6.1.3 任意角的正弦、余弦、正切、余切第1课时教学设计-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦任意角的正弦、余弦、正切、余切定义及符号判断，从初中锐角三角函数的直角三角形定义切入，通过将锐角置于坐标系用坐标表示比值，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接旧知与新知。 以问题链驱动教学（如问题1-8），从锐角到任意角的定义推广体现数学抽象，例题分层设计（例1及变式、例3）培养逻辑推理，符号判断用表格与坐标系直观呈现发展直观想象。帮助学生理解定义本质，提升运算能力，为教师提供结构化教学流程，便于高效授课。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切（1） 教学目标 1．由锐角的正弦、余弦、正切、余切定义，借助平面直角坐标系定义任意角的正弦、余弦、正切、余切，体会从特殊到一般的数学思想，发展数学抽象、直观想象素养. 2．会求任意角的正弦、余弦、正切、余切值，体会利用坐标定义任意角的正弦、余弦、正切、余切的意义. 3．会判断四个象限中角的正弦、余弦、正切、余切的符号，体会角的终边位置与正弦、余弦、正切、余切符号之间的关联，并会解决简单的问题，体会分类讨论的数学思想. 教学重难点 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义及其在各象限内的符号判断. 学习难点：任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义． 教学过程 （一）复习旧知 引入课题 在初中，我们已经学过，锐角的正弦、余弦、正切和余切可以用直角三角形的边长比来定义. 如图：. 【问题1】在直角三角形中对锐角的正弦、余弦、正切和余切进行了定义，这四个值与直角三角形中的哪些量有关？ 根据定义，锐角的正弦、余弦、正切和余切的值与直角三角形的三条边的长度有关，且这四个值可以表示成线段长度的比值. 【问题2】在上一节课中，我们学习了任意角，我们可以把任意角置于直角坐标系中，那我们把锐角置于直角坐标系中，锐角的正弦、余弦、正切和余切还可以如何定义？ 我们将锐角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在第一象限，如图. 在角的终边上任取异于点的一点，过点作轴的垂线，设垂足为，根据锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义，有，，，. 在平面直角坐标系中，设，它与原点的距离.则线段的长度为，而线段的长度为.那么，，，. 【问题3】当点在终边上的位置发生改变时，锐角的正弦、余弦、正切及余切的值是否发生变化？ 由相似三角形知识可知,当点在终边上的位置发生改变时，虽然所构成的直角三角形的三条边的长度发生了变化，但各个比值不变.因此，终边上点只需是任取上异于点的一点即可. 【设计意图】通过回顾在直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义，观察四个值得比值关系，将具体的数值抽象为线段长度之比，总结得到“终边上任取一点，各个比值不变”的规律，进而转化为角终边上一点的坐标的表示，让学生感悟转化的思想，发展数学抽象素养. （二）形成概念 理解辨析 【问题4】 我们能否借助平面直角坐标系定义任意角的正弦、余弦、正切、余切呢？P(x,y) M O x y O x y P(x,y) O x y P(x,y) x y O P(x,y) O x y 如图，将任意角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，在其终边上任取异于原点的一点，设其坐标为,并令=，必有.这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切、余切为，，，. 【问题5】 角的正弦、余弦、正切、余切是否对任意角都有意义？ 由定义可以得到，因为，所以对于角的正弦、余弦对于任意角都有意义；而对于正切，由于分母，所以当， 即角的终边位于轴上时，无意义；同理，对于余切，由于分母，所以当，即角的终边位于轴上时，无意义. 【设计意图】通过借助平面坐标系，用坐标表示锐角的正弦、余弦、正切及余切，引导学生对任意角的正弦、余弦、正切及余切进行定义，在几何问题代数化的过程中体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，发展直观想象和逻辑推理素养. （三）例题讲解 巩固新知 例1 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值. 解 由，，有，从而 ，，，. 变式1 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值. 解 当时，同例1，，，，； 当时，由，，有，从而，，，. 【问题6】比较两种情况，角的正弦、余弦、正切及余切值跟那些因素有关？ 这两个角的终边不同,表示的角终边在第四象限,而点表示的角终边在第二象限,说明任意角的正弦、余弦、正切、余切跟角的终边位置有关，跟终边上的点P的位置无关. 变式2 已知角的终边在射线上，求角的正弦、余弦、正切及余切值. 分析 由角的终边在射线上可知，角是第二象限角；在角的终边上取点，可求得角的正弦、余弦、正切及余切值. 【问题7】当角分别属于四个不同象限时，如何确定角的正弦、余弦、正切、余切的符号？ 例1的求解中我们发现，由于角的正弦、余弦、正切、及余切值可以由其终边上一点的坐标求出，因此不难根据点的坐标来判断角的正弦、余弦、正切、余切的符号. 我们可以尝试判断四个象限内角的正弦、余弦、正切、余切的符号： 角所属的象限 点P的坐标 x y 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 如：以角所属于第一象限为例，此时点的横坐标为正，纵坐标也为正.因为，而，，所以角的正弦值为正；由于，而,所以角的余弦值为正；，，,所以角的正切值为正，同理，角的余切值也为正.我们将表格填写完整. 角所属的象限 点P的坐标 x y 第一象限 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 第二象限 － ＋ ＋ － － － 第三象限 － － － － ＋ ＋ 第四象限 ＋ － － ＋ － － 借助平面直角坐标系，就可以更清楚地看到角的正弦、余弦、正切、余切在各个象限中的符号： 【设计意图】巩固本节课所学的概念，学会利用坐标求解任意角的正弦、余弦、正切及余切值，进一步体会从特殊到一般的数学思想. 例2 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值. 解 由,,有，从而 ，，，不存在. 【问题8】若角的终边在坐标轴上，则角的正弦、余弦、正切、余切值各是什么？ 填写下表： 角 解 角 0 1 0 1 0 0 0 不存在 0 不存在 不存在 0 不存在 0 【设计意图】引导学生观察不同象限角的正弦、余弦、正切及余切值的符号特征，以及终边上的点坐标的符号特征，总结出不同象限角的正弦、余弦、正切及余切值的符号规律，进一步感受借助平面直角坐标系作为处理任意角的正弦、余弦、正切及余切的优势. 例3 若角满足，且，则角属于第几象限？ 解 由，知角属于第一象限或第二象限或其终边位于轴的正半轴上.又由，知角属于第二象限或第四象限. 因此，角属于第二象限. 变式 若角满足，则角属于第几象限？ 解 由，知和异号， 当且时，角属于第二象限； 当且时，角属于第三象限； 所以，角属于第二象限或第三象限. 【设计意图】利用规律解决具体问题，体会从一般到特殊以及分类讨论的数学思想，发展学生的数学运算和逻辑推理素养. （四）课堂小结 布置作业 课堂小结 本节课我们借助平面直角坐标系，将锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义推广到了对任意角的正弦、余弦、正切及余切定义，并利用这些定义解决了一些求值问题，以及判断各象限角的正弦、余弦、正切及余切的符号.在定义的过程中体现了内容的延续及方法的区别，体会到了用坐标定义的优势，感受到了研究几何问题的一种重要方法——代数坐标运算，发展了直观想象和数学抽象素养. 课后作业 [基础练习] 教材P24-26习题6.1 A组5，6，7，B组7．补充题． 习题6.1 A组 5.已知角的终边分别经过以下各点，求角的正弦、余弦、正切和余切值: （1）; （2）. 6.不用计算器，根据角所属的象限，判断下列各式的符号： （1）； （2）； （3）. 7.根据下列条件，确定角所属的象限： （1）且； （2）. 习题6.1 B组 7.已知为第二象限的角，其终边上有一点，且.求. 补充题 1.已知角的终边经过点，求角的正弦、正切值. 2.设是三角形的一个内角，在,,,中，有可能取负值的是____________. [能力拓展]（选做） 已知角的终边落在直线上，求. 学科网（北京）股份有限公司 $