5.3 实践与探索 题型专项训练 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

5.3 实践与探索 题型专项训练 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 基础题型训练 题型一、和差倍分问题 题型二、行程问题 题型三、配套问题 题型四、工程问题 题型五、销售盈亏问题 题型六、几何问题 能力提升 题型一、动点问题 题型二、数字问题 题型三、日历问题 题型四、综合与实践题 基础题型训练 题型一、和差倍分问题 1．某快递站的包裹准备分配给若干快递员派送，如果每位快递员派送35件包裹，则会有20件包裹无人派送．如果每位快递员派送40件包裹，则差15件包裹才够分配．若设快递员有人，包裹件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多2件，那么此月人均定额是多少件？小明根据题意，设某个量为未知数，列得方程：．则下列说法错误的是（    ） A．未知数的意义是此月人均定额为件 B．整式的意义是甲组工人的实际人均工作量 C．整式的意义是乙组工人的实际人均工作量 D．整式的意义是乙组5名工人实际完成的总工作量 3．甲仓库原有货物吨，乙仓库原有货物吨，现需从两个仓库共调出吨货物支援灾区，当货物完成调配后，其中一个仓库剩余货物是另一个仓库剩余货物的倍，则需要从甲仓库中，调出________吨货物． 4．为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗．如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的多8面． (1)A组和B组各制作了多少面红旗？（用方程求解） (2)将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 5．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 2025年11月9日，第十五届全国运动会在广东奥林匹克体育中心隆重开幕，全运会迎来历史上首次由粤港澳三地共同承办的一场体育盛会，赛事期间，某文创商店推出“全运惠民”促销活动．其中，“喜洋洋”“乐融融”主题的钥匙扣、纪念徽章广受青睐． 素材一 采购钥匙扣的数量比纪念徽章数量的2倍多10个； 素材二 钥匙扣进价12元/个，纪念徽章进价16元/个，采购这两种文创产品的进货总费用为840元； 素材三 钥匙扣标价20元/个，打八折销售；纪念徽章按标价25元/个销售； 请完成下列任务： 任务一 该商店采购钥匙扣和纪念徽章各多少个？ 任务二 这两种文创产品全部售出后，该商店共获利多少元？ 题型二、行程问题 1．如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水．某天，一辆汽车匀速行驶，上午10：00途经王家庄，下午13：00途经青山，15：00途经绿水，王家庄距翠湖的路程有多远？设王家庄距翠湖，下列所列方程，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，甲、乙两人沿着长为宽为的长方形按的路线行走，甲从点A出发，以的速度行走，同时乙从点B出发，以的速度行走，当乙第一次追上甲时，他们在长方形的（    ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 3．甲、乙两人从A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙到达A地．以下说法不正确的是（   ） A．乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍 B．相遇时甲行驶了135千米 C．乙每小时比甲多行驶30千米 D．两地相距180千米 4．甲、乙两人分别从两地同时相向而行，当甲走出千米时，乙恰好走完了两地之间距离的，此时两人相距千米，则两地之间距离为___________千米． 5．从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 6．问题情境 迎泽公园作为太原市核心城区的大型综合性公园，兼具生态、休闲、文化、健身等多重作用．迎泽公园内有一条全长约的墨绿色塑胶跑道（跑道首尾相连），环绕全园，深受跑步爱好者的喜爱．周日，小王和爸爸去迎泽公园这条墨绿色塑胶跑道上进行慢走，已知小王的速度为，爸爸的速度为． 问题解决 (1)如果小王和爸爸从同一起点同时出发，沿相反方向慢走．那么小王慢走后多长时间与爸爸首次相遇？ (2)如果小王和爸爸从同一起点出发，爸爸先走10分钟，然后小王沿相同方向慢走． ①小王用多长时间能追上爸爸？ ②在爸爸首次回到起点前，当小王和爸爸之间的路程相距时，请直接写出此时小王出发了多长时间． 题型三、配套问题 1．某厂生产一批纸盒，2米硬纸板可以做3个盒盖或者4个盒身，现有硬纸板140米，为了使盒盖和盒身正好配套，制作盒盖需要_______米硬纸板． 2．一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现立方米的木材可以做张桌面或个桌腿，问工厂能做多少张方桌？ 3．今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 4．劳动技术课上，老师组织七年级（1）班共50名学生设计制作便携式垃圾桶，通过废旧材料再利用，培养动手能力和环保意识．其中男生人数比女生人数多6人，每名学生一节课能做桶身12个或桶底26个． (1)七年级（1）班男生和女生各有多少人？ (2)已知每个桶身匹配2个桶底，那么安排多少名学生制作桶身，多少名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套？ 题型四、工程问题 1．甲、乙两人检修一条长的密封管道，甲的检修速度为，乙的检修速度为，若甲先检修，后由甲、乙两人合作完成剩余管道的检修，则甲检修管道共用时间是（    ） A． B． C． D． 2．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 3．为迎接校园科技节，需要组装一批智能机器人模型．如果由一名同学单独组装，需要 60 小时才能完成．现在先安排一部分同学组装 1 小时，之后又增加 15 名同学和他们一起组装 2 小时，恰好全部完成．假设每名同学的组装效率相同，求：最先安排了多少名同学组装模型？ 4．在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产业话语权．为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手开展一款高端芯片的研发工作．已知甲科研团队单独完成这款芯片的研发需要20个月，乙科研团队单独完成这项研发需要30个月． (1)若甲科研团队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？ (2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的，求甲、乙科研团队各工作了多少个月． 题型五、销售盈亏问题 1．文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 2．为补齐产业短板，某镇发展了金银花产业．经销商从农民手中以50元的价格收购金银花，再以75元的价格销售．若经销商将金银花打折出售给某医药公司，且要使每千克金银花仍可获利10元，则所打折扣为（   ） A．七折 B．七五折 C．八折 D．八五折 3．下面是兄弟俩的一段对话 弟弟：哥哥，你的手机买了没有？ 哥哥：没有，现在没有补贴，售价比我的预算多元． 弟弟：你看，最新的补贴政策已经发布了！ 哥哥：那太好了，这样的话，补贴后只比我的预算多元！可以买了． 2026国补“数码产品购新”政策 [补贴范围]个人消费者购买手机、平板、智能手表手环、智能眼镜等四类产品(单件销售价格不超过元)； [补贴标准]按产品销售价格的给予补贴，每件补贴不超过元． 根据以上信息，请问哥哥买手机的预算是多少元？ 4．某商家销售羽绒服，为在春节前卖完，决定将其打折销售．若按标价的8折销售比直接降价40元销售少收入20元． (1)求每件羽绒服的标价为多少元？ (2)商家需销售完80件羽绒服，每件羽绒服进价是220元．按标价出售一部分后，将余下羽绒服按标价的8折全部售出，结算时发现共获利3400元，求按标价售出的羽绒服有多少件？ 题型六、几何问题 1．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃（阴影部分），则小长方形花圃的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若一个角的补角的比这个角的余角大，则这个角的度数为_______°． 3．如图，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数依次为，，2，且． (1)求数轴上点所对应的数； (2)若D是数轴上的点，且满足，求点所对应的数． 4．某工厂要锻造一个直径为、高为的圆柱形实心毛坯、需截取一段直径为的圆柱形实心钢材作为原材料，如图，那么这段原材料的高应为多少？（列方程解答；锻造前后钢材体积不变） 能力提升 题型一、动点问题 1．如图，在长方形中，，，点P从点A出发，沿的路线运动，速度为每秒，设运动时间为t秒． (1)当时，点P的位置在________； (2)当t为何值时，点P到点A的距离为（沿的运动路线测量长度）？ 2．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．满足，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发， 以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回点A处，机器人M到达点A立即停止，在机器人M返回点A的同时，机器人N以原速返回向点B方向运动．设机器人M运动时间为秒． (1)点A与点B之间的距离是 ； (2)求两个机器人M、N相遇的时间及相遇点P所表示的数； (3)两个机器人在相遇点P返回后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由． 3．如图所示，在直角中，已知 ，点P从点A出发以的速度经过点B向点C运动，同时，点Q从点B出发以的速度向点C运动．设运动时间为． (1)请用含t的代数式表示下列线段的长度： 当点P在上运动时， ， ；当点P在上运动时， (2)若点P在上运动，t为何值时，能使？ (3)经过几秒，的面积为？ 题型二、数字问题 1．正整数排列如下： 第一行  1 第二行  1  2 第三行  2  3  4 第四行  3  4  5  6 按照这样的规律排列，你认为100第一次出现在（   ） A．第50行第50个 B．第50行第51个 C．第51行第50个 D．第51行第51个 2．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字表示，分别填入图2中正方形对应方格内，得到一个每一横、每一列以及对角线上的数的和均为15的幻方，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 3．如图，小荷稍加创新将幻方游戏改成了“幻圆”游戏，现在将，2，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，小慕已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（    ） A．或3 B．12或 C．或 D．1或 题型三、日历问题 1．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，在本月月历中这5个数的和可能是（   ） A．63 B．64 C．65 D．66 2．在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框框出五个数，这五个数的和不可能是（    ） A．35 B．75 C．100 D．120 题型四、综合与实践题 1．综合与实践 【问题情境】 2025年11月25日，文化和旅游部发布2026年“欢乐春节”吉祥物“吉祥马”、“吉祥马”以甘肃武威出土的东汉铜奔马——马踏飞燕为设计灵感，借鉴唐代五花马的毛装饰手法，主色采用中国红，辅以祥云纹、如意纹等经典传统纹样、体现中国春节温暖、喜庆的氛围．    小张周末去商店购买了一些“吉祥马”小饰品准备在春节期间送给小伙伴们． 下表为该商店展示的部分价格： 种类 内容 价格/元 优惠活动 A套餐 1个“吉祥马” 20 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元……依此类推 B套餐 1个“吉祥马”个钥匙扣 28 C套餐 1个“吉祥马”个钥匙扣个包装盒 32 小张综合考虑后购买的套餐中共有11个“吉祥马”，个钥匙扣和5个包装盒． 【数学思考】 （1）小张共购买了_____份B套餐．（用含的代数式表示） 【问题解决】 （2）若小张所购买的套餐中共有6个钥匙扣，求他实际消费的金额； （3）若小张购买套餐优惠后共花费256元，请求出他购买的套餐是如何搭配的． 2．综合与探究 问题情境：太原古县城坐落于晋阳古城遗址，始建于明洪武八年．其中的古县城城墙是古城的核心标志性建筑，城墙周长约米．某日，小华和小强来到太原古县城开展研学活动，小华和小强相约从古县城城墙上同一起点出发，沿相反的方向步行绕城墙一圈．已知小华步行的平均速度为米/分钟，小强步行的平均速度为米/分钟，小强比小华晚出发2分钟．设小强步行的时间为分钟． 数学思考：（1）在两人行走过程中，小华的路程为_____米，小强的路程为_____米(均用含的代数式表示)； 问题解决：（2）求两人相遇时的值； （3）两人相遇后，小强沿原方向原速度继续步行，小华休息3分钟后掉头按照米/分钟的速度行走，返回出发点后立刻停止运动．从两人相遇到小华回到出发点前，当小华和小强之间的路程为米时，则_____． 3．【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的三种型号的钢球，他先往容器里注入一定量的水（如图），使水在容器内的高度为（水足以淹没所有的钢球，探究过程中钢球表面的水忽略不计），然后在容器中放入钢球．实验发现，每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升．在实验过程中，容器内只能同时放入两种型号的钢球． (1)【实验一】小明先放入型号钢球8个，又放入型号钢球若干个，此时容器内的水的高度正好为，求容器内型号钢球的个数； (2)【实验二】小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入B型号和其他型号的钢球共10个后，水面升高到，求此时容器内不同型号的钢球各有多少个？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 实践与探索 题型专项训练 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 基础题型训练 题型一、和差倍分问题 1．某快递站的包裹准备分配给若干快递员派送，如果每位快递员派送35件包裹，则会有20件包裹无人派送．如果每位快递员派送40件包裹，则差15件包裹才够分配．若设快递员有人，包裹件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系：快递员数量不变是解决问题的关键．根据题意，包裹总数y与快递员人数x的关系为：第一种情况，第二种情况，由于x相同，联立方程可得关于y的方程． 【详解】解： ∵ 每位快递员派送35件包裹，有20件无人派送， ∴，即， ∵ 每位快递员派送40件包裹，差15件才够分配， ∴，即， ∴ ． 故选：C． 2．甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多2件，那么此月人均定额是多少件？小明根据题意，设某个量为未知数，列得方程：．则下列说法错误的是（    ） A．未知数的意义是此月人均定额为件 B．整式的意义是甲组工人的实际人均工作量 C．整式的意义是乙组工人的实际人均工作量 D．整式的意义是乙组5名工人实际完成的总工作量 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据“甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多2件”列方程求解． 【详解】解：设此月人均定额为件， 则：， 其中表示甲组工人的实际人均工作量， 表示乙组5工人实际完成的总工作量， 表示乙组工人的实际人居工作量， 故A、B、D都是正确的，是不符合题意的， 故选：C． 3．甲仓库原有货物吨，乙仓库原有货物吨，现需从两个仓库共调出吨货物支援灾区，当货物完成调配后，其中一个仓库剩余货物是另一个仓库剩余货物的倍，则需要从甲仓库中，调出________吨货物． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程应用的调运问题，核心是先设从甲仓库调出吨，用含的式子表示两仓库调出量和剩余量，再针对“一个仓库剩余是另一个倍”分两种情况列方程，求解后结合实际验证解的合理性，同时考查了分类讨论思想和实际问题的验证能力． 【详解】解：设从甲仓库调出吨货物，则从乙仓库调出吨货物．调配后，甲仓库剩余货物为吨，乙仓库剩余货物为吨． 由题意，剩余货物满足倍数关系，有两种情况： 情况一：甲仓库剩余是乙仓库剩余的倍，即． 解方程：． 情况二：乙仓库剩余是甲仓库剩余的倍，即． 解方程：． 检验：当时，从甲调出吨，甲剩余吨；从乙调出吨，乙剩余吨，，符合题意． 当时，从乙调出吨，调出量为负，不合理，舍去． 故从甲仓库调出吨货物． 故答案为：． 4．为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗．如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的多8面． (1)A组和B组各制作了多少面红旗？（用方程求解） (2)将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 【答案】(1)A组制作47面红旗，B组制作52面红旗 (2)125米 【分析】（1）设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗，根据题意中的等量关系列出一元一次方程进行解题即可； （2）根据植树问题列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗， 根据题意可得， 解得， B组， 答：A组制作47面红旗，B组制作52面红旗； （2）解：米， 答：这条赛道长125米． 5．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 2025年11月9日，第十五届全国运动会在广东奥林匹克体育中心隆重开幕，全运会迎来历史上首次由粤港澳三地共同承办的一场体育盛会，赛事期间，某文创商店推出“全运惠民”促销活动．其中，“喜洋洋”“乐融融”主题的钥匙扣、纪念徽章广受青睐． 素材一 采购钥匙扣的数量比纪念徽章数量的2倍多10个； 素材二 钥匙扣进价12元/个，纪念徽章进价16元/个，采购这两种文创产品的进货总费用为840元； 素材三 钥匙扣标价20元/个，打八折销售；纪念徽章按标价25元/个销售； 请完成下列任务： 任务一 该商店采购钥匙扣和纪念徽章各多少个？ 任务二 这两种文创产品全部售出后，该商店共获利多少元？ 【答案】钥匙扣46个，纪念徽章18个；共获利346元 【分析】本题考查用方程解决实际问题，有理数的混合运算； （1）设该商店采购纪念徽章x个，则采购钥匙扣个，根据题意列方程解答即可； （2）根据题意列算式计算即可． 【详解】（1）解：设该商店采购纪念徽章x个，则采购钥匙扣个． 由题意得 解得， ， 答：该商店采购钥匙扣46个，纪念徽章18个； （2）解： 答：这两种文创产品全部售出后，该商店共获利346元． 题型二、行程问题 1．如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水．某天，一辆汽车匀速行驶，上午10：00途经王家庄，下午13：00途经青山，15：00途经绿水，王家庄距翠湖的路程有多远？设王家庄距翠湖，下列所列方程，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题目意思，根据题意正确列出方程求解是解题的关键．根据速度、时间和路程列方程求解即可． 【详解】解：设王家庄距翠湖，由题意，从王家庄到青山用时3小时，从青山到绿水用时2小时，速度， 根据速度相同，得，故选项A正确，不符合题意； 根据路程时间速度，得，故选项B正确，不符合题意； 根据路程时间速度，得，故选项C正确，不符合题意； 方程中的x为行程速度，是由王家庄到翠湖路程列方程，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．如图所示，甲、乙两人沿着长为宽为的长方形按的路线行走，甲从点A出发，以的速度行走，同时乙从点B出发，以的速度行走，当乙第一次追上甲时，他们在长方形的（    ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用；理解题意，根据已知列出一元一次方程，再结合长方形的性质解题是关键．设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意列出方程，求出相遇时间；再由相遇时间确定乙的位置． 【详解】解：设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意得： 甲的行走路程为，乙的行走路程， 当乙第一次追上甲时，， 解得， 此时乙所在位置为：， ， ∴当乙第一次追上甲时，在长方形的边处． 故选：A． 3．甲、乙两人从A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙到达A地．以下说法不正确的是（   ） A．乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍 B．相遇时甲行驶了135千米 C．乙每小时比甲多行驶30千米 D．两地相距180千米 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握路程的关系式是解题的关键． 利用路程关系试列出方程判断即可． 【详解】解：∵相遇后经1小时乙到达A地， ∴此路程甲一共行驶了3小时， ∴乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍，故A正确； 设甲的速度为千米每小时，则乙的速度为千米每小时， 由题意可得：， 解得： ∴，即相遇时甲行驶了千米，故B错误； 乙每小时比甲多行驶：，故C正确； 两地相距：，故D正确； 故选：B． 4．甲、乙两人分别从两地同时相向而行，当甲走出千米时，乙恰好走完了两地之间距离的，此时两人相距千米，则两地之间距离为___________千米． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．分两人未相遇和相遇后相距千米两种情况，设、两地距离为千米，根据题意列方程求解． 【详解】解：设、两地之间距离为千米． ①当两人未相遇时，甲走的路程与乙走的路程之和加上相距距离等于总距离，即，解得． ②当两人相遇后相距千米时，甲走的路程与乙走的路程之和减去总距离等于相距距离，即，解得． 故、两地之间距离为千米或千米． 故答案为：或． 5．从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 【答案】120千米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米，则未开通高速公路之前的道路为千米，根据速度等于路程乘以时间为等量关系列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米， 则未开通高速公路之前的道路为千米， 根据题意有：， 解得：， 答：A、B两个城市之间高速公路的距离是120千米 6．问题情境 迎泽公园作为太原市核心城区的大型综合性公园，兼具生态、休闲、文化、健身等多重作用．迎泽公园内有一条全长约的墨绿色塑胶跑道（跑道首尾相连），环绕全园，深受跑步爱好者的喜爱．周日，小王和爸爸去迎泽公园这条墨绿色塑胶跑道上进行慢走，已知小王的速度为，爸爸的速度为． 问题解决 (1)如果小王和爸爸从同一起点同时出发，沿相反方向慢走．那么小王慢走后多长时间与爸爸首次相遇？ (2)如果小王和爸爸从同一起点出发，爸爸先走10分钟，然后小王沿相同方向慢走． ①小王用多长时间能追上爸爸？ ②在爸爸首次回到起点前，当小王和爸爸之间的路程相距时，请直接写出此时小王出发了多长时间． 【答案】(1)小王慢走后与爸爸首次相遇 (2)①小王用能追上爸爸；②小王出发了或 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是审明题意找到恰当的等量关系列方程； （1）根据两人的路程之和等于跑道全长列方程； （2）①根据两人的路程相等列方程；②两人相距一定的距离需分情况讨论列方程求解. 【详解】（1）解：设小王慢走后与爸爸首次相遇， ， 解得：， 答：小王慢走后与爸爸首次相遇； （2）①解：设小王用能追上爸爸， ， 解得：， 答：小王用能追上爸爸； ②解：设小王出发， 当爸爸在小王前面时， ， 解得：； 当爸爸在小王后面时， ， 解得：， 综上：或， 答：小王出发了或. 题型三、配套问题 1．某厂生产一批纸盒，2米硬纸板可以做3个盒盖或者4个盒身，现有硬纸板140米，为了使盒盖和盒身正好配套，制作盒盖需要_______米硬纸板． 【答案】80 【分析】制作盒盖需要x米硬纸板，则制作盒身需要米硬纸板，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：制作盒盖需要x米硬纸板，则制作盒身需要米硬纸板， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：80． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 2．一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现立方米的木材可以做张桌面或个桌腿，问工厂能做多少张方桌？ 【答案】150 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是做题的关键．根据题意，设用x立方米木材做桌面，利用等量关系列方程，最后解方程即可． 【详解】解：设用x立方米木材做桌面，则工厂能做张桌面，用立方米木材做桌腿，则可以做个桌腿， 根据题意，得， 解得， ∴，， 故工厂能做150张方桌． 答：工厂能做150张方桌． 3．今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 【答案】用60张卡纸做底面 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面． 根据题意，得 解得 答：用60张卡纸做底面． 4．劳动技术课上，老师组织七年级（1）班共50名学生设计制作便携式垃圾桶，通过废旧材料再利用，培养动手能力和环保意识．其中男生人数比女生人数多6人，每名学生一节课能做桶身12个或桶底26个． (1)七年级（1）班男生和女生各有多少人？ (2)已知每个桶身匹配2个桶底，那么安排多少名学生制作桶身，多少名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套？ 【答案】(1) 男生28人，女生22人 (2) 安排26名学生制作桶身，24名学生制作桶底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），先设女生有x人，男生有人，根据总人数为50列出方程，求出解； 对于（2），先设y名学生制作桶身，名学生制作桶底，根据桶底总数是桶身总数的2倍列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设女生有x人，男生有人，根据题意，得 ， 解得，则， 所以男生有28人，女生有22人； （2）解：设y名学生制作桶身，名学生制作桶底，根据题意，得 ， 解得，则， 所以安排26名学生制作桶身，24名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套． 题型四、工程问题 1．甲、乙两人检修一条长的密封管道，甲的检修速度为，乙的检修速度为，若甲先检修，后由甲、乙两人合作完成剩余管道的检修，则甲检修管道共用时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，设甲检修管道共用时间是，根据甲检修管道长度与乙检修管道长度之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设甲检修管道共用时间是，根据题意，得 ， 解得， ∴甲检修管道共用时间是． 故选：B 2．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 3．为迎接校园科技节，需要组装一批智能机器人模型．如果由一名同学单独组装，需要 60 小时才能完成．现在先安排一部分同学组装 1 小时，之后又增加 15 名同学和他们一起组装 2 小时，恰好全部完成．假设每名同学的组装效率相同，求：最先安排了多少名同学组装模型？ 【答案】10名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．设先安排组装的人员有x名，根据工作效率×工作时间×工作人数=工作总量结合题意，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设先安排组装的人员有x名， 根据题意得：， 解得：． 答：先安排组装的人员有10名． 4．在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产业话语权．为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手开展一款高端芯片的研发工作．已知甲科研团队单独完成这款芯片的研发需要20个月，乙科研团队单独完成这项研发需要30个月． (1)若甲科研团队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？ (2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的，求甲、乙科研团队各工作了多少个月． 【答案】(1)9个月 (2)甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设还需要x个月才能完成，根据题意可求出甲、乙的工作效率，再根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可； （2）设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设还需要x个月才能完成， 由题意得，， 解得， 答：还需要9个月才能完成； （2）解：设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月． 题型五、销售盈亏问题 1．文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示每台地球仪的售价是解题的关键．设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元，则盈利的一台的售价可表示为元，亏本的一台的售价可表示为元，可列方程，，分别求出x、y的值，再用售价的和减去进价的和即可得到问题的答案． 【详解】解：设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元， 根据题意得，， 解得，， ∴（元）， ∴这次出售中文具店赔了5元， 故选：B． 2．为补齐产业短板，某镇发展了金银花产业．经销商从农民手中以50元的价格收购金银花，再以75元的价格销售．若经销商将金银花打折出售给某医药公司，且要使每千克金银花仍可获利10元，则所打折扣为（   ） A．七折 B．七五折 C．八折 D．八五折 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确找到等量关系并列出方程是解题的关键． 设所打折扣为折，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设所打折扣为，则打折后的售价为， 根据题意得， 解得， ∴所打折扣为八折， 故选：C． 3．下面是兄弟俩的一段对话 弟弟：哥哥，你的手机买了没有？ 哥哥：没有，现在没有补贴，售价比我的预算多元． 弟弟：你看，最新的补贴政策已经发布了！ 哥哥：那太好了，这样的话，补贴后只比我的预算多元！可以买了． 2026国补“数码产品购新”政策 [补贴范围]个人消费者购买手机、平板、智能手表手环、智能眼镜等四类产品(单件销售价格不超过元)； [补贴标准]按产品销售价格的给予补贴，每件补贴不超过元． 根据以上信息，请问哥哥买手机的预算是多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，核心是梳理题目中的数量关系并建立方程．首先设哥哥的预算为未知数，根据无补贴时售价与预算的关系表示出售价；再结合补贴政策，得出补贴后实际支付价格的两种表达式，进而列出一元一次方程求解． 【详解】解：设哥哥买手机的预算是元， 如果补贴不超过元，根据题意，得， 解得，此时符合条件． 如果补贴元，，无解． 答：哥哥买手机的预算是元． 4．某商家销售羽绒服，为在春节前卖完，决定将其打折销售．若按标价的8折销售比直接降价40元销售少收入20元． (1)求每件羽绒服的标价为多少元？ (2)商家需销售完80件羽绒服，每件羽绒服进价是220元．按标价出售一部分后，将余下羽绒服按标价的8折全部售出，结算时发现共获利3400元，求按标价售出的羽绒服有多少件？ 【答案】(1)300元 (2)30件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设每件羽绒服的标价为元，根据若按标价的8折销售比直接降价40元销售少收入20元建立方程，解方程即可得； （2）设按标价售出的羽绒服有件，根据总收入总成本利润建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设每件羽绒服的标价为元， 由题意得：， 解得， 答：每件羽绒服的标价为300元． （2）解：设按标价售出的羽绒服有件， 由题意得：， 解得， 答：按标价售出的羽绒服有30件． 题型六、几何问题 1．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃（阴影部分），则小长方形花圃的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据2个宽一个长，两个长一个宽，再建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得：2个宽一个长，两个长一个宽， ∵小长方形花圃的长是， ∴小长方形花圃的宽是或， ∴， 解得：， ∴， ∴小长方形花圃的长和宽分别是，； 故选：A． 2．若一个角的补角的比这个角的余角大，则这个角的度数为_______°． 【答案】 【分析】先设这个角的度数为未知数，利用余角、补角的定义分别表示出该角的余角和补角，再根据“补角的比这个角的余角大”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程得到这个角的度数． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角为，余角为． 根据题意列方程：， 解得：． 即这个角的度数为． 3．如图，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数依次为，，2，且． (1)求数轴上点所对应的数； (2)若D是数轴上的点，且满足，求点所对应的数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了数轴、线段、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质可得，，再根据建立方程，解方程即可得； （2）设点所对应的数为，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵在数轴上，点对应的数依次为，，2， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：设点所对应的数为， ∵在数轴上，点对应的数依次为，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴点所对应的数为或． 4．某工厂要锻造一个直径为、高为的圆柱形实心毛坯、需截取一段直径为的圆柱形实心钢材作为原材料，如图，那么这段原材料的高应为多少？（列方程解答；锻造前后钢材体积不变） 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由锻造前后钢材体积不变建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 解得． 答：需截取直径为的圆柱形钢材的高应为． 能力提升 题型一、动点问题 1．如图，在长方形中，，，点P从点A出发，沿的路线运动，速度为每秒，设运动时间为t秒． (1)当时，点P的位置在________； (2)当t为何值时，点P到点A的距离为（沿的运动路线测量长度）？ 【答案】(1)边上距离A点处 (2)或9 【分析】此题考查了有理数的乘法的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． （1）根据题意求出当时，，进而求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴当时，点P的位置在边上距离A点处； （2）解：①当点P在边上时 根据题意得，， 解得； ②当点P在边上时， 根据题意得，， 解得：； 综上，当或9时，点P到点A的距离为． 2．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．满足，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发， 以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回点A处，机器人M到达点A立即停止，在机器人M返回点A的同时，机器人N以原速返回向点B方向运动．设机器人M运动时间为秒． (1)点A与点B之间的距离是 ； (2)求两个机器人M、N相遇的时间及相遇点P所表示的数； (3)两个机器人在相遇点P返回后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)13 (2)M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5 (3)时，N对应的数为；时，N对应的数为18 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用∶ （1）根据非负数的性质可求出a，b的值，即可求解； （2）根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，可得到关于t的方程，即可求解； （3）根据题意得M返回A时，，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴点A表示的数为，点B表示的数为8， ∴点A与点B之间的距离是； 故答案为：13 （2）解：根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 解得：， 此时点P表示的数为； 综上所述，M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5； （3）解：根据题意得：M返回A时，， 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10， ∴， 解得：， 此时点N表示的数为； 当时，，则， 解得：， 此时，N对应的数为18； 综上所述，时，N对应的数为；时，N对应的数为18． 3．如图所示，在直角中，已知 ，点P从点A出发以的速度经过点B向点C运动，同时，点Q从点B出发以的速度向点C运动．设运动时间为． (1)请用含t的代数式表示下列线段的长度： 当点P在上运动时， ， ；当点P在上运动时， (2)若点P在上运动，t为何值时，能使？ (3)经过几秒，的面积为？ 【答案】(1)3t；； (2) (3) 【分析】本题考查简单的几何动点问题，列代数式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间，用时间t表示出、即可； （2）根据路程速度时间，用时间t表示出、，根据列方程。求解即可； （3）时间t表示出的面积，列方程计算即可． 【详解】（1）解：当点P在上运动时，，；当点P在上运动时，； （2）解：由题意，得， 解得：， 即t为2时，能使． （3）解：因为， 所以， 解得：， 即经过，的面积为． 题型二、数字问题 1．正整数排列如下： 第一行  1 第二行  1  2 第三行  2  3  4 第四行  3  4  5  6 按照这样的规律排列，你认为100第一次出现在（   ） A．第50行第50个 B．第50行第51个 C．第51行第50个 D．第51行第51个 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并找出正确的规律是解决本题的关键． 通过观察排列规律，第n行的数字范围是从到，令或，进行求解100第一次出现在第51行最后一个，进而即可得解． 【详解】解：由题意可得，第n行的数字范围为至，一行的数字有n个， ∴当或， ∴或， ∴100第一次出现在第51行最后一个，100最后次出现在第101行第一个， ∴100第一次出现在第51行第51个． 故选D． 2．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字表示，分别填入图2中正方形对应方格内，得到一个每一横、每一列以及对角线上的数的和均为15的幻方，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先根据每一列上的数的和为15建立方程，则，再根据对角线上的数的和为15建立方程，则，由此即可得． 【详解】解：∵在图2的正方形中，每一列上的数的和为15， ∴， ∴， ∵在图2正方形中，对角线上的数的和为15， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，小荷稍加创新将幻方游戏改成了“幻圆”游戏，现在将，2，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，小慕已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（    ） A．或3 B．12或 C．或 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 先表示出剩下两个圆圈内的数，根据横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等可知横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都等于，，求出，进而求出，可知为中的一个，分情况计算即可． 【详解】解：如图， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都等于， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴为中的一个， 当时，； 当时，； 故选：B． 题型三、日历问题 1．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，在本月月历中这5个数的和可能是（   ） A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】D 【分析】设“U”型框中的五个数中下面中间一个数为a，则另外4个数为，，，求出5个数的和，根据5个数之和为选项中的数字，列方程求出a，结合为正整数，并且“U”型框在图中可得出结果． 【详解】解：设“U”型框中的五个数中下面中间一个数为a，则另外4个数为，，，， ∴5个数的和为：． A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，符合题意． 2．在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框框出五个数，这五个数的和不可能是（    ） A．35 B．75 C．100 D．120 【答案】A 【分析】设最中间的数为x，则可表示出其他四个数，进而可表示出这五个数的和，令这五个数的和分别等于四个选项中的数，解方程求出对应的x，看是否符合月历的特点即可得到答案． 【详解】解：设最中间的数为x，则其他四个数为， ∴这五个数的和为， 当时，解得，不符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 题型四、综合与实践题 1．综合与实践 【问题情境】 2025年11月25日，文化和旅游部发布2026年“欢乐春节”吉祥物“吉祥马”、“吉祥马”以甘肃武威出土的东汉铜奔马——马踏飞燕为设计灵感，借鉴唐代五花马的毛装饰手法，主色采用中国红，辅以祥云纹、如意纹等经典传统纹样、体现中国春节温暖、喜庆的氛围．    小张周末去商店购买了一些“吉祥马”小饰品准备在春节期间送给小伙伴们． 下表为该商店展示的部分价格： 种类 内容 价格/元 优惠活动 A套餐 1个“吉祥马” 20 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元……依此类推 B套餐 1个“吉祥马”个钥匙扣 28 C套餐 1个“吉祥马”个钥匙扣个包装盒 32 小张综合考虑后购买的套餐中共有11个“吉祥马”，个钥匙扣和5个包装盒． 【数学思考】 （1）小张共购买了_____份B套餐．（用含的代数式表示） 【问题解决】 （2）若小张所购买的套餐中共有6个钥匙扣，求他实际消费的金额； （3）若小张购买套餐优惠后共花费256元，请求出他购买的套餐是如何搭配的． 【答案】（1）；（2）264元；（3）小张购买了6份A套餐，5份C套餐或3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算． （1）利用小张点的A套餐的份数小张点的“吉祥马”的份数小张点的钥匙扣的个数，可用含x的代数式表示出小张点的A套餐的份数；利用小张点的B套餐的份数小张点的钥匙扣的个数小张点的包装盒的个数，即可用含x的代数式表示出他们点的B套餐的份数； （2）利用总价单价数量，可求出优惠前的总费用，再结合“消费满150元，减24元”，即可求出结论； （3）分优惠24元及优惠48元两种情况考虑，利用总价单价数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其分别代入及中，即可求出结论． 【详解】解：（1）根据题意得：小张共购买了份A套餐，份B套餐． 故答案为：； （2）根据题意得： （元）， ∴（元）． 答：小张实际消费的金额为264元； （3）分以下两种情况： 当优惠24元时，， 解得， ∴（份），（份）； 当优惠48元时，， 解得：， ∴（份），（份）． 答：小张购买了6份A套餐，5份C套餐或3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐． 2．综合与探究 问题情境：太原古县城坐落于晋阳古城遗址，始建于明洪武八年．其中的古县城城墙是古城的核心标志性建筑，城墙周长约米．某日，小华和小强来到太原古县城开展研学活动，小华和小强相约从古县城城墙上同一起点出发，沿相反的方向步行绕城墙一圈．已知小华步行的平均速度为米/分钟，小强步行的平均速度为米/分钟，小强比小华晚出发2分钟．设小强步行的时间为分钟． 数学思考：（1）在两人行走过程中，小华的路程为_____米，小强的路程为_____米(均用含的代数式表示)； 问题解决：（2）求两人相遇时的值； （3）两人相遇后，小强沿原方向原速度继续步行，小华休息3分钟后掉头按照米/分钟的速度行走，返回出发点后立刻停止运动．从两人相遇到小华回到出发点前，当小华和小强之间的路程为米时，则_____． 【答案】（1）；； （2）； （3）或或 【分析】题目设定在环形路径上两人相向而行，存在时间差，因此在建立路程表达式时需注意起始时间不同．①是代数表达式的构建；②利用总路程相加等于周长求相遇时间；③涉及相遇后的动态变化，包括小华休息和反向行走，（1）小华休息被拉开200米，（2）小华追上小强之前相距200米，（3）小华追上小强后超过200米，需分3情况讨论并建立方程求解． 【详解】（1）解：∵小强步行时间为分钟，且小强比小华晚出发2分钟， ∴小华的步行时间为分钟， 又∵小华的速度为米/分钟，小强的速度为米/分钟， ∴小华的路程为米，小强的路程为米． （2）解：两人反向绕城墙行走，相遇时路程和等于城墙周长米， 可列方程：， 解得：． （3）解：相遇时，小华已行走的路程为(米)， ∵小华休息3分钟后开始以米/分钟的速度行走， ∴小华回到出发点所需总时间为(分钟)， 即当时，小华回到出发点． 相遇后，小华先休息3分钟(即)，此阶段小华不动，小强继续以米/分钟的速度行走，两人之间的距离为米． 当时，解得，符合条件． 小华休息结束后(即)，掉头以米/分钟的速度返回出发点，此时两人同向运动，小华速度米/分钟，小强速度米/分钟， 在时，小强已行走米，即两人初始距离为米． 当两人之间的路程为米时，分两种情况： ①小华未追上小强，距离为米：， 解得，符合条件； ②小华追上小强后，超过米：， 解得，符合条件． 综上，的值为或或． 3．【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的三种型号的钢球，他先往容器里注入一定量的水（如图），使水在容器内的高度为（水足以淹没所有的钢球，探究过程中钢球表面的水忽略不计），然后在容器中放入钢球．实验发现，每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升．在实验过程中，容器内只能同时放入两种型号的钢球． (1)【实验一】小明先放入型号钢球8个，又放入型号钢球若干个，此时容器内的水的高度正好为，求容器内型号钢球的个数； (2)【实验二】小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入B型号和其他型号的钢球共10个后，水面升高到，求此时容器内不同型号的钢球各有多少个？ 【答案】(1)容器内型号钢球的个数为11个． (2)此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设容器内型号钢球的个数为x个，根据题意列出一元一次方程，求出解； 对于（2），分两种情况：①当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意列出方程求出解； ②当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意列出方程求出解． 【详解】（1）解：设容器内型号钢球的个数为x个，根据题意，得 ， 解得， 答：容器内型号钢球的个数为11个； （2）解：分两种情况：①当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）； ②当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得 ， 解得，则， 综上，此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $