2.3一元一次不等式与一次函数（2知识点+5大题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

2.3一元一次不等式与一次函数 （2知识点+5大题型+过关检测） 【题型1 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 2 【题型2 根据两条直线的交点求不等式的解集】 6 【题型3 一元一次不等式与一次函数的应用】 9 【题型4 一元一次不等式与一次函数有关的面积问题】 15 【题型5 一次函数与一元一次不等式综合】 24 1. 理解一元一次不等式与一次函数之间的内在联系，厘清函数值、自变量、不等式解集三者的对应关系，建立数形结合思维。 2. 掌握利用一次函数图象求解一元一次不等式解集的方法，能快速从图象中提取不等关系，读懂图象横纵坐标、交点、象限的几何意义。 3. 学会根据函数图象、函数解析式判断自变量取值范围、函数值大小关系，解决函数与不等式的综合求值、证明问题。 03 知识•梳理 知识点1:一次函数与一元一次不等式 1.定义 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）（k，b为常数，且k≠0）的关系 数：函数y=kx+b中，函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 形：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 2.拓展 直线=与直线的交点的纵坐标即为方程的解；不等式（）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. 特别解读： 利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 1. 将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； 2. 画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； 3. 根据函数图像确定对应不等式的解集. 知识点2:一元一次方程、一元一次不等式与一次函数综合 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案.常用的问题有购物问题、利润问题、支出问题等. 2.解答方案决策问题的一般步骤 （1）根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式=和. （2）根据之间的大小关系（＞或或），分情况求得相应的x的值或取值范围. （3）比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策. 特别提醒： 实际问题中，未知数（函数自变量）往往具有隐含条件，如表示物体个数时，要求必须都是非负整数，表示距离、时间、速度等，要求都是非负数，解题时一定要结合实际问题进行取值. 常见易错点 · 混淆y>0和y<0对应的左右区间，方向判断错误； · 忽略不等号是否含等号，实心/空心点使用错误； · 两直线比较大小时，误把纵坐标范围当横坐标范围； · 实际问题中，忽略自变量的实际意义（如非负数、正整数）； · 计算函数交点坐标时，解一元一次方程出错。 04 题型•汇总 【题型1 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 解题核心: 紧抓一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴交点（与y轴交点一般不直接用于解不等式），利用“图象上下位置对应函数值正负”的规律，快速锁定自变量范围。 【典例1】．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 跟随训练1．若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．由图象可知，经过点，然后求出，再代入得，最后解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，，经过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 跟随训练2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (2)若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)图象见解析，． (2)且． 【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标特征； （1）先画出一次函数图象，再根据函数图象写出不等式解集即可； （2）先求出一次函数的解析式，然后根据当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：（1）一次函数的图象如下： 由图象可知，当时，， 故答案为：． （2）解：设一次函数解析式为 ， 一次函数的图象经过点， ， 解得 一次函数解析式为； ∴一次函数与x轴的交点坐标为， 函数为常数，的图象和轴的交点坐标为， 该函数与轴交点坐标为， ∵两直线与轴所围成的三角形的面积为， ∴当函数为常数，的图象与轴交点坐标距离有4个单位， 当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为 即或 解得：或， 该一次函数的图象、函数为常数，的图象和轴所围成的三角形的面积大于， ∴且． 跟随训练3．如图，直线经过和两点，则不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【题型2 根据两条直线的交点求不等式的解集】 解题核心: 两直线交点是函数值相等的临界点，以交点横坐标为分界，根据直线上下位置判断与的大小关系，进而得出不等式解集。 【典例2】．如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键． 根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集． 【详解】解：∵点为一次函数与的图象交点， 且点的横坐标为， 根据一次函数与不等式的关系， 可判断出的解集为， 故答案为：． 跟随训练1．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式．求出两函数的交点坐标是解题的关键． 先求得点的坐标值，观察函数图象可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方，即当时，． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ， ， ， ∴的解集为． 故答案为：． 跟随训练2．如图，已知直线与直线的交点横坐标为1，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可得到该不等式的解集． 【详解】解：， ，即为， ∵直线与直线的交点横坐标为1， ∴由图象可得，的解集为， 故答案为：． 跟随训练3．如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键． （1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积； （2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得：，所以 把代入中得：， 解得：，所以， 所以， 联立与得，， 解得， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以由图象可得当时，； 【题型3 一元一次不等式与一次函数的应用】 解题核心: 将实际问题转化为一次函数模型，通过比较函数值大小列不等式，解决决策、计费、最值等实际问题，贴合生活场景，注重数形结合与实际意义检验。 【典例3】．大山开车从A地出发前往B地，同时小李从B地出发前往A地，出发一段时间后，小李将车速提高为原来的2倍，如图，图象分别表示两人与A地的距离和行驶时间之间的函数关系． (1)求小李提速后与A地的距离和行驶时间之间的函数表达式； (2)何时大山与B地的距离大于小李与B地的距离？ 【答案】(1) (2)当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离． 【分析】（1）先求出小李提速前的平均车速为，得到小李提速后平均速度为．进而求出小李达到A地时间为．利用待定系数法即可求解； （2）求出大山匀速行驶的函数表达式为，解方程组得，结合图象即可得到当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离． 【详解】（1）解：根据题图可得，小李提速前的平均车速为， ∴小李提速后平均速度为． 由题意得A、B之间距离为， ∴提速后行驶时间为， ∴小李到达A地时间为． 设小李提速后的函数表达式为， 把点，点代入得 ， 解得， ∴小李提速后的函数表达式为； （2）解：设大山匀速行驶的函数表达式为， 把点代入得， ∴， ∴大山匀速行驶的函数表达式为． 解方程组得， 所以当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离． 跟随训练1．小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 【答案】(1)； (2)当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；当时，选择甲商店；当时，选择乙商店 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据甲乙商店的优惠条件，分别列出函数关系式； （2）通过比较和的大小，确定在不同购买数量下选择的情况． 【详解】（1）解：甲商店：； 乙商店：时，； （2）解：由，得， 解得； 由，得， 解得； 由，得， 解得． ， 当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以； 当时，选择甲商店； 当时，选择乙商店． 跟随训练2．【阅读材料】某校七年级数学综合实践组计划在寒假开展数学阅读与实践活动，准备购买两类书作为学习资料：类是几何模型拼装手册（单价22元/本），类是代数思维闯关卡（单价16元/本）．组长确定了两个购买要求：两类书都要有，且需满足“类数量是类的2倍少3本”．就此，小天提出了几个数学问题． 【问题解决】若设购买类书为本（为正整数），解决以下问题： (1)用含的代数式表示类书的数量；并计算两类书的总费用． (2)下列关于购买方案的描述，正确的有（   ） A．当时，类书数量为5本，总费用为174元 B．两类书总费用的表达式也可写为 C．若要求类书数量不少于5本，则的最小值为4 D．若两类书总费用调整为230元，不存在一种可行的购买方案使得费用恰好用完 (3)小天发现，如果购买类书的数量每增加1本，则两类书总费用增加存在一定的规律，用代数式把这个规律表达出来． 【答案】(1)本；元 (2)ACD (3)每增加1本，总费用增加60元，用代数式表示为（为正整数） 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，数字规律的探究等知识，解题的关键是： （1）根据类数量是类的2倍少3本，即可求出类书的数量；根据总费用=类书的费用+类书的费用，即可求解； （2）由（1）即可判断A、B；根据类书数量不少于5本列不等式求出x的范围即可判断C；根据总费用为230元列方程求解，即可判断D； （3）分别求出增加1本、2本、3本……时，总费用增加的金额，）从中找出规律即可 【详解】（1）解：根据题意，得：类书的数量为本， 两类书的总费用为元 （2）解：A．当时，类书的数量为本，两类书的总费用为元，故A正确； B． 两类书总费用的表达式不可写为，故B错误； C．根据题意，得，解得，则x的最小值为4，故C正确； D．根据题意，得，解得，不是整数，故不存在一种可行的购买方案使得费用恰好用完，故D正确， 故选：ACD； （3）解：设购买类书本， 增加1本时，总费用增加元， 增加2本时，总费用增加元， 增加3本时，总费用增加元， …… 增加m本时，总费用增加（m是正整数）． 跟随训练3．某地区两类专车的打车方式： 星驰专车 安驰专车 里程费 元千米 元千米 时长费 元分钟 元分钟 远途费 元千米（超过千米部分） 无 起步价 无 元 星驰专车：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程千米以内（含千米）不收远途费，超过千米的，超出部分每千米加收元． 安驰专车：车费由里程费、时长费、起步价三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长按行车的实际时间计算；起步价与行车距离无关． 解决问题：（假设行车过程没有停车等时，且平均车速为千米分钟） (1)小明在该地区出差，乘车距离为千米，如果小明使用星驰专车，需要支付的打车费用为_____元； (2)小强在该地区从甲地乘坐安驰专车到乙地，一共花费元，求甲乙两地距离是多少千米？ (3)两类专车为了竞争客户，分别推出了优惠方式，星驰专车对于乘车路程在千米以上（含千米）的客户每次收费立减元；安驰打车车费折优惠．对采用哪一种打车方式更合算提出你的建议． 【答案】(1)； (2)甲乙两地距离是千米； (3)当或时，两者都可选；当或时，选安驰专车；当或时，选星驰专车． 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据星驰专车的车费计算方法即可求解； （）设甲乙两地距离为千米，根据题意列出一元一次方程即可求解； （）设行驶千米，打车费用为元，根据题意分别表示出两种乘车方式的费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：使用星驰专车，乘车距离为千米，需要支付的打车费用为： （元）， 故答案为：； （2）解：设甲乙两地距离是千米，则： ， 整理得：， ， 答：甲乙两地距离是千米； （3）解：设行驶千米，打车费用为元， 当时，星驰专车车费； 当时，星驰专车车费， 安驰专车车费； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 综上所述，当或时，两者都可选；当或时，选安驰专车；当或时，选星驰专车． 【题型4 一元一次不等式与一次函数有关的面积问题】 解题核心: 先根据函数图象与坐标轴围成三角形（或其他图形），结合不等式解集确定图形的边长、高，利用面积公式列不等式求解参数或自变量范围。 【典例4】．如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)1； (2) (3)存在；或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、一次函数的最值问题以及三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，结合数形结合思想和分类讨论思想解题是解题的关键． （1）将点代入直线的解析式求值；再结合函数图象，确定不等式的解集． （2）先根据点在线段上、点在直线上，分别写出和的表达式，再构造的函数，结合自变量的取值范围求最大值． （3）先求出点的坐标，设出点的坐标，分点在轴下方和上方两种情况，利用面积关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵ 点在直线上， ∴ ， 解得 ， ∵ 不等式， ∴ 解得 ， 解得 ， ∴ 不等式的解集为； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ，， 当时，有最大值， 的最大值为； （3）解：存在．直线，令得， ． 点在直线上，设点坐标为， ①当时，点在轴的下方, ， 解得，点坐标为， ②当时，点在轴的上方, ， 解得，此时点坐标为． 点的坐标为或． 跟随训练1．如图1，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动到点B停止，同时点以每秒0.5个单位的速度，从点A运动到点C，点P停止时点停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为，的面积为．    (1)直接写出，分别关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数，相似三角形的判定与性质，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先分、得到的面积，过作，根据，得到，再计算面积即可； （2）作出图像，直接写出相关性质即可； （3）结合函数图象，直接写出x的取值范围即可． 【详解】（1），， ， 当时，过作， ，， ，即， 解得， ， 当时，在上， ， ， 当时，一直在上，过作， ，, ，即， 解得， ； ，； （2）图象如下： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而减小； （3）当时，令，即， 解得， 当时，令，即， 解得， 结合函数图象，直接写出时x的取值范围为或（答案不唯一，合理即可）． 跟随训练2．我们已经学过一次函数，下面我们参照学习一次函数的过程与方法，探究函数的图像与性质． 【操作发现】 （1）下表是该函数部分的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． …… 0 1 2 …… …… 6 4 2 0 2 4 6 …… 结合函数图像，下列说法错误的是：____________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 （2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的取值范围为_____________________； 【拓展提高】 （3）①若关于的方程有两个不同的解，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，新函数的图像记为，直线与交于、（点在点左侧）两点，轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出的周长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，②；（2）或；（3）①；②存在，的周长为 【分析】（1）利用描点法画出函数图像，再结合函数图像判断每个说法的正误即可； （2）结合函数图像即可求解； （3）①作直线，根据题意可知直线与函数的图像有2个交点，找出临界点代入求出的值，即可解答；②联立函数解析式求出，，根据勾股定理可得；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，，分析可知当三点共线时，的周长有最小值，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）画出函数的图像如下： 结合函数图像，函数有最小值，没有最大值，故①正确； 当时，随的增大而增大，故②错误； 图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确； ∴说法错误的是②； （2）由图像得，当或时，函数值， ∴当函数值时，自变量的取值范围为或； 故答案为：或； （3）①如图，作直线， ∵关于的方程有两个不同的解， ∴直线与函数的图像有2个交点， 当直线经过点时，则，解得， ∴的取值范围为； ②联立， 解得或， ∴，， ∴； 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ∴， ∵的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为， ∴综上，存在，的周长为． 【点睛】本题考查了描点法画函数图像、一次函数的图像与性质、一次函数的交点问题、勾股定理、轴对称的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 跟随训练3．小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；②两；③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：； ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 【题型5 一次函数与一元一次不等式综合】 解题核心: 融合函数解析式求解、交点计算、图象分析、不等式解集、参数求值等多个考点，综合性强，需分步拆解、数形结合，步步有据推导。 【典例5】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．    (1)填空： ______， ______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)3，6 (2)50 (3)存在， (4) 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点的坐标； （4）根据图象即可求解． 【详解】（1）是一次函数与的图象的交点， ，解得， ，解得， 故答案为：3，6； （2）一次函数中，当时，；当时，， ，， 一次函数中，当时，， ， ， ， 的面积为50； （3）如图：    在线段上存在一点，使得的面积与四边形的面积比为， 的面积与四边形的面积比为， ， ，即， ， 点在线段上， 点的坐标为； （4）， 时，， 故答案为：． 跟随训练1．如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数解析式，两直线交点求不等式解集．解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质．体会数形结合的思想． （1）把代入，求出，再将代入，可得m的值； （2）根据函数图象交点位置，利用数形结合思想可得答案； （3）由的面积等于面积一半，得，求出，进而求出的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得； ∴， 把代得：， 解得； （2）解：不等式的解集为； （3）解：∵的面积等于面积一半， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴的坐标为或． 跟随训练2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (3)若该一次函数的图象、函数（为常数，）的图象和轴所围成的三角形的面积等于8，求出的值． (4)在第（3）的条件下，若此时围成的三角形面积大于8，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1) (2)图象见解析， (3)或 (4)且 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标特征，综合应用各知识点是解题关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数与坐标轴的交点坐标画出一次函数图象，根据函数图象求解即可； （3）分别求出两个函数图象分别与轴、轴的交点，建立两直线与轴所围成的三角形的面积为8时关于的方程，求解即可； （4）结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 一次函数的图象经过点，， , 解得， 故一次函数解析式为． （2）解：一次函数图象如图： 由图象可知，当时，， 故答案为：． （3）解：由（1）知，该一次函数为， 与轴交于点，与轴交于点， 的图像与轴交于点，与轴交于点， 故两个一次函数图像与轴围成的三角形面积为， 即，或， 解得或． （4）解：如图所示，当围成的三角形面积大于8时， 且， 跟随训练3．如图，直线分别交x，y轴于，两点，直线分别交y轴、x轴于，B两点，直线，相交于点E，且点E的横坐标为4． (1)方程组的解是________，不等式组的解集是________． (2)求直线，与x，y轴围成的四边形的面积． (3)过点E的直线把三角形的面积平分，则该直线的表达式为________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先分别求出，的解析式，再根据一次函数与方程组和不等式组的关系求解； （2）根据割补法求解； （3）该直线经过的中点和点，通过待定系数法即可求出直线解析式. 【详解】（1）解：（1）由题意得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 由图象得：方程组的解是：， 不等式组的解集是：； 故答案为：，. （2）由（1）得：． ∴， （3）由（1）得，点坐标为：， ∵过点的直线把三角形的面积平分， ∴该直线经过的中点：， 设该直线解析式为：， 由题意得：，解得：， ∴该直线的解析式为：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一次函数与方程组、不等式组的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 05 过关•检测 1．如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出直线解析式，然后求出点坐标，根据直线与横轴的交点坐标即可得出不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ∴函数表达式为． 当时，， 解得， ， 由题图得，关于的不等式的解集为． 【点睛】重点掌握待定系数法和数形结合的思想． 2．一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是理解不等式的解集就是函数的图象在轴上方时的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点横坐标为2， ∴当时，， 又∵由图象可知该一次函数随的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为； 故选：C． 3．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 4．一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【详解】解：A．由一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得，即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数，y随x增大而增大，即；由一次函数，y随x增大而减小，即；则，故C选项错误，符合题意； D．由函数图像可得：当时，一次函数的图像在上方，即，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 5．如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了根据两直线的交点求不等式的解集．求出一次函数与的图象交于点，根据两直线的位置关系即可求出答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， ∴一次函数与的图象交于点， 由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：C 6．一次函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交点横坐标，结合图象写出解集即可． 【详解】解：根据图象可知：当时，的函数值小于5，且的函数值大于的函数值， ∴不等式的解集为． 7．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴相交于点M，则下列说法：①；②点M的坐标为；③；④当时，，其中所有正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】将点代入直线即可求出的值，再利用待定系数法即可求出直线的解析式，进而即可求出的坐标，利用三角形面积公式即可求出，由图象结合点坐标即可判断④． 【详解】解：将点代入直线得：， 解得，则说法①正确； ∴， 将点，代入直线得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为，则说法②正确； ∴， 又∵， ∴的边上的高为3， ∴，则说法③错误； 结合函数图象可知，时，直线的图象在直线图象上方，则，故说法④正确； 综上，所有正确的是①②④，D选项符合题意． 8．如图，直线（）经过点．当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式，熟练掌握相关内容是解题的关键； 先对不等式进行变形，再结合一次函数的性质以及点P在直线上求出x的取值范围． 【详解】解：解不等式 移项得 ∵ ∴ 则不等式系数化为1得 ∵点P在直线上 ∴ 移项得 把代入得 综上可得，x的取值范围为： 故选：D ． 9．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，平方差公式，勾股定理的知识点，掌握利用函数图像确定不等式解集的方法是解题的关键． 先利用平方差公式将已知条件转化，结合勾股定理求出的长度得到点的坐标，再根据判断直线走向，确定不等式的解集． 【详解】解：， ，即， ∴点的坐标为． 由图可知，不等式的解集为． 故答案为：． 10．如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握利用函数图象求解不等式的方法是解题的关键． 不等式等价于，观察一次函数图象，找到图象在轴上方时对应的的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴当时， ∵不等式即为 ∴从图象可知，当函数图象在轴上方时， ∴此时的取值范围是 ∴不等式的解集是 故答案为： ． 11．已知，如果＞0，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】根据函数表达式和不等式条件，解一元一次不等式即可得到 的取值范围。 本题考查一次函数与一元一次不等式．解答此题的关键是由题意列出不等式解此不等式． 【详解】解：由 且 ， 得不等式 ， 移项得 ， 两边同乘以，不等号方向改变，得 ， 故答案为： 12．若关于的不等式（）的解集为，则直线不经过第__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一次函数的图象性质，掌握由不等式解集确定的符号，结合一次函数图象性质判断象限是解题的关键． 由不等式解集条件确定与的正负，再根据一次函数图象性质判断直线所经象限． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴，且，即， ∴直线的斜率，截距， ∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：第四象限． 13．已知时，代数式的值恒大于，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．将代数式视为关于的一次函数 ，根据一次函数的单调性，结合的取值范围，分情况讨论 的符号，求出自变量的取值范围． 【详解】解：代数式可化为． 当，即 时，随增大而增大，需，即，解得，所以． 当，即 时，随增大而减小，需，即，解得，所以． 当，即 时，，恒成立． 综上所述，的取值范围为 ． 故答案为：． 14．一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【详解】解：不等式组的解集由图像可知满足且， 即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 15．如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值，根据两条直线的交点求不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当时，， 解得：， 由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故答案为：． 16．如图，一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会根据一次函数图象写出不等式的解集． 根据图象，确定的图象在图象下方的自变量取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数为常数，且的图象与直线都经过点， ∴时，， 故答案为：． 17．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 18．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，过点， ， 解得, ， 又过， ， 解得， ， 联立方程组得，， ， ； （2）由图象可得：当时，； （3）由（1）知，，， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ， 点坐标为； 当时，， ， 点坐标为； 综上，点坐标为或． 19．一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________；当____________时，； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】（1）联立解析式求出交点坐标，通过交点坐标确定不等式的解集； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴， 由图形可知，当时，； （2）解：设点的坐标为． ，且， ， 即， ， ∴点的坐标为或． 【点睛】掌握数形结合的思想． 20．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用数形结合思想解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3一元一次不等式与一次函数 （2知识点+5大题型+过关检测） 【题型1 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 2 【题型2 根据两条直线的交点求不等式的解集】 4 【题型3 一元一次不等式与一次函数的应用】 5 【题型4 一元一次不等式与一次函数有关的面积问题】 7 【题型5 一次函数与一元一次不等式综合】 9 1. 理解一元一次不等式与一次函数之间的内在联系，厘清函数值、自变量、不等式解集三者的对应关系，建立数形结合思维。 2. 掌握利用一次函数图象求解一元一次不等式解集的方法，能快速从图象中提取不等关系，读懂图象横纵坐标、交点、象限的几何意义。 3. 学会根据函数图象、函数解析式判断自变量取值范围、函数值大小关系，解决函数与不等式的综合求值、证明问题。 03 知识•梳理 知识点1:一次函数与一元一次不等式 1.定义 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）（k，b为常数，且k≠0）的关系 数：函数y=kx+b中，函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 形：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 2.拓展 直线=与直线的交点的纵坐标即为方程的解；不等式（）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. 特别解读： 利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 1. 将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； 2. 画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； 3. 根据函数图像确定对应不等式的解集. 知识点2:一元一次方程、一元一次不等式与一次函数综合 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案.常用的问题有购物问题、利润问题、支出问题等. 2.解答方案决策问题的一般步骤 （1）根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式=和. （2）根据之间的大小关系（＞或或），分情况求得相应的x的值或取值范围. （3）比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策. 特别提醒： 实际问题中，未知数（函数自变量）往往具有隐含条件，如表示物体个数时，要求必须都是非负整数，表示距离、时间、速度等，要求都是非负数，解题时一定要结合实际问题进行取值. 常见易错点 · 混淆y>0和y<0对应的左右区间，方向判断错误； · 忽略不等号是否含等号，实心/空心点使用错误； · 两直线比较大小时，误把纵坐标范围当横坐标范围； · 实际问题中，忽略自变量的实际意义（如非负数、正整数）； · 计算函数交点坐标时，解一元一次方程出错。 04 题型•汇总 【题型1 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 解题核心: 紧抓一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴交点（与y轴交点一般不直接用于解不等式），利用“图象上下位置对应函数值正负”的规律，快速锁定自变量范围。 【典例1】．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______． 跟随训练2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (2)若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围． 跟随训练3．如图，直线经过和两点，则不等式的解集为_____． 【题型2 根据两条直线的交点求不等式的解集】 解题核心: 两直线交点是函数值相等的临界点，以交点横坐标为分界，根据直线上下位置判断与的大小关系，进而得出不等式解集。 【典例2】．如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 跟随训练1．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解为__________． 跟随训练2．如图，已知直线与直线的交点横坐标为1，则关于的不等式的解集为_________． 跟随训练3．如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【题型3 一元一次不等式与一次函数的应用】 解题核心: 将实际问题转化为一次函数模型，通过比较函数值大小列不等式，解决决策、计费、最值等实际问题，贴合生活场景，注重数形结合与实际意义检验。 【典例3】．大山开车从A地出发前往B地，同时小李从B地出发前往A地，出发一段时间后，小李将车速提高为原来的2倍，如图，图象分别表示两人与A地的距离和行驶时间之间的函数关系． (1)求小李提速后与A地的距离和行驶时间之间的函数表达式； (2)何时大山与B地的距离大于小李与B地的距离？ 跟随训练1．小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 跟随训练2．【阅读材料】某校七年级数学综合实践组计划在寒假开展数学阅读与实践活动，准备购买两类书作为学习资料：类是几何模型拼装手册（单价22元/本），类是代数思维闯关卡（单价16元/本）．组长确定了两个购买要求：两类书都要有，且需满足“类数量是类的2倍少3本”．就此，小天提出了几个数学问题． 【问题解决】若设购买类书为本（为正整数），解决以下问题： (1)用含的代数式表示类书的数量；并计算两类书的总费用． (2)下列关于购买方案的描述，正确的有（   ） A．当时，类书数量为5本，总费用为174元 B．两类书总费用的表达式也可写为 C．若要求类书数量不少于5本，则的最小值为4 D．若两类书总费用调整为230元，不存在一种可行的购买方案使得费用恰好用完 (3)小天发现，如果购买类书的数量每增加1本，则两类书总费用增加存在一定的规律，用代数式把这个规律表达出来． 跟随训练3．某地区两类专车的打车方式： 星驰专车 安驰专车 里程费 元千米 元千米 时长费 元分钟 元分钟 远途费 元千米（超过千米部分） 无 起步价 无 元 星驰专车：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程千米以内（含千米）不收远途费，超过千米的，超出部分每千米加收元． 安驰专车：车费由里程费、时长费、起步价三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长按行车的实际时间计算；起步价与行车距离无关． 解决问题：（假设行车过程没有停车等时，且平均车速为千米分钟） (1)小明在该地区出差，乘车距离为千米，如果小明使用星驰专车，需要支付的打车费用为_____元； (2)小强在该地区从甲地乘坐安驰专车到乙地，一共花费元，求甲乙两地距离是多少千米？ (3)两类专车为了竞争客户，分别推出了优惠方式，星驰专车对于乘车路程在千米以上（含千米）的客户每次收费立减元；安驰打车车费折优惠．对采用哪一种打车方式更合算提出你的建议． 【题型4 一元一次不等式与一次函数有关的面积问题】 解题核心: 先根据函数图象与坐标轴围成三角形（或其他图形），结合不等式解集确定图形的边长、高，利用面积公式列不等式求解参数或自变量范围。 【典例4】．如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 跟随训练1．如图1，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动到点B停止，同时点以每秒0.5个单位的速度，从点A运动到点C，点P停止时点停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为，的面积为．    (1)直接写出，分别关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 跟随训练2．我们已经学过一次函数，下面我们参照学习一次函数的过程与方法，探究函数的图像与性质． 【操作发现】 （1）下表是该函数部分的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． …… 0 1 2 …… …… 6 4 2 0 2 4 6 …… 结合函数图像，下列说法错误的是：____________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 （2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的取值范围为_____________________； 【拓展提高】 （3）①若关于的方程有两个不同的解，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，新函数的图像记为，直线与交于、（点在点左侧）两点，轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出的周长，若不存在，请说明理由． 跟随训练3．小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 【题型5 一次函数与一元一次不等式综合】 解题核心: 融合函数解析式求解、交点计算、图象分析、不等式解集、参数求值等多个考点，综合性强，需分步拆解、数形结合，步步有据推导。 【典例5】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．    (1)填空： ______， ______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若，请直接写出的取值范围______． 跟随训练1．如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 跟随训练2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (3)若该一次函数的图象、函数（为常数，）的图象和轴所围成的三角形的面积等于8，求出的值． (4)在第（3）的条件下，若此时围成的三角形面积大于8，请直接写出的取值范围______． 跟随训练3．如图，直线分别交x，y轴于，两点，直线分别交y轴、x轴于，B两点，直线，相交于点E，且点E的横坐标为4． (1)方程组的解是________，不等式组的解集是________． (2)求直线，与x，y轴围成的四边形的面积． (3)过点E的直线把三角形的面积平分，则该直线的表达式为________． 05 过关•检测 1．如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 5．如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．一次函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴相交于点M，则下列说法：①；②点M的坐标为；③；④当时，，其中所有正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 8．如图，直线（）经过点．当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为____________． 10．如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是________． 11．已知，如果＞0，则的取值范围是______________． 12．若关于的不等式（）的解集为，则直线不经过第__________象限． 13．已知时，代数式的值恒大于，则的取值范围为_____． 14．一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 15．如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 16．如图，一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是__________． 17．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 18．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 19．一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________；当____________时，； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 20．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 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