第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 -2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·四川资阳·开学考试）如图，空间四边形中，分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川泸州·月考）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京·月考）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 7．（24-25高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一下·江苏镇江·期中）下列说法中正确的是（　　） A．在中，，，，若，则为锐角三角形 B．非零向量和满足，，则 C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在中，若，则与的面积之比为 10．（24-25高一下·云南保山·月考）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 11．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为直角三角形 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（25-26高三上·北京丰台·期末）在中，，，且，则的面积为______. 13．（2025高三·全国·专题练习）在中，若，则一定是______三角形． 14．（24-25高一下·甘肃定西·月考）如图，我国的一艘海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16nmile的B处有一艘外国船只，且D岛位于海监船正东处．观测中发现，此外国船只正以每时4nmile的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12nmile处，不让其进入D岛12nmile内的海域，则海监船的航向为________，其速度的最小值为________．（参考数据：） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知平行四边形中，，． (1)用，表示向量，； (2)当，满足什么条件时，与垂直； (3)当，满足什么条件时，． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，设为的重心，过的直线分别交，于点，，若，，求证：. 17．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． 18．（24-25高一下·湖北十堰·月考）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 19．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判断；④根据向量的性质可判断. 【详解】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量； ②错，的模等于0； ③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确； ④错，向量不能比较大小． 故选：B． 2．（24-25高二上·四川资阳·开学考试）如图，空间四边形中，分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法的运算法则即可作出判断. 【详解】因为为中点，所以； 又因为为中点，所以且，所以. 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·四川泸州·月考）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 4．（24-25高一下·北京·月考）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：由，故，故， 则，故B正确； 对C：由，故， 故C错误； 对D：，故D正确. 故选：C. 5．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 7．（24-25高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. 8．（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 【答案】C 【分析】由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D. 【详解】因为向量，，则，， 对于A，当且仅当，即， 即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误； 对于B，当且仅当， 即，即， 当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得， 当时，此时，由此可知存在实数对，使得， 当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误； 对于C，当且仅当，解得，故C正确； 对于D，， 即，进而可得 故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一下·江苏镇江·期中）下列说法中正确的是（　　） A．在中，，，，若，则为锐角三角形 B．非零向量和满足，，则 C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在中，若，则与的面积之比为 【答案】BD 【分析】利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用向量的和、差的模的平方的关系求得，进而判定B；注意到与同向的情况，可以否定C；延长交于,∵共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到,进而，然后得到，利用分比定理得到，从而判定D. 【详解】即,∴,∴为钝角，故A错误； ，， ，，故B正确； ，当时，与同向，夹角不是锐角，故C错误； ∵，∴， 延长交于,如图所示.    ∵共线，∴存在实数，， ∵共线，∴,∴, ∴，∴，∴. ∴，∴，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一下·云南保山·月考）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解. 【详解】对于A，根据题意，得，所以， 解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，由题意知的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确. 故选：AD 11．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由大角对大边，再结合正弦定理可判断A，由余弦定理可判断B，由，结合诱导公式可判断C，由余弦定理求得，即可判断D. 【详解】若，则，利用正弦定理，可得，所以，故A正确； 若，则利用余弦定理可得，所以为锐角，但不知道是否为锐角，故B不正确； 若为锐角三角形，则，所以，所以，即，故C正确； 若，则利用余弦定理， 可得，即，解得，所以， 所以为直角三角形，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（25-26高三上·北京丰台·期末）在中，，，且，则的面积为______. 【答案】 【分析】利用正弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】由及正弦定理可得，, 由知，故，所以，即， 所以，, 所以， 故答案为： 13．（2025高三·全国·专题练习）在中，若，则一定是______三角形． 【答案】等边 【分析】二倍角公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，即．故为等边三角形． 故答案为：等边. 14．（24-25高一下·甘肃定西·月考）如图，我国的一艘海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16nmile的B处有一艘外国船只，且D岛位于海监船正东处．观测中发现，此外国船只正以每时4nmile的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12nmile处，不让其进入D岛12nmile内的海域，则海监船的航向为________，其速度的最小值为________．（参考数据：） 【答案】 北偏东 20海里/小时 【分析】首先利用余弦定理解求得的长，作出B点正南方向BC与12海里圆的交点E（为过点作与的交点），通过解直角三角形求得，，等，从而可得结论． 【详解】依题意，在中，，由余弦定理得 ∴ 即此时该外国船只与岛的距离为海里． 过点作于点， 在中， ∴ 以为圆心，为半径的圆交于点，连结， 在中， ∴， 又 ∴， 外国船只到达点的时间（小时） ∴海监船的速度（海里小时） 故海监船的航向为北偏东，速度的最小值为海里小时. 故答案为：北偏东；海里小时. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知平行四边形中，，． (1)用，表示向量，； (2)当，满足什么条件时，与垂直； (3)当，满足什么条件时，． 【答案】(1)，． (2)，应该满足 (3)，应互相垂直． 【分析】（1）由向量加法和减法法则即可直接得解； （2）由与垂直得到四边形ABCD为菱形即可求解； （3）由得到平行四边形为矩形即可求解. 【详解】（1），； （2）若与垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直， 则四边形为菱形， 所以，应该满足； （3）表示平行四边形的两条对角线的长相等， 这样的平行四边形为矩形，故，应互相垂直． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，设为的重心，过的直线分别交，于点，，若，，求证：. 【答案】见解析 【分析】设，，用表示出与，根据与共线列方程组，化简后证得. 【详解】设，.则，.如图，连接并延长交于点，则为边上的中线， ∴，∴，， .又与共线，∴存在实数，使， ∴，∴，消去得. 又由题意，知，，∴. 17．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据图形关系及平面向量线性运算法则计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律及定义得到方程，求出，再判断即可. 【详解】（1）依题意， ． （2）因为， 所以， 所以． 因为，所以， 所以，即，解得或． 连接交于，因为，所以，所以， 则． 因为在线段上，所以，故．    18．（24-25高一下·湖北十堰·月考）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 【答案】(1) (2)两人约有小时不能通话 【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x､y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 因此建立如图所示的平面直角坐标系， ， 设保安甲从C出发小时后达点D，所以有， 设，由， 即，当时，， 由 ； （2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为， 于是有， 因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话， 所以有，所以 解之：或，又 所以两人约有小时不能通话. 19．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由和可得和，从而得，由正弦定理，可得AB； （2）假设乙出发分钟后，通过余弦定理算出此时甲乙之间的距离，结合二次函数即可得最值. 【详解】（1）由题意得：， 所以， 由正弦定理得即， 所以. （2）设乙出发（）后到达点，此时甲到达点，如图所示， 则，， 由余弦定理得： ， 所以当时，最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. 学科网（北京）股份有限公司 $