考法问题） 题型10：函数与实际问题（新情境问题） 题型11：函数与实际问题（函数综合问题） 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新情境问题】（考查二次函数与反比例函数的实际应用，及根据实际规律选择合适模型的能力） 1．（2025年广东省东莞市松山湖未来学校中考数学二模试卷）综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 【答案】（1），29岁；（2）；（3）选模型2，该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4天 【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）依据题意，求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）依据题意，根据函数的性质解答即可． 本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）由题意，将，代入， 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）由题意，当，， （3）由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， 选择模型当时， 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． 【跨学科问题】（考查一次函数与反比例函数的解析式求解，及结合函数性质解决实际取值范围问题） 2．（浙江省杭州市第六中学2025年中考三模数学试卷）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时，， 此时， 即总电阻的值为； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； （3）解：， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为：， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 【阅读探究类问题】（考查双曲线性质、解直角三角形的实际应用，及结合季节特点分析轨迹形状的跨学科能力） 3．（2025年江苏省南京鼓楼区一模数学试卷）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【答案】(1)秋冬 (2)①；②见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案； （2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答； （3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解． 影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解． 【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节． 故答案为：秋冬． （2）解：①月日在春分日和夏至日之间， 结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． （3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴， ∴； 设于点，设，则 如图， ∵斜坡坡角为，即， ∴， ∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 答：到地平面的距离为． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 从函数图像中获取信息 1．（2026·河南周口·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器(如图①中的)，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化(如图②)，空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图③．下列说法不正确的是（   ） A．空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值小于 C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D．当时，燃气报警器为报警状态 【答案】D 【分析】本题考查函数图象在实际问题中的应用，关键是理解气敏传感器的阻值与一氧化碳浓度的关系，以及体积浓度和质量浓度的换算关系，从而判断报警器是否报警，需结合图②、图③逐一分析． 【详解】解：对于A选项：由图②可知，随着一氧化碳质量浓度的增大，的阻值逐渐减小，故A选项正确； 对于B选项：由图②可知，当时，，故B选项正确； 对于C选项：由图③可知，一氧化碳体积浓度一氧化碳质量浓度，当时报警器报警，此时体积浓度，当空气中一氧化碳体积浓度是时，，故燃气报警器为报警状态，C正确； 当时，由图②可知对应的一氧化碳质量浓度，而报警条件是，故此时燃气报警器不为报警状态，D错误． 故选：D． 2．（2025·河南洛阳·一模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息见下表，则下列说法正确的是（    ） 信息窗1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A．甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B．当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D．当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，乙需要的水的质量更多 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象，解横纵坐标表示的含义是解题的关键． 根据对图象的交点及在一点范围内图象的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．当温度小于时，甲种物质的溶解度小于乙种物质的溶解度，则原说法错误，故该选项不符合题意； B．当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高而增大，则原说法错误，故该选项不符合题意； C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙的溶解度变大，则乙不是饱和溶液，则原说法错误，故该选项不符合题意； D．当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，因为甲的溶解度比乙大，所以乙需要的水的质量更多，说法正确，符合题意． 故选：D． 3．（2025·山西长治·一模）常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（   ）      A．随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D．随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象，正确识别图象逐项判断即可． 【详解】解：A、随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大，说法正确，不符合题意； B、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力逐渐增大，原说法错误，符合题意； C、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大，说法正确，不符合题意； D、随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为，说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·江苏南通·模拟预测）小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图． 结合图象信息，小成给出如下说法： 小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫． 其中正确的说法是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象及其应用，利用数形结合得出小林的运动速度是解题关键． 根据小强步行米，需要分钟，进而得出小强的运动速度，利用图象得出小林的运动时间以及运动距离进而分别判断得出答案． 【详解】解：由图象得出小强步行米，需要分钟， 所以小强的运动速度为：分， 当第分钟时，小林运动分钟， 运动距离为：， 小林的运动速度为：分， 故正确； 当第分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故正确； 此时小林运动分钟， 运动总距离为：， 小强运动时间为：分钟， 小强出发分钟时到达少年宫，故错误； 由知小林先到达少年宫，故错误； 综上，正确的结论有， 故选：A． 5．（2025·青海玉树·模拟预测）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：）．两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系．下列结论：；普通列车出发与动车相遇；普通列车行驶时，动车到达终点乙地；经过或两车相距，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图像的应用，熟练掌握图像相关数据是解题的关键. 折线分三段：第一段两车相向而行，第二段背向而行至动车到达乙地，第三段普通列车行至甲地（动车停止）． ①t时刻是相遇后两车相距180千米的时刻，用3小时加两车共行驶180千米的时间即可. ②初始时刻，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻； ③全程除以动车速度即为动车到达终点时间； ④设经过，两车相距，列方程解答验证是否是或． 【详解】解：由图象可得， 普通列车的速度为：， 动车的速度为：， ，故正确，符合题意； 普通列车出发与动车相遇，故正确；符合题意； ， 即普通列车行驶时，动车到达终点乙地，故错误，不符合题意； 设经过，两车相距， 相遇前：，得； 相遇后：，得； 即经过或两车相距，故正确，符合题意； 故选：B． 题型02 一次函数与最大利润问题 6．（2025山东省模拟）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警察提速后的速度，并求、的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 【答案】(1)全全 (2)全全提速后速度为米/秒，， (3)折线①中线段所在直线的函数解析式为 (4)全全警官加速后经过秒追上安安警官 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出全全提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出各段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法求解即可； （4）利用待定系数法求所在直线的函数解析式，与所在直线的函数解析式联立，求出交点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象， 故答案为：全全； （2）解：全全提速前速度为（米/秒）， 全全提速后速度为（米/秒）， 段经过的时间为（秒）， ， 当时，安安警官的路程为米， 安安警官的速度为（米/秒）， ； （3）解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 折线①中线段所在直线的函数解析式为； （4）解：设所在直线的函数解析式为，将代入得， 解得， 所在直线的函数解析式为， 联立， 解得， 时，全全警官追上安安警官， （秒）， 全全警官加速后经过秒追上安安警官． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， （1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解； （2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解； （3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果． 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ， 解：①得，， 解：②得，， ∴， ∴有三种方案： 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大， 当时，即， 选第一种方案： 获利（元）， 所以最大获利为2350元． 8．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元，结合题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个，结合题意，列不等式得到，设购买总费用为，结合一次函数图像的性质即可求解． 【详解】解：任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元， ∴， 解得，， ∴每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个， ∵购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍 ∴， 解得，， 设购买总费用为， ∴， ∵， ∴越小，的值越小， ∴当购买扎染布20个时，购买总费用的最低，此时，购买民族木雕个，总费用为元， ∴当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元． 9．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数． （1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可； （2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答． 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 10．（2025·湖南株洲·三模）【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高100元； 素材二：购买3个种书架和2个种书架共需要2300元： 素材三：种书架的数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 (1)求两种书架的单价； (2)设购买个种书架，购买书架的总费用为元，试求出总费用最少时的购买方案． 【答案】(1)A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元 (2)总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，根据有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元；购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买a个A种书架，则购买个B种书架，根据A种书架的数量不少于B种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再求出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元， 依题意，得 解得 ∴A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元 （2）解：设购买a个A种书架，则购买个B种书架， ∵A种书架的数量不少于B种书架数量的， ∴ 解得 依题意，购买书架的总费用为元， ∴ ∵ ∴w随a的增大而增大 当时，w取得最小值， 此时， 答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个． 题型03 一次函数与行程问题 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在一条平坦笔直的道路上依次有、、三地，甲车先从地向地匀速行驶，小时后，乙车从地出发，先匀速行驶到地，装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米/时，匀速行驶到地，结果比甲车晚半小时到达目的地．甲、乙两车距各自出发地的路程（单位：千米），（单位：千米）与甲车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值______；的值______；甲车的速度为______千米/时； (2)求乙车减速前的速度，及图象中线段的函数解析式； (3)直接写出乙车出发多少小时与甲车相距千米． 【答案】(1)；； (2)千米/小时； (3)乙车出发小时或小时，与甲车相距千米 【分析】（1）由装货耗时半小时，即可求得的值；由乙车比甲车晚半小时到达目的地，即可求得的值，根据速度路程时间，即可求出甲车的速度； （2）设乙车减速前的速度，进而表示出减速后的速度，根据乙车的总路程等于千米列方程求解即可；分别表示出，的坐标，利用待定系数法求解线段的函数解析式即可； （3）根据乙车的三种运动状态，分段讨论，分别根据甲、乙两车的运动路程、道路总长以及两车相距千米列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，（小时）， （小时）， 甲车的速度为：（千米/小时）； （2）解：设乙车减速前的速度为千米/小时，则减速后的速度为千米/小时， 根据题意可得：， 解得， 乙车减速前的速度为千米/小时， ， ， 由（1）可知，， 设线段的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得， 线段的函数解析式为； （3）解：甲车的行驶时间小时， 乙车的行驶时间小时， 当时，有：，解得， ； 当时，乙车的路程为千米，甲车的路程为千米，即千米， 甲乙两车相距介于千米之间，故不存在相距千米； 当时，有：，解得； ； 综上，乙车出发小时或小时，与甲车相距千米． 12．（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【详解】（1）解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 13．（2025·江苏苏州·二模）小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼．小西先跑，10分钟后小傅才开始跑，小傅跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小西与小傅的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小西跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小西 不分段 A档 4000米 小傅 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值； (3)若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米． 【答案】(1)，，各档速度米/分、米/分、米/分 (2) (3)小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为，，或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键． （1）由小西的跑步里程及时间可得档速度，再根据档比档快米/分、档比档快米/分，即可得出答案； （2）结合图象求出小傅每段跑步所用时间，再根据总时间求出小傅休息的时间，此时小丽在跑第三段，所跑时间为分， 列方程求出的值即可； （3）先求出小傅第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟，然后分为种情况，根据里程差列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 档速度为(米/分) ， 则档速度为(米/分) ， 档速度为(米/分) ， 答：，，各档速度米/分、米/分、米/分； （2）小傅第一段跑步时间为(分)， 小傅第二段跑步时间为(分)， 小傅第三段跑步时间为(分)， 则小傅两次休息时间的总和为(分)， ∵小傅第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， ∴此时小傅在跑第三段，所跑时间为(分)， ∴， ∴； （3）解：∵小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍， ∴第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟， 当时，，解得； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，|，解得：（舍去）或； 综上所述，小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为，，或． 14．（2025·山西忻州·模拟预测）【函数图象分析】阅读以下素材，完成相应的任务． 判断车辆是否因超速被罚款 背景 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在提示牌与隧道口之间会有雷达测速仪进行两次测速，且测速时有闪光提示，根据规定，若平均车速超速以上未达到，将处以200元以内罚款 素材一 如图1，当物体做匀减速运动时，在其速度关于时间的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动距离，即 素材二 雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速 素材三 某车以126千米/时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前600米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度关于时间的函数图象如图2所示，和是两次雷达测速的时间（已知速度1米/秒千米/时） 问题解决： (1)直接写出该车进入隧道口时的速度为________米/秒． (2)如图2，当第一次闪光时，车速已经降到了108千米/时，求时间． (3)在（2）的条件下，从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由． 【答案】(1)25 (2) (3)从平均车速考虑，此次该车会因超速而被罚款，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂函数图象，从中正确获取信息是解题关键． （1）设该车进入隧道口时的速度为米/秒，根据该车从开始减速到进入隧道口时，行驶的路程等于600米建立方程，解方程即可得； （2）先利用待定系数法求出速度关于时间的函数关系式，再求出108千米/时等于30米/秒，将代入计算即可得； （3）先求出，代入函数关系式求出此时的速度，再根据平均速度的公式计算即可得． 【详解】（1）解：设该车进入隧道口时的速度为米/秒， 由题意得：， 解得， 所以该车进入隧道口时的速度为25米/秒， 故答案为：25． （2）解：设速度关于时间的函数关系式为， 由（1）可知，这个函数的图象经过点， ∵（米/秒）， ∴这个函数的图象经过点， 将点和代入得：，解得， ∴， ∵（米/秒）， ∴将点代入函数得：， 解得． （3）解：由（2）已得：， ∵从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒， ∴， 将代入函数得：， ∵（米/秒）， ∴从第一次闪光后到第二次闪光时，平均车速为（米/秒）， ∵，， ∴从平均车速考虑，此次该车会因超速而被罚款． 题型04 反比例函数与实际问题 15．（2026·甘肃·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在数学课堂上注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分． (1)求当时，与之间的函数表达式． (2)张老师安排了一道课堂探究题，要求学生注意力指标数不低于才能高效完成．请问张老师安排这道题的时间段最长可以持续多少分钟？ 【答案】(1) (2)张老师安排题目的时间段最长可持续分钟 【分析】本题考查一次函数与反比例函数解析式的求解与应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）根据反比例函数模型，代入点求出即可得到函数表达式； （2）先求出各分段的函数解析式，再分别令解出对应，结合题意判断有效解，最终算出注意力指数不低于的最长持续时间． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，当时，． 将代入，得． 故函数表达式为． 答：． （2）解：当时，设，由函数过原点和，求得， 令，则，解得； 当时，设，由函数过，， 可得， 解得， 则解析式为， 令，则，解得； 当时，．令，则（，不在区间内，舍去）． 由图象可知，注意力指标数不低于的时间段从持续到． 故最长持续时间为（分钟）． 答：张老师安排题目的时间段最长可持续分钟． 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 17．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 18．（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ． 【答案】(1)4，3， (2)①见解析；②不断减小； (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象，②根据反比例函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：4，3， （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图 ②由图象可知随着自变量的不断增大，函数值的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 题型05 二次函数与销售问题 19．（2026·河北沧州·一模）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： 场) 万元) (1)求与之间满足的函数关系式； (2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？ (3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)且为正整数 (2)销售场次是第场 (3)第场获得的利润最大，最大利润为万元 【分析】本题是一次函数，二次函数的综合运用，理解题意并列出函数关系式是顺利解题的关键． （1）根据第一场销售量及每场销售量的递减规律直接构建函数关系式； （2）分两段建立销售单价与场次的函数模型，通过给定数据求解参数后，代入单价为15万元的条件求解对应场次，结合场次范围筛选有效解； （3）依据利润公式分两段构建利润函数，利用二次函数的增减性和反比例函数的增减性分别求出两段的最大利润，比较后确定全场最大利润及对应场次，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，其中且为正整数 （2）解：设基本价为万元当时， 设与的函数关系式为 将，代入得 解得 ，其中且为正整数 当时，设与的函数关系式为 将 代入得 解得 ，其中且为正整数 当时，令 解得，因，不符合范围，舍去 当时，令 解得， 符合的范围 答：销售场次是第21场． （3）解：设每场获得的利润为万元当时 ，二次函数图象开口向下，对称轴为 又，在对称轴左侧，随的增大而增大 当时，取得最大值，（万元） 当时 ， 在时，随的增大而减小 当时，取得最大值，（万元） 答：第21场获得的利润最大，最大利润为145万元 20．（2026·湖北襄阳·二模）某网店销售一种成本为每件元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于元，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系． (1)求该网店每天销售该商品的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ (3)为了回馈顾客，该网店决定每销售一件商品就捐赠元给慈善机构，若扣除捐赠后的利润随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，最大利润为元； (3)． 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用（利润问题）、二次函数最值等，能够理解题意是解题的关键． （1）根据利润 (单价 成本) 销量求解即可； （2）将（1）所得的解析式化简为顶点式即可求解； （3）根据题意列出扣除捐赠后的利润的解析式，再写出对称轴，然后结合随的增大而增大求解即可． 【详解】（1）解：∵销售单价为元，成本为每件元， ∴单件利润为元， 据题意得：； （2）解：， ∵， ∴当时，有最大值为：元； （3）解：∵每销售一件商品就捐赠元， ∴单件利润为元． 据题意得：， ， ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵扣除捐赠后的利润随的增大而增大， ∴， 解得：． 21．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用． （1）根据题意，销量与价格的函数关系为，待定系数法求解析式即可求解； （2）依题意，，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）依题意，，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设销量与价格的函数关系为， ∵当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， ∵为整数 ∴当或时，每天获得的利润w最大 当时： 当时： 答：当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 （3）解：依题意， 整理得 即： 解得：或 又∵物价局规定商品的利润率不能高于100%， 即 ∴ ∴ 22．（25-26九年级上·山东济南·月考）“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)求出关于的函数关系式； (2)按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 【答案】(1)； (2)当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； (3)该超市购进这批元宵的进货总成本最低为元． 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，解一元二次方程，根据题意列出函数关系式，再根据二次函数以及一次函数的性质求最值是解题的关键． （）根据销售量等于原来的销售量减去减少的销售量列式求解即可； （）根据题意表示出日销售利润，再由利润率不得高于，则有，解得，然后利用二次函数的性质求解即可； （）先根据日销售利润不低于元求出售价的范围，设该超市购进这批元宵的进货总成本为元，根据题意用表示出，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∵利润率不得高于， ∴，解得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意，得， 解得：，， ∵， ∴当时，日销售利润不低于元， 设该超市购进这批元宵的进货总成本为元， 则， ∵， ∴随的增大而减小，   ∴当时，有最小值，最小值为， 答：该超市购进这批元宵的日进货总成本最低为元． 题型06 二次函数与拱桥 / 隧道问题 23．（2026·陕西·一模）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)右边：或左边： (2)米 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键． （）①右边：根据钢缆抛物线的顶点为，设其顶点式，再将已知点代入解析式，求解出系数的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式；②左边：根据钢缆抛物线的顶点为，设其顶点式，再将已知点代入解析式，求解出系数的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式； （）先根据拱桥侧面抛物线的特征设解析式，将已知点代入求出，得到的解析式；再根据列出关于的函数表达式，求出该函数的最小值，即彩带长度的最小值． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 设灯带长度为，则， ∵， ∴当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是米． 24．（2025·山西·一模）综合与实践 弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米． 数学建模 (1)在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式； 问题解决 (2)现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点A，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置． 【答案】(1) (2)这辆货车可以完全停进遮阳棚内，见解析 (3)钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数关系式、勾股定理等知识点，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）由题可得：抛物线的顶点A的坐标为，设与的函数关系式为，将点代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意：设点的坐标为，将代入解析式可得，然后加6与8比较即可； （2）先求得的函数关系式为，设点的坐标为，将解一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点A的坐标为， 设与的函数关系式为， 抛物线的函数关系式为 点的坐标为， 将点代入函数关系式中，得：，解得：． 与的函数关系式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中，得：， 解得：（舍去），． ， 这辆货车可以完全停进遮阳棚内． （3）解：设线段的函数关系式为， 将点代入中得：， 的函数关系式为． 抛物线的一般式为， 且点是抛物线上的点， ∴设点的坐标为， 轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为． ． 将代入得：． 解得：（不符合题意，舍去）． 答：钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置． 25．（2025·四川绵阳·一模）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)能 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先设 ，点，再根据得出答案； （2）先求出船航行所用时间，再求出水面上涨的距离，并与比较得出答案． 【详解】（1）解：设 ，点， 代入得 ， ∵， ∴， 解得， ∴ ； （2）解：， ， ∴， ∴ 船能安全通过． 26．（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为． 【建立模型】 （1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式； 【初步应用】 （2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度； 【拓展应用】 （3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）从左到右第3根吊杆的长度是；（3） 【分析】（1）根据坐标系特点，图2中设解析式为，图3中设函数表达式为，确定顶点坐标，待定系数法解答即可， （2）根据函数的解析式，计算时的函数值即可； （3）设抛物线的解析式为，则其顶点为，则，．把，代入，得；把，代入，得，解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的性质，正方形的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：选图2，则，，顶点坐标为， 可设抛物线的函数表达式为， 把代入，得：， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． 选图3，则，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把，得：， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：选择图2，抛物线为． 因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为． 把代入，得 所以从左到右第3根吊杆的长度是． 选择图3，抛物线为． 因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为． 把代入，得 所以从左到右第3根吊杆的长度是． （3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为， 的顶点在正方形内，，，，， 则，． ， ∴当和时，， 把代入，得：，， 把代入，得：，， 当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大， 当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大． 把，代入，得； 把，代入，得， ∴抛物线二次项系数的取值范围为． 解法2 如果以点B为原点建立坐标系，则， 设抛物线的解析式为，则其顶点为， 的顶点在正方形内，，，， 则，． ， ∴当和时，， 把代入，得，， 把代入，得，， 当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大， 当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大． 把，代入，得； 把，代入，得； ∴抛物线二次项系数的取值范围为． 27．（2025·山西临汾·二模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为． (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）． 【答案】(1) (2)能通过，理由见解析 (3)3 【分析】本题考查二次函数的实际应用，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，将顶点，分别代入，求出a，c的值，即可解答； （2）根据游船宽，从桥下正中间通过，求出当时，，再求出游船从桥下正中间通过所需最小高度为，由，得到游船能安全通过，即可解答； （3）过点P作于F，于M， 推导出，得到，即，设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，推导出，，得到，，则，点C关于y轴的对称点为，继而推导出，再由点D、E关于y轴对称，得到，根据勾股定理，得到，得到，由，开口向下，对称轴为，推导出当时，随n的增大而减小，则当时，取得最大值，为． 【详解】（1）解：由题意，得 ，抛物线顶点为． 设抛物线的表达式为，将顶点代入，得 ； ∴抛物线的表达式为， 将代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵游船宽，从桥下正中间通过时， ∴将代入抛物线，得 ， ∵船顶高出水面，且船顶与拱桥至少间隔， ∴所需最小高度为 ∵， ∴游船能安全通过． （3）过点P作于F，于M，过点C作轴于点N，如图1 ∴， ， ， ， ， ∴， ∴． 即， ∴， 设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，则 ，， ∴，， ∴，或（不符合题意，舍去）， ∴，， 即，点C关于y轴的对称点为， ∴ ， ∵点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或，点C关于y轴的对称点为，， ∴， ∵， ∴， ∵点D、E关于y轴对称， ∴， ∴ 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，随n的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为． 答：取得最大值为3． 题型07 二次函数与投球问题 28．（2026·陕西西安·二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点，，，是一个斜坡，坡比为．现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若击球手在处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． 【答案】(1) (2)此次击球有失误，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）此次击球有失误． 理由：当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵的坡比为， ∴， ∴， ∵， ∴此次击球有失误． 29．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)该女生在此项考试中没有得满分，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （）设掷出点的高度向上平移，可得满分，得到新抛物线的解析式为 ，解方程即可得到结论. 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，把代入上式得： 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下： 当时，即， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分； （3）解：设掷出点的高度向上平移，可得满分， ∴新抛物线的解析式为，把代入得， 解得：， ∴， ∴掷出点的高度至少达到时，可得满分， 故答案为：． 30．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． (1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． (2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) (3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的函数解析式为； (2)； (3)存在，点的坐标为； 【分析】（）先根据抛物线顶点设出顶点式，代入原点求出抛物线解析式并确定其自变量取值范围；再将落点的横坐标代入抛物线解析式得到点坐标，最后将点坐标代入过原点的直线方程，求出直线解析式并确定其自变量取值范围； （）先由点的坐标求出到的距离，再结合已知时间算出平均速度，最后利用平均速度公式和速度关系式，逐步求出初速度与末速度； （）先假设存在满足的点，利用勾股定理列出方程；再设，代入坐标表示出和，通过换元法化简方程，求解后舍去不符合取值范围的解，最后将有效解代入抛物线解析式，得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线解析式： ∵小球能达到的最高点的坐标为， ∴设抛物线顶点式， 由图可知抛物线过原点，代入得， ∴， 令，则， 解得：， ∴自变量的取值范围：； 即：抛物线解析式为， 直线解析式： ∵小球在斜坡上的落点的横坐标为， 设点代入抛物线， 得：， ∴， 把点代入斜坡直线，得， ∴， ∴直线解析式为， ∴自变量的取值范围：， 即：直线的函数解析式为； （2）解：由（）得， ∴到的距离， ∵小球从点滑落到点需要秒， ∴平均速度， ∵与满足， 即， ∴， 即：， ∴， ∴； （3）解：存在点，使得， 则满足：， 设点的坐标为，（） ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， 整理，得， 令，则方程变为：， 去括号，合并同类项，得， 将代回，得， 整理，得， ，对应点，舍去； ，即：对应点，舍去； ，解得， 结合，， ∴代入抛物线解析式，得 ， ∴点的坐标为． 31．（2025·河南·模拟预测）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)关于的函数表达式为： (2)该生在此项考试中未得满分，理由见解析 (3)的值为或 【分析】（1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论； （3）①如图，当时，，如图，当时，，解方程即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； （2）解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分； （3）解：①如图，当时，， ∴， ∴， 解得或； 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，的值为或． 32．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】(1)函数表达式为 (2) (3)小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； （2）解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 题型08 二次函数与图形问题 33．（2025·山东济宁·二模）【实践课题】在形状不规则的布片上裁剪面积最大的矩形布片 【实践工具】剪刀，直尺，量角器等 【实践活动】如图，图形是由线段及曲线围成的一个形状不规则的布片，其中曲线DE是某个反比例函数的图象的一部分．经测量得知，，，，，，，点A到线段的距离为．现要求按照图示方式在这个不规则布片上裁剪下一个矩形布片，其中线段在线段上，而点M和Q分别在线段和曲线上．为便于解决问题，某同学在老师的指导下，在图中建立了与反比例函数图象相对应的平面直角坐标系（以直线为x轴，以过点A且垂直于的直线为y轴）． (1)请帮他在所建立的坐标系中求出直线和曲线所对应的函数解析式； (2)若要使裁剪下的矩形布片的面积最大，矩形布片的长和宽应该分别是多少？ 【答案】(1)直线的解析式为；曲线所对应的函数解析式为 (2)长为，宽为 【分析】题目主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的性质，矩形的性质，理解题意，综合运用函数的相关知识点是解题关键． （1）根据题意得出点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，然后利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）设的长度为m，得出，结合图形得出，的面积是定值4，确定，利用二次函数的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵点A到线段的距离为， ∴点A的坐标为， ∵， ∴，即点B的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 将A，B代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设曲线对应的反比例函数解析式为， 将D代入得：， ∴曲线所对应的函数解析式为； （2）解：如图所示： 设的长度为m， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的面积是定值4， ∴当的面积最大时，的面积最大， ， 当时，有最大值4， ∴点N的坐标为， ∵， ∴点M的横坐标和点N的横坐标相同， 把代入得，， ∴点M的坐标为， ∵， ∴点M的纵坐标和点Q的纵坐标相同， 把代入得， ∴点Q的坐标为， ∵点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， ∴． 34．（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 【答案】(1)矩形田地的面积的最大值为 (2)当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质和面积公式，列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键． （1）由矩形的性质得，，，再由篱笆总长可得，进而可用含x的代数式表示出、，再根据矩形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，解得，，再根据二次函数的性质求取值范围即可． 【详解】（1）根据题意可得矩形，矩形，矩形，矩形的面积相等， ∴，，     ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴，     ∴， ∵， 解得， ∴， ∴当时，最大，最大值为， 答：矩形田地的面积的最大值为； （2）根据（1）可得， 令， 解得，，     ∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小，     ∴当时，，     ∴当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为． 35．（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践． 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上，现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且． 榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系． 请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； (3)学校按照榕榕的方案进行种植发现：无论设计在何处，和区域种植之和始终是定值，请说明理由，并证明． 【答案】(1)坐标系见解析，； (2)1； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据题意建立坐标系，并求出解析式； （2）设C的横坐标为m，E的横坐标为，进而求出纵坐标，表示出，然后建立方程求解即可； （3）由题意可知，进而建立关系式求解即可． 【详解】（1）解：作出坐标系如下图所示： 设抛物线的解析式为， 由题意知，，， 对称轴为直线，即， ， 则， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ，， 直线解析式为， ，， ，， ， ， 解得或， 与之间的距离为1或3， 在的左侧， 与之间的距离为1； （3）解：延长，交x轴于G，H， 设C的横坐标为m，则E的横坐标为， 由（2）知， ， ， = 36．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）．剪切并得出以下数据： x/cm … 1 2 3 4 … y/ … 4 6 6 4 … 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论…… 问题解决： （1）博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围）； （2）选择一块特殊废料如图3所示，．当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大； 建模分析： （3）如图4所示，若（其中a，b，c为常数），． 设，当矩形的面积y取最大值时，求的长（用含常数的代数式表示）． 【答案】（1）； ；（2）；（3）矩形的面积取最大值时，的长为 【分析】本题考查二次函数的应用，判断出用自变量表示的 的长度是解决本题的关键． (1)根据表格中的数据可得抛物线的对称轴，根据函数图象可得抛物线的开口方向，那么可得当长为多少时，矩形的面积最大，长，根据等腰直角三角形和矩形的性质得到 的长度，即可得到y与x的关系式； (2)设，则， 得到用k表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当k的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值； (3)用含x的代数式表示出的长，进而可得长，那么可得用x表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当x的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值． 【详解】解：（1） 由题意得y是x的二次函数，二次函数的开口向下， ∵二次函数过， ∴当时，y最大， 当时，能够使剪出的矩形的面积最大， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为； (2)∵， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大， ∴， 故答案为； (3)∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积y取最大值， ∴． 故答案为：． 题型09 函数与实际问题（新考法问题） 37．（2025·内蒙古·模拟预测）综合与实践 【实验操作】 为了解电动汽车电池需要多长时间能充满电，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程．某综合实践小组设计如下两组实验： 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量与充电时间t（小时）的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）是一次函数关系，数据记录如表． 已行驶里程s（千米） 0 100 200 300 电量 100 75 50 25 【建立模型】 （1）结合表中的数据求出仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）之间的函数关系式； 【解决问题】 （2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点600千米处的目的地．若电动汽车平均每小时行驶100千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）；（2）至少要在服务区充电小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出函数解析式即可； （2）假设充电充了小时，通过充完电以后得电量不低于走完300千米路程所需电量列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据表中数据可以得出仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）之间的函数关系为一次函数， 设， 将，代入得， 解得， ∴仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）之间的函数解析式为； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了（千米），此时剩余电量，走完剩余路程（千米），由表格可得，行驶300千米耗电， 设充电充了小时，电池充电状态下汽车仪表盘显示电量， ∴， 解得， 答：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电小时． 38．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 39．（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)36 (4)冰箱内的温度是－4.5℃ 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：当时， 设y与a的函数解析式为． 把，代入上式得解得 ∴当时，y与x的函数解析式为． 当时，设y与x的函数解析式为． 把点的坐标代入得，解得， 当时，y与x的函数解析式为． ∴ （3）解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； （4）解：当冰箱温度刚好达到－18℃时，已运行了4min，继续运行120min，总共为124min．， 124min冰箱运行3个周期零16min，当时，． ∴冰箱内的温度是－4.5℃． 40．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为 (2)9米 (3) 【分析】（1）先求出，再设滑道所在抛物线的解析式为，将代入，求出，即可得出抛物线的解析式，再求出点D的坐标即可； （2）先求出直线的解析式为，再求出点，求出抛物线的解析式为，然后求出顶点坐标，即可得出答案； （3）先根据题意得出点M的坐标为，然后求出当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，，再求出当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方，此时，最后求出d的取值范围即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， 设滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得，解得（负值已舍去）． ∴滑道所在抛物线的解析式为， 把代入得： 解得：或， ∴点D的坐标为． （2）解：由题意知点G的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 对于，当时，， ∴， ∴滑道所在抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 对于，当时，， ∴， 答：车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度是9米． （3）解：由题意知点M的坐标为，点N的横坐标为， 由题意知，当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，， 当点N与点F重合时，， 解得：， 当时，点M的纵坐标为， ∴点M，N的高度差为， ∴当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方， 对于，当时，， 令， 解得：（不合题意的值已舍去）， 分析可知，符合题意的d的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次函数的性质． 41．（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是厢式货车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 42．（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)建立平面直角坐标系如图， 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数是解题的关键． （1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，求出坐标，再由待定系数法求直线的解析式； （3）根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标． 【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为， 当时，， ， ， 平移后， 设直线的解析式为，   ， 解得 ； （3）解：根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为， ，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵，   ， ， ， ． 43．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． （1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积． 【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 题型10 函数与实际问题（新情境问题） 44．（2026·山西长治·一模）消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆． (1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为． ①求抛物线的函数表达式． ②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留） (2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据待定系数法求解即可； ②令，求出对应的x的值，则可求灭火图形（即圆）的半径，然后根据圆的面积公式求解； （2）分别求出平移后经过点F和点O时对应的值，然后根据对称性求出，即可求解． 【详解】（1）解：①设， 把代入，得， 解得， ∴； ②当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该喷头覆盖的灭火面积为； （2）解：设向右平移后经过F， 则平移后的解析式为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，关于K对称， ∴； 设向左平移后经过O， 则平移后的解析式为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，关于K对称， ∴； ∴． 45．（2026·湖北·模拟预测）项目式学习∶ 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1． 由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2． 汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速x（） 0 5 10 15 20 25 刹车距离y（） 0 6.5 17 31.5 50 72.5 【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y(单位：)为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的y关于x的函数表达式． 【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 【任务三】 研发中心生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围． 【答案】【任务一】①见解析；②；【任务二】该司机是因为超速行驶导致了交通事故；【任务三】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式的运用．解答时求出二次函数的解析式是关键． 任务一：①通过描点、连线就可以得出函数的大致图象； ②由函数图象，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可； 任务二：令，求得的值，对比即可； 任务三：根据二次函数的性质可得汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴，列不等式组即可解答． 【详解】［任务一］①解：根据描点作图即可得到下图： ②解：设抛物线解析式为 把代入得： ， 解得 ∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为； ［任务二］该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下： 在中，令得： ， 解得：或（舍去）， ∵， ∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故； ［任务三］解：∵，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴， 由题意得 ， 解得：． 46．（25-26九年级上·山东威海·期中）问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 【答案】（1），；（2）起跳点与落地点的水平距离的长为 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，求二次函数的解析式，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60，再设抛物线的函数解析式为：，把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，且结合从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，得出第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的，再列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ， 解得， ； （2）依题意，抛物线的形状不变，且点的坐标为， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； 47．（2025·广西柳州·一模）钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日  天气：阴  能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． (1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． (2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 【答案】(1)，千米/分钟 (2)小红5分钟后与潮头相遇 (3)潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，这种阅读型的题目，弄懂题意、按照题设的顺序求解是解题的关键． （1）到的时间是30分钟，则，潮头从甲地到乙地的速度 (干米/分钟)； （2）潮头的速度为0.4千米/分钟，故到 时，潮头已前进 (千米)，则此时潮头离乙地 (干米)，进而求解； （3）把，代入，求出，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，从即可求解． 【详解】（1）解：∵到经过的时间是30分钟， ∴点，即， ∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）． （2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟， 时，潮头已前进（千米）． 此时潮头与乙地之间的距离为（千米）． 设小红出发x分钟后与潮头相遇． 依题意，得， 解得， ∴小红5分钟后与潮头相遇． （3）解：把点，代入， 得， 解得，， ∴． 又∴， ∴． 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时， ， 解得， 则当时，， 即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米． 题型11 函数与实际问题（函数综合问题） 48．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 49．（2025·辽宁锦州·三模）某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．饲养B种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．画出两函数的图象如图所示． (1)求函数的表达式． (2)王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】(1)， (2)当均投资万元时，利润最大，最大利润为万元 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）由图可知，函数的图象均过，代入它们的表达式联立方程组求出即可； （2）设投资（）万元饲养A种白鹅，投资种白鹅的投资为（）万元，用m表示出总利润，再根据二次函数的性质即可求出其最大值． 【详解】（1）解：由图可知，函数的图象均过， ∴ 解得：，， ，； （2）设投资（）万元饲养A种白鹅，则种白鹅的投资为（）万元，由题意得： ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值为，此时， ∴当投资万元饲养A种白鹅，则种白鹅的投资也为万元时，可使得利润最大，最大利润为万元． 50．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即，即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温等于的时间加热过程中水温等于的时间即为加热一次水温不低于的时长，其中降温过程中水温等于的时间利用（2）中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 51．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）项目式学习 项目主题：利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集：某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示时，温度降到． 问题解决：结合图象信息及项目所给信息，解决下列问题： (1)在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．求智能控制系统设定的恒温温度； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时间有多少小时？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】本题考查根据图象解答问题、已知自变量值求函数值、待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）观察图象，利用待定系数法求出升温时段的一次函数解析式，继而将代入即可求出答案； （2）先利用待定系数法求段反比例函数解析式，进而利用段和段的函数解析式，求出在4时，大棚温度升至，在时，大棚温度降至，用，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据图象，设升温阶段的函数解析式为：， 将，代入中得： ，解得， ， 将代入中得：， 即点坐标为， 智能控制系统设定的恒温温度是； （2）把代入段函数解析式中得：， 解得， 在4时，大棚温度升至， 设段函数解析式为：， 将代入中得： 解得， ， 把代入函数中得：， 在时，大棚温度降至， ， 大棚在时内，温度不低于的时间有小时． 52．（2025·广东广州·一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____； (2)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (3)求三明治机工作温度在以上持续时间． 【答案】(1)60、140 (2) (3)12分钟 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，从图象获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据图象，列出算式进行计算即可； （2）分和两种情况，待定系数法求出解析式即可； （3）求出反比例函数的解析式，将为，依次代入及中，求出对应的的值，作差即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：60、140； （2）由图象可知：当时，； 当时，设函数解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴； 综上：； （3）当时，设 将代入得： 当机器温度为，依次代入及中，分别解得、 ； 答：三明治机工作温度在以上持续12分钟． 二阶·素养进阶练 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． (1)输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． (2)某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)①无人机飞行的最大高度为；②按钮设置的这条曲线符合条件，理由见解析 【分析】（1）根据题意，再利用待定系数法求解即可； （2）①化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； ②求得点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称，只需验证点E，G即可． 【详解】（1）解：∵无人机飞行的轨迹是一条射线， ∴，则解析式为， ∵以为起点，且过点， ∴， 解得， 故答案为：，，； （2）解：①当，，时， 则， 当时，无人机飞行的最大高度为； ②由题可得，在平面直角坐标系中，点，， 而点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称． 所以只需验证点E，G即可． 当时，，， 当时，，，． 当时，，， 而点G到抛物线的水平距离大于长，即大于5． 所以按钮设置的这条曲线符合条件． 2．（25-26九年级上·河北·期末）为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数（人）与检票时间（分钟）、开放检票通道数量（个）之间的关系，有以下发现： 发现：候车总人数（人）； 发现：已检票人数（人）； 发现：排队人数（人）候车总人数已检票人数． （其中，且为整数） 请你结合调配团队的发现，完成下面问题： (1)当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为 ； (2)在（）的条件下，排队人数（人）在第几分钟达到最大值，最大值是多少？ (3)若要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，请你直接写出至少应打开几条检票通道？ 【答案】(1)； (2)排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是； (3)至少应打开条检票通道． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为，然后通过二次函数的性质即可求解； （）根据题意可得，，因为要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，所以当，即，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：， ∴， ∵， ∴当时，排队人数达到最大值，最大值是， ∴排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是； （3）解：根据题意可得，， ∵要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少， ∴当，即， 整理得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴至少应打开条检票通道． 3．（25-26九年级上·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2）的长度为6m （3）灯架的长为m 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、相似三角形的实际应用，通过实际问题找到二次函数上的点是解题的关键． （1）首先根据最高点距离地面得到k的值，再将代入解析式即可求得抛物线的函数解析式； （2）首先设为x步的距离，根据已知线段的长度表示出，，利用相似三角形求解x的值，进而可以计算出的长度； （3）首先根据指示灯需距离地面，计算出此高度下x的坐标再结合判断灯架是否存在此范围内，进而根据点的坐标求解点的坐标，进而即可求解灯架的长． 【详解】（1）解：∵的最高点距离地面， ∴， ∵将代入中，得，解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设为x步的距离，则，， ∵标杆垂直于地面， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴，解得：， 将代入，解得：， ∴的长度为6m； （3）解：∵指示灯需距离地面， ∴，，，在直线上， 将代入，解得：， ∵，∴， ∵，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴满足题意，存在灯架， 将代入，解得：， ∴， ∴灯架的长为m． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在矩形中，，，点在边上．连接，过点作． ①当______时，是等腰三角形； ②求的最小值； （2）如图②，矩形是某公园示意图，其中米，米．为了进一步改善人居环境，现需要对公园进行改扩建．根据现场勘察情况，边的外边有一片空地可以扩建．设计部门打算把扩建部分设计为直角三角形，即，且，同时要在扩建后的五边形公园中的边上开一个门，使得点到点、点的距离相等且．试问这样的设计能否实现？若能，求出扩建部分的面积及点到点的距离；若不能，请说明理由． 【答案】1）①2②（2）这样的设计能实现，扩建部分的面积为平方米，点到点的距离为米 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据矩形的性质可证，即可得解． ②设，则，根据勾股定理可得，因此最小时，最小，先证明，求出，进而求出，根据二次函数的性质求出的最小时，进而求出的最小值． （2）过点E作交的延长线于G，于H，则，设米，则米，米，米，证明，根据相似三角形的性质可求，进而求出面积． 【详解】解：（1）①，理由如下： ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：2． ②设，则， ， ， 当最小时，最小， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，的最小值为， 此时， ∴的最小值为； （2）解：这样的设计能实现， 过点E作交的延长线于G，于H，则， 依题意， 四边形是矩形， 米， 由（1）得， ， ， 米， 设米，则米，米，米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 平方米， ∴这样的设计能实现，扩建部分的面积为平方米，点到点的距离为米． 5．（2025·黑龙江·模拟预测）快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 【答案】(1)， (2) (3)2小时或5小时或小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图像、待定系数法确定函数解析式等知识点，正确从函数图像上获取信息、确定快车与慢车的速度是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，然后根据行程问题即可求得速度和；由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走，即快车与慢车的速度比为，进而求得快车到达乙地的时间； （2）由题意可得：，再求得点C的坐标为，然后运用待定系数法求解即可； （3）分相遇前两车间的距离是200千米、快车到达乙地前、快车返回甲地前三种情况，分别运用一次函数和行程问题求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，则快、慢两车的速度和是； 由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走， ∴快车与慢车的速度比为， ∴快车的速度为，慢车的速度为， ∴快车到达乙地的时间为小时． 故答案为：，6． （2）解：由题意可得：，当快车到达乙地的时，总共行驶了6小时，慢车行驶了， 则从B点到点C，快车休息了半小时，即C点的横坐标为，慢车行驶路程为：，即C点的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 设的解析式为， 则，解得：， ∴． （3）解：如图：当相遇前两车间的距离是200千米时， 由图像可知：， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶小时，两车相距200千米； ②如图：当快车到达乙地前，两车相距200千米时， 由题意的点，， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶5小时，两车相距200千米； ③当快车返回甲地前，两车相距200千米时， 由题意可得：快车到达乙地共用时6小时，返回甲地行驶时间小时， ∴快车返回甲地的速度为， ∴快车返回甲地前，两车相距200千米，快车行驶时间为 小时． 综上，快车行驶2小时或5小时或小时时，两车间的距离是200千米． 6．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：m的取值范围是，且m为整数 任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元 【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键． 任务一：设A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y；根据题意列二元一次方程组即可解答； 任务二：根据租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，列不等式求解，结合租车公司最多提供6辆A型客车，即可解答； 任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y． 根据题意得 解得 答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人， 则即 解得 因为租车公司最多提供6辆A型客车， 所以m的取值范围是，且m为整数； 任务三：根据题意得 即 函数图像开口向下，关于对称， 因为 所以当时取最小值 答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元． 7．（2025·江西抚州·二模）调查校园学生寝室晾衣项目 背景材料 图1是某校男生寝室前用绳子晾衣图片，经观察测量得到如下信息： 绳子两端距离，绳子中间最低点到线段的距离为，以的中点为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（图2），其函数关系为． 任务一：数学建模 （1）根据给定数据，求抛物线的解析式，并直接写出自变量的取值范围； 任务二：实际应用 （2）若，之间两个夹子，之间的距离为，且，求点到的距离； 任务三：问题解决 （3）若为了防风加固，在晾衣绳中间加一根竹竿，使原晾衣绳子变成两条与原抛物线形状相同的抛物线（竹竿在轴所在直线上，且竹竿顶端点在抛物线上）．点到线段的距离为．求此时晾衣绳最低点到线段的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）晾衣绳最低点到线段的距离为或 【分析】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用抛物线性质解决实际问题； （1）根据题意得出，，待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得点的横坐标，进而代入（1）中解析式求得点的纵坐标，即可求解； （3）根据形状相同设解析式，分点在的上方和下方两种情况分析，进而根据顶点式求得定点坐标，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，，，的中点为原点， 则，代入 ∴ 解得： ∴ （2）因为，，为中点，所以横坐标为 把代入得：； ∴到距离为。 （3）依题意，， 当点纵坐标为， 设轴右侧的新抛物线为 代入， ∴ 解得： ∴ 此时晾衣绳最低点到线段的距离为． 当点纵坐标为，同理可得 ∴此时晾衣绳最低点到线段的距离为． 答：晾衣绳最低点到线段的距离为或． 8．（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 9．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 【答案】（1）；；；（2）不能围出面积为 的矩形；图象和理由见解析；（3） 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为，解答即可； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可．． 【详解】解：将反比例函数与直线联立得， ， ， ，， 方程组的解为或， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；；； （2）不能围出面积为 的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线联立得， ， ， ， 无解， 故两个函数图象无交点； 的图象，如图中所示：   与函数图象没有交点， 不能围出面积为 的矩形． （3）如图中直线所示， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， 有唯一解，即：方程只有一个解， ， 解得：，（舍去）． 真●题●验●证 1．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 2．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 3．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 4．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 5．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 6．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为_______千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 8．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 9．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 10．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 11．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $