第7章 培优专题10：模型观念平行线中的四大模型&培优专题11：模型观念三角尺的拼组与纸片的折叠-【同行学案】2025-2026学年六年级下册数学学练测（鲁教版 五四制·新教材）

了同行学案学练测六年级数学下LJ 培优专题10：模型观念 学 养 模型一：“铅笔头”模型 E A 抽象能力 F C 点P在EF右侧，在 “铅笔头”模型 运算 AB,CD内部 结论1：若AB∥CD,则∠P+∠AEP+ ∠PFC=360°. 何直观 结论2：若∠P+∠AEP十∠PFC=360°，则 AB/∥CD. 模型二：“猪蹄”模型(M模型) 间观 B 推理 能力 点P在EF左侧，在 数 “猪蹄”模型 AB,CD内部 结论1：若AB∥CD,则∠P=∠AEP+∠CFP. 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB/CD 模型三：“靴子”模型 应用意 创新 点P(P')在EF右侧， “靴子”模型 在AB,CD外部 结论1：若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P'=∠CFP'-∠AEP' 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P'= ∠CFP'-∠AEP',则AB∥CD. 模型四：“X射线”模型 A D P 点P(P')在EF左侧， “X射线”模型 在AB,CD外部 72做神龙题得好成绩 平行线中的四大模型 结论1：若AB∥CD,则∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P'=∠AEP'-∠CFP 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P'= ∠AEP'-∠CFP',则AB∥CD 练习巩固 1.如图，已知AE∥BD,∠1=130°，∠2=30°，则 ∠C的度数是( ) 2 A.20° B.30° C.40° D.50° 2.如图，将三角尺的直角顶点放在直线m上， m∥n,∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数 是 3.如图，AB/CD,∠1=100°，∠2=120°，则∠a 的度数是 、2 D 4.如图，已知直线AB/∥CD,∠C=115°，∠A= 25°，则∠E= 5.如图，AB∥DE,∠D=116°，∠DCB=93°，则 ∠B= 6.如图，AB∥CD,EP⊥FP,若∠1=30°，∠2= 20°，则∠F的度数为 E1一B P◇ —D 7.知图，AB/CD,∠ABF=号∠AE,∠CDF= 号∠CDE,求∠E:∠F的值 8.如图，AB∥CD,EF⊥DF,∠D:∠BEF: ∠B=4:2：1,求∠BEF的度数， A B 第七章相交线与平行线 ☑ 9.已知直线AB/CD (1)如图①，∠A,∠C,∠AEC之间有什么关 学素 系？请说明理由 (2)如图②，∠A,∠AEF,∠EFC,∠C之间 有什么关系？请说明理由 (3)如图③，∠A,∠E,∠F,∠G,∠H,∠O, ∠C之间的关系是 抽象能力·运算能力 ② 3 九间直观 间观 视频讲解 能力 ·数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 做神龙题得好成绩 73 ☑同行学案学练测六年级数学下LJ 数 培优专题11：模型观念 素 1.(高青期末)将一副直角三角尺按如图所示的 方式叠放在一起，若AC∥DE,则∠DAB的 度数为( ) 抽象能力 运算 D 能力 A.5° B.10° C.15° D.20° 2.（烟台福山期末)将一副三角尺在四边形 ABCD中按如图所示的方式摆放，其中CD∥ AB,已知∠1=30°，则∠2=( 推 A.55 B.60° C.65 D.75 3.(桓台期末)如图，将一张长方形纸条折成如 图的形状，已知∠2=55°，则∠1的度数 为 应 视频讲解 4.[一题多辨](1)如图①，将矩形纸片ABCD 沿BD折叠，得到△BCD,C'D与AB交于点 E.若∠1=30°，则∠2的度数为 D'2 C ① ② (2)(济南莱芜期末)如图②，小丽利用一张 左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做 折纸游戏，她将纸片沿EF折叠后，D,C两点 分别落在D',C'的位置，并量得∠EFB=65°， 则∠AED'的度数是 74做神龙题得好成绩 三角尺的拼组与纸片的折叠 5.[几何直观·创新意识]如图，一次数学活动 中，检验两条纸带①②的边线是否平行，小明 和小丽采用两种不同的方法： 小明对纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=50°； 小丽对纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重 合，HF与HE重合. 根据小明、小丽的方法，纸带①的边线 ,纸带②的边线 .（填“平 行”或“不平行”) 6.[创新意识]同学们玩游戏，借助两个三角形 模板画平行线， ① ② 75 <45°60A 120 30 30° ③ ④ 规则1：摆放一副三角尺，画平行线， 小颖是这样做的：如图①，先画一条直线 MN,之后摆放三角尺，得到ABCD,依据是 小静按图②所示的方式摆放三角尺，也得到 AB∥CD,依据是 规则2：请你利用图③中所示的两个三角形模 板摆放后画平行线.在图④中画出你摆放的 两个三角形模板的位置.72×需=380，解得x=2子答：慢车行驶2子小时后两 2探索直线平行的条件 车相遇。 第1课时利用“同位角”“第三直线”判定平行线 第七章相交线与平行线 1.A 2.(1)AB CD EF∠1与∠6，∠2与∠5 1两条直线的位置关系 (2)∠3∠5 AB EF AC AC EF AB 第1课时相交线与平行线 3.B4.平行同位角相等，两直线平行 1.C2.13.D4.A5.D6.C 5.解：平行.理由：∠2与∠EHD是对顶角，∴∠EHD= 7.72°8.135°9.B ∠2=45°.又，∠1=∠2=45°，.∠1=∠EHD, 10.55°11.C12.D13.B14.90 ..AB//CD. 15.解：(1)∠AOD∠BOE(2)因为OD平分∠AOC, 6.B7.直线PB1 ∠C0D=25°，所以∠AOC=2×25°=50°，所以∠B0C= 8.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 130.因为OE平分∠B0C,所以∠B0E=号×130° 9.D10.50°11.平行 65°，(3)∠COD+∠BOE=90°.理由：由题意，得 12.909034同位角相等，两直线平行 13.解：EF∥GH.理由：因为∠2=∠CGM,∠2=∠1，所以 ∠00D+∠B0E=合∠A0C+ ·∠BOC= ∠1=∠CGM.又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠CGM 2(∠A0C+∠B0C)=90° 1 +∠4，即∠MEF=∠EGH,所以EFGH. 14.解：CM∥DN.理由：CF平分∠ACM,∴.∠ACM 16.解：(1)2(2)6(3)12(4)n条直线相交于一点，可形 2∠1.∠1=72°，∠ACM=2∠1=144°，.∠BCM= 成n(n一1)对对顶角.(5)100条直线相交于一点，可形 180°-144°=36.∠2=36°，.∠2=∠BCM, 成100×(100-1)=9900（对）对顶角. ..CM//DN. 第2课时垂线 15.解：因为AE是∠DAC的平分线，所以∠DAC= 1.C2.互相垂直 2∠DAE.因为∠DAC+∠BAC=180°，∠B+∠C+ 3.B图略 4.D5.D6.D7.B ∠BAC=180°，所以∠DAC=∠B+∠C.因为∠B= 8.(1)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 ∠C,所以∠DAC=2∠B,所以∠DAE=∠B,所以 AE//BC. 最短(2)两点之间线段最短 9.A10.C11.110°12.B13.D 第2课时利用“内错角”“同旁内角”判定平行线 14.60或150 1.B2.D3.∠B∠14.B5.C6.B 15.(1)120°(2)62°16.C 7.解：OB∥AC,OABC.理由：因为∠1=55°，∠2=55°，所以 17.小力两点之间线段最短；直线外一点与直线上各点连 ∠1=∠2，所以OB∥AC.因为∠2=55°，∠3=125°，所以 接的所有线段中，垂线段最短 ∠2+∠3=180°，所以OA∥BC. 18.解：(1)否(2)如图，连接AB,交l于点Q,则水泵站应该 8.D9.A 建在点Q处依据为两点之间线段最短. 10.解：CD即为所作. Q 11.C12.B13.C14.(1)30(2)60 ·20·同行学案学练测 15.解：(1)如图，∠ADE即为所求. ∴.∠FCE=90°，∴.∠FCH=∠FCE-∠ACE=90°-28 =62°.∠2=62°，∠FCH=∠2，∴.CF∥AG 15.解：(1)ABCD.理由：∠1与∠2互补，.∠1+∠2= 180°.又·∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,.∠AEF十 (2)BCDE.理由：因为∠ADE=∠ABC,所以BCDE. ∠CFE=180°，.AB∥CD.(2)由(1)知，AB∥CD, 16.解：(1)EA平分∠BEF,EC平分∠DEF,∴.∠2= ∴.∠BEF+∠EFD=180°.又，∠BEF与∠EFD的平分 ∠I-∠BER,∠3=∠4=∠DER.:∠BEF+ 线交于点P,∴.∠PEP+∠EFP=(∠BEF+∠EFD)- ∠DEF=180,·∠2+∠3=2(ZBEF+∠DEF)= 90°，∴.∠EPF=90°.GH⊥EG,∴.∠HGP=90°， ∴.PFGH. 90°，.AE⊥EC.(2)AB∥CD.理由：由题意，得∠2= 问题解决活动：折平行线 ∠1，∠3=∠4.又：∠1=∠A,∠4=∠C,∴.∠A=∠2， 1.解：(1)同位角相等，两直线平行(2)第一步：沿点P所在 ∠3=∠C,∴.AB∥EF,EF∥CD,∴.ABCD. 直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为CD;第二步：把纸 17.解：如图，在∠BCD的内部作∠BCM=25°.在∠CDE的 片展平，继续沿点P所在直线折叠，使点C落在折痕CD 内部作∠EDN=10°.，∠B=25°，∠E=10°，∠B= 上，此时折痕为EF;第三步：把纸片展平，沿折痕画直线 ∠BCM,∠E=∠EDN,.AB∥CM,EF∥ND.又 EF.依据是在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直 :∠BCD=45°，∠CDE=30°，.∠DCM=20°，∠CDN= 线平行. 20°，∴.∠DCM=∠CDN,∴.CMND,∴.AB/EF. 2.②④3.同位角相等，两直线平行 B 4.解：(1)如图，△A'BC即为所求.(2)如图，Q1,Q2即为 C<---M 所求.(3)如图，AE,P即为所求。 N-- E 01 3平行线的性质 A 第1课时平行线的性质 1.A2.C3.25°4.C5.1056.C B 7.B8.C9.C10.1511.B 12.(1)360(2)95(3)27013.14°14.(1)125°(2)44° 培优专题10：模型观念 —平行线中的四大模型 15.解：(1)∠CED=∠GHD,∴.CE/GF.(2)∠AED+ 1.A ∠D=180°.理由：，CE∥GF,.∠C=∠FGD.又 2.70°3.40°4.90°5.29°6.80 :∠C=∠EFG,.∠FGD=∠EFG,.AB∥CD, 7.解：如图，过点E,F分别作AB的平行线EG,FH,则 ∴.∠AED+∠D=180°.(3).∠GHD=∠EHF=80°， AB∥EG∥FH∥CD.因为AB∥FH,所以∠ABF= ∠D=30°，.∠CGF=180°-∠HGD=∠GHD+∠D= ∠BFH.因为FH∥CD,所以∠CDF=∠DFH,所以 110°.又，CE/∥GF,.∠C=180°-110°=70°.又，AB∥ ∠BFD=∠DFH十∠BFH=∠CDF十∠ABF.同理可得 CD,.∠AEC=∠C=70°，∴∠AEM=180°-70°=110°， ∠BED=∠DEG十∠BEG=∠CDE十∠ABE.因为 第2课时平行线性质与判定的综合应用 ∠ABF 号∠ABE,∠CDF=号∠CDE,所以∠BD= 1.B2.B3.C4.A5.B6.A7.C8.D9.63 ∠BED,所以∠BED:∠BFD=3:2. 2 10.①②③11.C12.6013.①④ 14.解：(1)：AB∥CD,∴∠1=∠DCE=28°.：CE平分 ∠ACD,.∠ACD=2∠DCE=56°.AB∥CD, ∴∠HAE=∠ACD=56°.(2)CF∥AG.理由：：CE平 分∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE=28°.，CF⊥CE, 8.解：如图，延长BE交DC的延长线于点M.设∠B=x,则6.B[解析]如图，过点B,D,F分别作水平线的垂线，则 ∠BEF=2x,∠D=4x,所以∠MEF=180°-2x.因为AB PC∥DEI∥QG,∴.∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+ CD,所以∠1=∠B=x.因为EF⊥DF,所以∠F=90°. ∠DPG.由题意，得∠DBC=号∠ABP=号(90-a), 由四边形内角和为360°，得x+4x+90°+180°-2x= 360°，解得x=30°，所以∠BEF=60°， ∠DPG=号∠HPQ=号(90°-A,.∠BDF=号(90- A e+号90°-0=号a80-a-8,即y=1m-号a+ B,即号(a+段=120-7 9.解：(1)∠AEC=∠A十∠C.理由：如图①，作EF∥AB,则 ∠1=∠A.因为AB/CD,所以EF∥CD,所以∠2=∠C, 所以∠AEC=∠A+∠C.(2)∠A+∠EFC+∠C= ∠AEF+180°.理由：如图②，作EN/∥AB,FM∥AB.同(1) 可得∠1=∠A,∠2=∠3，∠4+∠C=180°，则∠AEF= 7.70 ∠A+∠3=∠A+∠EFC-∠4=∠A+∠EFC-(180° 8.解：(1)∠AEC=∠A+∠C(2)有变化，∠C=∠A+ ∠C),所以∠A+∠EFC+∠C=∠AEF+180°.(3)∠A+ ∠AEC,理由：AB∥CD,∴∠BFE=∠C.∠BFE= ∠F+∠H+∠C=∠E+∠G+∠O 180°-∠AFE=∠A+∠AEC,∴.∠C=∠A+∠AEC. (3),AB∥CF,∴.∠COA=∠OAB.:∠OAB=75°， ∠COA=75°.：DE∥CF,.∠COD=∠ODE. ∠ODE=22°，∴.∠COD=22°.如图①，∠AOD= ∠C0A-∠C0D=75°-22°=53°；如图②，∠AOD= ∠COA+∠COD=75°+22°=97°.因此，∠AOD的度数为 培优专题11：模型观念 三角尺的拼组 53或97° 与纸片的折叠 1.C2.D3.110°4.(1)30°(2)50 5.不平行平行 6.规则1：同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 内错角相等，两直线平行 ① ② 规则2：示例： 9.解：(1)由题意，得∠1=∠2，∠3=∠4.OM⊥ON,∴∠3+ M ∠2=90°，∴.∠1+∠4=90°，∴.∠1+∠2+∠3+∠4 75°458yB 180°.：（∠1+∠2+∠3+∠4）+（∠ABC+∠BCD)= 360°，.∠ABC+∠BCD=180°，.AB∥CD. C 九1209 309 (2),∠MON=46°，∴.∠2+∠3=180°-∠MON=180° 46°=134°.，∠1=∠2，∠3=∠4，∴.∠PCB+∠PBC= N 360°-2（∠2+∠3）=360°-134°×2=92°，∴∠BPC= 培优专题12：学科融合一光线传播中的 180°-（∠PCB+∠PBC)=180°-92°=88°.(3）结论： 数学学问 B=2a.理由：：'∠BPC+∠PBD=∠MON+∠4，∠4= 1.A2.A3.B4.A5.C ∠3=180°-∠OCB=∠MON+∠2，∠1=∠2=∠PBD, …B+∠1=a十a十∠1，β=2a. 4.解：(1)如图①，过点P作PQ∥AB.AB∥CD,.PQ∥ 培优专题13：与平行线有关的综合题 AB∥CD,.∠APQ+∠PAB=180°，∠CPQ+∠PCD= 1.解：(1)∠1=∠2理由：ABCD,∠1=∠3.BE∥ 180°.∠PAB=140°，∠PCD=110°，∴.∠APQ=180°- DF,∠2=∠3，∠1=∠2.(2)∠1+∠2=180°理 ∠PAB=40°，∠CPQ=180°-∠PCD=70°，∴.∠APC= 由：AB∥CD,∠1=∠3.BE∥DF,∴∠2+∠3= ∠APQ+∠CPQ=40°+70°=110°.(2)①∠CPD=∠a 180°，.∠1十∠2=180°.(3)相等或互补(4)设一个角 十∠R.理由：如图②，过点P作PE∥AD交CD于点E. 的度数为x,则另一个角的度数为3x一60°.当x=3x一60 AD∥BC,∴.AD∥PE∥BC,∴.∠a=∠DPE,∠B= 时，解得x=30°，则这两个角的度数分别为30°，30°；当x十 ∠CPE,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a十∠R.②当 3x一60°=180时，解得x=60°，则这两个角的度数分别为 点P在BA的延长线上时，∠CPD=∠B一∠a.理由：如图 60°，120°. ③，过点P作PEAD交CD于点E.AD∥BC,∴.AD∥ 2.解：(1)：DB∥FG,.∠B=∠BAG=60°.FG∥EC, PE∥BC.又∠ADP=∠a,∠BCP=∠B,∴∠a= .∠CAG=∠C=36,∴∠BAC=∠BAG+∠CAG=60 ∠DPE,∠B=∠CPE,∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠B +36°=96.：AP平分∠BAC,∠CAP=号∠BAC= 一∠a.当点P在B,O两点之间时，∠CPD=∠a-∠R.理 由：如图④，过点P作PEAD交CD于点E.ADBC, 48°，∴.∠PAG=∠CAP-∠CAG=12°.(2)∠PAG= ∴.AD∥PE∥BC.又'∠ADP=∠a,∠BCP=∠B,∴∠a 2理由：DB/FG,∴∠B=∠BAG=a.:FG/BC, =∠DPE,∠B=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE-∠CPE= ∴.∠CAG=∠C=B,∴.∠BAC=∠BAG+∠CAG=a+R. ∠a-∠R.综上，∠CPD=∠B-∠a或∠CPD=∠a -∠B. :AP平分∠BAC,∠CAP=是∠BAC=9 2； B ∴∠PAG=∠CAP-∠CAG-,2.(3)∠PAG=+E 2 2 3.解：(1)150(2)∠C-∠A=90°.理由：如图①，过点P作 PE∥AB.AB∥CD,AB∥PE,∴.PE∥CD,∴.∠EPC= ② ∠C,∠EPA=∠A.∠APC=∠EPC-∠EPA, ∠APC=∠C-∠A.AP⊥PC,∠APC=90°， ∴∠C-∠A=90°.(3)如图②，过点Q作MQ∥CD.易 知AB/CDMQ,∴.∠QAB=∠MQA,∠QCD=∠MQC. :∠QAB=2∠QAP,∠QCD=2∠QCP,∴∠QCD= 章末复习 号∠PcD,∠QAB=号∠PAB.:∠AQC=∠MaC 1.C2.145°3.60°4.B5.D6.A7.30°8.29.A ∠MaA=∠QD-∠QAB=号∠PCD-号∠PAB= 10.A11.B 12.解：(1)如图. 号（∠PCD-∠PAB),由(2）知∠PCD-∠PAB=90, ∠AQC=号×90°=60 (2)BC∥AD,DC∥AB,∴∠A+∠ADC=180°，∠BCD +∠ADC=180°，∴.∠A=∠BCD. 13.解：(1)：∠1+∠DFE=180°，∠1+∠2=180°，∴.∠2= 同行学案学练测·21·