专题17.1一元二次方程（高效培优讲义，3知识&7题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程核心知识点，系统梳理定义（三要素：整式方程、单未知数、最高次数2）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及根的概念，构建从概念判断到形式转化，再到实际问题建模的递进式学习支架。 资料通过“知识点+即学即练+分层题型”设计，结合实际问题列方程培养模型意识（数学语言），含参数方程讨论提升推理能力（数学思维），课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化抽象能力与应用意识。

专题17.1一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数、未知数的最高次数是2、是整式方程”这三个核心特征，能准确判断一个方程是否为一元二次方程，区分一元二次方程与一元一次方程、分式方程的差异。 2.掌握一元二次方程的一般形式，明确二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念，能准确识别一般形式中各部分的名称及取值要求。 3.能将简单的一元二次方程整理化为一般形式，规范书写二次项系数、一次项系数和常数项，同时了解一元二次方程根的初步概念，能判断一个数是否为一元二次方程的根。 4.经历从实际问题中抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的重要数学模型，培养数学建模思想和分析问题、转化问题的能力。 教学重难点 教学重点 1.一元二次方程的定义，能准确判断一个方程是否为一元二次方程，核心是紧扣“单未知数、最高次数2、整式方程”三个特征，排除不符合条件的方程（如分式方程、多元方程、最高次数不为2的整式方程）。 2.一元二次方程的一般形式，能准确识别二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，明确各部分的含义和书写规范，尤其注意二次项系数不能为0的要求。 教学难点 1.理解一元二次方程定义中“未知数的最高次数是2”的含义，避免忽略“整式方程”这一前提，同时能准确判断含字母参数的方程是否为一元二次方程（关键是确定二次项系数不为0，同时满足最高次数为2）。 2.将非一般形式的一元二次方程整理为一般形式时，注意移项要变号、同类项要合并，同时规范确定二次项系数、一次项系数和常数项（尤其当系数为负数或0时，避免漏写符号或误判），克服移项错误、合并同类项不规范的问题。 知识点01 一元二次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程 . 2. 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是2. 最高次数是 2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程， 如：(m－2)x2+3x－8=0不一定是一元二次方程. 【即学即练】下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 一元二次方程的一般形式 1. 一般形式：关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) ，其中ax2是二次项， a是二次项系数，bx是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax²+bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax²+c=0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax²=0(a ≠ 0) a 0 0 【即学即练】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 一元二次方程的解(根) 1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. 2.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的三个重要结论(拓展) (1)有一个根为x=1 a+b+c=0； (2)有一个根为x=-1 a-b+c=0； (3)有一个根为x=0 c=0. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于x的方程的一个根是1，则a的值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 题型01 识别一元二次方程 【例1】下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程是一元二次方程的是_____ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 题型02 化成一元二次方程的一般式 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A． B．2，1 C．0，1 D． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式2-3】将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 题型03 根据一元二次方程的定义求字母的值 【例3-1】如果关于的方程是一元二次方程，那么需要满足条件（   ） A．； B．； C．； D．． 【例3-2】若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．0 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 题型04 判断是否是一元二次方程的解 【例4】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 题型05 根据一元二次方程的解求字母或式子的值 【例5-1】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 【例5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程： 的一个根是，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式5-3】（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知a是方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【变式5-4】（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 题型06 根据实际问题列一元二次方程 【例6-1】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知某运动会中乒乓球比赛的赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），一共进行了21场比赛，若设有支球队参加比赛，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【例6-3】（22-23八年级下·安徽滁州·月考）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 【例6-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，一段水管内壁均匀地形成一层厚的矿物沉淀物，导致水管过水的横截面面积减少到原来的．若该水管原来的内径为r，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）如图所示的是一块长方形花园，其宽（短边）为，现打算将花园扩建，要求长边保持不变，将短边扩大到与长边相等，使得扩建后的花园是正方形．若扩大后的花园面积比原来增加了，设长方形的长边为，则可列方程为 （ ） A． B． C． D． 【变式6-4】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型07 对含字母的一元二次方程的系数的讨论 【例7】已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【变式7-1】定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【变式7-2】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若方程是关于的一元二次方程，则“□”可以是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则（　　） A．1 B． C． D．3 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若是关于x的一元二次方程一个根，则值为（　） A．4048 B．4050 C．2024 D．2025 8．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·安徽·期末）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10.一元二次方程的二次项系数是_____． 11.把一元二次方程化成一般形式为______． 12．当____时，关于的方程是一元二次方程． 13.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 14．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 15.把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 16．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若是方程的解，则代数式的值为______． 17．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是_________． 三、解答题 18．（23-24八年级下·安徽六安·月考）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 19．（23-24八年级下·安徽滁州·月考）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 20．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 21．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 22．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.1一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数、未知数的最高次数是2、是整式方程”这三个核心特征，能准确判断一个方程是否为一元二次方程，区分一元二次方程与一元一次方程、分式方程的差异。 2.掌握一元二次方程的一般形式，明确二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念，能准确识别一般形式中各部分的名称及取值要求。 3.能将简单的一元二次方程整理化为一般形式，规范书写二次项系数、一次项系数和常数项，同时了解一元二次方程根的初步概念，能判断一个数是否为一元二次方程的根。 4.经历从实际问题中抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的重要数学模型，培养数学建模思想和分析问题、转化问题的能力。 教学重难点 教学重点 1.一元二次方程的定义，能准确判断一个方程是否为一元二次方程，核心是紧扣“单未知数、最高次数2、整式方程”三个特征，排除不符合条件的方程（如分式方程、多元方程、最高次数不为2的整式方程）。 2.一元二次方程的一般形式，能准确识别二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，明确各部分的含义和书写规范，尤其注意二次项系数不能为0的要求。 教学难点 1.理解一元二次方程定义中“未知数的最高次数是2”的含义，避免忽略“整式方程”这一前提，同时能准确判断含字母参数的方程是否为一元二次方程（关键是确定二次项系数不为0，同时满足最高次数为2）。 2.将非一般形式的一元二次方程整理为一般形式时，注意移项要变号、同类项要合并，同时规范确定二次项系数、一次项系数和常数项（尤其当系数为负数或0时，避免漏写符号或误判），克服移项错误、合并同类项不规范的问题。 知识点01 一元二次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程 . 2. 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是2. 警示误区 最高次数是 2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程， 如：(m－2)x2+3x－8=0不一定是一元二次方程. 【即学即练】下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不是一元二次方程，选项错误，不符合题意； B、化简为，不是一元二次方程，选项错误，不符合题意； C、不是一元二次方程，选项错误，不符合题意； D、，是一元二次方程，选项正确，符合题意； 故选：D． 知识点02 一元二次方程的一般形式 1. 一般形式：关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) ，其中ax2是二次项， a是二次项系数，bx是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax²+bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax²+c=0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax²=0(a ≠ 0) a 0 0 【即学即练】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 知识点03 一元二次方程的解(根) 1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. 2.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的三个重要结论(拓展) (1)有一个根为x=1 a+b+c=0； (2)有一个根为x=-1 a-b+c=0； (3)有一个根为x=0 c=0. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于x的方程的一个根是1，则a的值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是1， ∴， 解得：， 故选：B． 题型01 识别一元二次方程 【例1】下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程中若为0，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ； C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ； 故选：D 【变式1-2】下列方程是一元二次方程的是_____ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（5） 【详解】解：（1），不是整式方程，不是一元二次方程； （2），含有2个未知数，不是一元二次方程； （3），不是整式方程，不是一元二次方程； （4），未知数的最高次数为3，不是一元二次方程； （5），是一元二次方程； （6），当时，是一元二次方程； 故答案为：（5） 题型02 化成一元二次方程的一般式 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A． B．2，1 C．0，1 D． 【答案】A 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是， 故选A． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基础知识是解题的关键； 先将原方程变形为一般形式，进而得到答案. 【详解】解：原方程即为， 所以方程的一次项系数是； 故选：C. 【变式2-3】将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 题型03 根据一元二次方程的定义求字母的值 【例3-1】如果关于的方程是一元二次方程，那么需要满足条件（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数. 故选：A． 【例3-2】若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，直接求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 【答案】C 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 题型04 判断是否是一元二次方程的解 【例4】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 【变式4-1】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 【变式4-2】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 题型05 根据一元二次方程的解求字母或式子的值 【例5-1】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 【答案】B 【分析】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程， 得，解得：． 故选：B． 【例5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程： 的一个根是，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得， 故选A． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【变式5-3】（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知a是方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴ 故选：C． 【变式5-4】（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 题型06 根据实际问题列一元二次方程 【例6-1】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知某运动会中乒乓球比赛的赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），一共进行了21场比赛，若设有支球队参加比赛，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∶ 设有支球队参加比赛，则每队参加场比赛，根据题意得∶ 故选：B． 【例6-3】（22-23八年级下·安徽滁州·月考）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为， 则， 故选：B． 【例6-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，一段水管内壁均匀地形成一层厚的矿物沉淀物，导致水管过水的横截面面积减少到原来的．若该水管原来的内径为r，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，内圆半径为， 则； 故选：B． 【变式6-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，得：， 即：． 故选D． 【变式6-3】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）如图所示的是一块长方形花园，其宽（短边）为，现打算将花园扩建，要求长边保持不变，将短边扩大到与长边相等，使得扩建后的花园是正方形．若扩大后的花园面积比原来增加了，设长方形的长边为，则可列方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设长方形的长边为， ∵扩大后的花园面积比原来增加了， ∴， 故选：A 【变式6-4】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每件商品售价为元，则每天可销售件， 依题意，得：， 即． 故选：D． 题型07 对含字母的一元二次方程的系数的讨论 【例7】已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 【变式7-1】定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析 (2) (3)m的值为1或 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】解：原方程即为， 所以方程的一次项系数是； 故选：C. 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，未知数最高次数为3，不符合“二次”条件，不是一元二次方程，不合题意； B．，展开得，是整式方程，仅含未知数且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； C．，含两个未知数和，不符合“一元”条件，不是一元二次方程，不合题意； D．，分母含未知数，属于分式方程，非整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 故选B． 3．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若方程是关于的一元二次方程，则“□”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 则“□”含，可以是， 故选：A． 5．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则（　　） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ∴且， 即， 故选：D． 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若是关于x的一元二次方程一个根，则值为（　） A．4048 B．4050 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】解：代入到方程，得， ， ． 故选：C． 8．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 9．（22-23八年级下·安徽·期末）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个， 根据题意可得：； 故选：A． 二、填空题 10.一元二次方程的二次项系数是_____． 【答案】3 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3， 故答案为：3． 11.把一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【详解】解：化成一般形式为：， 故答案为：． 12．当____时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 13.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 14．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 15.把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 【答案】0 【详解】解：方程 移项得 ， 则 ，，， ∴ ， 故答案为：0． 16．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】2027 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是_________． 【答案】4 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 三、解答题 18．（23-24八年级下·安徽六安·月考）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：是关于x的一元二次方程的根， ， ， ． 19．（23-24八年级下·安徽滁州·月考）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【详解】解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． 20．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 21．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 22．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】(1)该方程是“联合方程”，见解析 (2)的值为，的值为6 【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $