专题3.2 图形的旋转（3大考点+11大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.2图形的旋转 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1：旋转的概念及性质 知识点2：确定旋转中心及旋转作图 知识清单 知识点3：中心对称 知识点4：中心对称图形 题型01判断生活中的旋转现象 题型02根据旋转的性质求解 题型03找旋转中心、旋转角、对应点 图形的旋转 题型04求绕原点旋转90°点的坐标 题型05求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型06几何图形中的旋转综合问题 题型精讲 题型07中心对称图形的识别 题型08求关于原点对称的点的坐标 题型09已知中心对称图形求对称中心的坐标 题型0平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形 题型！根据中心对称的性质求面积、长度、角度 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握旋转的概念，理解旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）及旋转的基 本性质。 2.理解中心对称与中心对称图形的概念，探索成中心对称的基本性质（对称点连线经 教学目标 过对称中心且被平分)。 3.能运用旋转与中心对称的性质进行作图，解决简单的几何问题，发展空间观念与几 何直观。 重点： 教学重难点 1. 旋转的基本性质的理解与应用，能根据旋转前后的图形找出对应点、对应线段和对 1/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 应角。 2.中心对称图形的识别与性质应用，掌握中心对称与中心对称图形的区别与联系。 难点： 1.中心对称与中心对称图形的区别与联系的理解，以及在复杂图形中准确识别中心对 称关系。 2.运用旋转与中心对称的性质进行规范作图，特别是确定旋转中心或对称中心的作图 方法。 知识清单 知识点1：旋转的概念及性质 (1)旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角： 图形上点P旋转后得到点P',这两个点叫作对应点 (2)旋转三要素：①旋转方向：②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上 (3)旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分 别与旋转中心连线所成的角相等。 【即学即练1】 1.(25-26八年级下·全国·课后作业)有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品； ④雨刮器来回摆动.其中属于旋转的是() A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.(25-26九年级上·北京·期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，将ABC绕点A顺时针方向 旋转得到ADE,AB与CE相交于点F,下列说法错误的是() D B4 A.若AD∥CE,则∠BAE=30° B.∠BAE=2LBCE C.ZB=ZAEC D.连接BE及CD,则BE∥CD 知识点2：确定旋转中心及旋转作图 1确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直 2/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点 2旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向 旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形， 作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角)： (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【即学即练2】 3.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，ABC经过旋转后得到aDEC. C (1)旋转中心是点 ,旋转角是 (2)点A的对应点是点 (3)线段AC的对应线段是 ；∠ABC的对应角是 4.(25-26九年级上·湖北武汉·期中)如图，A,B,C三点不共线，△ABD和△AEC都是等边三角形， CD与BE交于点F. D (1)△ACD可以看作是由△AEB旋转得到，其旋转中心是_点，旋转方向是_时针.旋转角（小于平角）的度数 是 (2)请你求出LCFE的度数. 知识点3：中心对称与中心对称图形 1.中心对称 (1)中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心 (2)中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△AB'C关于点O对称. 3/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)中心对称与轴对称的区别与联系： 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 区别 图形绕对称中心旋转180 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 (4)中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中， 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形 (5)确定对称中心的方法： 1连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心 (6)中心对称作图 1连接原图形的关键点与对称中心： 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中 心的距离相等； 3将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 2.中心对称图形 (1)中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那 么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. (2)中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 区别 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图 联系 形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称。 【即学即练3】 5.(25-26九年级上湖南湘西·月考)下列图形中，是中心对称图形的是() 4/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 涤 6.(2025七年级上·全国.专题练习)八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的 性质，对于已知ABC以及ABC外的一点O,分别作A,B,C关于O的对称点A,B,C,得到 △A'B'C',如图，则下列结论不成立的是() B A.点A与点A是对称点 B.BO=BO C.∠AOB=LA'OB D.∠ACB=∠C'A'B' 7.(25-26八年级下.全国课后作业)如下图，D是ABC的边BC的中点，连接AD并延长至点E,使 DE=AD,连接BE ()图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若△ADC的面积为4，求△ABE的面积. 题型精讲 题型01判断生活中的旋转现象 【典例1】(25-26八年级下·全国课后作业)以下生活现象中，属于旋转变换的是() A.钟表的指针和钟摆的运动 B.站在电梯上的人的运动 C.汽车沿笔直的公路行驶 D.地下水位线逐年下降 【变式1】(25-26七年级上·上海宝山·月考)下列生活中的现象是旋转的是() A.飞驰的汽车 B.匀速转动的摩天轮 C.运动员投掷标枪 D.乘坐升降电梯 5/21 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26九年级上江西赣州期末)下面图形不能通过旋转变换得到的是() 【变式3】(25-26九年级上·江西上饶期中)数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是() A.钟表上的时针运动 B.火箭升空 C.月亮在水中的倒影 D.足球在草地上滚动 题型02根据旋转的性质求解 【典例2】(25-26九年级上·四川绵阳·月考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将ABC绕点A顺时针 旋转90°后得到△ABC(点B的对应点是点B,点C的对应点是点C),连接CC.若∠CCB=32°，则 ∠BCA=() A.13° B.28° C.32° D.45 【变式1】(2425七年级下·河南周口期末)如图，将A0B按顺时针方向旋转后成为△C0D,则下列说 法错误的是() D A.旋转中心是点O B.旋转角等于∠AOD C.04=0C D.△AOB≌△COD 【变式2】(25-26九年级上四川宜宾·期中)如图，已知ABC中，∠CAB=20°，∠ABC=30°，将ABC绕 点A逆时针旋转50°得到△AB'C',以下结论中错误的是() B B 6/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.C'B'⊥BB' B.BC=B'C C.AC∥CB D.∠ABB'=∠ACC 【变式3】(2025天津.二模)如图，将ABC绕点A顺时针旋转90°得到ADE,点B,C的对应点分别为 D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上，下列结论一定正确的是() A.AB=AE B.∠ABC+∠E=180° C.AC平分LBCD D.BC+CD=AE 题型03找旋转中心、旋转角、对应点 【典例3】(25-26九年级上全国·期末)如图，点A,B,C,D,O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕 点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为(） A.30 B.45° C.90° D.135 【变式1】(25-26八年级上山东威海期末)如图，在4×4的正方形网格中，格点△MNP绕某点旋转一定 角度，可得格点△MN,B,则旋转中心是() D。 M N A.点A B.点B C.点C D.点D 【变式2】(24-25七年级上·全国随堂练习)如图所示，在三角形ABC中，AB=BC=AC,D是BC边上 的一点，三角形ABD经过旋转后到达三角形ACE的位置. B D (1)旋转中心是哪一点？ 7/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)旋转了多少度？ (3)如果M是AB的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【变式3】(24-25七年级下·全国课后作业)如下图，将AOB绕点O顺时针旋转得到△C0D,E,F分别 是AB,CD的中点. (1)在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ (2)AO与CO的长有什么关系？BE与DF呢？ (3)∠AOC与∠BOD的度数大小有什么关系？ 题型04求绕某点旋转90°点的坐标 【典例4】(25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试)在平面直角坐标系x0y中，己知点A(2,3),若将OA绕原 点0逆时针旋转90°得到0A',则点A的坐标是 【变式1】(25-26九年级上·天津武清·月考)如图，将A0B绕点O逆时针旋转90°得到△A'0B',若 A(4,2),则点A坐标为 【变式2】(25-26九年级上湖北荆门月考)如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将 AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△BCD,则点D的坐标为 A龙 【变式3】(25-26八年级上江苏南京·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,1、B(-2,4)、 C1,1)、D(4,O).若线段CD绕点P旋转后能与线段AB重合(C对应A,D对应B),则点P的坐标为 8/21 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型05求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例5】(25-26九年级上：广西钦州期末)如图，在直角坐标系中，已知点A(5,4),将△AB0绕点O逆时 针方向旋转180°后得到aCDO,点A的对应点是点C,则点C的坐标是· 【变式1】(24-25九年级下·辽宁抚顺·月考)在平面直角坐标系中，已知A(-6,-2),将点A绕原点逆时针 旋转45度得到点B,则点B的坐标为 【变式2】(24-25九年级上·内蒙古兴安期中)在平面直角坐标系x0y中，点A坐标是-V3,1,当把坐标 系绕点O顺时针旋转30°时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 【变式3】(2025上海嘉定一模)在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点P,绕原点 0顺时针旋转a(0°<α<360)得到对应点P,点D在射线OP上，且OP2=k0P(k>0),得到最终的对应点 B,称点B为点P经过[α，k变换后的对应点.例如，点A1,1)经过45°，V2变换后的对应点为4，(2,0)， 那么点A,2,0)经过 30°，2 变换后的对应点坐标为 题型06几何图形中的旋转综合问题 【典例6】(25-26九年级上·四川绵阳·期中)如图，P为等边ABC内一点；将△BAP绕点B顺时针旋转 60°至△BCP的位置，连接PP. 9/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P (①)试判断△BPP的形状，并说明理由； (②)若LBPC=150,PB=3,PC=4,求PA的长与ABC的面积. 【变式1】(25-26九年级上·湖南长沙月考)如图，已知正方形ABCD,P是正方形ABCD内一点.若 PA=√2，PB=2,将△BPA绕点B顺时针旋转至BEC处，此时点A、P、E三点正好在同一直线上. E (I)求∠APB的度数： (2)求PC的长； (3)求△BPC的面积. 【变式2】(25-26九年级上·四川广安·期末)Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C顺时针旋转得到 △A'B'C,点A的对应点为A. 4 B 4' 图① 图② 图③ (I)如图①，当∠ACB'=20°时，ABC绕点C顺时针旋转了 (2)如图②，当点B在AB上时，若A'B'∥BC,求∠A的度数： (3)如图③，当点P为A'B的中点时，连接BP,若BC=2,AC=4,在ABC绕点C顺时针旋转一周的过 程中，直接写出线段BP的最大值和最小值、 【变式3】(25-26九年级上山东东营·期中)如图①，ABC和ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，当点B在线段AD上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD=CE,不需证明. 10/21 专题3.2 图形的旋转 教学目标 1. 掌握旋转的概念，理解旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）及旋转的基本性质。 2. 理解中心对称与中心对称图形的概念，探索成中心对称的基本性质（对称点连线经过对称中心且被平分）。 3. 能运用旋转与中心对称的性质进行作图，解决简单的几何问题，发展空间观念与几何直观。 教学重难点 重点： 1. 旋转的基本性质的理解与应用，能根据旋转前后的图形找出对应点、对应线段和对应角。 2. 中心对称图形的识别与性质应用，掌握中心对称与中心对称图形的区别与联系。 难点： 1. 中心对称与中心对称图形的区别与联系的理解，以及在复杂图形中准确识别中心对称关系。 2. 运用旋转与中心对称的性质进行规范作图，特别是确定旋转中心或对称中心的作图方法。 知识点1：旋转的概念及性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3） 旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 【即学即练1】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．连接及，则 【答案】C 【分析】由旋转的性质得出，，根据平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，继而求出，则可求出，可判断选项A；设，根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可得，可判断选项B；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项C；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕着点顺时针方向旋转得到，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项A说法正确，故此选项不符合题意； 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴选项B说法正确，故此选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项C说法错误，故此选项符合题意； 如图， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴选项D说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 知识点2：确定旋转中心及旋转作图 1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 2.旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 【即学即练2】 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【答案】(1)，顺， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可； （1）由图即可求解； （2）设与交于点，证即可； 【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 知识点3：中心对称与中心对称图形 1.中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 2.中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 【即学即练3】 5．（25-26九年级上·湖南湘西·月考）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕某个点旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】 解：根据中心对称图形的定义，以上图形中是中心对称图形的是． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、与不是对应角，是， 不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)与关于点D成中心对称 (2)8 【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． （1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称． （2）解：∵是的边的中点， ∴， ∴与为等底等高的三角形， ∴． 又∵与关于点成中心对称， ∴， ∴． 题型01 判断生活中的旋转现象 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·江西上饶·期中）数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 题型02 根据旋转的性质求解 【典例2】（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数. 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案． 【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意； B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意； C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意； D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 【变式3】（2025·天津·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，， ∴，，，，，， 故选项A不符合题意； ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故选项C符合题意； ∵连接，点恰好落在线段上，，， ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 题型03 找旋转中心、旋转角、对应点 【典例3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角是解题的关键．由图可知，为旋转角，可利用，结合平角的定义即可得解． 【详解】解：观察题图结合网格特点可知，， ，即旋转角为． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【答案】(1)旋转中心是点A． (2)逆时针旋转了． (3)点M到了的中点处． 【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质和判定，关键在于明确旋转中心，旋转角度和旋转位置． （1）观察图形，经旋转后到达的位置，可得出旋转中心； （2）观察图形，线段旋转后，对应边是就是旋转角，可得出旋转角； （3）因为旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点． 【详解】（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为， ∴旋转中心是点； （2）解：∵ ∴是等边三角形 ∴ 线段旋转后，对应边是就是旋转角，也是等边三角形的内角，是， ∴逆时针旋转了； （3）解：旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点， ∴点转到了的中点． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将绕点O顺时针旋转得到，E，F分别是，的中点． (1)在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ (2)与的长有什么关系？与呢？ (3)与的度数大小有什么关系？ 【答案】(1)旋转中心是点O，旋转角是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义即可求解； （2）根据旋转的定义和线段中点的定义即可求解； （3）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得旋转中心是点O，旋转角是； （2）解：由旋转知：，， ∵E，F分别是，的中点 ∴，， ∴； （3）解：由旋转知：， ∴， ∴． 题型04 求绕某点旋转90°点的坐标 【典例4】（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，若将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了求绕原点旋转的点的坐标，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴于，过点作轴于，进而证明是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ∵绕坐标原点逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·天津武清·月考）如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则点坐标为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化． 利用旋转的性质得，，，，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点坐标． 【详解】解：∵， ∴，， ∵绕点O逆时针方向旋转，得到， ∴，，，， ∴点坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 题型05 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例5】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）在平面直角坐标系中，已知，将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一线三等角构造全等三角形，一次函数解析式，勾股定理．绕点A顺时针旋转得到线段，得到等腰，，点B在上，利用点A坐标构造全等三角形，求出点E坐标，得到直线的解析式，再根据，可得点B坐标． 【详解】解：如图，过A作x轴的垂线，垂足为C，绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线交于点D．连接． ∴， ∴，， ∴，，， ∴． ∴，， ∴E的坐标为． ∴所在直线的解析式为， 中，，， ∴， ∴点B在上． 设点B坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第三象限， ∴，， 点B坐标为． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古兴安·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 【变式3】（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点，绕原点顺时针旋转得到对应点，点在射线上，且，得到最终的对应点，称点为点经过变换后的对应点．例如，点经过变换后的对应点为，那么点经过变换后的对应点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据变换规则可求出，且，过点作轴于点B，求出和的长即可得到答案． 【详解】解：设点经过变换后的对应点为， ∵， ∴， ∴，且， 如图所示，过点作轴于点B， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型06 几何图形中的旋转综合问题 【典例6】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)，的面积为 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 【变式3】（25-26九年级上·山东东营·期中）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 【答案】(1)依然成立，理由见解析 (2) (3)8 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出相等角和边，利用证明，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理求出斜边长度，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出，然后根据旋转的性质得出最值，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； （3）解：如图，连接， ∵都是等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动， 当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可知，的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：8． 题型07 中心对称图形的识别 【典例7】（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：左边起，第一幅图是轴对称图形，不是中心对称图形， 第二幅图既是轴对称图形，也是中心对称图形； 第三幅图是轴对称图形，不是中心对称图形， 第四幅图不是轴对称图形，是中心对称图形， 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 【变式2】（25-26九年级下·北京·开学考试）未来将是一个可以预见的时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 【变式3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既蕴藏传统美学，又含着几何智慧．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转，判断是否能与自身重合即可解答． 【详解】解：选项 A、B、D绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形．选项C：绕某点旋转后，能与自身重合，是中心对称图形．即C选项符合题意． 题型08 求关于原点对称的点的坐标 【典例8】（24-25九年级上·云南西双版纳·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】关于原点中心对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标为， ∴点关于原点中心对称的点的坐标是． 【变式1】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可求得对应点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为. 【详解】解：由题意知，，， . 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__ ． 【答案】4 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解二元一次方程组． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，列出方程并求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，且， 即， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 题型09 已知中心对称图形求对称中心的坐标 【典例9】（24-25九年级上·天津·月考）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转的性质，连接对应点，与的交点即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点E， 点E即为对称中心，． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，观察可得点E的坐标． 【详解】解：连接， ∵和关于点E成中心对称 ， ∴交于点E， ∴点． 故答案为：A． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 题型10 平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形 【典例10】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，；，， 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键． （1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 故答案为：，；，，． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ． (2)若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为；是等腰直角三角形 (2)且 (3)或 【分析】（1）利用绕原点顺时针旋转的点的坐标写出的坐标，从而得到； （2）利用点平移的坐标特征写出的坐标，从而得到； （3）设,则，利用三角形的面积公式求出x的值，即得点P的坐标． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转90°得到， 点A、B、C旋转后的对应点分别为， 点的坐标是； 的形状是等腰直角三角形． ；等腰直角三角形． （2）解：将经过平移后得到， 点A、B、C平移后的对应点分别为， 则线段和的关系是且． 故答案为：且． （3）解：∵P为x轴上一点， ∴设， 则， ∵的面积为6，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， ， 当时， ， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平移和中心对称的性质． （1）分别将点向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，再顺次连接即可； （2）分别作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可； （3）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时为最小值，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时为最小值， 由勾股定理得， ∴这个最小值为． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请在图中画出： (2)画出关于原点成中心对称的； (3)将向上平移4个单位长度后得到，请在图中画出； (4)将绕原点按逆时针方向旋转后得到，请在图中画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了平移作图、作中心对称图形以及旋转作图，解题关键是掌握作图的关键步骤，即描点与连线．本题先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （1）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （2）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （3）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （4）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： （4）如图所示： 题型11 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例11】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据中心对称图形的性质可得，，求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为18 【分析】本题考查中心对称的性质，找对称中心． （1）连接，，交点即为点O； （2）由和中心对称，可得，，，三条边长度相加即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长为. 【变式2】（24-25八年级下·河北保定·月考）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 【变式3】（25-26七年级上·上海静安·期末）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了已知两点关于原点对称求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据“关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数”求解． 【详解】解：∵点与点关于原点O对称， ∴，， 故选：A． 2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）                     A．绿色饮品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品 【答案】B 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此解答即可． 【详解】解：选项A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 选项B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； 选项D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 4．（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据旋转的性质得，，推出是等边三角形，证明得，由得，由可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题 6．（25-26九年级上·山东日照·期末）已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】1 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数． 利用关于原点对称点的坐标性质，让所给两点的横纵坐标互为相反数求得，的值，即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 则． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据垂直得出直角，根据直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据旋转的性质得出对应边相等和对应角相等，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 9．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转作图． 根据旋转的性质，进行作图即可求出点旋转后的坐标． 【详解】解：由题意可得绕点按逆时针方向旋转后的图形是，如图所示， 由图象可得点旋转后的坐标是． 故答案为． 10．（25-26九年级上·广西柳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，含角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每旋转4次点B回到初始位置是解题关键． 利用已知条件，先求出点B的坐标，由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，从而将旋转2026次，等效成旋转2次，从而确定结果． 【详解】解：如图，过点B作轴于点C， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈， ， ， ∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了， 由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时， 故答案为： ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东济南·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的； (2)作出关于原点O对称的； (3)可看作是以点 为旋转中心，旋转得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，相交于点M，则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的，通过图形和坐标系确定点的坐标； 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：连接，，，相交于点M， 则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，，，将绕着顶点A顺时针旋转，得到．点F，G分别在上，且，连接并延长交线段于点H． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)60° 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知旋转的性质是解题的关键． （1）求出，得到，由旋转的性质得到，据此可证明结论； （2）由旋转的性质可得，，证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，即． （2）解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； (2)连接，交于点，求的度数． 【答案】(1)2，轴， (2) 【分析】（1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可； （2）可得顶角为的等腰三角形，进而根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵等边， ∴， ∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是2个单位长度； 与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴； 绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是； 故答案为：2；y轴；； （2）解：由旋转，得，． 为等边三角形， ， ， ． 又， ， ． 14．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）， (1)则 ； (2)求出等边的边长； (3)通过类比探究，参考小明同学的思路，解决问题：如图3，在正方形外有一点P，且， ， ，求的度数和正方形的周长． 【答案】(1)150 (2) (3)， 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，推出，进而得到是等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，即可得出； （2）过点作，交的延长线于，则，求出，，，最后由勾股定理进行计算即可； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H，通过旋转性质得到，，在中，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，进而可求出，再利用勾股定理求出，进而可求出正方形的周长． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交的延长线于， ， ， ， ， ； （3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H， ∴， ∴，，， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴正方形的周长为． 15．（25-26八年级上·上海普陀·期末）等腰中，，将绕点旋转一定角度后得到，点、分别是射线、上的点，且，连接、、，我们把、所在直线的夹角叫做和的底联角．如图1，就是和的底联角； (1)如图1，当点在内部时，求证：两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； (2)当点在内部时，如果，那么___________； (3)如图2，当点在外部时，如果，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由判定，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可得证； （2）由（1）得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）连接、交于点，由判定，结合全等三角形的性质得 ，由勾股定理得，， ，，即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转得， ， ， ，， （）， ， ， ， ， ， ， 故两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； （2）解：如图， 由（1）得， ， ， 故答案为； （3）解：如图，连接、交于点， ， ， ， ， ，， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，通过旋转的性质构造全等三角形（手拉手旋转模型），从而建立线段之间的联系是解题关键． （1）利用旋转的性质，通过证明全等即可找到线段关系； （2）作垂线构造全等三角形，再利用角平分线和等腰直角三角形的性质建立线段关系即可； （3）作垂线构造全等三角形，找到线段关系，再通过角度运算，得到特殊角，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 如图，延长，与交于点H，过点E作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作于点M，过点M作于点N，连接，过点A作于点G， 同（2）理可知，和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质，可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $