专题1.1 二次根式的意义重难点题型专训（2个知识点+3大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦二次根式的意义这一核心知识点，系统梳理二次根式的概念（形如√a的式子，被开方数为非负数）和有无意义的条件，通过即时训练巩固基础，再延伸至求参数、有意义条件、求值三大题型，构建从概念理解到应用的学习支架。 该资料以题型分类为特色，融合经典例题与多地考题，通过求参数问题培养推理意识，拓展训练提升应用意识，既辅助教师课堂教学，又帮助学生课后查漏补缺，强化知识迁移能力与数学思维。

专题1.1 二次根式的意义重难点题型专训 （2个知识点+3大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求二次根式中的参数 题型二 二次根式有意义的条件 题型三 求二次根式的值 拓展训练一 二次根式的识别与求值 拓展训练二 二次根式相关求参数问题 知识点一：二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·重庆·专题练习）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 知识点二：二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）若式子有意义，则x的取值范围是_________ ． 【经典例题一 求二次根式中的参数】 【例1】（25-26八年级下·全国·专题练习）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 2.（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·月考）若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26八年级下·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 4．（22-23八年级下·江苏镇江·月考）对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． (1)上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； (2)直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 【经典例题二 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·四川雅安·专题练习）使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【例2】（25-26八年级下·广东广州·期中）若，则_____，_____． 1．（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）能使式子有意义的实数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 4．（25-26八年级下·湖南益阳·期中）若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【经典例题三 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级下·四川泸州·专题练习）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【例2】（24-25八年级下·浙江金华·专题练习）当时，二次根式的值为______． 1．（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川内江·月考）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是_______． 4．（2022·河南·模拟预测）求代数式÷的值，其中x＝． 【拓展训练一 二次根式的识别与求值】 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为___________． 1．（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·专题练习）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 3．（25-26八年级下·湖北荆门·月考）已知，则________． 4.（24-25八年级下·湖南株洲·专题练习）计算：． 【拓展训练二 二次根式相关求参数问题】 【例1】（25-26八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【例2】（23-24八年级下·甘肃天水·月考）计算：如果，那么___________；___________． 1．（24-25八年级下·山西长治·专题练习）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南新乡·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 4．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·专题练习）先化简，再求值：，其中、满足． 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·专题练习）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 2．（22-23八年级下·河北唐山·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东德州·专题练习）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 4．（25-26八年级下·湖南邵阳·专题练习）已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山西晋中·月考）如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（25-26八年级下·重庆·期中）若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 9．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）若x、y均为实数，且，求的平方根（   ）． A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·重庆渝北·专题练习）直线满足式子有意义，则与在同一平面直角坐标系中的图像是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·专题练习）若实数x，y满足，则的值为__________． 12．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）若，则_______． 13．（2022·广东潮州·一模）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 14．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）函数 中，自变量的取值范围是______． 15．（25-26八年级下·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 16．（25-26八年级下·广西贵港·专题练习）已知：． (1)化简； (2)若，求的值． 17． （25-26八年级下·全国·期中）已知为实数，且，求的值． 18． （25-26八年级下·四川资阳·专题练习）先化简，再求值：，其中． 19． （25-26八年级下·全国·单元测试）若成立，求． 20．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 二次根式的意义重难点题型专训 （2个知识点+3大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求二次根式中的参数 题型二 二次根式有意义的条件 题型三 求二次根式的值 拓展训练一 二次根式的识别与求值 拓展训练二 二次根式相关求参数问题 知识点一：二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·重庆·专题练习）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 知识点二：二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数是非负数， ∴二次根式中，被开方数满足， 解不等式得． 2．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）若式子有意义，则x的取值范围是_________ ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，需满足分母且被开方数， 由得，即； 由得， 所以x的取值范围是， 故答案为：． 【经典例题一 求二次根式中的参数】 【例1】（25-26八年级下·全国·专题练习）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 2.（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·月考）若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数． 【详解】解：成立， ，解得， 又是整数， a能取的最小整数为0， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键． 3．（25-26八年级下·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 4．（22-23八年级下·江苏镇江·月考）对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． (1)上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； (2)直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】（1）先去分母，再去括号，然后化简，最后两边同时开方即可； （2）根据（1）中的结论得出，再根据a、b均为正整数，求出所有符合条件的a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ．   ∵n是正整数 ∴． （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵a、b均为正整数， ∴或或， 即符合条件的坐标有． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，二次根式，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 【经典例题二 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·四川雅安·专题练习）使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以得出x的范围． 【详解】解：∵分母， ∴， ∵被开方数， ∴， ∴且． 故选D． 【例2】（25-26八年级下·广东广州·期中）若，则_____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，求出的值，再代入原式即可求出的值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， 故答案为：，． 1．（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）能使式子有意义的实数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 式子有意义需被开方数非负，即 ，结合平方数非负，只能取等号. 【详解】解：∵ 式子 有意义需被开方数 ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ 只能 ，即 ， ∴ ，， ∴ 只有个实数使式子有意义. 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】1≤ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及一元一次不等式组的解法，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式组求解． 【详解】解：要使有意义，需， 解得； 要使有意义，需， 解得． 因此，的取值范围是． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·湖南益阳·期中）若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 【经典例题三 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级下·四川泸州·专题练习）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·浙江金华·专题练习）当时，二次根式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 1．（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式； 中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式； 是二次根式． 故选：A． 2．（23-24八年级下·四川内江·月考）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意； B、不是二次根式，则此项符合题意； C、是二次根式，则此项不符合题意； D、是二次根式，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 4．（2022·河南·模拟预测）求代数式÷的值，其中x＝． 【答案】-2+ 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再把x的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：原式=（ ）÷ =· =· = = 当x＝时，原式==-2+． 【点睛】本题考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【拓展训练一 二次根式的识别与求值】 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 【例2】 （25-26八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 1．（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·专题练习）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 3．（25-26八年级下·湖北荆门·月考）已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 4.（24-25八年级下·湖南株洲·专题练习）计算：． 【答案】9 【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及到绝对值、二次根式化简以及负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 先计算绝对值、二次根式、负整数指数幂，其中负整数指数幂根据计算，再加减运算即可求解． 【详解】解： 【拓展训练二 二次根式相关求参数问题】 【例1】（25-26八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·甘肃天水·月考）计算：如果，那么___________；___________． 【答案】 5 【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键． 1．（24-25八年级下·山西长治·专题练习）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南新乡·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式；     C．当即时，不是二次根式；     D．∵，∴，∴是二次根式． 故选D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·专题练习）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】，28 【分析】先将原式化简，再对进行变形，根据非负数的性质求出a和b的值，代入化简后的式子求解即可． 【详解】解：原式 由变形可得， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值、平方差公式、完全平方公式，二次根式的非负性，对原式进行正确化简是解题的关键． 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·专题练习）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义， 需根据“形如的式子是二次根式”这一概念判断各选项． 【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子， ∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式； B选项是整数，不符合二次根式的形式； C选项是无理数，不符合二次根式的形式； D选项满足的形式，是二次根式． 故选：D． 2．（22-23八年级下·河北唐山·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式； B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式； C、，含有三次根号，不是二次根式； D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 3．（25-26八年级下·山东德州·专题练习）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 4．（25-26八年级下·湖南邵阳·专题练习）已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）及分式有意义的条件（分母不为0），逐一判断各选项在为任意实数时是否有意义． 【详解】解：对选项A：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项B：分母，当时式子无意义，虽分子中，但为任意实数包含，不符合题意 对选项C：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项D：∵为任意实数，，∴，被开方数始终为正，∴在实数范围内一定有意义，符合题意 故选：D． 5．（25-26八年级下·山西晋中·月考）如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件与平面直角坐标系中象限的符号特征，掌握二次根式有意义的条件及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，确定的取值范围，再判断点的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴点中，，且，故， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 故选：B． 8．（25-26八年级下·重庆·期中）若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，． 由 得 ， 由 得 ，即 ， ∴ ． 代入原式：， ， ∴ ， 两边平方得 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 9．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）若x、y均为实数，且，求的平方根（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的定义．先根据二次根式有意义的条件求出x的值，代入原方程中求出y的值，再代入求出其值，最后根据平方根的定义求出的平方根． 【详解】解：由题意知，要使和存在有意义，需满足： ， ∴， 将代入原方程：， 解得：， ∴， ∴的平方根为． 故选：A． 10．（24-25八年级下·重庆渝北·专题练习）直线满足式子有意义，则与在同一平面直角坐标系中的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质和二次根式有意义的条件，根据的正负一一判断即可； 【详解】解：根据二次根式有意义的条件确定的取值范围 ，被开方数， ∴， ∴直线的图象与轴交于负半轴或原点；故选项A错误； 选项B和D中 ∵直线的图象可以看出直线从左到右上升，y随x的增大而增大， ∴， ∴直线的图象与轴交于正半轴， 而当时，， ∴可为正也可为负； 若为正时，的绝对值大于的绝对值， 故选项D正确； 若为负时，的绝对值小于的绝对值， ∴选项B错误； 选项C中， ∵直线的图象可以看出直线从左到右下降，y随x的增大而减小， ∴， 而当时，， ∴， ∴直线经过一、三、四象限，故选项C错误； 故选项为： D. 11．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·专题练习）若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）若，则_______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后将代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：要使二次根式有意义，则被开方数为非负数， ∴可得不等式组， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴． 13．（2022·广东潮州·一模）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 14．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）函数 中，自变量的取值范围是______． 【答案】且， 【分析】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其性质定义． 根据函数解析式，自变量取值范围需满足平方根的被开方数非负、分母不为零以及负指数项底数不为零的条件． 【详解】解：由函数， 平方根部分， ∴要求，解得； 分式分母，解得； 负指数项， ∴要求，即； 综上，自变量的取值范围为且,． 故答案为且,． 15．（25-26八年级下·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答． 本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得且， 解得，， 故 故答案为：． 16．（25-26八年级下·广西贵港·专题练习）已知：． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的有意义的条件． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果； （2）利用二次根式的有意义的条件求得x的值，再把x的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解： 而， ，， ， ． 17．（25-26八年级下·全国·期中）已知为实数，且，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算，求代数式的值；先由二次根式有意义的条件可求出，的值，再代入所求的代数式计算即可求解． 【详解】解：， 因为有和都有意义， 所以, 所以和都是非负数， 因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了二次根式的计算化简，关键是要由二次根式的非负性先求出，的值． 18．（25-26八年级下·四川资阳·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分作差，再将除法化为乘法约分化简，然后利用二次根式有意义的条件求出、的值，代入计算求值即可． 【详解】解： ， ， ∴， ， ∴ 原式． 19．（25-26八年级下·全国·单元测试）若成立，求． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及代数式求值，关键是根据二次根式被开方数非负的性质确定的取值．先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入的表达式计算出，最后将、代入计算结果． 【详解】解：∵， ∴，解不等式得，解不等式得， ∴， ∴． 则． 故答案为：． 20．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小，当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （2）作线段，在的两侧作两个和，使得，，用类似（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为13； 故答案为：13； （2）模仿（1）可知，当，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题属于综合题，考查了轴对称最短路线问题，列代数式，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质与判断，解决本题的关键是准确读懂题意，利用勾股定理． 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