第四章 三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版七年级下册

第四章 三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数中，不能作为一个三角形三边长的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了构成三角形的条件．根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断各组数能否构成三角形． 【详解】解：∵三角形三边需满足任意两边之和大于第三边 ，，，故A，B，C选项中的数据能作为三角形三边长 又∵选项D中，不满足两边之和大于第三边 ∴该组数据不能作为三角形三边长 故选：D． 2．根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 3．下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义． 逐一分析每个选项，结合三角形的相关定义和性质判断其正确性． 【详解】解：A、根据三角形三边关系，任意两条线段长度之和必须大于第三条线段，并非任意三条线段都能围成三角形，此选项不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，而非射线，此选项不符合题意； C、三角形的三条高所在的直线相交于一点，但钝角三角形的高会交于三角形外部，并非高本身一定相交于一点，此选项不符合题意； D、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，此选项符合题意． 故选：D． 4．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键． 根据全等三角形对应角相等，，所以． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 6．如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由点步行到达点处的过程中，通过隔离带的空隙点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的标语．已知，，与相交于点，，垂足为，且两行车道的宽度相等．若，则标语的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：，， ， ． ∵两行车道的宽度相等， ． 在和中 ， ． 故选：C． 7．如图，在中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据角平分线的定义得，证明得，继而推出，代入数据可得答案．解题的关键是掌握全等三角形的判定． 【详解】解：∵平分，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长为． 故选：B． 8．如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键．如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形和四边形都是长方形，则，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点， 四边形是长方形， ，， ，， ， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点，重合时，线段的值最小， 根据作图，， 四边形和四边形都是长方形， ，， 到边的距离为， 故选：B． 9．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，正确地作出辅助线并且证明△△是解题的关键． 由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，△与△也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明△△，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明△△，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， △△的另一个条件是， 与不一定相等， △与△不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：． 10．如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，图形规律，根据全等三角形的判定得到全等三角形的数量，找出规律即可求解． 【详解】解：图1中，， ∴，共有1对，即； ∴，，则， 图2中，同理，， ∵， ∴， ∵， ∴，共3对，即， 同理，图3中，，，，共有对，即 ， ∴第n个图形中全等三角形有对， 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个三角形的两边长分别为5和9，其第三边的长度可以是__________（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系可求得第三边的取值范围是大于4，小于14，即可解答． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为5和9， ∴第三边的取值范围是大于，小于， ∴第三边的长可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 12．如图，已知点在的边上，以为边作．若，，则添加条件______（只需添加一个条件即可），使得． 【答案】（或或） 【分析】本题考查全等三角形的判定．先由角的和差性质证得，结合三角形五种判定方法即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又， 当添加， 则， 当添加， 同理可得出， 当添加， ∵（对顶角相等） ∴， ∴， 故答案为：（或或）． 13．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 【答案】17 【分析】本题考查了非负数的性质与三角形三边关系，掌握绝对值、平方数的和为时，各项分别为；三角形三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合为偶数，取的最大值，从而得到最大周长． 【详解】解：由， 得，， 解得，． 根据三角形三边关系，有． 为偶数，故或． 当时，周长最大，为． 故答案为：17． 14．如图．在中，．按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点E；（4）过点E画射线，与相交于点F．当时，______． 【答案】/40度 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，直角三角形两锐角互余，关键是由基本作图得到． 由直角三角形的性质得到，由作图可知：，进而求解即可． 【详解】解： ∵，， ∴， 由作图知：， ∴． 故答案为：． 15．如图，在锐角三角形中，，，的面积为30，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线段最短，关键是将的最小值转化为． 在上取点P，使，连接，，证明出，得到，然后得到当点C，E，P三点共线时，且时，有最小值，即的长度，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在上取点P，使，连接，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴ ∴当点C，E，P三点共线时，且时，有最小值，即的长度， ∵的面积为30，， ∴， ∴． ∴的最小值为6． 故答案为：6． 16．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是_______． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用全等三角形对应边相等列方程是解题的关键． 设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，则，，，，根据题意分两种情况讨论：①，，②，，然后分别列出方程求解即可． 【详解】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为， 则，，，， 若， 则，， ，， 解得：，； 若， 则，， ，， 解得：，； 综上，的运动速度是或， 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，关键是全等三角形的判定； （1）通过三角形外角的性质论证，进而论证两三角形全等； （2）根据全等三角形的性质得到，，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 在与中，， ； （2）解：， ，， ，， ． 18．如图，点、、、在同一条直线上，，，从以下三个条件中任意选择一个作为已知条件：①，②，③ (1)你选择的是______（填序号），并证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①或②；证明见解析 (2)11 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）选择①用角边角证明三角形全等，选择②用角角边证明三角形全等，选择③用边边角无法证明三角形全等； （2）由（1）知，得，进而可得，再由计算即可． 【详解】（1）解：如果选择①， 证明：在和中， ； 如果选择②， 证明：∵， ∴， 在和中， ； （2）解：由（1）知， ， ，， ， ． 19．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的定义是解题的关键． （1）取格点T，连接交于点D，则线段即为所求；根据网格的特点可得点T到直线的距离与点T到直线的距离相等，即点T在的角平分线上； （2）取格点D，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 20．素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴O到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E．此时点C到的距离． 【问题解决】当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． 任务一 （1）请你直接判断与是否相等？ （2）求证：． 任务二 （3）求的长． 【答案】（1）；（2）见解析（3）的长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据与表示相同的秋千绳，即可得出结果； （2）根据同角的余角相等即可证明； （3）证明即可得出结果． 【详解】解：任务一 （1）∵与表示相同的秋千绳， ∴； （2）证明：∵于点E，于点O，于点D， ∴， ∵，， ∴． （3）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴的长为． 21．如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）首先推导出，然后根据证出； （2）求出，证，推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 22．如图，等腰中，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，，求证：点为的中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，求的值是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点F作于D，首先证得，可得，，，进而得到，即点为中点； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）同理可知：，，可得，，即可求得的值． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （2）证明：如图，过点F作于D， ，， ， 由（1）同理可知，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，即点为的中点； （3）如图，过作的延长线交于点， ，，， 由（1）（2）同理可知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证，是解题的关键． 23．在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 24．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 25．（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为． （2）如图，延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴； ∴． （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接，则， ∵，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数中，不能作为一个三角形三边长的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 2．根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 4．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 6．如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由点步行到达点处的过程中，通过隔离带的空隙点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的标语．已知，，与相交于点，，垂足为，且两行车道的宽度相等．若，则标语的长度是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 10．如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个三角形的两边长分别为5和9，其第三边的长度可以是__________（写出一个即可）． 12．如图，已知点在的边上，以为边作．若，，则添加条件______（只需添加一个条件即可），使得． 13．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 14．如图．在中，．按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点E；（4）过点E画射线，与相交于点F．当时，______． 15．如图，在锐角三角形中，，，的面积为30，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是_____． 16．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是_______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．如图，点、、、在同一条直线上，，，从以下三个条件中任意选择一个作为已知条件：①，②，③ (1)你选择的是______（填序号），并证明：； (2)若，，求的长． 19．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 20．素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴O到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E．此时点C到的距离． 【问题解决】当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． 任务一 （1）请你直接判断与是否相等？ （2）求证：． 任务二 （3）求的长． 21．如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：． 22．如图，等腰中，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，，求证：点为的中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，求的值是______． 23．在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 24．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 25．（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $