2026年中考数学一轮复习 第09讲 一次函数【2大考点13大题型】

第09讲一次函数（举一反三复习讲义） 【2大考点13大题型】 目录 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势) 2 (一)考查分值 …2 (二)考查题型 2 (三)高频考点(2023-2026年重点》 2 (四)命题趋势(2026年中考预测) 2 (五)复习建议… 考点一一次函数的图像与性质 3 【题型1正比例函数的图像和性质】 5 【题型2一次函数的定义】。 .9 【题型3一次函数的图像和性质】… 11 【题型4求一次函数的解析式】…14 【题型5一次函数与一元一次方程】. 20 【题型6一次函数与一元一次不等式】 .26 【题型7一次函数与二元一次方程（组）】…31 考点二一次函数的应用 .35 【题型8分配方案问题】 36 【题型9最大利润问题】 41 【题型10行程问题】 48 【题型11梯度计价问题】 56 【题型12其他应用问题】 61 【题型13一次函数与几何综合】68 第1页，共3页 特色专项练… 75 【新考向：新考法】 75 【新考向：新情境】 80 【新考向：跨学科】 86 中考真题练… 88 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋 势) 一次函数是中考数学的核心主干模块，是连接代数与几何的桥梁，近4年坚 持“素养立意”，侧重基础应用与综合能力，核心考情如下： (一)考查分值 全国各省市中考中，一次函数分值通常在8~12分，占总分的8%~12%。 题型覆盖选择、填空与解答，是试卷中分值占比高、区分度强的重点模块。 (二)考查题型 基础题型(60%)：选择题、填空题。考查函数概念、自变量取值范围、点 的坐标特征、一次函数y=kx+b的图像与k,b符号的关系。难度较低，属于必 拿分。 中档题型(30%)：解答题基础问。考查待定系数法求解析式、一次函数与 正比例函数的辨析、简单的函数图像分析。 综合/压轴题型(10%)：解答题压轴或与几何综合。结合一次函数与方程、 不等式、几何图形（面积、距离）进行综合考查，侧重数形结合思想。 (三)高频考点(2023-2026年重点) 图像与性质：一次函数y=kx+b中，k(斜率，决定增减性)、b(截距，决 定与y轴交点)对图像位置的影响；k>0与k<0时的增减性对比。 第1页，共3页 解析式求解：待定系数法是必考核心，已知两点坐标或图像上任意一点坐标 求k和b。 数形结合：利用函数图像解决方程（如kx+b=O)、不等式（如kx+b>0)的 问题；一次函数与实际问题（行程、工程、销售利润）的结合。 (四)命题趋势(2026年中考预测) 稳中求新：整体难度稳定，不出现偏题怪题，重点考查图像性质的灵活应用 和待定系数法的规范性。 情境化增强：结合购物打折、出行计费、工程效率等实际生活场景命题，考 查数学建模能力 综合考查：一次函数与反比例函数、二次函数的综合，或与几何图形的面积、 动点问题结合，增加试题的综合性与区分度。 (五)复习建议 吃透性质：熟记k,b与图像位置、增减性的关系，做到“看图知式，见式 想图”。 规范步骤：专项训练待定系数法求解析式的“设、代、解、写”四步法， 确保步骤分不丢。 数形结合：多练习用图像法解不等式或方程，培养借助图形分析问题的习惯。 规避易错：注意k=0的特殊情况（变为常函数）、函数图像与坐标轴交点 的求解、实际问题中自变量的取值范围。 考点一 一次函数的图像与性质 知识导航 一、一次函数和正比例函数 1.定义：如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正 比例函数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质. 2.一次函数与正比例函数的关系 第1页，共3页 一次函数y=kx+b(k0)的图象是过点(0，b)与直线ykx平行的一条直线。它可以由直 b 线y=kx平移得到.它与x轴的交点为 0 与y轴的交点为(0，b). 二、一次函数的图象与性质 大致 函数 系数取值 经过的象限 函数性质 图象 k>0 一、三 y随x增大而增大 y=kx (k0) k<0 二、四 y随x增大而减小 k>0 一、二、三 b>0 y随x增大而增大 k>0 一、三、四 y=kx+b b<0 (k≠0) k<0 一、二、四 b>0 y随x增大而减小 k<0 二、三、四 b<0 三、一次函数与方程（组）、不等式的关系 关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点 一 元一次方程 的横坐标。 关于x,y的二元一次方程组k1x+b1=y的解是两条直线的交点坐 二元一次方程组 k2x+b2=y 标 第1页，共3页 关于x的一元一次不等式kx+b>0(<0)的解集是以直线y=kx+b和x 元一次不等式 轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围. 四、一次函数图象的平移 平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 向上平移n(n>0)个单位 y=kx+b→y=k+b+n (1)简记为“左加右减自变量，上加下 减常数项”： 向下平移(n>0)个单位 y=kx+b→y=k+b-n (2)直线y=你+b可以看作由直线 向左平移m(m>0)个单位 y=kx+b→y=k(x+m)+b y=c向上或向下平移b|个单位得到 向右平移m(m>0)个单位 y=kx+b→y=k(x-m)+b 【拓展】 同一平面直角坐标系中两直线：y=kx+b,(k≠0)，12：y=k2x+b,(k2≠0)的位置关系 k1,k2,b1,b2的关系 4与马的关系 k≠k2 1与4相交 k1≠k2,b=b2 4与4相交于)轴上的一点 k=k2,b≠b2 4与4平行 典例分析 【题型1正比例函数的图像和性质】 【例1】 (2025陕西.中考真题)在平面直角坐标系中，点A(3,y),B(4,y2)均在直线y=kx(k≠0)上， 若乃<》2，则该直线经过的点的坐标还可以是() A.(1,0 B.（-1,-3) C.(1,-2 D.（-1,2) 【答案】B 第1页，共3页 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的 关键， 根据题意可知k>0,即可得出y随x的增大而增大. 【详解】解：3<4，<y, :y随x的增大而增大， k>0, 经过一，三象限 B符合条件，C,D不符合条件 :直线y=kx(k≠0)， 直线经过原点 点1,0)在x轴上，直线y=kx(k≠0)经过原点，但不经过1,0)故该选项A不符合， 故选：B. 【变式1-1】.(2025江苏徐州中考真题)急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当 刹车到车辆停下来所走的距离，记作m；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车 所走的距离，记作d,m,刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d,m. 已知y=d,+d,d与骑行速度成正比，d与骑行速度的平方成正比.当骑行速度为13kmh 时，反应距离为2.6m,刹车距离为lm. (1)若骑行速度为26kmh,则d,=m,d2= m (2)设骑行速度为xkm/h,求y关于x的函数表达式： (3)当刹车距离为2m时，停车距离为多少（精确到0.1m)？(参考数据：√2≈1.41， √5≈1.73，√5≈2.24) 【答案】(1)5.2,4 第1页，共3页 (2)y= x2+0.2x 169 (3)停车距离约为5.7m. 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； (1)设d=kx,山，=kx2,结合题意可得d,=0.2x,d,=,再进一步求解即可： 169 (2)结合(1)可得：y=d+4,=169 1 2+0.2x; 3)当刹车距离为2m时，可得260x，求解x,再进一步求解即可， 【详解】(1)解：：4与骑行速度成正比，d与骑行速度的平方成正比.骑行速度为 xkm/h, .di=kx,d2=kx2, :当骑行速度为13kmh时，反应距离为2.6m=2.6×103km, .13k=2.6×103, 解得：k=2×104, .d1=2x104x, 当x=26时， .d1=2×104×26=5.2×103(km)=5.2(m）, :当骑行速度为13km/h时，刹车距离为1m=1×103m, 、1x103=132×k2, 解得：k2= 103 169 d2= 10-3 169 第1页，共3页 当x=26时，4=10 169 ×262=103 169 ×22×132=4×103(km)=4(m). -x2, 【2)解：设骑行速度为xkm/h,而d,=2×10x,d,=69 y关于x的函数表达式为y=d+d2= 10 169 x2+2×103x. (3)解：：当刹车距离为2m时， 2x103=103 x, 169 解得：x=13√2，(x=-13√2舍去)， 10-3 .y= 2+2×103x≈2×103+2×10×13×1.41=5.666×103(km)≈5.7(m) 169 停车距离约为5.7m. 【变式1-2】(2025山东潍坊中考真题)如图，一次函数y=kx+b经过点4(0,4)，与x轴 交于点B,与正比例函数y=kx交于点P1,2),则下列结论正确的是() B A.k-k2>0 B.P为AB的中点 C.方程kx+b=k2x的解是x=2 D.当x<1时，kx+b>k2x 【答案】BD 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一 第1页，共3页 排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键. 【详解】解：A、根据图象可知，k<0,k2>0, k-k2<0,原选项不符合题意； B、:一次函数y=kx+b经过点A(0,4),点P(1,2), [k+b=2 [k=-2 ,解得： b=4 b=4 ·一次函数解析式为y=-2x+4, 当y=0时，x=2, B(2,0), ·PA=1-0+(2-42=5,PB=V1-22+(2-02=5, ·PA=PB, .P为AB的中点，原选项符合题意； C、方程kx+b=kx的解是x=1,原选项不符合题意； D、当x<1时，kx+b>k2x,原选项符合题意； 故选：BD. 【变式1-3】(2025吉林长春中考真题)己知点4(-3)、B3,)在同一正比例函数 y=kx(k<0的图象上，则下列结论正确的是() A.y1=-y2 B.y=y2 C.y2>0 D.y1<0 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解， 第1页，共3页 掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键. 【详解】解：：点A-3,)、B(3,y2)在同一正比例函数y=kxk<0的图象上， y=-3k,y2=3k, .y1=-y2, .k<0, 正比例函数的图象经过二、四象限，当x<0时y>0,当x>0时y<0, -3<0<3, .1>0,y2<0, 选项A正确，选项B、C、D错误， 故选：A. 【题型2一次函数的定义】 【例2】(2025广东广州中考真题)若抛物线y=x-6mx+6m2+5m+3的顶点在直线 y=x+2上，则m的值为 【答案】皮号 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程， 正确掌握相关性质内容是解题的关键.先整理得出顶点坐标为(3m,-3m2+5m+3,再把 (3m,-3m2+5m+3代入y=x+2,得出3m2-2m-1=0,运用公式法进行解一元二次方程， 即可作答。 【详解】解：y=x2-6mx+6m2+5m+3, :对称轴为直线x=-6m=3m, 2×1 第1页，共3页 第09讲 一次函数（练习） 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 2．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是__________．（写出一个合理的值即可） 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 5．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 7．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 8．（2025·四川南充·中考真题）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值． 9．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 10．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 11．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 12．（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 13．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 14．（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（  ） A． B． C． D． 15．（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 16．（2025·新疆省直辖县级单位·一模）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图象在第一象限的交点为，轴于，若，，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，比较与的大小． 17．（2025·陕西西安·一模）桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．小晨与组员一起探究桶装水在常温下的最佳饮用时间，经过试验得到如下部分数据： 试验天数天 2 3 4 菌落总数 25 30 35 (1)求与的函数关系式； (2)当时，求此时试验天数的值． 18．（2025·陕西西安·一模）已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 一次函数（练习） 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，． （2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 2．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 3．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是__________．（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取求得的值，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 5．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 6．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点， 由，解得，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 8．（2025·四川南充·中考真题）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （）由题意可得，，因为，所以， 然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， ∵经过点， ∴． ∴反比例函数为， ∵在图象上，， ∴， 设一次函数解析式为， ∴，解得， ∴一次函数为； （2）解：∵轴， ∴，， ∵， ∴， 解得：或或或 ∵点在第二象限， ∴或． 9．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 10．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 11．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 12．（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 13．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 14．（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出的长度，从而建立与的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象． 【详解】解：如图，记交于点， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则，设，则 由平移的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴∙， ∵为定值，为定值， ∴为定值，且小于，∙为定值，且大于， ∴是关于的一次函数，且随的增大而减小， ∴选项符合题意． 15．（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 【详解】解：∵ ∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得． 16．（2025·新疆省直辖县级单位·一模）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图象在第一象限的交点为，轴于，若，，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，比较与的大小． 【答案】(1)， (2)当时， ，当时， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题，待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式． （1）根据三角形的面积得出点A的坐标，结合点B的坐标求出一次函数的解析式，再求出C的坐标，利用待定系数法求解即可求出解析式； （2）由根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵，的面积为， ∴，， ∴， ∴， 将，代入， ∴， ∴  ， ∴， 当时，， ∵，轴于， ∴， 代入得， 解得：， ∴． （2）根据函数图象可得：当时， ，当时， ． 17．（2025·陕西西安·一模）桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．小晨与组员一起探究桶装水在常温下的最佳饮用时间，经过试验得到如下部分数据： 试验天数天 2 3 4 菌落总数 25 30 35 (1)求与的函数关系式； (2)当时，求此时试验天数的值． 【答案】(1)（为正整数） (2)6 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格数据该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可； （2）求出函数值为45时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知求y与x的函数关系式为一次函数关系， 设y与x的函数关系式为， 把，和，代入解析式得： ， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴试验天数为6． 18．（2025·陕西西安·一模）已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的性质，先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出已知交点的纵坐标，再利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质求解另一个交点坐标． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上． ∴． ∴交点坐标为． ∵正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称． ∴另一个交点的坐标为． 故选：D． 19．（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限或一、三象限， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故选：C． 20．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握“形如（、为常数，且）的函数是一次函数”是解题的关键． 根据一次函数的定义，分析各选项：A中可能为；B可能为二次或常数函数；D为反比例函数；C中恒为正，故与成正比，一定是一次函数． 【详解】解：∵ 一次函数需满足， 对于A，若，则，不是一次函数，故A不符合题意； 对于B，若，则为二次函数，故B不符合题意； 对于C，，，，符合（、为常数，且）的形式，一定是一次函数，故C符合题意； 对于D，，为反比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 一次函数（举一反三复习讲义） 【2大考点13大题型】 目 录 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 2 （四）命题趋势（2026 年中考预测） 2 （五）复习建议 3 考点一 一次函数的图像与性质 3 【题型1 正比例函数的图像和性质】 5 【题型2 一次函数的定义】 6 【题型3 一次函数的图像和性质】 6 【题型4 求一次函数的解析式】 7 【题型5 一次函数与一元一次方程】 8 【题型6 一次函数与一元一次不等式】 10 【题型7 一次函数与二元一次方程（组）】 12 考点二 一次函数的应用 13 【题型8 分配方案问题】 14 【题型9 最大利润问题】 15 【题型10 行程问题】 17 【题型11 梯度计价问题】 20 【题型12 其他应用问题】 21 【题型13 一次函数与几何综合】 24 特色专项练 25 【新考向：新考法】 25 【新考向：新情境】 26 【新考向：跨学科】 28 中考真题练 28 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 一次函数是中考数学的核心主干模块，是连接代数与几何的桥梁，近4年坚持 “素养立意”，侧重基础应用与综合能力，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，一次函数分值通常在 8～12 分，占总分的 8%～12%。题型覆盖选择、填空与解答，是试卷中分值占比高、区分度强的重点模块。 （二）考查题型 基础题型（60%）：选择题、填空题。考查函数概念、自变量取值范围、点的坐标特征、一次函数 y=kx+b 的图像与 k,b 符号的关系。难度较低，属于必拿分。 中档题型（30%）：解答题基础问。考查待定系数法求解析式、一次函数与正比例函数的辨析、简单的函数图像分析。 综合 / 压轴题型（10%）：解答题压轴或与几何综合。结合一次函数与方程、不等式、几何图形（面积、距离）进行综合考查，侧重数形结合思想。 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 图像与性质：一次函数 y=kx+b 中，k（斜率，决定增减性）、b（截距，决定与 y 轴交点）对图像位置的影响；k>0 与 k<0 时的增减性对比。 解析式求解：待定系数法是必考核心，已知两点坐标或图像上任意一点坐标求 k 和 b。 数形结合：利用函数图像解决方程（如 kx+b=0）、不等式（如 kx+b>0）的问题；一次函数与实际问题（行程、工程、销售利润）的结合。 （四）命题趋势（2026 年中考预测） 稳中求新：整体难度稳定，不出现偏题怪题，重点考查图像性质的灵活应用和待定系数法的规范性。 情境化增强：结合购物打折、出行计费、工程效率等实际生活场景命题，考查数学建模能力。 综合考查：一次函数与反比例函数、二次函数的综合，或与几何图形的面积、动点问题结合，增加试题的综合性与区分度。 （五）复习建议 吃透性质：熟记 k,b 与图像位置、增减性的关系，做到 “看图知式，见式想图”。 规范步骤：专项训练待定系数法求解析式的 “设、代、解、写” 四步法，确保步骤分不丢。 数形结合：多练习用图像法解不等式或方程，培养借助图形分析问题的习惯。 规避易错：注意 k=0 的特殊情况（变为常函数）、函数图像与坐标轴交点的求解、实际问题中自变量的取值范围。 考点一 一次函数的图像与性质 一、一次函数和正比例函数 1．定义：如果y=kx+b（k≠0），那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质． 2．一次函数与正比例函数的关系 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）． 二、一次函数的图象与性质 函数 系数取值 大致 图象 经过的象限 函数性质 y=kx （k≠0） k>0 一、三 y随x增大而增大 k<0 二、四 y随x增大而减小 y=kx+b （k≠0） k>0 b>0 一、二、三 y随x增大而增大 k>0 b<0 一、三、四 k<0 b>0 一、二、四 y随x增大而减小 k<0 b<0 二、三、四 三、一次函数与方程（组）、不等式的关系 一元一次方程 关于x的一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标． 二元一次方程组 关于x，y的二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标． 一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx+b＞0（＜0）的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围． 四、一次函数图象的平移 平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 （1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”； （2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到 向上平移个单位 向下平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位 【拓展】 同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系 的关系 与的关系 与相交 ， 与相交于轴上的一点 ， 与平行 【题型1 正比例函数的图像和性质】 【例1】 （2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【变式1-2】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【变式1-3】（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 一次函数的定义】 【例2】（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【变式2-1】（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【变式2-2】 （2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式2-3】 （2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为________．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【题型3 一次函数的图像和性质】 【例3】 （2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【变式3-1】 ．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】 （2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】 （2025·湖北·中考真题）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 【题型4 求一次函数的解析式】 【例4】 （2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【变式4-1】 （2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【变式4-2】 （2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______． 【变式4-3】 （2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【题型5 一次函数与一元一次方程】 【例5】 （2025·广东韶关·三模）如图，在平面直角坐标系中，点、、、，通过平移得到． (1)若点与点相对应，请画出平移后的； (2)若点在坐标轴上，且满足，直接写出点的坐标． 【变式5-1】 （2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】 （24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】 （2025·重庆·模拟预测）如图1，在等腰中，，，动点P从点B出发，沿运动到点C停止，过点P作的垂线，交或于点Q，设的长度为，的面积为． (1)请直接写出y关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；请写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为40时的值．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【题型6 一次函数与一元一次不等式】 【例6】 （2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【变式6-1】 （2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【变式6-2】 （2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【变式6-3】 （2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型7 一次函数与二元一次方程（组）】 【例7】 （2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【变式7-1】 （2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【变式7-2】 （24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 【变式7-3】 （24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 考点二 一次函数的应用 一次函数的实际应用： 1.一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【题型8 分配方案问题】 【例8】 （2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【变式8-1】 （2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【变式8-2】 （2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 【变式8-3】 （2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【题型9 最大利润问题】 【例9】 （2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某公司销售一种新型节能产品，现准备从线上和线下两种销售方案中选择一种进行销售．若只在线上销售，每件售价y（元）与月销量x（件）之间的函数表达式为，每件成本为20元，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为（元）（利润＝销售额成本广告费）．若只在线下销售，每件售价为150元，受各种不确定因素影响，每件成本为a元（a为常数，且），当月销量为x件时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为（元）（利润＝销售额成本附加费）． (1)当件时，_____ ；_____； (2)分别求出、与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围）； (3)当x为何值时，的值最大？若的最大值与的最大值相同，求a的值； (4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策：选择在线上销售还是在线下销售才能使所获月利润较大？ 【变式9-1】 （2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【变式9-2】 （2025·甘肃武威·模拟预测）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ．当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ 【变式9-3】 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【题型10 行程问题】 【例10】 （2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【变式10-1】 （2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【变式10-2】 （2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【变式10-3】 （2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【题型11 梯度计价问题】 【例11】 （2025·山西临汾·二模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【变式11-1】 （2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【变式11-2】 （2025·山西朔州·模拟预测）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 【变式11-3】 （2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【题型12 其他应用问题】 【例12】 （2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【变式12-1】 （2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． 【变式12-2】 （2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【变式12-3】 （2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 【题型13 一次函数与几何综合】 【例13】 （2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________． 【变式13-1】 （2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【变式13-2】 （2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求、的值和反比例函数的表达式； (2)若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值． （2）解：如图所示，设直线交x轴于C， 【变式13-3】 （2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 特色专项练 【新考向：新考法】 1（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 【新考向：新情境】 1．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【新考向：跨学科】 1．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 中考真题练 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 2．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式______． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 6．（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 8．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点，将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为3时，求m的值． 9（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 10（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 11．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 13．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为_______千克． 14．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 15．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 16．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 17．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．（2025·甘肃·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为3时，求m的值． 20．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 21．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 22．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 第1页，共3页 第1页，共3页 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