奔驰定理与三角形四心的向量表示 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

奔驰定理与三角形四心的向量表示 下面的这个习题可以称得上是平面向量中最优美的一个结论，并且这个结论对于利 用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的四心相关的问题，有着决定性的 基石作用. 已知点P为△ABC内一点，求证： S PA+Sp PB+Sc PC=0, 其中SA,SB,Sc分别是ABPC、ACPA、△APB的面积 延长AP交边BC于点Q,则 Q AP=AP A0-SSCOS+SMCL AO A0 SMBO+SMCO SAABC 由向量的三点共线定理，可知 A0=- S—AC+。Sue—B, AABP+SAACP SAABP+SAACP 联立可得。S。一。—AC+。 SAABP SAACP SAABP SMACP SMBP SMCP SMBC AP SMBP AC+SMCP AB 三P=SC+SueB S AABC SAABC -1PA=-SL PA-SPC+PB SAABC SAABC SAABC →S4PA+SaPB+SePC=0 由于这个定理和奔驰的10go很相似，称之为奔驰定理 奔驰定理 SPA+SPB+SePC-0 P为重心 因5P+SnPB+ScP-i S=SB-Sc 所以p+PB+PC-d P为外心 因然，PM+SPB+SPC-0 Sa-Zin∠APc5 S-2r'sin BPA-2sin2C 所以in24PA+sin2BpB+sim2CPC-d P为内心 因5Pi+SnPB+Se-p-0 Sur 1 Se-er 所以a-PA+bPB+cPC-0 或者L4Pi+inB~pB+sinC-PC- P为垂心 图5，+sSPB+S-P司 S.CPBE-CPPE-n PE- CP-PE-tanA S-CP-BE-2CP-AE-an ZAPE-CP-PE-tanB .:Sx:Sg=tanA:tanB B :an-i-tonB-PB+ton-PC-0 P为垂心，如图可知， S,=CP.BE=-CP.PE.tanZBPE--CP.PE.tanA S。=CP.AB=CP.PE-tan∠APE=CP-PE-tanB S:Sg=tanA:tanB,同理，S:Sg:Sc=tanA:tanB:tanC tan A PA+tan B PB+tan C PC =0 三角形“四心”常考结论： 设O为△4BC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,C,则 1)O为△1BC的内心（三条角平分缆交点，内切圆圆心）台①0=(B+4C). ABI ACI 1e(0,+0) ②aOA+bOB+cOC=0 联想：由切我张定理可，女十内羊径三兰，内切球径R业 S 3 2 2 2 (2)O为△ABC的外心（三条中垂线交点，外接圆圆心）台①OA=OB=OC ②0AB=BP,A0Ac-4Cr 联想：由正弦定理求外 (3)G为A4BC的重心（三条中线交点）台①GA+GB+GC=0,AG=(AB+AC) ②GA:GD=2:l,G(++3,当++)，SG4B=Scc=S61c= 1 3 3 (4)P为△MBC的垂心（三条高交点）→PA·PB=PAPC=PB.PC *若0点是△ABC的外心，H点是△4BC的垂心，有OH=OA+OB+OC 定理：设△ABC的外心为O,则点H为△ABC的垂心的充要条件是OH=OA+OB+OC。 证明：如图1，若H为垂心，以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC,则OD=OB+OC ,O为外心，∴OB=OC,∴.平行四边形OBDC为菱形 .OD⊥BC,而AH⊥BC,.AH∥OD, ∴.存在实数1，使得AH=入OD=2OB+入OC .OH =04+AH =0A+0B+OC 同理，存在实数μ，⊙，使得 B D OH =OB BH OB +u OC +uOA 图1 OH=OC+CH =OC+00A+00B 比较①、②、③可得，1=u=0=1,.OH=OA+0B+OC 反之，若OH=OA+OB+OC,则AH=OB+OC, ,O为外心，∴.OB-OC .AH.CB=(OB+OC).(OB-OC)=OB-OCP=0 ∴.AH⊥CB,同理，BH⊥AC。∴H为垂心。 1、(1)若存在常数入，满足MG=MA+入 AB AC (2≠0)，则点G可能通过△ABC的 AB AC 4 (2)若点D是△ABC的底边BC上的中点，满足GD.GB=GDGC,则点G可能通过△ABC的 (3)若存在常数入，满足MG=MA+入 AB 2≠O),则点G可能通过△ABC的 → AB sin B A sin C (4)若存在常数入，满足MG=MA+入 AB AC 2≠0)，则点G可能通过△ABC的 AB cos B cos C 解析：(1)由AG=入 2≠0，则内心 (2)GD.GB-GC=GD.CB=0÷GD1CB,则外心 (4)AG=入 AB AC AG.BC= AB.BC AC.BC → AB cos B ACcosC →Gc=ABC+Bd=0台G上Bc,则垂心 变式： 1、已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足 0-0B+0c+ AB 2 元∈[0，+o),则直线AP一定过△ABC的 AB cos B AC cos C 5 () A、外心B、内心C、垂心D、重心 答案：A 解析：设线段BC中点为M,则OP-OM=MP=入 AB AC →MP.BC=0 AB cos B 2已知点0是AABC的重且满左n4OA+如0B+gCOC=0,则B=(）一 7 8 A、30 B、60C90 D、120 答案：B 解析：不妨令0=3，b=7,C8,则c0sB= 3、设P为锐角AABC的外心，AP=k(AB+AC)(kER),若cos∠BAC二，则k国 答案： 14 解析：设线段BC中点为M,则AP=2kAM,由题意，点P在△ABC内，且外心在中线上，则 BC骏三角，形cos/BAC=0s∠BPP-2n4机-3→=2k BP=5,则PM=2今AM=7 4、在AMBC中，B=4,AC=3,A=了，点H是△ABC的垂心，设存在实数2,4，使 AH=2AB+μAC,则1=，μ= 答案： 69 解析： E D B 6 如陶，在A0中，可知0=2，则花=0，则=入+D, 2 3 由B,H,D三点共线，则2+。4=1， 月照在E中，可知c则也令正，则位-+μ心， 3 3 1 = 由C,H,E三点共线，则8入+4=1，解得 6 3 u= 5 9 5、已知O是△ABC的外心，且B=5,AC=8,存在非零实数x,y使A0=xAB+y4C,且 x+2y=1,则eos BAC= 答案：5 解析：取边AC中点D,则AC=2AD三AO=xAB+2yAD,则B,O,D三点共线， 由0是△ABC的外心，则8D上4AC,在4BD中，cos∠BAC=4D=4 AB 5 6、0是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足 OP=OA+只(AB+AC),AE0,+,则动点P的轨迹一定通过△BC的() IABI ACI B、外心B、内心C、垂心D、重心 答案：B AC 解析：AP= AB AC 7、已知点O是平面上的一个定点，△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若动点P 满足OP.0A=入(bAB+cAC),2∈(0，+o),则动点P的轨迹一定通过△ABC的() A、重心B、垂心C、内心D、外心 > 答案：C 解析：AP=2bC AB AC B AC 8、(内角平分线定理)在△ABC中，D是BC边上的一点，AD=入 AB,AC |AB=2,|AC=4若记AB=a,AC=b,则用a,万表示BD所得的结果为() A d-36 B.3-6 C.D.+6 答案：C 解新：可年线段0为角平分线，则心专屁=花-店 31 9、(等和线的性质)已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若AP=元AB+uAC,则 入+μ的取值范围是() ((到 D、(1,2 答案：B 解析：设线段BC中点为M,则4C-2 AM 3 1O,在四边形ABCD中，AB=DC=L.01,BA+BC-BD,则I边形ABCD的面积是() BABCIBD A、3 2 4 答案：A 解析：可知四边形ABCD 为菱形，则S=3 12x2=5 4 2 8 11、(重心的性质，取特殊值；三点共线)过△ABC的重心任作一直线分别交AB,AC于点D、 E若AD=xAB,AE=yAC,y≠0，则上+1的值为() xV A、4B、3C、2D、1 答案：B 解析： AB=-AD AC=-AE +c-2士而在→在=训+分症 4G=0+E+=1→+=3 十 3x 3y 3x 3y x y 12、已知△4BC的外接圆半径为1，圆心为0，且3OA+40B+50C=0,则0C.AB的值为()。 B.c.-5 D.5 答案：A 解析：可知OA=OB=OC=1,且OA⊥OB, 元-（号4-号0ajo8-o1-号xo4-号xoB=-月 9