专题1.2 二次根式的性质重难点题型专训（2个知识点+4大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦二次根式的性质与最简二次根式两大核心知识点，系统梳理双重非负性、(√a)²=a(a≥0)、√a²=|a|及两者区别，结合最简二次根式定义与化简步骤，搭建从基础性质到应用拓展的学习支架。 资料通过4大题型分层训练与2大拓展训练，融入几何图形问题（如长方体装饰条最短长度）培养几何直观，设置参数求解题型发展推理能力，即时训练与自我检测助力学生巩固，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题1.2 二次根式的性质重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 最简二次根式的判断 题型三 化为最简二次根式 题型四 已知最简二次根式求参数 拓展训练一 二次根式性质的综合应用 拓展训练二 二次根式的相关求参数问题 知识点一：二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【即时训练】 1.（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）若化简的结果为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质以及分类讨论思想成为解题的关键． 先根据二次根式的性质可得，然后分四种情况分别去绝对值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当，，即时，则，解得：符合题意； 当，，即时，则，方程无解，不符合题意； 当，，即时，则，方程无解，不符合题意； 当，，即，则，解得：，不符合题意． 综上，． 故选A． 2.（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了绝对值的性质和二次根式的性质， 先根据二次根式有意义的条件可得，再分两种情况讨论即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述，m的最小值为3． 故答案为：3． 知识点二：最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江西上饶·专题练习）下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判定，依据最简二次根式的定义：被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵的被开方数不含分母，且7不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义， ∴A选项符合题意， ∵，被开方数含分母，不是最简二次根式， ∴B选项不符合题意， ∵，被开方数含分母，不是最简二次根式， ∴C选项不符合题意， ∵，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式， ∴D选项不符合题意， 故选：A 2．（25-26八年级下·山东青岛·专题练习）化简______． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，先利用二次根式的除法法则拆分被开方数，再将含完全平方数的部分开方，最后通过分母有理化得到最简二次根式． 【详解】解：=====． 【经典例题一 利用二次根式的性质化简】 【例1】（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原数列各项统一改写为二次根式形式，找出被开方数的规律，再计算第个数即可． 【详解】解：把原数列各数改写为二次根式可得：，，，，，，…， ∴第个数为，为正整数， ∴第个数为． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质．根据公式，计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 1．（25-26八年级下·河南郑州·专题练习）如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按不同方法将长方体盒子展开成平面图形，再用勾股定理求得装饰条的长度，比较大小即可求得装饰条的最小长度；用勾股定理可得最大长度． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：          ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， 在中，， ∵， ∴装饰条的最小长度为； 如图：， ， 又 ∵， 在中，， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的定义及性质，需逐个验证每个等式是否符合算术平方根的计算规则，统计正确等式的个数来确定答案. 【详解】∵，∴①错误； ∵（算术平方根为非负数），∴②错误； ∵，∴③正确； ∵，∴④错误； 综上，正确的等式只有1个， 故选：A. 3．（25-26八年级下·上海·月考）化简：当时，___________． 【答案】 【分析】由，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】掌握是解题的关键． 4．（25-26八年级下·浙江·假期作业）对于， (1)若，化简这个式子． (2)当a是什么取值范围时，原式的值与a的取值无关，并求出原式的值． 【答案】(1) (2)当时，原式的值与a无关，原式始终等于 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据进行化简，即可作答． （2）先进行分类讨论，得出当时，原式的值与a无关，原式始终等于，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∵， ； （2）解：∵， ∴ ∴ 依题意，当时， ， ； 当时， ； 综上：当时，原式的值与a无关，原式始终等于． 【经典例题二 最简二次根式的判断】 【例1】（22-23八年级下·河北保定·专题练习）有下列二次根式：①  ②  ③  ④  ⑤  ⑥琪琪说：“最简二次根式只有①④”，嘉嘉说：“我认为最简二次根式只有③⑥”，则（    ） A．嘉嘉说的对 B．琪琪说的对 C．嘉嘉和琪琪合在一起对 D．嘉嘉和琪琪合在一起也不对 【答案】C 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：②；⑤=；不是最简二次根式； ①；③；④；⑥，都是最简二次根式． 故嘉嘉和琪琪合在一起对． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键． 【例2】（25-26八年级下·全国·课前预习）像，，这些式子有以下两个特点：（1）被开方数不含________；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做________．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含________． 【答案】 分母 最简二次根式 二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的特点，根据最简二次根式的定义即可求解．最简二次根式是被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，且分母不含根号的二次根式． 【详解】解：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 故答案为：分母；最简二次根式；二次根式． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项. 【详解】解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，含平方因数，不是最简二次根式； ④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式． ∴ 最简二次根式有①和⑤，共个. 故选：B． 2．（25-26八年级下·河北张家口·月考）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件． 【详解】解： ①，含平方因数9，不是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式； ④ ，含平方因数9，不是最简二次根式； ⑤ ，不能简化，是最简二次根式； ∴最简二次根式有③和⑤，共2个， 故选C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 4．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【经典例题三 化为最简二次根式】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方形的对边相等，邻边垂直，结合线段中点的定义可得的长，利用勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ， ． 【例2】（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）化简的结果为______． 【答案】 【详解】解： ． 1．（25-26八年级下·河南周口·专题练习）如图，四边形中，，，若四边形的面积为12，则的长为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形及等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式进行解答；先根据四边形内角和定理判断出，再延长至点，使，连接，由全等三角形的判定定理得出，故可得出是直角三角形，再根据四边形的面积为12，即可得出结论． 【详解】解：延长至点，使，连接， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形的面积为12， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 故选：B． 2．（25-26八年级下·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级下·辽宁本溪·专题练习）在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，过点D作于点E，利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质得到，根据求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广东清远·开学考试）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了米 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为10米， （米）， 在中，米，米， （米） 在中，米，米， （米），​ （米），​ 答：船向岸边移动了米． 【经典例题四 已知最简二次根式求参数】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·专题练习）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 【拓展训练一 二次根式性质的综合应用】 【例1】（25-26八年级下·广东深圳·专题练习）“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，解答即可． 本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 故选：A． 【例2】（2024·湖北武汉·三模）如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．连接，作，截取，连接，作，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求得的长，再证明，推出，得到当共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：连接，作，截取，连接，作，垂足为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， ∴， 即的最小值是． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·福建福州·专题练习）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质． 由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 3．（25-26八年级下·山东威海·自主招生）计算_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，二次根式的性质，发现数字规律并裂项是解题的关键． 通过观察一般项，发现每一项可化为 的形式，然后利用裂项法裂项，然后求和即可． 【详解】解：设一般项为 ，其中 从 1 到 2019， ∵ ∴原式． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图1，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于、的等量关系为_____； (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若，求的值； ②将边长分别为、的正方形、正方形按图3摆放，若，，求图3中阴影部分面积的和 【答案】(1) (2)①； ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，求一个数的平方根，二次根式的性质化简，解决本题的关键是根据图形的面积关系得到两个完全平方公式之间的关系，再利用这个关系解决问题． （1）根据图形中的阴影面积可以用大正方形的面积减去长方形的面积表示为，也可根据小长方形的摆放位置用代数式表示出阴影正方形的边长，利用正方形的面积公式直接表示出阴影的面积为，根据两种表示方法表示的是同一个图形的面积，可得； （2）①由（1）可知，把和代入计算即可求出的值，进而即可求解； ②从图中两个正方形的位置可以得出，从而可得，根据（1）中得到的公式可知，两边同时开方求出的值，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； （2）①解：由（1）可知， 当，时， ， ∴； ②解：如图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由（1）可知， 或(舍去)， ． 【拓展训练二 二次根式的相关求参数问题】 【例1】（22-23八年级下·山东泰安·月考）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 【例2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 1．（22-23八年级下·山东德州·月考）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 2．（25-26八年级下·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 【详解】根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 3．（22-23八年级下·安徽·月考）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 4．（25-26八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简即可． 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·河南驻马店·专题练习）小明想做一个直角三角形的木架，下列四组木棒中，刚好能够做成满足要求的木架的是（    ） A．12，15，17 B．，3， C．7，12，15 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，通过验证每组木棒长度是否满足较小两边的平方和等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A：∵，，， ∴不能构成直角三角形． B：∵，，， ∴不能构成直角三角形． C：∵，，， ∴不能构成直角三角形． D：∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形． 3．（25-26八年级下·广东佛山·专题练习）下列根式中是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐项分析判断即可． 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式， A、，被开方数含能开得尽方的因数16，不是最简二次根式，不符合题意； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数10不含分母，且10分解为，无开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，和都是等腰直角三角形，的延长线交于点，且恰为的中点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】如图，延长至，使，连接，证明，可得，再证明，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，一根圆柱形空心塑料管外表面距离左侧管口cm的点处有一只小瓢虫，它要爬行到塑料管外表面与点相对且距离右侧管口cm的点处觅食，已知塑料管横截面的周长为cm，长为cm，则小瓢虫需要爬行的最短距离是（    ） A． B．10cm C．15cm D．25cm 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、圆柱的侧面展开图，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意先画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将圆柱体的侧面展开，过点作于点，连接， 由题意得，， ∵塑料管的横截面的周长为， ∴， ∴， ∴小瓢虫需要爬行的最短距离是． 故选：A． 7．（24-25八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 8．（25-26八年级下·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 9．（25-26八年级下·北京海淀·专题练习）化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 10．（25-26八年级下·重庆南岸·月考）算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的形式； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握其性质是关键； 根据算术平方根的性质化简表达式，说法①有4种结果，说法②结果有3种，说法③先计算出，计算当时，即可判断． 【详解】解：① ∵，，， ∴， 由于a和b符号组合，有4种结果：， 故①正确； ② ∵要求，即， ∴原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 结果有3种不同结果，故②错误； ③ ∵， ∴， 当时，均为负，均为正， ， 当时，， 故③错误； 综上，①正确； 故选B． 11．（25-26八年级下·上海·专题练习）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： (1)_____； (2)_____； (3)_____； (4)_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简．根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，； 13．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）下列二次根式，是最简二次根式的是_______（只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：①是最简二次根式； ②中含有分式，故不是最简二次根式； ③中含有小数，故不是最简二次根式； ④是最简二次根式； ⑤是最简二次根式； ⑥是最简二次根式； ⑦，故不是最简二次根式． 故答案为：①④⑤⑥． 14．（25-26八年级下·上海浦东新·专题练习）等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，设直角边为未知数，运用勾股定理求出直角边长，再计算三角形的周长． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边长为， 根据勾股定理可得， ∴， ∴， ∵边长为正数， ∴， ∴该三角形的周长为． 15．（25-26八年级下·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·四川成都·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质计算，再进行加减计算． （2）先根据乘方、立方根、绝对值、二次根式的性质计算，然后再计算加减运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图1：正方形的边长为，是直线上一动点，连接，在的右侧以为直角顶点作等腰直角三角形，连接，． (1)当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)当时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义等知识点，正确证明全等三角形是解题的关键． （1）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质推出，根据角的和差求出，利用证明, 根据全等三角形的性质即可得解； （2）分两种情况根据正方形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下: ∵四边形是正方形， ∴，， 在等腰直角三角形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①如图， 点在线段上， 由（1）得， ∴， ∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∴； ②如图，点在延长线上，同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴ 综上，故的长为． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 19．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在四边形中，，平分． 求证：四边形为等补四边形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C均在格点上，若点D在格点上，且四边形是等补四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2)满足要求的线段的长为，， 【分析】（1）因为要证四边形是等补四边形，需满足一组邻边相等且对角互补，已知，所以只需证明一组邻边相等，可考虑构造全等三角形，结合的互补条件，推导邻边相等，从而完成证明； （2）由三角形全等证明出邻边相等和，结合等补四边形的定义得出，结合网格确定点的可能位置，最后利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】（1）证明：如图，在边上截取，连， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为等补四边形； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形，且四边形是等补四边形， ∴， ∵， ∴找到满足要求的点即可，如图所示， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴满足要求的线段的长为，，． 20．（25-26八年级下·广东深圳·专题练习）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等直四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如，在图1中，若，，则四边形为邻等直四边形，邻等角为． (1)如图1，已知四边形为邻等直四边形，，，，求的度数； (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等直四边形； (3)如图3，在中，，，，若四边形为邻等直四边形，请画出示意图（温馨提示：不限作图工具），并直接写出四边形的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析，当时，周长为；当时，周长为；当时，周长为16；当时，周长为；当时，周长为；当时，周长为 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． (1)根据平行线的性质可以求出，根据四边形为邻等直四边形，可知，根据角之间的关系即可求出的度数； (2)根据角平分线的定义和平行线的性质可证，根据，，可知，可以判断四边形为邻等直四边形； (3)根据四边形为邻等直四边形，分情况求出四边形的周长． 【详解】（1）解：， ， ， 又， ， 又， ， ， ； （2）证明：在四边形中，，， ， 对角线平分， ， ， ， ， ， 四边形为邻等直四边形； （3）情况一：当时， ，，， ， 如下图所示，过点作， 则，， ， ， 四边形的周长为； 情况二：当时， ，，， ， 如下图所示，过点作， 则，， ， ， 四边形的周长为； 情况三：当时，如下图所示，过点作， ，，， ，， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 四边形周长为； 情况四：当时， 如下图所示，过点作， ，，， 设，则，， ， ， 解得：， ， 四边形的周长为； 情况五：当时， ，，， ， 如下图所示，过点作， 则， 设，则， ， ， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 四边形的周长为； 情况六：当时， ，，， ， 如下图所示，过点作， 则，， ， , 四边形的周长为． 综上所述，当时，周长为；当时，周长为；当时，周长为16；当时，周长为；当时，周长为；当时，周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 二次根式的性质重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 最简二次根式的判断 题型三 化为最简二次根式 题型四 已知最简二次根式求参数 拓展训练一 二次根式性质的综合应用 拓展训练二 二次根式的相关求参数问题 知识点一：二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【即时训练】 1.（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）若化简的结果为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为 ． 知识点二：最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江西上饶·专题练习）下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·专题练习）化简______． 【经典例题一 利用二次根式的性质化简】 【例1】（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______； （3）______． 1．（25-26八年级下·河南郑州·专题练习）如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级下·上海·月考）化简：当时，___________． 4．（25-26八年级下·浙江·假期作业）对于， (1)若，化简这个式子． (2)当a是什么取值范围时，原式的值与a的取值无关，并求出原式的值． 【经典例题二 最简二次根式的判断】 【例1】（22-23八年级下·河北保定·专题练习）有下列二次根式：①  ②  ③  ④  ⑤  ⑥琪琪说：“最简二次根式只有①④”，嘉嘉说：“我认为最简二次根式只有③⑥”，则（    ） A．嘉嘉说的对 B．琪琪说的对 C．嘉嘉和琪琪合在一起对 D．嘉嘉和琪琪合在一起也不对 【例2】（25-26八年级下·全国·课前预习）像，，这些式子有以下两个特点：（1）被开方数不含________；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做________．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含________． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级下·河北张家口·月考）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 4．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【经典例题三 化为最简二次根式】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）化简的结果为______． 1．（25-26八年级下·河南周口·专题练习）如图，四边形中，，，若四边形的面积为12，则的长为（   ） A． B． C．4 D．6 2．（25-26八年级下·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁本溪·专题练习）在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为__________． 4．（25-26八年级下·广东清远·开学考试）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【经典例题四 已知最简二次根式求参数】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 2．（25-26八年级下·河北石家庄·专题练习）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 3．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【拓展训练一 二次根式性质的综合应用】 【例1】（25-26八年级下·广东深圳·专题练习）“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2024·湖北武汉·三模）如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是__________． 1．（25-26八年级下·福建福州·专题练习）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 2．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 3．（25-26八年级下·山东威海·自主招生）计算_____． 4．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图1，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于、的等量关系为_____； (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若，求的值； ②将边长分别为、的正方形、正方形按图3摆放，若，，求图3中阴影部分面积的和 【拓展训练二 二次根式的相关求参数问题】 【例1】（22-23八年级下·山东泰安·月考）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【例2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 1．（22-23八年级下·山东德州·月考）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级下·安徽·月考）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 4．（25-26八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南驻马店·专题练习）小明想做一个直角三角形的木架，下列四组木棒中，刚好能够做成满足要求的木架的是（    ） A．12，15，17 B．，3， C．7，12，15 D．3，4，5 3．（25-26八年级下·广东佛山·专题练习）下列根式中是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，和都是等腰直角三角形，的延长线交于点，且恰为的中点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 6．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，一根圆柱形空心塑料管外表面距离左侧管口cm的点处有一只小瓢虫，它要爬行到塑料管外表面与点相对且距离右侧管口cm的点处觅食，已知塑料管横截面的周长为cm，长为cm，则小瓢虫需要爬行的最短距离是（    ） A． B．10cm C．15cm D．25cm 7．（24-25八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·北京海淀·专题练习）化简后等于（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·重庆南岸·月考）算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的形式； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（25-26八年级下·上海·专题练习）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： (1)_____； (2)_____； (3)_____； (4)_____． 13．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）下列二次根式，是最简二次根式的是_______（只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 14．（25-26八年级下·上海浦东新·专题练习）等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________． 15．（25-26八年级下·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 16．（25-26八年级下·四川成都·月考）计算： (1)； (2)． 17．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图1：正方形的边长为，是直线上一动点，连接，在的右侧以为直角顶点作等腰直角三角形，连接，． (1)当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)当时，求的长． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 19．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在四边形中，，平分． 求证：四边形为等补四边形； (2) 如图2，方格纸中每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C均在格点上，若点D在格点上，且四边形是等补四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 20．（25-26八年级下·广东深圳·专题练习）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等直四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如，在图1中，若，，则四边形为邻等直四边形，邻等角为． (1)如图1，已知四边形为邻等直四边形，，，，求的度数； (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等直四边形； (3)如图3，在中，，，，若四边形为邻等直四边形，请画出示意图（温馨提示：不限作图工具），并直接写出四边形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $