专题02 函数的图像与性质（专题专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 函数的图像与性质 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新情境 新定义 新考向 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 函数自变量取值范围求解 题型02 根据点的坐标特征求坐标 题型03 待定系数法求函数解析式 题型04 根据函数解析式判断其性质 题型05 比较函数值的大小 题型06 一次函数k、b符号与图像象限判断 题型07 函数图像的判断 题型08 反比例函数k的几何意义应用 题型09 函数与不等式 题型10 二次函数a、b、c及判别式符号判断 题型11 函数最值问题（增减性） 题型12 多函数综合问题 题型13 函数图像平移规律应用 题型14 函数图像翻折、旋转、折叠变换 题型15 动点问题的函数图像问题（识别图像） 题型16 动点问题的函数图像问题（计算问题） 题型17 线段最值问题 题型18 周长最值问题 题型19 特殊三角形存在性问题 题型20 特殊四边形存在性问题 题型21 线段、面积存在性问题 题型22 角度存在性问题 题型23 函数含参问题 题型24 函数整点问题 题型25 函数新定义问题 题型26 函数与几何图形综合 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新情境函数最值探究问题】（考查二次函数与反比例函数的性质综合，及换元法、分类讨论思想的应用） 1．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无；（2）最小，3；（3）存在最大值，最大值为；（4）无最值，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 【新定义 “兄弟函数” 综合问题】（考查二次函数的解析式求解、图象平移、根的判别式，及新定义规则的应用） 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①，②，③ 【分析】(1)求出点、的坐标，用待定系数法求出的“兄弟函数”的解析式； (2)根据“兄弟函数”的定义可知，若有“兄弟函数”，需要与轴有两个交点，根据一元二次方程根的判别式即可求出的取值范围； (3)根据运动秒后，移动距离为，可知抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位，根据平移的方向可以得到当和时抛物线的解析式；联立、 ，可得：，可得：，根据点在上，可知点的坐标为，因为点为中点，可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为，顶点坐标为， 设的“兄弟函数”的表达式为：， 把点坐标代入上式得：， 解得：， 的“兄弟函数”的解析式为， 答案为：； （2）解：存在“兄弟函数”，理由如下： 令， 当时， 抛物线与轴有个交点， 解得：； （3）解：由题可得，移动速度为每秒个单位长度，射线是角平分线， 抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位， 此时，：，顶点为， 令，则，点的坐标为， 同理可得：：， ①当时，：， ②当时，：， ③由题可得：，顶点为， ：，直线的函数表达式为：， 联立、 ，可得：， 整理得：， 两个函数的交点为点和点， 由韦达定理得：， 即：， 解得：， 则点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点为中点，则， 解得：， 答：的值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移、二次函数图象与轴交点问题、二次函数的图像与性质． 【新考向问题】（考查一次函数翻折对称性、二次函数与反比例函数解析式求解，及函数交点个数与根与系数关系的综合应用） 3．（2025·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)或1 (3)2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点代入，求出的值，待定系数法求出的值和二次函数的解析式即可； （2）根据对称性，求出，根据与恰好有2个公共点，分2种情况，画出图象，数形结合进行求解即可； （3）根据与恰好有3个公共点，得到与有一个交点，与有两个交点，联立两条直线的解析式，求出，联立直线和抛物线的解析式，根据根与系数的关系求出，再根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴； ∵反比例函数经过A点， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴直线经过点， ∵点关于的对称点为，直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线， ∴直线过点和， ∴，解得， ∴， 由（1）可知：，， ∴， 当与恰好有2个公共点时，分2种情况： ①当经过点时，如图， 则：； ②当直线与只有一个交点时，满足题意，如图， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； （3）由（2）可知：， 当与恰好有3个公共点时，则与有一个交点，与有两个交点，如图， 令，则，即， 令，整理，得， 由题意，方程的两个根为，故， ∵， ∴，解得． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 函数自变量取值范围求解 1．（2025·浙江杭州·二模）在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件得出，解一元一次不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故在函数中，自变量的取值范围是， 故答案为：． 2．（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可． 【详解】解：由题可得， 解得且， 故答案为：且． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的、分式的分母不能为0求解即可得． 【详解】解：可化为， 则， 解得且， 故答案为：且． 题型02 根据点的坐标特征求坐标 4．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标特征，反比例函数的性质，由点的坐标特征以及题意得出在第三象限，由反比例函数的性质可得图象经过的两个点是，，再求出反比例函数的解析式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，点在第二象限，在第一象限，在第二或三象限， ∵点，，分别在三个不同象限， ∴在第三象限， 由反比例函数的性质可得：图象经过的两个点是，， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得， 故答案为：． 5．（2025·广东东莞·一模）若点在第四象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特点，求不等式组的解集，熟练掌握象限内点的坐标特点，是解题的关键．根据第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：点在第四象限，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法，熟练掌握点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，根据整点可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵点是第三象限内的整点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点M与点N关于x轴对称， ∴； 故选B． 7．（2025·广东东莞·模拟预测）已知点，且轴，则a的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标规律，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解答的关键． 平行于x轴的直线上的点的坐标特征：纵坐标相等，据此进行解答即可． 【详解】解：∵点，且轴， ∴， 解得， 故选：D． 题型03 待定系数法求函数解析式 8．（2025·云南西双版纳·一模）若一个反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数式子，熟悉掌握运算方式是解题的关键． 设反比例函数的解析式为：，把代入运算即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为：， 故选：C． 9．（2025·山西临汾·模拟预测）已知是平面直角坐标系中的点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分别代入四个选项中的解析式，求出对应的值，如果，那么符合题意；否则不符合题意． 本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，函数图像上的点的坐标一定满足该函数的解析式． 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意． 故选C． 10．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可得， ，解得：， ∴二次函数解析式为， 、∵， ∴图象的开口向上，不符合题意； 、当时，， 解得：，， ∴图象与轴的一个交点坐标为，符合题意； 、图象的对称轴是直线，不符合题意； 、∵，图象的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 故选：． 题型04 根据函数解析式判断其性质 11．（2025·安徽芜湖·二模）关于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．它与直线没有交点 B．随着的增大而增大 C．图象位于第一、三象限 D．图象经过点，则 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，正比例函数的图象性质，熟悉掌握图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：经过二，四象限，经过一，三象限，它与直线没有交点，故A正确； B：在每一个象限内才会随着的增大而增大，故B错误； C：经过二，四象限，故C错误； D：把代入可得：，解得：或，故D错误； 故选：A． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．的面积是4 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的图象与坐标轴交点问题等； 当时，，即可判断A；当时，，求出的面积即可判断B；因为，由一次函数增减性即可判断C；当时，，即可判断D； 【详解】解：A.当时，，所以，故不符合题意； B.当时，，的面积是，故符合题意； C.因为，所以随的增大而增大，故该选项不符合题意； D.当时，，所以点不在函数图象上，故不符合题意； 故选：B． 13．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 题型05 比较函数值的大小 14．（2025·河南周口·三模）已知点，，都在反比例函数的图象上，分别比较：，，的大小，下面四位同学的做法中正确的是（   ） A．甲：令，则 B．乙：无论取何值，都有 C．丙：当时，；当时， D．丁：当时，；当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，分和两种情况讨论各点值的大小关系即可．熟练掌握反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小；当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：当时，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故A、B、D错误，C正确； 故选：C． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据二次函数的对称性比较函数值的大小是解题的关键；先求出对称轴，再根据时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ，， ， 故选：． 16．（2025·广东清远·二模）已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握“时，随的增大而增大；时，随的增大而减小”是解题的关键．由题意可知，，那么随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：一次函数， ， 随的增大而减小， 图象上两点、，， ， 故选：B． 题型06 一次函数k、b符号与图像象限判断 17．（2025·安徽·模拟预测）一次函数，y随x的增大而增大，该函数图像不经过第（   ）象限 A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质和图像，掌握相关知识是解决问题的关键．因为y随x的增大而增大，所以，根据一次函数图像与系数的关系确定函数图像所过象限即可． 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴， ， ∴一次函数图像过一、二、三象限， ∴函数图像不经过第四象限． 故选：A． 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性得到，然后分别把四个选项的点的坐标代入解析式求得的值，即可判断． 【详解】解：和是一次函数图象上的两点，且， 随的增大而减小， ， 、将代入得，， ，符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 、将代入得，不成立， ∴该一次函数的图象不经过点，故不符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 故选： 19．（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数，函数y的值随x值的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求不等式组的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的解集即可解答． 【详解】解：由题意得，， 解得：， m的值可以是． 故选：C． 题型07 函数图像的判断 20．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 21．（2025·广东广州·二模）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据题意可得，再根据一次函数和反比例函数经过的象限分别求出对应选项中的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴； A、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第二、三、四象限，则，不符合题意； B、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，符合题意； C、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，不符合题意； D、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，不符合题意； 故选：B． 22．（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． 题型08 反比例函数k的几何意义应用 23．（2026·江苏无锡·一模）如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形性质，根据反比例函数系数的几何意义及相似三角形的性质得，进而得出，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，是双曲线上的两点，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵是的中点，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 24．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义．过点D作轴于点F，过点B作轴于点E，设点，则，根据，结合相似三角形的性质写出点B和点D的坐标，再结合的面积列出方程求解即可． 【详解】解：过点D作轴于点F，过点B作轴于点E， 则 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，，， ∵点B和点D在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故选：D． 25．（2026·上海普陀·一模）如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，求得是解题的关键． 先求出为中边的中线，求出面积的比例，再推导为中边的中线，根据中线得出为重心，求出，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵的中点为， ∴为中边的中线， ∴，即． 四边形的面积等于的面积，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵和高相等， ∴， ∴为中边的中线．     ∴为的重心， ∴， ∵设和过点的高为， ， ∴， ∴， ∴． ∵设，， ∵， ∴，即，即 ∴，即． ∵点、点在双曲线上， ∴， 将代入①中得：，即， ， ， ． 故答案为：． 26．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空：________； 【深入探究】 （2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（）见解析；（），理由见解析． 【分析】（）由于点是反比例函数的图象上一点，则，根据即可求出的值； （）设，，由轴，轴，则，，求出直线的解析式为，当时，，从而求解； （）连接交于点，证明四边形是矩形，则，，，所以，，故有，由，则可得，则，然后通过平行线的性质即可求解． 【详解】解：（）由于点是反比例函数的图象上一点， 则， 又∵， ∴， 答案：； （）由（）知：， 设，， ∵轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上； （），理由如下： 如图，连接交于点， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，等边对等角，矩形的判定与性质，一次函数的性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型09 函数与不等式 27．（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键．根据图象即可求得． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式的解集是， 故选：C． 28．（2025·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是依据函数图象的上下关系解不等式，解决该题型题目时，根据函数图象位置的上下关系结合交点的坐标，找出不等式的解集是关键．根据函数图象的上下关系，结合交点的横坐标找出不等式的解集，由此即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象，发现： 当或时，直线的图象在双曲线的图象的下方， 当时，x的取值范围是或 故选C 29．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 题型10 二次函数a、b、c及判别式符号判断 30．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为，抛物线与轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先确定抛物线对称轴为，根据对称轴直线可判①；先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与轴交点的位置，确定的正负，进而判定的正负，可判②；运用函数确定方程的根的情况，即可判定③；先确定点的横坐标，然后根据二次函数图像的对称性求得与轴的另一个交点的横坐标，即可判定④． 【详解】解：①由题可知抛物线的对称轴是直线， 则， 则, 故①错误，不符合题意； ②∵抛物线开口向下，则， ∵对称轴在轴右侧，则， 抛物线与轴交于正半轴，则， ， 故②错误，不符合题意； ③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意； ④∵抛物线对称轴是，， ∴抛物线与轴的另一个交点是， 故④正确，符合题意． 则有两个正确 故选：B ． 31．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．其中正确结论的个数是（） ①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为,得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得, 即得，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得. ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数图象开口方向，二次函数图象与ｘ轴、y轴的交点，对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性增减性，从函数图像中获取信息，是解题的关键． 32．（2026·陕西·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②方程没有实数根；③；④．其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值在轴的下方， ∴抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 题型11 函数最值问题（增减性） 33．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是______． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． 34．（2025·江苏南京·二模）已知反比例函数（为常数，），当时，的最大值与最小值的差为2，则______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．分两种情况讨论，利用反比例函数的增减性分别列方程求解即可． 【详解】解：①若，则反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 当时，的最大值与最小值的差为2， ， 解得：； ②若，则反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 当时，的最大值与最小值的差为2， ， 解得：； 综上可知，， 故答案为：． 35．（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数值最小，， 二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小， ， 当时，函数值最小，， ， 故答案为：． 36．（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函效的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．根据题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法即可求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为：直线，顶点坐标为． ， 抛物线开口向下． 当时，； 当时，． ①当，即时，如图1． 当时，， 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）； ②当，即时，如图2． 当时，， 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）； ③当，即时，如图3． 当时，最大值， 当时，， ， 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 题型12 多函数综合问题 37．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，将代入，求得，再将点代入即可求解； （2）设点，则，则．可得，分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 可知， ∴， ∴． 又点在上， ∴． ∴反比例函数为． （2）解：如图，    设点，则， ∴． ∴, 由， 解得，， 则， ①由图可知，在第二象限当时，， ∴化简为， ∵， ∴此种情况不存在． ②由图可知，在第二象限当时，， ∴化简为， 解得或． 又∵， ∴． 综上，． 38．（2026·内蒙古·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，求证：； (3)当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为，的值分别为 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答．当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ （3）如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． 39．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 【答案】(1)； (2)点为线段中点 (3)直线过线段中点，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可； （2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系； （3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． 题型13 函数图像平移规律应用 40．（2026·上海黄浦·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移的性质，运用勾股定理求出两点之间的距离，先把一般式化为顶点式，找出抛物线的顶点坐标，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， ， 则抛物线的顶点坐标为， 依题意，， 即平移的距离至少是． 故答案为：， 41．（2026·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 【答案】（或） 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：将原抛物线配方化为顶点式得： ． 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，将抛物线向左平移个单位，自变量加，再向下平移个单位，整体减，可得： ． 整理得：． 化为一般式得． 42．（2026·全国·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移1个单位长度后与轴交于点，与双曲线交于点．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，直线的平移，熟练掌握反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 设点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，确定、的长，继而得到，根据反比例函数的性质列出等式计算即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∴四边形是矩形，， 设点，则，， 设点为轴正半轴上一点， 根据平移的性质，得到， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形，直线与轴交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵、都是双曲线上的点， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 题型14 函数图像翻折、旋转、折叠变换 43．（2025·四川眉山·二模）将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示． （1）当直线过点时，则的值为___________； （2）当直线与新图象有四个公共点时，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】（1）由题意得，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为，将点B代入解析式中求解，即可解题． （2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出a的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出b的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：（1）令， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为． 当直线过点B时，， 解得，； 故答案为：； （2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 将代入， 得， 解得． 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得． ∴当直线与新图象恰有四个公共点时，a的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 44．（2025·江苏宿迁·三模）如图，将反比例函数的图像绕点顺时针旋转，旋转后的图像与轴交于，若，则______． 【答案】 【分析】作出点 旋转前的对应点，根据旋转的性质可得，，过点作 轴于点，根据得出，根据勾股定理求出，即可得出点的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，作出点 旋转前的对应点，， ∵， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵，即 ， ∴， 在 中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得： ，负值舍去， ∴， ∴ 把代入，得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握旋转前后对应点到旋转中心连线相等，所成的夹角等于旋转角，勾股定理，以及用待定系数法求解函数表达式的方法． 题型15 动点问题的函数图像问题（识别图像） 43．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为， ，， ， 由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为， ①当时，， 则； ②当时，， 则； 综上，与之间的函数关系式为， 根据二次函数的图像与性质，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 44．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、动点的函数图象问题，解题的关键是通过相似三角形得到边的关系，进而得出关于的函数表达式，再根据函数性质判断函数图象． 先求出的长度以及、的长度，通过角度关系证明，得出，根据边的关系求出关于的表达式，进而得出关于的函数表达式，根据函数性质确定函数图象． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 过点作于点， ， ， ， ， ， 又当时，即，， ， 关于的函数的图象是将反比例函数的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只有选项C符合条件． 故选：C. 45．（2025·甘肃定西·模拟预测）众志成城，预防“禽流感”．在这场没有硝烟的战斗中，科技工作者和医务人员通过探索，把某种药液稀释在水中进行喷洒，消毒效果较好，并且发现当稀释到某一浓度a时，效果最好而不是越浓越好．有一同学把效果与浓度的关系绘成曲线（如图），正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图像的实际应用，熟练掌握根据实际问题分析函数变化趋势是解题的关键．根据题意，消毒效果随浓度变化的规律为：从无到有，随浓度增加效果先上升，达到某一浓度时效果最好，之后继续增加浓度，效果反而下降，且浓度为0时效果为0． 解题思路：逐一分析每个选项的曲线是否符合“效果从0开始，先上升后下降”的变化趋势． 【详解】解：浓度不能为负数，消毒效果也不能为负数，但A选项中，浓度为负数，消毒效果也为负数，故A项错误； B选项中，曲线过原点，且趋势为先上升后下降，故B项正确； 浓度为0时，消毒效果为0，曲线应过原点，但C选项中，浓度为0时效果不为0（曲线与纵轴负半轴相交），故C项错误； 消毒效果并非随浓度增大而一直上升，但D选项中，曲线呈持续上升趋势，与题意矛盾，故D项错误． 故选：B． 46．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 题型16 动点问题的函数图像问题（计算问题） 49．（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动， 点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒， ， 由点P和点Q的运动可知，， 当点Q在上时，即时，， 过点P作交于，   ， ， ， 当点Q在上时，即时，   四边形是菱形， ， ， 由上可知，当点Q到达点C时，， 即当时，， 故选：C 50．（2026·浙江·一模）如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．y的最小值为64 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合图象可求出的长，过点作交于点，由图2知，点为最高点，当点和点重合时，最大，根据三角函数和勾股定理可求出和，进而判断选项B和选项C；用的值可判断选项A；当，即点和点重合时，有最小值，进而判断选项D． 【详解】解：由图2可知，当时，，即， ∴， ∵D是边的中点， ∴； ∵， 即，，， 此时，， 如图，过点作交于点，则有为等腰三角形， ∴，； 由图2知，点为最高点， ∵当点和点重合时，最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故选项C错误； ∴，， ∴，，故选项B正确； ∴，故选项A错误； 由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小， 此时， ∴， ∴的最小值为，故选项D错误． 故选：B ． 51．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查由图象获取信息，菱形的判定及性质，锐角三角形函数，掌握相关知识是解题的关键． 由题意可得，菱形的面积为12，，根据菱形的面积公式即可求出，从而判断A选项；连接，根据菱形的对角线互相垂直平分可求出，，再由勾股定理求出，根据正弦的定义即可判断B选项；当时，，可得点O与点E重合，设与相交于点M，与相交于点N，连接，交于点H，证明重合部分四边形是菱形，求出，的长，进而求出菱形的面积，即可判断C选项；由图象可得，当时，，即可判断D选项． 【详解】解：由题意可得，当菱形与菱形重合时，重叠部分的面积y最大，此时点P与点C重合时，点E与点A重合，，重合部分的面积y是菱形的面积， 由图象可得，此时，， ∴，， ∵，即， ∴，故A选项错误． 连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，， ∴，故选项B错误； 当时，， ∵在菱形与菱形中，，且， ∴菱形与菱形全等， ∴， ∴， ∴， ∴点O与点E重合，如图所示， 设与相交于点M，与相交于点N，连接，交于点H， ∵在菱形和菱形中，，， 又， ∴，， ∴，， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴ ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴， 即，故选项C正确． 由图象可得，当时，，故选项D错误． 故选：C． 题型17 线段最值问题 52．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践 如图1，抛物线与轴相交于，两点，且，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点是抛物线上任意一点，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______； (3)如图2，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； (4)如图3，点与动点在直线上，点与动点在抛物线的对称轴上，则的最小值为______． 【答案】(1)；顶点坐标 (2)点的坐标为或 (3) (4) 【分析】（1）待定系数法求解析式，二次函数顶点解析式求顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，求出直线解析式，然后联立求交点坐标； （3）过点作，交于点，证明，当的值最大时，的值最大，表示出的最大值，即可求出三角形的面积； （4）令抛物线对称轴与直线交于点，过点作，过点作，在射线上截取，连接，交抛物线对称轴于点，交于点，连接，过点于点，利用角平分线得出线段和最小值的情况，然后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 将，代入得， 解得 ∴， ∵， ∴顶点坐标； （2）解：①如图所示，此时，，交轴于点， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴， 联立， 解得或， ∴； ②如图所示，此时，， ∴， 假设的解析式为， 将代入得， ， ∴ 联立， 解得或， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴， 当的值最大时，的值最大， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 假设，则， ∴， 当时，的值最大，最大值为， ∴； （4）解：如图所示，令抛物线对称轴与直线交于点，过点作，过点作，在射线上截取，连接，交抛物线对称轴于点，交于点，连接，过点作于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴，且存在， ∴的最小值为线段的长度， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即的最小值为． 53．（2025·山东潍坊·二模）小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 【答案】（1）①②；（2）最小值为；（3）见解析 【分析】（1）①在直角三角形中，求斜边上一点到直角顶点线段的最小值，需根据“点到直线的距离，垂线段最短”这一原理，利用三角形面积公式求解； ②先确定点绕点旋转后的轨迹，再根据“点到圆的距离”相关原理求最小值； （2）通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值； （3）先通过三角形全等证明四边形是平行四边形，再利用“将军饮马”模型或勾股定理结合几何直观求其周长最小值． 【详解】解：（1）①在中，当时，最短， 由三角形面积公式， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：； ②∵点为中点，， ∴， 线段绕点顺时针旋转，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．当，，三点共线且在线段上时，最小， 此时，由①知最小值为， ∴最小值为； 故答案为： （2）过点作轴，交直线于点， 由题意得，点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴，当时，取最小值为， 此时，取最小值，值为． （3）∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形周长为邻边之和的2倍， ∴平行四边形周长最小时，即是邻边之和最小． 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，取最小值， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形周长最小值为20． 【点睛】本题综合考查了初中几何中距离相关的多个知识点，包括点到直线的距离、点到圆的距离，三角形全等、等腰直角三角形的性质、二次函数的最值以及平行四边形的判定和“将军饮马”模型等．解题关键在于准确理解各种距离的基本原理，合理运用几何图形的性质和判定定理，通过作辅助线、建立函数关系等方法将问题转化为可求解的形式． 54．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题. (1)如图，在矩形中，，分别为和的中点，连接，为上的一动点.若，，则得最小值为_______. (2)如图1，抛物线与x轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点. ①求抛物线的函数解析式. ②抛物线的对称轴为直线，P为直线上的一动点，求的最小值. ③如图2，为直线上的一点，连接，请直接写出的最小值. 【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【分析】（1）连接，交于点，由得到当点在和的交点上时，有最小值，利用勾股定理求解； （2）①点，代入求解； ②连接，与交于点，根据点在抛物线的对称轴上，得到的值最小，最小值为的长，求出点的坐标，代入解析式求解； ③过点作直线，使得，过点作，交于点，过点作于点，利用解直角三角形的知识求出和，再利用解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）解：连接，交于点，如下图 ，，分别为和的中点， 当点在和的交点上时，有最小值，最小值为的长度． ，， ， 的最小值为：． 故答案为：． （2）解：①将点，代入， 得 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ②如图1，连接，与交于点． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴，即此时的值最小，最小值为的长， 令，则， 解得或， ∴点， 则， 即的最小值为． ③． 如图2，过点作直线，使得，过点作，交于点，则点即为所求． ∵， ∴， 则． 过点作于点， 则． ∵， 则，． 在中，， 同理，可得． 在中，，， 则， ∴， 则的最小值． 【点晴】本题考查了根据矩形的性质求线段的最小值，抛物线解析式求法，勾股定理，解直角三角形，理解相关知识是解答关键． 题型18 周长最值问题 55．（2025·四川凉山·一模）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长； (3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)8 【分析】（1）根据，得到，利用待定系数法依次解答即可； (2) 设点，根据对称性质，得到，确定点，根据题意，连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且为 ，利用勾股定理，计算， 设直线的解析式为，确定解析式即可求得交点的坐标． (3) 过点E作轴于点G，根据，得， 于是，故 ，利用，故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，解答即可． 【详解】（1）解：根据， ∴， ∵在上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． （2）解：设点， ∵， ∴的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴点， ∴， ∴， ∵A，B是对称点， ∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 当时，， 故， ∴的周长最小时，，的周长为． （3）解：过点E作轴于点G， 根据， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为， 故， 故的最小值为8． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的性质，勾股定理，三角函数的应用，垂线段最短，熟练掌握三角函数的应用，抛物线的性质计算是解题的关键． 56．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； (3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 【答案】(1)； (2)； (3)P( ， )；． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，构造二次函数求三角形面积的最大值，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． （1）运用待定系数法解答计算即可． （2）首先求出二次函数的解析式得出点A，B，C，的坐标，)设， 作轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于m的方程求解即可; （3）连接，，．设，结合的周长为，得当的值最大时，的周长最大，利用求得最值，代入计算即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， （2）∵， ∴二次函数表达式为：， 令，解得或， 令得， ∴，，． ∴， 设， 作轴于点H，如图， ∵， ∴，即， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴M的坐标为； （3）设直线的解析式为，， 则， 解得：． ∴直线的解析式为． 连接，，． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为， ∴当的值最大时，的周长最大， ∵ ， ∵， ∴时，的面积最大，面积的最大值为，，根据是定值，故此时的值最大， ∵， ∴， ∴的周长的最大值：，此时． 57．（2025·河北唐山·二模）如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于、两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，得到一个矩形． (1)求、两点的坐标； (2)当时，求点的坐标，并直接写出此时矩形的周长； (3)矩形的周长是否随点位置的变化而变化？说明理由． 【答案】(1)， (2)，矩形的周长为8 (3)矩形的周长不随点位置的变化而变化，周长总等于8，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出自变量为0时的函数值，求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案； （2）根据题意得到，证明得到，则可求出，据此求出点P坐标得到，再根据三角形周长计算公式可得答案； （3）设点坐标为，则，，将点坐标为代入中得整理得，，则，据此可得结论． 【详解】（1）解：将代入，得，解得， ； 将代入，得， ； （2）解：当时，， 由矩形的性质可得， ， ， ， ， ， ， 将代入，解得， ， ∴， ∴此时矩形的周长； （3）解：矩形的周长不随点位置的变化而变化，周长总等于8，理由如下： 设点坐标为 点在第一象限， ，， 将点坐标为代入中得 整理得，， ， 矩形的周长不随点位置的变化而变化，周长总等于8． 题型19 特殊三角形存在性问题 58．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． (1)连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为，； (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点． （）①先利用点和的坐标求出直线的解析式为，再将其与一次函数联立，解方程组得到交点的坐标为，最后通过两点间距离公式计算出的长度即可；②先根据四边形是矩形的性质，得出且；再由直线的解析式推出直线的解析式为，将其与反比例函数联立求解，结合点在直线上方的条件确定的坐标；最后通过两点间距离公式求出的长度即可； （）先利用直线的表达式结合反比例函数设出点的坐标；再通过作垂线构造直角三角形(过点作点)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得坐标)，推导与的数量关系；接着分点在直线下方和上方两种情况，结合对称性(直线与反比例函数关于对称，点在上)，通过坐标关系(如)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：(i)设直线的解析式为， ∵点的坐标为，代入解析式， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立与一次函数，得 ， 解得， 所以点的坐标为， ∴的长为， (ii)如图， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 联立， 解得或， ∵点在直线的上方， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （2）解：存在点使得为等边三角形， 理由如下：设直线为直线， 令得，，令得，， ∴，， ∴直线与两坐标轴的坐标为，即直线与两坐标轴围成了等腰， ∴直线与轴夹角为， ∵直线的解析式为， ∴直线是两坐标轴的夹角平分线， ∴，， 过点作点， ∴， 设点，设直线的表达式为， ∴， 联立， 解得， ∴， 则， ∴，即， ①如图，当点在直线下方时.过点作轴，交直线于点， ∴， ∴在中， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点即为点， ∵是等边三角形，轴， ∴由等边三角形的性质，点的横坐标与的中点坐标的横坐标相等，即即， ∴设，则， ∵点在双曲线上， ∴， 解得(舍去)， ∴， ②当点在直线上方时， ∵直线和反比例函数图象都关于直线对称，点在直线上， ∴由对称性得点关于直线的对称点也满足题意， 如图，连，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与对应边与边上的高相等，即的纵坐标等于的横坐标， ∴将代入中得， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 59．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，， ∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴， ∴．    ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∵， ∴或 ∴或， ∴点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或 （4）解：存在， 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或0； 此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或； ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或0（舍去）； ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，以及几何变换轴对称—最短距离，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 60．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)存在，点坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：存在点使，理由如下： 假设存在点使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得，（不合题意舍去）， 则坐标为， ，， ， ， 存在点使； （3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点的坐标为， 设，，， 当是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去），   ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点坐标为，，，． 题型20 特殊四边形存在性问题 61．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为； （2）设点，则点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；②当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；③当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，   ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； （3）解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 62．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 题型21 线段、面积存在性问题 63．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、，于轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得与该抛物线没有公共点，请直接写出的取值范围________________． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)或与抛物线没有公共点 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则， 解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则， 解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， 整理得：， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则， 解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转． 64．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先根据题意求出点A，C的坐标，再运用待定系数法利用交点式求出抛物线函数关系式； （2）由于的长度保持不变，所以当最小时，周长最小，应用轴对称性质可知，连接交对称轴于点M，由三角形三边的关系可知此时周长最小，运用待定系数法求出直线的函数关系式，把代入，即可求得点M的坐标； （3）设点P的坐标为，由，可得：，再分两种情况：当点P在x轴上方时或当点P在x轴下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设抛物线的函数表达式为（）． 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和， ∴的长度保持不变， ∴当最小时，周长最小， ∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称， 故连接AC交对称轴于点M， 由三角形三边的关系可知此时周长最小， 设直线的函数关系式为（）， 把代入直线的函数关系式，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴所求点M的坐标为； （3）解：存在，设点P的坐标为， ∵， ∴， ①当点P在x轴上方时， 则， 解得：， ∴或； ②当点P在x轴下方时， 则， 解得：， ∴或； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论，是解题的关键． 65．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的点． ①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)①存在，可使最小；②可使线段与的差最大． 【分析】本题考查了反比例函数的综合知识，解直角三角形． （1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）①首先求得点A关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标； ②求得直线的解析式后求得直线与x轴的交点坐标即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，，可设，， ∴，又， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数图象上， ∴； ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，即点C的坐标为； ①在x轴上存在点P，使得最小． 理由如下：由点可知它关于x轴的对称点为， 设直线的解析式为：， ∵与在其图象上， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，可知， ∴可使最小； ②在x轴上存在点Q，使得线段与的差最大．理由如下： 设直线的解析式为：， ∵与在其图象上， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，可知， ∴可使线段与的差最大． 题型22 角度存在性问题 66．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①0或3或或；②存在，理由见解析；③ 【分析】（1）根据，是方程的两个根求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①分情况讨论：当为平行四边形的对角线、为对角线、为对角线时，根据两条对角线的中点相同，进行列方程组求解即可； ②求出角的之间的关系，再用三角函数求解即可； ③运用轴对称求两条线段和最短即可． 【详解】（1）解：，是的两个根， ，， ，， 抛物线与x轴相交于A、B两点， ， 解得， 抛物线函数表达式为； （2）①解：0或3或或，理由如下： 令得：，解得， 令得：， 则点、， 抛物线与y轴相交于点C， 则点， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为、点的坐标为， 当为平行四边形的对角线时， 的中点为、的中点为， 则 解得或， 令时，，点的坐标为、点的坐标为， 令时，，点的坐标为、点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 解得； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 整理得， 判别式， 则没有实数解， 综上所述，点的横坐标为，，，； ②解：存在，理由如下： 直线与x、y轴分别交于点D、E， 时，， 当时，，， ∴点、， ，， ， 由抛物线可知：当时，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 设，则，， ， （舍去）或， ； ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N， 设，，设直线MN的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为； 联立方程组， 得， ， 将代入，得： ， ， 解得：， 将代入，得： ， ， ， 解得：， 联立方程组， 得出， 点Q在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点E关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 则， 由轴对称性质可得， 的最小值， 由两点之间线段最短可得：线段的最小值为， ， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、轴对称—最短路径问题、解直角三角形的应用，数形结合思想方法的运用是解题的关键． 67．（2025·山东济南·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值是6 (3)存在，或 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则 ，根据抛物线的性质解答即可． (3) 取点，过点Q作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， ∴，，， 设，则，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为6． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点Q作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴,，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，角的和计算，平行线的函数思想判定，平行线的性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 68．（2025·青海西宁·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上是否存在点，过点作垂直于轴交轴于点，交直线于点，求的最大值； (3)抛物线上是否存在一点，使直线与轴所夹锐角是的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)的最大值为； (3)存在，点的坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把点代入抛物线，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到直线的解析式为，设，则，由此得到，根据二次函数图象的最值的计算即可求解； （3）根据题意，分类讨论：①如图所示，点在轴上方，设直线与轴交于点，；如图所示，点在轴下方；根据锐角三角函数的计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限抛物线上，轴，点在轴上，点在直线的图象上，如图所示， ∴设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下， ①如图所示，点在轴上方，设直线与轴交于点，， ∵， ∴，作点关于轴的点，则，连接，过点作于点， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，，， ∴（与点重合，不符合题意，舍去），； ②如图所示，点在轴下方， 同理，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，，， ∴（与点重合，不符合题意，舍去），； 综上所述，存在，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数最值的计算，二次函数与几何图形面积的计算，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 题型23 函数含参问题 69．（2026·全国·模拟预测）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)将抛物线向右平移个单位后得到抛物线，当时，抛物线与抛物线有一个交点． ①求m的取值范围． ②设抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，的外接圆圆心为点．求n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①由题意得到可记为，求得两个分界点和，再代入计算即可求解； ②由抛物线和圆的对称性求得点横坐标，再求得，再利用半径相等得到，整理得，据此求解即可． 【详解】（1）解：（为常数）经过点， ， ． ； （2）解：①如图1，向右平移后可记为， 当时，，当时，， 当经过点时， （0舍去）． 当经过点时，， （0舍去）． 综上：m的取值范围为； ②如图2， 由题意可知，垂直平分， 点横坐标， 又， ， ， ， 化简，，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、圆的相关性质、解一元二次方程等知识，数形结合是解题的关键． 70．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 【答案】(1)①抛物线的表达式为；②点B的坐标为或 (2)当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合三角函数、一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①由，判断出点的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可；②由重心的性质，结合相似三角形即可求出点的坐标； （2）结合函数图像，可判断当顶点恰好在线段上时满足该情况，结合图像判断，由于时，函数值，在点下方，故时，函数值应在点上方，也可满足抛物线与线段有且只有一个公共点，据此求出的取值和取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 故点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，且在轴负半轴上， ∴点的坐标为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． ②解：∵重心是三角形中线的交点，且重心将中线分割成长度为的线段，若重心在轴上，则点一定在轴的下方， 令中点为，重心为点,过点作轴交轴于点，过点作x轴交轴于点，如下图所示： 由，， 得点的坐标为 假设点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 得， 解得（图左）或（图右）， 当时，， 当时，， 故点B的坐标为或． （2）解：图象开口向下，且经过点， 由此判断当时，函数对称轴为直线， ∴当时，函数值随的增大而减小，故不可能会与线段有交点， ∴， 当抛物线时，得， 化简得 要使方程有一个解，且对应的解应在的范围内， 则， 解得或（舍去）， 当时，， 解得（舍去）或（满足）， 故当时，满足抛物线与线段有且只有一个公共点； 随着的增大，函数与线段有两个交点， ∵当时，函数值，在点下方， 当时，函数值应在点上方，即即可满足要求， 得， 解得， 综上所述，当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点． 71．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得为，为，然后在同一坐标系中画出，的图象，又当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，函数的图象由函数的图象平移得到， ． 函数为． 又函数过， ． ； （2）解：由题意，结合（1）可得为，为， 在同一坐标系中画出，的图象如下． 当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， 那么， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 则， 结合图象可得，． 题型24 函数整点问题 72．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法即可求解； （2）将内，，，分别代入双曲线，即可求出整点； （3）根据的情况进行分类讨论，根据函数图像可得，当时，刚好个整点，进而求得临界值即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴， （2）解：对于双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，没有整点， ∴内整点的个数为个． （3）解：如图，当时，区域内至少有个整点， 当时，， 解得： 内部（不包括边界）不超过个整点，． 73．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，1； (2)； (3)①，，共3个；②或． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案； （3）①根据图象即可求得； ②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为直线， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：，1； （2）解：抛物线G：， 抛物线：， 即， 当时，； （3）解：①当时，则抛物线G：， 顶点为， 令，解得：，， 图象与y轴的交点坐标为， 区域W内的整点有，，共3个； ②当时，如图2， 抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点， ， 解得：， 结合①可得：； 当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点． 经过点时，， 解得：， 经过点时，， 解得：， ， 故如果区域W内恰有5个整点，则或 74．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 题型25 函数新定义问题 75．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）3，；（2）①；②P点坐标为或；③或 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②由①得：函数的图象为抛物线， 令， 解得：或， ∴， 将代入，则， ∴， 令， 解得：或， ∵轴， ∴， 设点， 如图，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 综上，当时，点P的坐标为或； ③∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图象上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 76．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 77．（2026·湖北·模拟预测）已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为,抛物线：． (1)当抛物线经过点时，求抛物线的表达式； (2)把线段绕点旋转得到，若点在抛物线上，求出该抛物线的顶点坐标； (3)定义：第一象限的点的极坐标记为，其中表示的长度，表示与轴的夹角，若在抛物线上，令表示抛物线的顶点的极坐标． 若，则的最小值是________； 令，若要使抛物线在之间的图像上总有两个点的纵坐标相等，直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2)或 (3)；② 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由得，分将线段绕点顺时针旋转得到和将线段绕点逆时针旋转得到两种情况解答即可求解； （）①设抛物线的顶点为，抛物线与轴的另一个交点为，则抛物线的顶点的极坐标为，连接、，则，，，，再根据极坐标的定义解答即可求解；②过点作轴于，可得，进而由勾股定理可得，即得，可得抛物线的解析式为，得到抛物线的对称轴为直线，最后根据抛物线的对称轴应该满足即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合应用，旋转的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ， 把线段绕点旋转得到，分两种情况： 将线段绕点顺时针旋转得到，过点作轴于，如图： 则，，， ， ， 由勾股定理可得，， 即， ， ∴， ∴此时； 把代入到，得， ， 此时抛物线的解析式为， ∴此时该抛物线的顶点坐标为； 将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于，如图： 同理可得此时， 把代入到，得， ， 此时抛物线的解析式为， ∴此时该抛物线的顶点坐标为； 综上所述，该抛物线的顶点坐标为或； （3）解：①设抛物线的顶点为，抛物线与轴的另一个交点为，则抛物线的顶点的极坐标为，连接、，如图： 则，，，， 由图可知，若，即时，则， 的最小值是， 故答案为：； ②过点作轴于，如图： 则，，， ， ， 由勾股定理可得，， 即， ， ∴， 此时， 把代入到，得， ， ∴抛物线的解析式为， ∴该抛物线的对称轴为直线， 若要使抛物线在之间的图像上总有两个点的纵坐标相等，即抛物线上存在两个关于抛物线对称轴对称的两个点，则抛物线的对称轴应该满足， 的取值范围是， 故答案为：． 题型26 函数与几何图形综合 78．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，点D在的延长线上，，，点F在边上，，的延长线交线段于点M． (1)求证：； (2)当点M是的中点时，求证：； (3)已知 ，，设，，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定和性质以及三角函数的应用． （1）由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得到全等三角形的条件； （2）由全等三角形的性质得，，进而证明相似三角形，再根据相似三角形的性质和中点条件得出结论； （3）先根据三角函数求出等腰三角形的边长，再利用相似三角形的性质得到线段比例关系，从而得出函数解析式，并根据实际情况确定自变量的取值范围 【详解】（1）证明：， ． ， ，． ，， 四边形是平行四边形，， ． 在和中， ； （2）证明：由（1）知， ，． ， ． ． ． 是的中点， ． ． ； （3）解：如图，过A作于点H， ，， ，． ． ． ． ， ． ． ， ， ， ，，且， ，． 当E与M重合时，x有最大值． ． ． 79．（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒)． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当 秒时，； (3)设的面积为，求与的函数关系式； (4)在（3）中得到的函数有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)； (4)有最大值，最大值为． 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算、分段函数的构建以及二次函数的图象与性质，关键是根据直线运动时间的不同取值范围进行分类讨论，确定直线与矩形的交点位置，再结合几何性质和函数知识逐步求解． （1）利用矩形的顶点在坐标轴上且对边与坐标轴重合的性质，结合点的坐标直接得出点、的坐标； （2）先通过勾股定理求出对角线的长度，再用待定系数法求出直线的解析式，结合直线与平行得到直线的解析式，分和两种情况，利用相似三角形的对应边成比例的性质列方程，求解出满足的值； （3）分和两种情况，前者借助相似三角形的性质求出线段的长度，再用三角形面积公式推导面积与的关系式，后者利用割补法将的面积转化为与的面积差，计算推导得出对应关系式，进而整合得到分段函数； （4）针对分段函数中两个不同的二次函数，分别根据其开口方向和对称轴的位置，分析各自在对应的取值范围内的最值变化情况，综合两次分析的结果确定出的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，． （2）解：由，，得， ∴． 设直线的解析式为， 将点和点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴直线的解析式为． 分两种情况讨论： ①当时，直线交于，交于， ∵， ∴， ∴，即，解得； ②当时，直线交于，交于，交轴于点． 令，得， ∴． 同理可得， ∴，即， ∴，解得； 综上，的值为或； 故答案为：或． （3）解：分两种情况讨论： ①当时，由，得，即， ∴， ∴； ②当时， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得， ∴，， ∴， 故当时，． 综上，与的函数关系式为 （4）解：①当时，是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴当时，取得最大值，； ②当时，是开口向下的二次函数，对称轴为， ∴在范围内，随的增大而减小，即； 综上，的最大值为． 80．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” (1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． (2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． (3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 【答案】(1)正确，见解析 (2)见解析 (3)k 【分析】（1）由，可得，求证，即可求解； （2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解； （3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可. 【详解】（1）解：正确．证明如下： 由，可得． 又， ， ， ． （2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则； 又，， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ； （3）解：如图（2），连接，，则． 又， ， ，， ， ． 二阶·素养进阶练 1．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是． (1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式． (2)若直线经过抛物线的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点为，设顶点式，再将点代入求值即可； （2）①根据二次函数的性质可得顶点为，将代入直线解析式，根据解方程，即可解答； ②将，代入抛物线解析式，利用解不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为． 设抛物线对应的函数表达式为， 把代入，可得 解得， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①根据， 可得二次函数的顶点为， 把代入， 得， 化简，得． ， ， ， ， 抛物线的顶点坐标为； ②设抛物线对应的函数表达式为． ，． ． ， ， ， ， ． 2．（2026·湖南衡阳·一模）我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)直角三角形面积的最小值为 【分析】（1）①根据提供信息进行解答即可； ②先求出点的“3倍位似点”，然后得出函数的“3 倍位似函数”即可； （2）先求出函数的“2倍位似函数”关系式，然后联立，根据一元二次方程根的判别式得出，整理得出答案即可； （3）先求出、、，然后分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出三角形面积的最小值，再得出答案即可． 【详解】（1）解：①点的“3倍位似点”为； ②∵点的“3倍位似点”为， 又∵点在函数的图象上， ∴函数的“3 倍位似函数”为； （2）解：由题可知点为函数 图象上一点， ∴点A 的“2倍位似点”为即 ， 消去m得， 联立， 整理得， ∵两个函数图象只有一个公共点， ∴， ∴， ∴． （3）解：在函数图象上任取一点， 则点的“2倍位似点”为， 即， 消去m得：， 联立， 整理得：， 解得：， 令，， ∴ ， 联立， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 联立 ， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 由题意知：，，或，，， 设，，这三条线段组成的直角三角形面积为S， ①当时， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ②当时， ， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ③当时， ， 解得：，此时，舍去． 综上所述：直角三角形面积的最小值为． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，利用解析式分别求得E，F的坐标，利用抛物线平移的性质，列出不等式即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：设直线的解析式为， ∴． 解得：， ∴直线的解析式为． 过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，如图， 当时，， ∴． ∵将该二次函数图象向下平移个单位， ∴平移后的点M的坐标为， ∵平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界）， ∴， ∴； （3）解：当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或，理由： ①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点M关于直线的对称点为Q， ∴． 过点P作轴于点G， 设，则， ∵， ， ∴． ∴， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，． 连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点M关于直线的对称点为Q， ∴， 过点P作轴于点G， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∴． 综上，当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 4．（2026·山东·一模）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C,T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧(含端点M和N)．过M,N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g．若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)2 (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式、二次函数的性质、新定义“特征矩形”以及分类讨论思想，解题的关键是准确理解“特征矩形”的定义，并根据点的位置进行分类讨论，正确确定抛物线弧上的最高点和最低点，从而列出对应的周长表达式． （1）将点代入抛物线解析式，求出的值； （2）先求出抛物线顶点的坐标，再表示出和的长度，代入化简求值； （3）①根据点的横坐标的取值范围，分、、三种情况，确定抛物线弧的最高点和最低点，进而求出特征矩形的周长关于的函数解析式；②由轴可知、关于对称轴对称，得到点坐标，再分三种情况求出抛物线弧的特征矩形周长，结合列方程求解，最后计算的长度． 【详解】（1）解：把A，0）代入，得， ∴， （2）解：由（1）可知：， ∴T（1， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴，， ∴； （3）解：①当时，，当时， ∴，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵P在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 综上：； ②∵轴， ∴P，Q关于对称轴对称， ∴， 时，抛物线弧的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， ∵， ∴，解得：（舍去）或， ∴，综上：． 5．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 【答案】(1)①；②点的坐标为或或 (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键． （1）①代入点到，求出的值即可解答；②令或，求出对应的值即可解答； （2）根据二次函数的性质可知图象开口向上，顶点坐标为，再结合题意列出关于的不等式，即可求解； （3）分和两种情况讨论，结合图象列出关于的不等式，从而可求得的取值范围． 【详解】（1）解：①代入点到得：，解得， ∴抛物线的函数关系式为； ②当时，， 解得，； 当时，， 解得； ∴点的坐标为或或； （2）解：抛物线，， ∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为， ∵函数图象上只有两个点到轴的距离等于2， ∴， 解得； （3）解：①当时， 当顶点在直线上，符合条件， 即，解得； 当抛物线过点时，与抛物线有两个交点， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 故抛物线与线段只有一个交点时，或； ②当时， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 综上，的取值范围为或或． 6．（2026·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设直线与交于点为轴上一动点，将点绕点旋转后刚好落在曲线上，请直接写出所有满足条件的点的坐标； (3)已知轴上一定点，设曲线与轴交于点，(点在点的左侧)，过点作直线与交于点(不与点重合)．设直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上运动． 【答案】(1)； (2)，，，； (3)点在定直线上运动，证明见解析． 【分析】（1）设曲线上任意动点坐标，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式列出等式，对等式两边平方后展开、移项、合并同类项，化简后即可得到曲线的二次函数方程． （2）先将代入曲线方程求出点的坐标，设轴上动点的坐标，分点绕顺时针、逆时针旋转两种情况，构造直角三角形并证明全等，利用全等三角形的对应边相等转化坐标关系，得到旋转后点的坐标，再将代入曲线方程得到关于参数的一元二次方程，解方程即可求出的坐标． （3）先令曲线方程的，解一元二次方程求出与轴交点、的坐标，设、的坐标，分别求出直线、的解析式，联立解析式得到交点的横、纵坐标表达式，再设过定点的直线的解析式，与曲线方程联立，利用韦达定理得到、横坐标的和与积的关系，消去参数后将所得等式代入的坐标表达式，通过恒等变形推导出的横纵坐标满足的一次函数关系，从而证明点在定直线上． 【详解】（1）解：设曲线上任意一点，根据题意，点到定点的距离等于到定直线的距离， 即， 两边平方得：， 展开并化简得：， 即； 故曲线的方程为． （2）解：将代入，得，即， 设点的坐标为，点绕点旋转后得到的点为， 当点绕点顺时针旋转时，过点作与轴平行的直线，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∴， 展开整理得， 解得，， 即此时点的坐标为、， 当点绕点逆时针旋转时，同理可证， 可得，，此时点的坐标为， ∵点在曲线上， ∴， 展开整理得， 解得，， 即此时点的坐标为、， 综上，满足条件的点的坐标为、、、； （3）解：令，则，解得，， ∵点在点的左侧， ∴，， 设点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入得， ∴， 即直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得， ∴， 即直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得， 解得，， 设直线的解析式为， ∵直线过点， 联立直线与曲线的方程，得， 消去得， ∵、是方程的两个根， ∴由韦达定理得，， 消去得， ∴， 即点的坐标满足， ∴点在定直线上运动． 【点睛】本题以抛物线轨迹为背景，综合考查了轨迹方程的求法、平面直角坐标系内点的旋转性质、全等三角形的判定与性质、一次函数和二次函数的联立求解、韦达定理的应用以及代数式的恒等变形，同时侧重考查数形结合思想和代数运算能力，关键是将几何问题转化为代数坐标与方程问题，通过公式应用、方程联立和代数变形完成求解与证明， 7．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线构建全等三角形求得对应点的坐标是解题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）先求出，得到，，取点，则，连接，，得到，，过作交的图象于点，此时，求出直线的函数表达式，再与反比例函数联立求解即可； （3）将点向左平移3个单位长度得到点，则，则，过作轴于，得到，过作交直线于，过作轴于，证明，，，再根据当与的位置分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：令，， ∴， ∴，，， ，， ∴， 取点，则，连接，， ∴，， 过作交的图象于点，此时， ∵直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 代入得， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得（负值舍去）， ∴； （3）解：将点向左平移3个单位长度得到点，则，则， 过作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴，即， ∴， 当在点下方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 当在点上方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 综上所述，或． 8．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析 (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设点，连接交于H，推出，得到点的坐标，即可得解； （2）①由四边形为正方形得到，垂直平分，设点，求出的值，即可得到点和点的坐标，进而求解； ②延长交轴于P，此时点即为所求，设直线的解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下： 设点， ∵点C关于直线的对称点为点E， ∴，平分， 如图，连接交于H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴于D， ∴轴， ∴， ∵， ∴点E在这个反比例函数的图象上； （2）解：①∵四边形为正方形， ∴，垂直平分， ∴， 设点， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， 代入得， ， 解得； ②∵点在轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴，当且仅当、、三点共线时取等号； 延长交轴于P，此时点P即为符合条件的点； 由①知，，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故当最大时，点P的坐标为． 9．（2025年辽宁省阜新市第二十六中学中考数学零模试卷）已知抛物线（a，b，c是常数，且），自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y m 1 … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和m的值． (3)新定义：将抛物线（）的图象记为，并将绕点O旋转后得到的图象记为，，合起来得到的图象记为G，图象G对应的函数称为“联动函数”．完成以下问题： ①在图中所示的坐标系中画出“联动函数”G的图象． ②若直线与“联动函数”G有且只有两个交点，直接写出n的取值范围为______． 【答案】(1)上， (2)， (3)①见解析；②或或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，正确求出函数解析式，准确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （）由表格数据和图象的性质即可求解； （）用待定系数法即可求解； （）①根据解析式，运用描点法画出函数图象； ②求出直线分别与图象，只有1个交点时n的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：根据表格数据有，抛物线过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵由表格数据可知，在对称轴的右侧随的增大而增大， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上，； （2）解：由（）得，对称轴为直线，根据表格数据可知顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：由（2）得，抛物线的解析式为（）； ∴顶点坐标为， 则绕点旋转后的图象为（）， 列表为： x … 0 1 2 3 … … 1 … … 2 3 2 … 描点并连线，得到函数图象为： 当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点， 联立得， 整理，得， ∴， ∴． 当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点， 联立得， 整理，得， ∴， ∴． 当直线过点时，； 当直线过点时，； ∴根据图象可得，直线与“联动函数”G有且只有两个交点， n的取值范围为或或． 故答案为：或或． 真●题●验●证 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 3．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 5．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 6．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 7．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 8．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 10．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 12．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 13．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 14．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 15．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）① ② (a)(b) 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 故答案为；； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是(a)(b)． 故答案为：(a)(b)． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 16．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 17．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数解析式为； (3)点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据勾股定理，可得，根据三角形的面积公式，即可得与的函数解析式； （3）作轴于点，由勾股定理可得，可得，作轴于点，作轴于点，四边形是矩形，和为等腰直角三角形，可得，，可得，作，交轴于点，可得，由线段之间的关系，结合锐角三角函数可得，，，由，可得，可得，，，，可得点和点的坐标，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的函数解析式为． （3）解：作轴于点， ∵点的横坐标为，点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴， 解得， ∴点的横坐标为，，， ∴， ∴， 作轴于点，作轴于点，则，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵点在轴上，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作，交轴于点，则， 又∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，，点是的中点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数综合，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，比例的基本性质，平行线的性质，锐角三角函数，能够正确作出辅助线是解题关键． 19．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数的图像与性质 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新情境 新定义 新考向 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 函数自变量取值范围求解 题型02 根据点的坐标特征求坐标 题型03 待定系数法求函数解析式 题型04 根据函数解析式判断其性质 题型05 比较函数值的大小 题型06 一次函数k、b符号与图像象限判断 题型07 函数图像的判断 题型08 反比例函数k的几何意义应用 题型09 函数与不等式 题型10 二次函数a、b、c及判别式符号判断 题型11 函数最值问题（增减性） 题型12 多函数综合问题 题型13 函数图像平移规律应用 题型14 函数图像翻折、旋转、折叠变换 题型15 动点问题的函数图像问题（识别图像） 题型16 动点问题的函数图像问题（计算问题） 题型17 线段最值问题 题型18 周长最值问题 题型19 特殊三角形存在性问题 题型20 特殊四边形存在性问题 题型21 线段、面积存在性问题 题型22 角度存在性问题 题型23 函数含参问题 题型24 函数整点问题 题型25 函数新定义问题 题型26 函数与几何图形综合 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新情境函数最值探究问题】（考查二次函数与反比例函数的性质综合，及换元法、分类讨论思想的应用） 1．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【新定义 “兄弟函数” 综合问题】（考查二次函数的解析式求解、图象平移、根的判别式，及新定义规则的应用） 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 【新考向问题】（考查一次函数翻折对称性、二次函数与反比例函数解析式求解，及函数交点个数与根与系数关系的综合应用） 3．（2025·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 函数自变量取值范围求解 1．（2025·浙江杭州·二模）在函数中，自变量的取值范围是___________． 2．（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是______． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在函数中，自变量的取值范围是___________． 题型02 根据点的坐标特征求坐标 4．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则_______． 5．（2025·广东东莞·一模）若点在第四象限，则m的取值范围是______． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东东莞·模拟预测）已知点，且轴，则a的值为（    ） A． B． C．2 D．1 题型03 待定系数法求函数解析式 8．（2025·云南西双版纳·一模）若一个反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山西临汾·模拟预测）已知是平面直角坐标系中的点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（ ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 题型04 根据函数解析式判断其性质 11．（2025·安徽芜湖·二模）关于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．它与直线没有交点 B．随着的增大而增大 C．图象位于第一、三象限 D．图象经过点，则 12．（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．的面积是4 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 13．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 题型05 比较函数值的大小 14．（2025·河南周口·三模）已知点，，都在反比例函数的图象上，分别比较：，，的大小，下面四位同学的做法中正确的是（   ） A．甲：令，则 B．乙：无论取何值，都有 C．丙：当时，；当时， D．丁：当时，；当时， 15．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·广东清远·二模）已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 题型06 一次函数k、b符号与图像象限判断 17．（2025·安徽·模拟预测）一次函数，y随x的增大而增大，该函数图像不经过第（   ）象限 A．四 B．三 C．二 D．一 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数，函数y的值随x值的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 题型07 函数图像的判断 20．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 21．（2025·广东广州·二模）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 22．（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A．B．C．D． 题型08 反比例函数k的几何意义应用 23．（2026·江苏无锡·一模）如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4 24．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 25．（2026·上海普陀·一模）如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为_______． 26．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】（1）填空：________； 【深入探究】（2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 题型09 函数与不等式 27．（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 29．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 题型10 二次函数a、b、c及判别式符号判断 30．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为，抛物线与轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．其中正确结论的个数是（） ①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 32．（2026·陕西·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②方程没有实数根；③；④．其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11 函数最值问题（增减性） 33．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是______． 34．（2025·江苏南京·二模）已知反比例函数（为常数，），当时，的最大值与最小值的差为2，则______． 35．（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则______． 36．（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是__________． 题型12 多函数综合问题 37．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． 38．（2026·内蒙古·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，求证：； (3)当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． 39．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 题型13 函数图像平移规律应用 40．（2026·上海黄浦·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 41．（2026·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 42．（2026·全国·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移1个单位长度后与轴交于点，与双曲线交于点．若，则的值为_______． 题型14 函数图像翻折、旋转、折叠变换 43．（2025·四川眉山·二模）将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示． （1）当直线过点时，则的值为___________； （2）当直线与新图象有四个公共点时，则的取值范围是___________． 44．（2025·江苏宿迁·三模）如图，将反比例函数的图像绕点顺时针旋转，旋转后的图像与轴交于，若，则______． 题型15 动点问题的函数图像问题（识别图像） 43．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（    ） A．B．C．D． 44．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（    ） A． B．C．D． 45．（2025·甘肃定西·模拟预测）众志成城，预防“禽流感”．在这场没有硝烟的战斗中，科技工作者和医务人员通过探索，把某种药液稀释在水中进行喷洒，消毒效果较好，并且发现当稀释到某一浓度a时，效果最好而不是越浓越好．有一同学把效果与浓度的关系绘成曲线（如图），正确的是（    ） A．B．C．D． 46．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A．B．C．D． 题型16 动点问题的函数图像问题（计算问题） 49．（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 50．（2026·浙江·一模）如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．y的最小值为64 51．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．当时， D．当时， 题型17 线段最值问题 52．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践 如图1，抛物线与轴相交于，两点，且，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点是抛物线上任意一点，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______； (3)如图2，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； (4)如图3，点与动点在直线上，点与动点在抛物线的对称轴上，则的最小值为______． 53．（2025·山东潍坊·二模）小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】（1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】（2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】（3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 54．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题. (1)如图，在矩形中，，分别为和的中点，连接，为上的一动点.若，，则得最小值为_______. (2)如图1，抛物线与x轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点. ①求抛物线的函数解析式. ②抛物线的对称轴为直线，P为直线上的一动点，求的最小值. ③如图2，为直线上的一点，连接，请直接写出的最小值. 题型18 周长最值问题 55．（2025·四川凉山·一模）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长； (3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值． 56．（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； (3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 57．（2025·河北唐山·二模）如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于、两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，得到一个矩形． (1)求、两点的坐标； (2)当时，求点的坐标，并直接写出此时矩形的周长； (3)矩形的周长是否随点位置的变化而变化？说明理由． 题型19 特殊三角形存在性问题 58．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． (1)连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 59．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 60．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型20 特殊四边形存在性问题 61．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 62．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型21 线段、面积存在性问题 63．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、，于轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得与该抛物线没有公共点，请直接写出的取值范围________________． 64．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 65．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的点． ①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型22 角度存在性问题 66．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 67．（2025·山东济南·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 68．（2025·青海西宁·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上是否存在点，过点作垂直于轴交轴于点，交直线于点，求的最大值； (3)抛物线上是否存在一点，使直线与轴所夹锐角是的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型23 函数含参问题 69．（2026·全国·模拟预测）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)将抛物线向右平移个单位后得到抛物线，当时，抛物线与抛物线有一个交点． ①求m的取值范围． ②设抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，的外接圆圆心为点．求n的取值范围． 70．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 71．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 题型24 函数整点问题 72．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 73．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 74．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 题型25 函数新定义问题 75．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】（2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 76．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解（1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究（2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 77．（2026·湖北·模拟预测）已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为,抛物线：． (1)当抛物线经过点时，求抛物线的表达式； (2)把线段绕点旋转得到，若点在抛物线上，求出该抛物线的顶点坐标； (3)定义：第一象限的点的极坐标记为，其中表示的长度，表示与轴的夹角，若在抛物线上，令表示抛物线的顶点的极坐标． 若，则的最小值是________； 令，若要使抛物线在之间的图像上总有两个点的纵坐标相等，直接写出的取值范围________． 题型26 函数与几何图形综合 78．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，点D在的延长线上，，，点F在边上，，的延长线交线段于点M． (1)求证：； (2)当点M是的中点时，求证：； (3)已知 ，，设，，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 79．（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒)． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当 秒时，； (3)设的面积为，求与的函数关系式； (4)在（3）中得到的函数有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由． 80．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” (1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． (2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． (3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 二阶·素养进阶练 1．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是． (1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式． (2)若直线经过抛物线的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围． 2．（2026·湖南衡阳·一模）我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标． 4．（2026·山东·一模）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C,T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧(含端点M和N)．过M,N分别作x轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作y轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g．若，直接写出的长． 5．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 6．（2026·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设直线与交于点为轴上一动点，将点绕点旋转后刚好落在曲线上，请直接写出所有满足条件的点的坐标； (3)已知轴上一定点，设曲线与轴交于点，(点在点的左侧)，过点作直线与交于点(不与点重合)．设直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上运动． 7．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 8．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 9．（2025年辽宁省阜新市第二十六中学中考数学零模试卷）已知抛物线（a，b，c是常数，且），自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y m 1 … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和m的值． (3)新定义：将抛物线（）的图象记为，并将绕点O旋转后得到的图象记为，，合起来得到的图象记为G，图象G对应的函数称为“联动函数”．完成以下问题： ①在图中所示的坐标系中画出“联动函数”G的图象． ②若直线与“联动函数”G有且只有两个交点，直接写出n的取值范围为______． 真●题●验●证 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 5．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 6．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 7．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 8．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 10．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 12．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 13．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 14．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 15．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 16．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 17．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 19．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $