专题16.3二次根式的加减（高效培优讲义，3知识&7题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

本讲义聚焦二次根式的加减这一核心知识点，系统梳理同类二次根式的概念及判断方法，明确“先化简再判断后合并”的加减运算步骤，并延伸至混合运算，构建从二次根式化简、乘除到加减的完整运算体系。 资料通过“知识点+即学即练+题型拓展”设计，涵盖实际应用、化简求值等7类题型，如用二次根式加减解决长方形宣传栏面积问题，培养运算能力与模型意识，课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性查漏补缺。

专题16.3二次根式的加减 教学目标 1.理解同类二次根式的概念，能准确判断几个二次根式是否为同类二次根式（重点区分需化简后再判断的情形）； 2.掌握二次根式加减运算的法则，牢记“先化简→再判断→后合并”的核心步骤，能规范、准确地进行简单二次根式的加减运算； 3.能运用二次根式的加减运算解决简单的实际问题，将实际场景中的数量关系转化为二次根式加减运算式并求解，提升知识应用能力 教学重难点 教学重点 1.同类二次根式的概念理解与准确判断（核心前提，需明确“先化简，再判断”的原则）； 2.二次根式加减运算的法则掌握，能熟练执行“化简—判断—合并”的运算步骤； 3.规范进行二次根式加减运算，确保运算结果为最简二次根式，书写步骤清晰规范。 教学难点 1.同类二次根式的识别，尤其是非最简二次根式需先化简，再判断是否为同类二次根式的情形； 2.合并同类二次根式的规范操作，容易混淆“系数加减”与“被开方数加减”，出现“根号内数值直接相加”的错误； 3.含字母的二次根式加减运算中，同类二次根式的判断及化简（如含字母参数的最简根式合并问题）； 4.将实际问题转化为二次根式加减运算的数学模型，准确提取数量关系并求解。 知识点01 同类二次根式 1.定义：将二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么像这样的二次根式称为同类二次根式 . 2.合并的方法：合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不 变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用， 即： a +b =(a+b) (m ≥ 0) . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：，被开方数为3，与不同，排除； B：，被开方数为5，与不同，排除； C：，被开方数为6，与不同，排除； D：，化简后为，被开方数为2，与相同，符合题意； 故选：D． 知识点02 二次根式的加减 1. 二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并 . 2. 二次根式加减运算的步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简； (2)“找”：找出同类二次根式； (3)“并”：将同类二次根式合并. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 知识点03 二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同 . 3. 二次根式混合运算中的运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1) (+ ) = ＋ ； (2)( + )( + ) = ＋ ＋ ＋ ； (3)( + ) ( － ) =( ) 2 －( ) 2=a－b； (4)( ± ) 2=( ) 2±2 +( ) 2=a±2 +b； (5)( + )÷ = = ； (6) ( + ) ÷( - ) = = =. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型01 根据同类二次根式求字母的值 【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：∵即化简后为最简二次根式，其被开方数为3． 又∵最简二次根式与可以合并，而可合并的二次根式需满足被开方数相同， 的被开方数与的被开方数相同，即． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为___________． 【答案】2 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：2． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 题型02 二次根式的化简求值 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ， ∴ ． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 【变式2-2】已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)19 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知 ，， ． 【变式2-3】已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：化简， ， 故． （2）解：原式 将，代入上式得． 故 题型03 二次根式的大小比较 【例3】设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______． 【答案】 【详解】解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）观察下列一组等式，然后解答问题：，， (1)计算：． (2)比较与的大小． 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ……， 第个等式为：， ∴ ； （2）解：， ， ， ∴． 【变式3-2】（23-24八年级下·安徽淮南·月考）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）； （3）；； ， ． 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 题型04 化简二次根式的运算 【例4-1】利用运算律化简运算 （24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例4-2】利用乘法公式化简运算 （24-25八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【答案】3 【详解】解： 【例4-3】复合二次根式化简运算 （22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是_________． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，减法运算，先计算乘法，再计算加减法即可． 【详解】解： 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）计算：． 【答案】3 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算二次根式的乘法和化简二次根式，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】4 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先算乘方，再算乘法，最后计算二次根式的加减法即可． 【详解】解： 【变式4-4】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算，然后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 【变式4-5】阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式4-6】[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ． 题型05 二次根式加减的实际应用 【例5】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：（）． 答：长方形宣传栏的周长为． （2）（）． 答：用于张贴学生作品的面积为． 【变式5-1】嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)淇淇的说法正确，理由见解析 【详解】（1）解： ； （2）解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 【变式5-2】现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片． (1)原长方形纸片的长为 ，宽为 ； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为； 正方形纸片B的边长为， ∴， 原长方形纸片的长为，宽为． （2）解：∵长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 【变式5-3】当开始音乐喷泉灯光秀表演时，喷泉呈一个如图所示的同心圆． (1)已知外层圆的半径为，内层圆的半径为，请求出大圆与小圆之间的圆环面积． (2)如果要给内外两层喷泉的外侧加装灯带，库房现有的灯带够吗？如果不够用，那么还需要多长的灯带（结果取整数）？ 【答案】(1) (2)现有的灯带够用，理由见解析 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：，， ． ， ∴现有的灯带够用． 题型06 分式的化简求值与二次根式综合 【例6】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， ， ； 当时，原式． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式6-2】化简求值：，其中， 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型07 利用二次根式的整数部分与小数部分求代数式的值 【例7】（22-23八年级下·安徽合肥·月考）若的整数部分为，小数部分为，则的值是___________． 【答案】/ 【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】先估算出，进而求出x、y的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】（23-24八年级下·安徽池州·月考）已知． (1)求的值． (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， ； （2）∵ ∵ ∴ ∴ ∴即， 为的整数部分， ， 即 为的小数部分， 【变式7-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 【答案】(1)5 (2)2； (3) 【详解】（1）∵， ， 的整数部分是； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵分别是的整数部分和小数部分 ∴，； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数 ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不能与合并，故本选项不符合题意； B、，能与合并，故本选项符合题意； C、，不能与合并，故本选项不符合题意； D、，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、当时，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； D、当时，，与是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知算式的值介于整数和之间，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的加减运算 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴． 故选B． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知等腰三角形的两边长分别为，则此等腰三角形的周长为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为， 当腰长是，底边长为时， ∵，， ∴此时不能构成三角形； 当腰长是，底边长是时， ∵， ∴能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为， 故选：C ． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）最简二次根式和是同类二次根式，的值是_____ 【答案】 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·安徽池州·月考）已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以为两边的直角三角形的第三边的长度是______． 【答案】或 【详解】解：是的整数部分，， ， ，， ，即， 其中是整数，，， ， 当为直角三角形的两直角边时，第三边长为； 当为直角三角形的直角边、为直角三角形的斜边时，第三边长为； 综上所述，以为两边的直角三角形的第三边的长度是或， 故答案为：或． 三、解答题 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 9.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ． 11．（23-24八年级下·安徽淮南·月考）若实数，满足，求的值． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， ， ， 当，时，． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，第三边长为，先化简再求值（计算结果保留根号）：． 【答案】或4 【详解】解：由题意知：，即， ，， ， ， 当为斜边时，则根据勾股定理得： ， 那么原式； 当5为斜边时，则根据勾股定理得： ， 那么原式； 综上，的值为或4． 13．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知x，y，z满足． (1)求x，y，z的值； (2)以x，y，z为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)以x，y，z为边能构成三角形，三角形的周长为 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴以x，y，z为边能构成三角形， ∴三角形的周长为：． 14．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 15．（24-25八年级下·安徽六安·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，，……，， ． 16．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知，． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论． ①求的值； ②求的值（直接代入，的值求解不得分哦）． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：； ； （2）解：由（1）得， ①； ②． 17．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 18．（2025八年级下·安徽·专题练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化：． (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)3 【详解】（1）解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是， 故答案为：，； （2） ； （3） ． 19．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）阅读材料：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ，与 ，与 等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： ；． 解答下列问题： (1)填空： ； ； (2)应用：计算 的值； (3)拓广：计算 的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【详解】（1）解：；； 故答案为：；； （2）解： （3）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.3二次根式的加减 教学目标 1.理解同类二次根式的概念，能准确判断几个二次根式是否为同类二次根式（重点区分需化简后再判断的情形）； 2.掌握二次根式加减运算的法则，牢记“先化简→再判断→后合并”的核心步骤，能规范、准确地进行简单二次根式的加减运算； 3.能运用二次根式的加减运算解决简单的实际问题，将实际场景中的数量关系转化为二次根式加减运算式并求解，提升知识应用能力 教学重难点 教学重点 1.同类二次根式的概念理解与准确判断（核心前提，需明确“先化简，再判断”的原则）； 2.二次根式加减运算的法则掌握，能熟练执行“化简—判断—合并”的运算步骤； 3.规范进行二次根式加减运算，确保运算结果为最简二次根式，书写步骤清晰规范。 教学难点 1.同类二次根式的识别，尤其是非最简二次根式需先化简，再判断是否为同类二次根式的情形； 2.合并同类二次根式的规范操作，容易混淆“系数加减”与“被开方数加减”，出现“根号内数值直接相加”的错误； 3.含字母的二次根式加减运算中，同类二次根式的判断及化简（如含字母参数的最简根式合并问题）； 4.将实际问题转化为二次根式加减运算的数学模型，准确提取数量关系并求解。 知识点01 同类二次根式 1.定义：将二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么像这样的二次根式称为同类二次根式 . 2.合并的方法：合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不 变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用， 即： a +b =(a+b) (m ≥ 0) . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 二次根式的加减 1. 二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并 . 2. 二次根式加减运算的步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简； (2)“找”：找出同类二次根式； (3)“并”：将同类二次根式合并. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 知识点03 二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同 . 3. 二次根式混合运算中的运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1) (+ ) = ＋ ； (2)( + )( + ) = ＋ ＋ ＋ ； (3)( + ) ( － ) =( ) 2 －( ) 2=a－b； (4)( ± ) 2=( ) 2±2 +( ) 2=a±2 +b； (5)( + )÷ = = ； (6) ( + ) ÷( - ) = = =. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）计算： (1) (2) 题型01 根据同类二次根式求字母的值 【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．10 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为___________． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 题型02 二次根式的化简求值 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，求的值． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【变式2-2】已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【变式2-3】已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 题型03 二次根式的大小比较 【例3】设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）观察下列一组等式，然后解答问题：，， (1)计算：． (2)比较与的大小． 【变式3-2】（23-24八年级下·安徽淮南·月考）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 题型04 化简二次根式的运算 【例4-1】利用运算律化简运算 （24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）计算∶ (1)； (2)． 【例4-2】利用乘法公式化简运算 （24-25八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【例4-3】复合二次根式化简运算 （22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是_________． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算：． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽淮南·月考）计算：． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 【变式4-4】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）计算： (1) (2) 【变式4-5】阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【变式4-6】[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 题型05 二次根式加减的实际应用 【例5】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 【变式5-1】嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 【变式5-2】现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片． (1)原长方形纸片的长为 ，宽为 ； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【变式5-3】当开始音乐喷泉灯光秀表演时，喷泉呈一个如图所示的同心圆． (1)已知外层圆的半径为，内层圆的半径为，请求出大圆与小圆之间的圆环面积． (2)如果要给内外两层喷泉的外侧加装灯带，库房现有的灯带够吗？如果不够用，那么还需要多长的灯带（结果取整数）？ 题型06 分式的化简求值与二次根式综合 【例6】先化简，再求值：，其中． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中． 【变式6-2】化简求值：，其中， 题型07 利用二次根式的整数部分与小数部分求代数式的值 【例7】（22-23八年级下·安徽合肥·月考）若的整数部分为，小数部分为，则的值是___________． 【变式7-1】（23-24八年级下·安徽池州·月考）已知． (1)求的值． (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 【变式7-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知算式的值介于整数和之间，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知等腰三角形的两边长分别为，则此等腰三角形的周长为（　　） A． B．或 C． D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）最简二次根式和是同类二次根式，的值是_____ 7．（23-24八年级下·安徽池州·月考）已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以为两边的直角三角形的第三边的长度是______． 三、解答题 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 9.先化简，再求值：，其中． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，，求的值． 11．（23-24八年级下·安徽淮南·月考）若实数，满足，求的值． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，第三边长为，先化简再求值（计算结果保留根号）：． 13．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知x，y，z满足． (1)求x，y，z的值； (2)以x，y，z为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 14．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 15．（24-25八年级下·安徽六安·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 16．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知，． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论． ①求的值； ②求的值（直接代入，的值求解不得分哦）． 17．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 18．（2025八年级下·安徽·专题练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化：． (3)化简：． 19．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）阅读材料：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ，与 ，与 等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： ；． 解答下列问题： (1)填空： ； ； (2)应用：计算 的值； (3)拓广：计算 的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $