1.1 幂的乘除全题型 讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

本讲义聚焦北师大版七年级数学下册1.1幂的乘除核心知识点，系统梳理同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等11类题型，从基础运算到综合应用，构建由浅入深的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 该资料通过分类题型解析、正逆用例题示范及变式训练，培养学生抽象能力与创新意识（数学眼光），提升运算能力与推理意识（数学思维）。如规律探索题型引导学生发现末位数字循环规律，方程思想题型强化逻辑推理，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

北师大新版七年级数学下册1.1幂的乘除全题型讲义 一、核心题型分类（例题全解析+总结+变式） 题型1：同底数幂的乘法（正用+逆用） 例题（正用：） 计算： 解析： 1.统一底数：（偶数次幂符号不变）； 2.套用公式：底数不变，指数相加，得； 3.结果：。 例题（逆用：） 已知，，求的值。 解析： 1.逆用公式拆分指数：； 2.代入已知值：； 3.结果：。 题型总结 特征：底数相同（含符号转化后相同），运算为乘法，逆用需拆分指数； 技巧：符号转化优先（），指数为1时不可省略； 步骤：判底数→统一底→套公式（正用加指数，逆用拆指数）→化简。 变式训练（3道） 1.变式1（正用+符号）：计算 2.变式2（逆用+求值）：已知，，求的值 3.变式3（多项式底数）：计算 题型2：幂的乘方（正用+逆用） 例题（正用：） 计算： 解析： 1.分步计算幂的乘方： （偶次幂符号为正），，； 2.同底数幂乘法：； 3.合并同类项：； 4.结果：。 例题（逆用：） 已知，求的值。 解析： 1.逆用公式转化：，； 2.代入计算：； 3.结果：0。 题型总结 特征：底数为幂的形式，运算为乘方，逆用需将指数转化为乘积形式； 技巧：区分“幂的乘方（指数乘）”与“同底数幂乘法（指数加）”； 步骤：辨运算→套公式（正用乘指数，逆用凑指数）→处理符号→化简。 变式训练（3道） 1.变式1（正用+多层乘方）：计算 2.变式2（逆用+求值）：已知，求x的值 3.变式3（混合逆用）：已知，，求的值 题型3：积的乘方（正用+逆用） 例题（正用：） 计算： 解析： 1.分别应用积的乘方： ； ； 2.同底数幂乘法：； 3.结果：。 例题（逆用：） 计算： 解析： 1.逆用积的乘方凑整：； 2.套用公式：； 3.结果：。 题型总结 特征：底数为多个因式的积，正用拆分因式乘方，逆用合并因式凑整； 技巧：系数、字母、多项式因式分别乘方，逆用优先凑“1”“-1”等简便因数； 步骤：分因式（正用）/合因式（逆用）→分别乘方/整体乘方→化简。 变式训练（3道） 1.变式1（正用+多项式因式）：计算 2.变式2（逆用+凑整）：计算 3.变式3（混合正逆用）：计算 题型4：同底数幂的除法（正用+逆用+零/负整数指数幂） 例题（正用：；零指数幂：；负指数幂：） 计算：（a≠0） 解析： 1.同底数幂除法：； 2.零指数幂：（底数不为0）； 3.负指数幂：； 4.合并结果：； 5.结果：。 例题（逆用：） 已知，，求的值。 解析： 1.逆用公式拆分：； 2.代入计算：； 3.结果：。 题型总结 特征：底数相同，运算为除法，含零/负指数幂，逆用需拆分指数为差； 技巧：零指数幂前提“底数≠0”，负指数幂转化为正指数幂的倒数； 步骤：统一底→套公式（正用减指数，逆用拆指数）→处理零/负指数→化简。 变式训练（3道） 1.变式1（正用+负指数）：计算 2.变式2（逆用+求值）：已知，，求的值 3.变式3（符号转化+除法）：计算 题型5：科学记数法（含负指数） 例题 用科学记数法表示： (1)0.000036；(2)-32500000；(3)的原数。 解析： 1.小于1的正数：（小数点向右移5位，指数为-5）； 2.大于10的数：（小数点向左移7位，指数为7）； 3.还原科学记数法：（小数点向左移4位）； 4.结果：(1)；(2)；(3)0.00052。 题型总结 特征：表示绝对值极大或极小的数，形式为（，n为整数）； 技巧：小数点移动位数=|n|，左移为正指数，右移为负指数； 步骤：定a（满足数移动位数→定n（左正右负）→写形式。 变式训练（3道） 1.变式1（表示小数）：用科学记数法表示0.00000089 2.变式2（表示大数）：用科学记数法表示1234000000 3.变式3（还原+计算）：计算，结果用科学记数法表示 题型6：幂的混合运算（综合正逆用） 例题 计算： 解析： 1.先算乘方（积的乘方、幂的乘方）： ，，，； 2.再算乘除：； 3.最后算加减：； 4.结果：。 题型总结 特征：融合乘方、乘除、加减运算，综合性强，需遵循运算顺序； 技巧：先乘方（积/幂的乘方），再乘除（同底数幂），最后加减（合并同类项）； 步骤：定顺序→分步算（每步只处理一种运算）→统一底→化简合并。 变式训练（3道） 1.变式1（基础混合）：计算 2.变式2（符号混合）：计算 3.变式3（复杂混合）：计算 题型7：已知式子求值（整体思想） 例题 已知，，求的值（整体代入）。 解析： 1.整体转化：（逆用幂的乘方和同底数幂乘法）； 2.代入整体值：； 3.结果：576。 题型总结 特征：已知幂的局部值，求含复合指数的幂的值，需将所求式子转化为已知整体； 技巧：核心是“整体代换”，通过逆用公式将所求指数拆分为已知指数的和、差、积； 步骤：拆指数→逆用公式→代整体值→计算。 变式训练（3道） 1.变式1（整体+逆用）：已知，，求的值 2.变式2（整体+多项式）：已知，，求的值 3.变式3（整体+负指数）：已知，，求的值 题型8：利用幂的乘方比较大小 例题 比较、、的大小。 解析： 1.统一指数（找33、22、11的最大公约数11）： ，，； 2.比较底数：5<8<9，且指数11为正整数； 3.得出大小：； 4.结果：。 题型总结 特征：幂的指数不同、底数不同，需通过幂的乘方统一指数或底数； 技巧：优先统一指数（找指数的最大公约数），再比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）； 步骤：定统一目标（指数或底数）→逆用幂的乘方转化→比较大小→排序。 变式训练（3道） 1.变式1（统一指数）：比较、、的大小 2.变式2（统一底数）：比较、、的大小 3.变式3（含负指数）：比较、、的大小 题型9：方程思想求参数 例题 已知（a≠0且a≠1），求x的值。 解析： 1.利用“同底数幂相等，指数相等”列方程：2x+1=10； 2.解方程：2x=9→； 3.结果：。 题型总结 特征：等式两边为同底数幂（或可转化为同底数幂），求未知参数； 技巧：核心是“同底幂相等→指数相等”，需先保证底数不为0和1； 步骤：化同底→列方程（指数相等）→解方程→验根（确保底数有效）。 变式训练（3道） 1.变式1（直接列方程）：若，求m的值 2.变式2（含乘方）：若，求x的值 3.变式3（含除法）：若（a≠0），求x的值 题型10：规律探索（幂的末位数字/指数规律） 例题 探究（n为正整数）的末位数字规律，并求的末位数字。 解析： 1.计算前几项末位数字： （末2），（末4），（末8），（末6），（末2）； 2.找循环周期：周期为4（2,4,8,6）； 3.计算余数：2025÷4=506……1（余数为1，对应周期第1项）； 4.结果：的末位数字为2。 题型总结 特征：探究幂的末位数字、指数变化或结果规律，需归纳总结； 技巧：计算前4-5项找循环周期，用“周期数÷项数=商……余数”确定对应项； 步骤：算前项→找周期→求余数→定结果。 变式训练（3道） 1.变式1（末位数字）：求的末位数字 2.变式2（指数规律）：观察，，，…，求的和 3.变式3（结果规律）：探究，计算 题型11：新定义运算（结合幂的运算） 例题 定义新运算：，求2⊗(3⊗(-1))的值。 解析： 1.先算内层新运算：； 2.再算外层新运算：； 3.结果：-2916。 题型总结 特征：定义新运算符号，规则与幂的运算相关，需先理解定义再转化； 技巧：“译定义”→将新运算转化为熟悉的幂的运算，严格按规则分步算； 步骤：理解新规则→分步运算（先内层后外层）→套用幂的法则→化简。 变式训练（3道） 1.变式1（定义+求值）：定义，已知2⊕3=8，3⊕2=9，求4⊕5的值 2.变式2（定义+逆用）：定义，求[4,2]×[3,2]的值 3.变式3（定义+混合）：定义，求(-1)△2+2△(-1)的值 二、变式训练参考答案 题型1：同底数幂的乘法 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3：（或） 题型2：幂的乘方 1.变式1： 2.变式2：→3x+1=4→x=1 3.变式3： 题型3：积的乘方 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型4：同底数幂的除法 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型5：科学记数法 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型6：幂的混合运算 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型7：已知式子求值 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型8：利用幂的乘方比较大小 1.变式1：，，→ 2.变式2：，→ 3.变式3：，，→ 题型9：方程思想求参数 1.变式1：m+3+2m=12→3m=9→m=3 2.变式2：3x+2=11→3x=9→x=3 3.变式3：x+2-3=5→x=6 题型10：规律探索 1.变式1：末位1，末位5→和的末位6 2.变式2： 3.变式3： 题型11：新定义运算 1.变式1：m=3，n=0→ 2.变式2：(16-2)×(9-3)=14×6=84 3.变式3： 学科网（北京）股份有限公司 $