6.1.1 向量的实际背景与概念 6.1.2 向量的几何表示 6.1.3 相等向量与共线向量（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

第六章 平面向量及其应用 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用 向量的发展与起源 向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的作用可用平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 牛顿 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi(a，b∈R)，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学． 亚里士多德 [读图探新]——发现现象背后的知识 1．《水浒传》中写道，花荣把眼一观，随行人半数内却有带弓箭的，急取过一枝好箭，便对晁盖道：“恰才兄长见说花荣射断绒涤，众头领似有不信之意，远远的有一行雁来，花荣未敢夸口，这枝箭要射雁行内第三只雁头上，射不中时，众头领休笑．”花荣搭上箭，拽满弓，觑得亲切，望空中只一箭射去，果然正中雁行内第三只，直坠落山坡下．急叫军士取来看时，那枝箭正穿在雁头上．晁盖和众头领看了，尽皆骇然，都称花荣做“神臂将军”． 图1 2．高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要头脑和全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Direction)和距离(Distance)，初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔夫球的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”．方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远． 图2 3.我们骑车的时候经常会遇到顺风与逆风，你对顺风骑车和逆风骑车有怎样的感受？ 图3 4.一个人打算从北京去重庆旅游，可以乘火车，也可以乘飞机，还可以先乘火车到武汉，然后乘轮船沿长江到重庆，如图所示. 图4 问题1：你能从数学的角度来解释“花荣射雁”的功夫及高尔夫球运动中“方向比距离更重要”的原因吗？ 问题2：骑车运动中的顺风与逆风的感受不同，你能从数学的角度去解释一下理由吗？ 问题3：图4中这几种情况下：①他的位置变动是不同的；②他走过的路程相同；③他的运动轨迹不一样；④他的位移是相同的.你能从数学的角度解释它们是否正确吗？ 链接：(1)在高尔夫球运动中用到的是数学中向量的有关知识，打球时既要考虑力量的大小，同时还要考虑球前进的方向. (2)顺风骑车快，逆风骑车慢，用向量的知识来解释就是，车速与风速都是既有方向又有大小的量，都可以用向量来刻画. (3)这几种情况下的路程各不相同，但是直线距离与方向是没有发生变化的，可以从向量的角度来解释. 6.1　平面向量的概念 6.1.1　向量的实际背景与概念 6.1.2　向量的几何表示 6.1.3　相等向量与共线向量 课标要求 素养要求 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 从力、速度、位移等实际情景入手，经历从具体到抽象的知识发展过程，发展学生的数学抽象素养及直观想象素养. 自主梳理 1.向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. (2)向量可以用有向线段来表示.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量.　　　 3.向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b (1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. (2)在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)如果|| >||，那么>.(×) (2)若a，b都是单位向量，则a＝b.(×) (3)若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同.(√) (4)零向量的大小为0，没