5.3.1等比数列（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数 列 5.3等比数列 5.3.1等比数列 学 习 目 标 1 2 经历情景问题，认识与理解等比数列的定义与通项公式，并能运用通项公式求解相关的实际问题（数学抽象、数学运算、逻辑推理•重点）. 经历问题探究，理解与掌握等比数列的等比中项公式，等比数列基本性质及其推论，并能运用其求解相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理、数学运算•难点）. （一）情景问题 一、等比数列的定义与通项公式 1.情景1——细胞分裂 如图所示,有些细胞在分裂时,会从1个变成2个,2个变成4个,4个变成8个......这里细胞的个数构成数列 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ① 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. （一）情景问题 2.情景2——庄子名言 《庄子》中说:"一尺之捶,日取其半,万世不竭."其意思是:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完.如果记木棒的长度为1,则不断取一半的过程中,每日截去一半之后木棒的长度构成数列 ， ② 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. 一、等比数列的定义与通项公式 （一）情景问题 3.情景3——银行存款 我们都知道,如果将钱存在银行里,就会获得利息.例如,如果某年年初将1000元钱存为年利率为3%的五年定期存款,且银行每年年底结算一次利息,则这五年中每年年底的本息和构成数列 ③ 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. 一、等比数列的定义与通项公式 （一）情景问题 4.【问题】1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ① ， ② ③ 数列①②③有什么共同点？我们数学上是如何定义这些数列的? 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. 探究：由观察可知上述数列①②③的共同点是: 从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数. 具体地说,数列①从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于 2; 数列②从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于 ; 数列③从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于 1.03 . 一、等比数列的定义与通项公式 （二）等比数列的定义 一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,即 恒成立,则称为等比数列,其中称为等比数列的公比. 例如 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ① ， ② ③ 由等比数列的定义可知 数列①②③都是等比数列,且公比分别为 . 一、等比数列的定义与通项公式 （三）等比数列的通项公式 1.问题探究：1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ① ， ② ③ 你能分别总结出数列①②③的通项公式，并得出一般等比数列的通项公式吗? 探究（1）记数列 ①为, 则, , , , 由此可得数列①的通项公式为 . 探究（2）记数列②为, 则, , , , 由此可得数列②的通项公式为 . 探究（3）记数列③为, 则, , , , , 由此可得数列③的通项公式为 . 一、等比数列的定义与通项公式 （三）等比数列的通项公式 2.等比数列的通项公式 一般地,如果等比数列的首项是,公比是,那么根据等比数列的定义有 , 即,从而 ， ， ， 由此可归纳出等比数列的通项公式为 . 【温馨提示】由等比数列的通项公式说明,只要确定了等比数列的首项与公比,就可以写出等比数列中的每一项. 一、等比数列的定义与通项公式 （四）实例运用1——判断数列为等比数列 一、等比数列的定义与通项公式 例1 判断以下数列是否是等比数列？如果是，指出公比；如果不是，说明理由． (1)1，10，100，1000，10000； (2)0，1，2，4，8； (3)． 【知识点】由定义判定等比数列 【分析】根据等比数列的定义判断即可. 【详解】（1）因为， 所以是等比数列，且公比为10． （2）因为没有意义，因此不是等比数列． （3）因为， 所以是等比数列，且公比为． （四）实例运用1——求项与判断项 一、等比数列的定义与通项公式 例2 已知等比数列的首项为，公比． (1)求； (2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、验证是否为等比数列中的项 【分析】（1）根据等比数列的通项即可得解； （2）假设18是这个数列中的项，从而可得出关于的方程，再根据方程是否有正整数解即可得出结论. 【详解】（1）由等比数列的通项公式可知； （2）， 设18是数列中的第项，则， 化简得，因为这个方程无正整数解， 所以18不是数列中的项． （五）通项公式与函数的关系 1.问题探究 在等比数列的通项公式中，与的关系与以前所学过的什么函数有关？ 探究： ∵， ∴如果令则有 , ∴是关于的函数, 故等比数列的通项公式是关于的函数, 即. 一、等比数列的定义与通项公式 （五）通项公式与函数的关系 2.等比数列通项公式与函数的关系 由探究可得如下结论： 已知等比数列的首项是,公比是， 则等比数列的通项公式, 即满足 （1）当公比时，是常数函数，此时数列是常数列（因此公比为1的等比数列是常数列）， （2）当公比时，是与的乘积，它是关于的函数，而且的增减性既与有关，也与公比的符号. 一、等比数列的定义与通项公式 （六）实例运用2——已知通项公式，判断数列是否为等比数列 一、等比数列的定义与通项公式 例3 已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等比数列．如果是，求出公比；如果不是，说明理由．   【知识点】由定义判定等比数列 【分析】由等比数列的定义判断并求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是等比数列，且首项为6，公比为2． （六）实例运用2——等比数列通项公式的扩展形式 一、等比数列的定义与通项公式 例4 已知等比数列的公比为， 求证：对于任意的正整数，有．   【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式证明即可. 【详解】证明：设等比数列的首项为，则 两式相除，整理可得， 即．   （六）实例运用2——已知等比数列两项求其余项 一、等比数列的定义与通项公式 例5 已知等比数列中，，求． 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式列方程，解方程得到，然后求即可. 【详解】解：设等比数列的首项为，公比为q，则 ，解得． 因此．   （一）等比中项及其公式 二、等比数列的性质 1.等比中项的定义 如果是等比数列，那么称为与的等比中项. 例如数列2 , 4, 8是等比数列且公比为2，则称4是2与8的等比中项. 2.问题探究 如果为与的等比中项，那么能用含与的式子表示出来吗？ 探究：∵根据等比中项与等比数列的定义可知 （为数列的公比）， ∴ . （一）等比中项及其公式 二、等比数列的性质 3.等比中项公式 如果 为与的等比中项. 那么 . 例如，2与8的等比中项是. 【温馨提示】容易看出，在一个等比数列中，中间的每一项（既不是首项 也不是末项的项，下同）都是它的前一项与后一项的等比中项. （一）等比中项及其公式 二、等比数列的性质 4.实例运用——利用等比中项公式判定数列是否为等比数列 例6 如果数列中，在时恒成立，求证：是等比数列．   【知识点】由定义判定等比数列 【分析】根据等比数列的定义证明即可. 【详解】证明：根据题意有 ， 因此，从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，所以是等比数列．   【温馨提示】例6说明，如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的 等比中项，那么这个数列一定是等比数列. （二）等比数列的基本性质及其推论 二、等比数列的性质 1.问题探究 设数列的通项公式为，求出，并比较它们的大小，你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗？ 探究：∵ ， ∴ , , ∴. 一般地，如果是公比为的等比数列，而且正整数满足， 则， , 又∵, ∴ . （二）等比数列的基本性质及其推论 二、等比数列的性质 2.等比数列的基本性质 一般地，如果是公比为的等比数列，而且正整数满足 , 则 . 推论：特别地，如果是公比为的等比数列，而且正整数满足 ， 则 . （二）等比数列的基本性质及其推论 二、等差数列的性质 3.实例运用 例7 在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．   【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【详解】解：（方法一）依题意，，，由等比数列的通项公式，得，解得． 当时，插入的3个数分别为 ； 当时，插入的3个数分别为 ． 因此，插入的3个数分别为；或．   （方法二）因为等比数列共有5项，即 ． 又因为，所以，即． 又因为要与同号，因此1． 类似地，有，而且与同号．因此： 当时， 当时，． 因此，插入的3个数分别为；或． 三、提升演练 练习1 判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8 (3)1，，，，． 【知识点】由定义判定等比数列 【分析】根据等比数列的定义判断即可．   【详解】（1）根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列． （3）根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1，公比为的等比数列．   三、提升演练 练习2 已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式. 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】根据题意即可证明，从而确定为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解的通项公式. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则，所以 三、提升演练 练习3已知，是项数相同的等比数列，求证：也是等比数列． 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列 【分析】根据等比数列定义证明即可.   【详解】设数列，的公比分别为p，q， 那么数列的第n项与第项分别为与． 因为，它是一个与n无关的常数， 所以是一个以pq为公比的等比数列． 三、提升演练 练习4 在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求．   【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】(1)； (2)设等比数列公比为q，根据已知条件和等比数列通项公式列出方程组即可求解. 综上，或． 解（1）等比数列中，，， ， ；   解（2）等比数列中，设公比为q， ∵，， ∴， 两式相除并化简得，， 解得或， 当时，，， 当时，，， 综上，或．   三、提升演练 练习5 记为数列的前项和，已知，． (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，数列的最大项为，求的值．   【详解】（1）因为，① 所以，② ②①，得，即， 所以， 又，所以，所以数列是首项为、公比为的等比数列． 所以，所以．   （2）由（1）知，，所以，． 解法一  ， 当时，，即；当时，，即； 当时，，即． 所以，且， 所以数列的最大项为，故的值为或． 今天我们都学习了什么知识？ 1.经历情景问题，认识与理解了等比数列的定义与通项公式，并能运用通项公式求解相关的实际问题（数学抽象、数学运算、逻辑推理•重点）. 2.经历问题探究，理解与掌握了等比数列的等比中项公式，等比数列基本性质及其推论，并能运用其求解相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理、数学运算•难点）. 四、课堂小结 感谢聆听! $