专题 3.6 同底数幂的除法（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 3.6 同底数幂的除法（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 1 【知识点一】同底数相除的法则 1 【题型 1】同底数幂的除法运算 1 【题型 2】同底数幂的除法逆运算 2 【知识点二】零指数与负指数 2 【题型 3】零指数负整数幂的辨析 3 【题型 4】利用零指数与负指数进行运算 3 【知识点三】科学记数法表示绝对值小于1的数 3 【题型 5】利用科学记数法表示绝对值小于1的数 4 【题型 6】还原科学记数法表示的小数 4 二.题型精析（培优篇） 5 【题型 7】同底数幂除法与乘法混合运算 5 【题型 8】同底数幂除法与乘法逆运算综合 5 【题型 9】零指数、负整指数与平方根、立方根混合运算 6 二.中考真题 6 （一）单选题（6题） 6 （二）填空题（6题） 7 （三）解答题（4题） 8 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 【知识点一】同底数相除的法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 （都是正整数，且）。 【特别提示】在没有特别说明的情况下，除式中的字母都不使除式为零。 【题型 1】同底数幂的除法运算 【例题1】（根据浙教版100页课内作业题第3题改编） （24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）（n是正整数，）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业），则有（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____（用幂的形式表示结果）． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【题型 2】同底数幂的除法逆运算 【例题2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知，，． （1）_________； （2）求的值； （3）m，n，p之间的等量关系为_________． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）已知，．则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）已知，，求的值； （2）如果，求的值． 【知识点二】零指数与负指数 任何不等于零的数的零次幂都等于1。 。 任何不等于零的数的（是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数。 【特别提示】规定了零指数幂与负整数指数幂的意义，就把指数的概念从正整数推广到了整数。正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。 【题型 3】零指数负整数幂的辨析 【例题3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）若有意义，求的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，，，则以上四个数中，最大数减最小数的值为______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）我们规定：完成下列问题： （1）已知，则的取值范围是______； （2）已知，求的值． 【题型 4】利用零指数与负指数进行运算 【例题4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： 【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建南平·月考）已知，这四个数中最大数和最小数的积为 _______ ． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）计算：． 【知识点三】科学记数法表示绝对值小于1的数 表示小于 1 的正数用科学记数法，写成的形式，其中，为正整数；确定时，看原数左边第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0），就等于几，解题时先找准，再数0定负指数，还原时将的小数点向左移位即可。 【题型 5】利用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1）0.00015； （2）0.0000302； （3）． 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）科技发展芯片被誉为现代工业的掌上明珠．某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为_____________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各数用科学记数法表示： （1）； （2）． 【题型 6】还原科学记数法表示的小数 【例题6】（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）病毒由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成，没有细胞结构，比细胞小得多．某病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有______个0． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）用小数表示下列各数： （1）； （2）． 二.题型精析（培优篇） 【题型 7】同底数幂除法与乘法混合运算 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26八年级上·河南焦作·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南·期中）计算： _______ 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）． 【题型 8】同底数幂除法与乘法逆运算综合 【例题8】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知 （1）求的值． （2）求的值． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）若，，则_______． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【题型 9】零指数、负整指数与平方根、立方根混合运算 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）在实数中：，，，，，0.8080080008…（相邻两个8之间0的个数逐次加1），有理数的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·月考）计算的结果为_____． 【变式3】（25-26八年级上·贵州·期末）计算: （1） （2） 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（    ） A． B． C．是一个12位数 D．是一个13位数 6．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 （2） 填空题（6题） 7．（2024·山东日照·中考真题）计算：_______ 8．（2023·山东·中考真题）计算：___________． 9．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足，则__________． 10．（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为_______． 11．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______秒． 12．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． （3） 解答题（4题） 13．（2024·陕西·中考真题）计算：． 14．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 15．（2025·新疆·中考真题）计算： （1）； （2）． 16．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． （1）原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． （2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． （3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.6 同底数幂的除法（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 1 【知识点一】同底数相除的法则 1 【题型 1】同底数幂的除法运算 1 【题型 2】同底数幂的除法逆运算 3 【知识点二】零指数与负指数 5 【题型 3】零指数负整数幂的辨析 5 【题型 4】利用零指数与负指数进行运算 8 【知识点三】科学记数法表示绝对值小于1的数 9 【题型 5】利用科学记数法表示绝对值小于1的数 9 【题型 6】还原科学记数法表示的小数 11 二.题型精析（培优篇） 12 【题型 7】同底数幂除法与乘法混合运算 12 【题型 8】同底数幂除法与乘法逆运算综合 14 【题型 9】零指数、负整指数与平方根、立方根混合运算 17 二.中考真题 19 （一）单选题（6题） 19 （二） 填空题（6题） 22 （三） 解答题（4题） 24 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 【知识点一】同底数相除的法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 （都是正整数，且）。 【特别提示】在没有特别说明的情况下，除式中的字母都不使除式为零。 【题型 1】同底数幂的除法运算 【例题1】（根据浙教版100页课内作业题第3题改编） （24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）（n是正整数，）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了同底数幂除法和积的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂除法和积的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂除法和积的乘方运算法则进行计算即可； （4）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业），则有（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则． 利用同底数幂相除，底数不变、指数相减的法则，结合等式两边相同字母指数相等求解m、n的值． 解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，， 解得，， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____（用幂的形式表示结果）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 首先统一底数，然后根据同底数幂的除法法则，进行计算即可解答． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、幂的乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）先计算幂的乘方运算，再由由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）先由偶次方的性质恒等变形，再由同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 2】同底数幂的除法逆运算 【例题2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知，，． （1）_________； （2）求的值； （3）m，n，p之间的等量关系为_________． 【答案】（1）16；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方的运算等知识点，掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则和逆运算法则是解题的关键． （1）将代入运用有理数乘方法则计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用的以及积的乘方逆用计算即可； （3）根据积的乘方逆用以及同底数幂的乘法运算得到，进而完成解答． 解：（1）解：∵， ∴． （2）解：． （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）已知，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，掌握相关知识点是解题的关键． 根据，可得，即可求解． 解：， ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用．利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的组合，然后代入数值计算． 解：由已知，根据幂的乘方法则，得． 由，且，得， 再根据幂的乘方法则，得． 因此，． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）已知，，求的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1）4；（2）8 【分析】本题考查同底数幂除法，幂的乘方及同底数幂乘法，将原式进行正确地变形是解题的关键． （1）利用同底数幂除法法则将原式变形后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方及同底数幂乘法法则将原式变形后代入数值计算即可． 解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 【知识点二】零指数与负指数 任何不等于零的数的零次幂都等于1。 。 任何不等于零的数的（是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数。 【特别提示】规定了零指数幂与负整数指数幂的意义，就把指数的概念从正整数推广到了整数。正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。 【题型 3】零指数负整数幂的辨析 【例题3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）若有意义，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，包含零指数幂和负整数指数幂，而原式有意义，说明底数不等于0且底数也不等于0，构建不等式（组）求解即可，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂有意义的条件是解此题的关键． 解：∵零指数幂的底数不能为0， ∴，即， 又∵（为正整数）有意义的条件是， ∴， 解得． 综上所述，且． 【变式1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 分别计算出a、b、c、d的具体数值，再比较数值大小即可得出答案． 解：， ， ， ， 又∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，，，则以上四个数中，最大数减最小数的值为______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，负整数指数幂的运算，有理数比较大小，有理数的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键． 分别计算a、b、c、d的值，比较大小后求差即可求解． 解：∵，，，， ∴， ∴最大数减最小数的值为． 故答案为：9． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）我们规定：完成下列问题： （1）已知，则的取值范围是______； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查零指数幂的性质，解题的关键是正确理解零指数幂的性质， （1）根据零指数幂的性质即可求出答案． （2）分底数为1；底数为1；指数为0且底数不为0；底数为且指数为偶数，三种情况讨论即可求出答案． 解：（1）解：∵，， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：情况1： 底数为1 若，则指数为任意值时结果均为1． ∴． 解得：． 情况2：指数为0且底数不为0 若指数，则底数需满足． ∴， 解得：， ，符合条件． 情况3： 底数为且指数为偶数， 若，则指数为偶数． ∴， 解得：， 此时指数为（奇数），不符合条件． 综上，或． 【题型 4】利用零指数与负指数进行运算 【例题4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了实数的运算、零次幂及负整数次幂的计算，熟知这些法则是解题的关键．依次进行化简，然后按照运算顺序计算即可． 解： ． 【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方、零指数幂、同底数幂的除法、负整数指数幂的运算；需根据幂的乘方、零指数幂、同底数幂的除法、负整数指数幂的运算法则，逐一分析各选项的运算是否正确． 解：∵对于选项A，根据幂的乘方法则，， ∴A运算错误，故本选项不符合题意； ∵对于选项B，根据零指数幂法则，任何非零数的0次幂都为1，即， ∴B运算错误，故本选项不符合题意； ∵对于选项C，根据同底数幂的除法法则，， ∴C运算正确，故本选项符合题意； ∵对于选项D，根据负整数指数幂法则，， ∴D运算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·福建南平·月考）已知，这四个数中最大数和最小数的积为 _______ ． 【答案】 【分析】分别计算a、b、c、d的值，比较大小后再计算即可求解． 解：∵，，，， ∴最大数为，最小数为， ∴最大数和最小数的积为 ． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）计算：． 【答案】7 【分析】本题主要考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再进行加减即可求解． 解：原式． 【知识点三】科学记数法表示绝对值小于1的数 表示小于 1 的正数用科学记数法，写成的形式，其中，为正整数；确定时，看原数左边第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0），就等于几，解题时先找准，再数0定负指数，还原时将的小数点向左移位即可。 【题型 5】利用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1）0.00015； （2）0.0000302； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，n的值为原数中第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前的0），据此来解答即可． 解：（1）解： （2）解：； （3）解：． 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，需遵循科学记数法的形式（其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数），确定与的值是解题关键． 解：∵科学记数法表示绝对值较小的数的形式为，其中，为原数左边第一个非零数字前面的0的个数， ∴对于，，原数左边第一个非零数字3前面有6个0，即， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）科技发展芯片被誉为现代工业的掌上明珠．某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为_____________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个非零数字前面所有零的个数． 解：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各数用科学记数法表示： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了小于1的有理数用科学记数法表示（科学记数法形式为，其中，为负整数），解题的关键是确定（使满足）和（的绝对值等于原数中第一个非零数字前所有零的个数）． （1）对于，将小数点向右移至第一个非零数字“2”后，得到，小数点共移6位，故； （2）对于，先保留负号，再将小数点向右移至第一个非零数字“6”后，得到，小数点共移6位，故，最终带负号表示． 解：（1）解： （2）解： 【题型 6】还原科学记数法表示的小数 【例题6】（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把的形式还原成原数，在中，当时，则小数点向左移动位，当时，则小数点向右移动位，即可． （1）根据题意，，小数点向左移动位，即可； （2）根据题意，，小数点向右移动位，即可． 解：（1）解：． （2）解：． 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）病毒由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成，没有细胞结构，比细胞小得多．某病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此把变回原数即可得到答案． 解：， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有______个0． 【答案】5 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）用小数表示下列各数： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，解题的关键是正确理解科学记数法表示的数中还原成小数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． （）把小数点向左移动位即可得出答案， （）把小数点向左移动位即可得出答案． 解：（1）解：； （2）解：． 二.题型精析（培优篇） 【题型 7】同底数幂除法与乘法混合运算 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）1；（2）；（3）1；（4） 【分析】本题考查幂的运算、有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数的乘除运算法则计算即可； （2）先利用幂的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的乘除运算法则计算即可； （3）先计算括号内的幂的运算，再进行同底数幂的除法运算即可； （4）先分别计算绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行乘法和加减原式即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1】（25-26八年级上·河南焦作·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式． 根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一计算后判断即可． 解：A．，原计算正确； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算错误； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖南·期中）计算： _______ 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，主要涉及幂的乘方、同底数幂的乘除法等运算法则，需要逐步计算乘方部分，再处理乘除运算，最后合并指数即可． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算乘方，再算乘除即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 解：（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【题型 8】同底数幂除法与乘法逆运算综合 【例题8】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知 （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和除法的逆运算，进行求解； （2）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算进行求解． 解：（1）解：； （2）解：． 【点拨】重点掌握幂的运算法则． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．根据幂的运算验证每个关系式，利用同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的运算法则及逆运算法则计算指数表达式是否相等即可． 解：∵， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； ∴正确的关系式为①②③⑤． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的除法，幂的乘方，进行计算即可． 解：由，得；由，且，得； 故， 故答案为： 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）4；（2）1；（3）0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法及幂的乘方逆运算，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （2）先根据同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （3）由（2）知，根据任何数（除外）的零次幂等于，即可求解． 解：（1）解：，，， ∴ ； （2）解：，，， ∴ ； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 【题型 9】零指数、负整指数与平方根、立方根混合运算 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题主要考查了实数运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据乘方，负整数指数幂，零指数幂化简，再计算，即可求解． （2）先根据负整数指数幂，零指数幂化简，再计算，即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）在实数中：，，，，，0.8080080008…（相邻两个8之间0的个数逐次加1），有理数的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，实数的分类，零次幂等知识点，根据“整数和分数统称为有理数”，进行解答即可． 解：，，， 在实数中：，，，，，0.8080080008…（相邻两个8之间0的个数逐次加1），有理数有、、，一共3个． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·月考）计算的结果为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 分别计算负指数幂、绝对值、立方根和零指数幂，再结合有理数运算法则进行加减运算． 解：原式=． ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·贵州·期末）计算: （1） （2） 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握立方根、绝对值、算术平方根、零次幂、负整数次幂的计算方法是解题的关键． （1）分别计算立方根、绝对值、乘方，再进行加减运算； （2）分别计算算术平方根、零次幂、负整数次幂、绝对值，再进行加减运算． 解：（1）解： （2）解： 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 解：的算术平方根是， 故选：B． 2．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 4．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解． 解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（    ） A． B． C．是一个12位数 D．是一个13位数 【答案】D 【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答． 解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意； D. 是一个13位数,正确，符合题意． 故选D． 【点拨】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键． 6．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答． 法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可. 解：法一：， 得， 解得， 将代入，解得， ， ， 得到， ， 法二： 得：，即：， ∵， ∴， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键． （2） 填空题（6题） 7．（2024·山东日照·中考真题）计算：_______ 【答案】1 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值，零指数幂，再进行加减计算． 解：原式， ． 故答案为：1 8．（2023·山东·中考真题）计算：___________． 【答案】 【分析】根据零次幂、负整数指数幂和立方根的性质化简，然后计算即可． 解：原式 ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零次幂、负整数指数幂和立方根的性质是解题的关键． 9．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足，则__________． 【答案】16 【分析】先将已知变形为，再将变形为，然后整体代入即可． 解：∵ ∴ ∴ 故答案为：16． 【点拨】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键． 10．（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为_______． 【答案】73 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 解：由二进制和十进制的互换规则得： ． 故答案为：73． 11．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______秒． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可． 解：根据题意1阿秒是秒可知， 43阿秒秒， 故答案为：． 12．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． （3） 解答题（4题） 13．（2024·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零次幂，化简绝对值，有理数的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先计算有理数的乘法，零次幂，化简绝对值，再计算加减，即可作答． 解： ． 14．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 解：原式 . 15．（2025·新疆·中考真题）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 16．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． （1）原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． （2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． （3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 2 / 30 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