专题2.3 一元一次不等式与一次函数（1大考点+5大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.3一元一次不等式与一次函数 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1：利用一次函数的图象得到一元一次不等 式的解集 知识清单 题型01由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 一元一次不等式与 题型02根据两条直线的交点求不等式的解集 一次函数 题型03一次函数与一元一次不等式综合问题 题型精讲 题型04一次函数与一元一次不等式、方程的综 合问题 题型05含绝对值的函数与一元一次不等的综合 问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解一元一次不等式与一次函数的内在联系，能借助一次函数的图象求解一元一次 不等式。 教学目标 2.掌握通过比较函数值大小，将不等式问题转化为函数图象位置关系的数形结合方法。 3.能够综合运用函数图象与不等式解法，解决含参数的实际应用问题，发展几何直观 与代数推理能力。 重点： 1.利用一次函数图象直观地求解一元一次不等式，理解“看图象，找解集”的方法。 2.掌握“解不等式(ax+b>O)”与“求函数y=ax+b)图象在x轴上方部分”的等价 转化。 教学重难点 教学难点： 1.理解“函数值大于0”与“图象在x轴上方”之间的对应关系，并能进行双向转化。 2.在实际问题中，根据题意建立函数关系与不等式，并借助图象分析得出符合情境的 解。 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 ☑知识点1：利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (I)一元一次不等式a+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合 (2)一元一次不等式a+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合 (3)一元一次不等式x+b1>2+b2的解集，一次函数y=kx+b1图象在一次函数y=x+b2图象上方的点的横 坐标所组成的集合 (4)一元一次不等式x+b1<2x+b2的解集，一次函数ykx+b1图象在一次函数y=x+b2图象下方的点的横 坐标所组成的集合， 【即学即练】1.(25-26八年级上广西贺州期中)如图，已知直线4：y=c+b与直线2：y=- x+m都 21 经过C-55》 68 直线交y轴于点B(0,4),交x轴于点A,直线交y轴于点D,以下说法错误的是() B D 6 y=kx+b x=- A.△ABD的面积为3 B.方程组 1 y=-x+m 的解为 8 2 y= C.点0的坐标为0 D.当x>-6时，x+b>-x+m 2 2.(25-26九年级上贵州六盘水期中)如图，一次函数y,=x+b和y2=kx-1的图象交于点(-2,1). Vi=x+b y2=kx-1 (1)求出k= ;b= (2)求方程组 y=x+b 5=在的解。 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)请直接写出x+b>1的解集. 题型精讲 题型01由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例1】(2026九年级·全国·专题练习)若一次函数y=x+b的图象如图所示，则关于x的不等式 3 kx+。b>0的解集为 2 0 2 【变式1】(24-25八年级上·浙江温州月考)如图是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象，当y<0时，x的取值 范围是 【变式2】(24-25八年级下·陕西榆林·期末)如图，直线y=x+b(k,b为常数，且k≠0)经过A(0,2)和 B(-6,0)两点，则关于x的不等式组0<kx+b<2的解集为一· B 【变式3】(25-26八年级上江苏泰州期末)(1)己知一次函数y=x+b的图象经过A(0,1),B(2,0)两点， 则当x 时，y≤0. (2)如图是一次函数y=x+b的图象，则关于x的不等式kx+b>0的解为 3/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 题型02根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例2】(25-26八年级上江苏宿迁·月考)如图，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=-2x+1相交于点P,则 关于x的不等式x+b<-2x+1的解集是_ -2+1 1 y=kx+b -10 【变式1】(25-26八年级上·陕西西安期末)如图所示，一次函数y=ax+b与y2=cx+d的图象交于(3,2)， 则关于x的一元一次不等式cx+d<ax+b的解集是 y2=cx+d 3 y=ax+b 【变式2】(25-26八年级上浙江嘉兴期末)如图，已知直线y=2x+n与直线y=x+3的交点横坐标为1， 则关于x的不等式2x+n-3>x的解集为 y=2x+n y2=r+3 01 【变式3】(24-25八年级下陕西渭南期末)一次函数y,=kx+b(k,b为常数，且k≠0)和一次函数 y2=k,x+b,(k,b为常数，且k2≠0)在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标 为3，-2)，则关于x的不等式kx+b,>kx+b2的解集是_ 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 v2kx+b2 y=kix+b1 C 题型3一次函数与一元一次不等式综合问题 【典例3】(25-26八年级上·安微徽安庆·期末)如图，已知直线y=2x+b和直线y2=kx-1相交于点P(-2,-2), 直线y=2x+b分别与x轴和y轴相交于点A和点B,直线2=kx-1与x轴交于点C. y=2x+b 2=kx-1 (-2,-2)P (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组kx-1<2x+b<0的解集· 【变式1】(24-25八年级上江苏苏州·月考)如图，过点A4,0)的直线l:y,=kx+b(k≠0)与直线 l3:y2=x+3交于点P(1,a. A (①)求直线对应的函数表达式： (2)当y>y2时，x的取值范围是 【变式2】(25-26八年级下·全国·周测)如下图，在平面直角坐标系中，直线4：y= 2+1与x轴交于点A 1 ,与直线：y=x+m交于点B3n直线马分别与x轴、y轴交于点C,D,连接4D. 3 8 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 0根据图象直接写出关于x的不等式- 4x+m>)x+1的解集」 2 (2)求△ABD的面积. 【变式3】(25-26八年级上·安徽合肥·期末)如图，正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=c+b的图象交 于点P(-1,m),一次函数图象经过点B1,1),与x轴的交点为C. y=-3x y=kx+b (I)求m,k,b的值： (2)不等式kx+b>-3x的解集为： 题型04一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 【典例4】(24-25九年级上山东临沂·开学考试)在如图所示的坐标系下， y -5-4-3-2-1012345x (1)画出函数y=-x+4与y=x-2的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组 x+y=4 x-y=2 (3)不等式-x+4>x-2 【变式1】(24-25八年级上安徽六安阶段练习)如图，直线：月=x+1与直线4：y2=mx+n相交于点 P(a,2). 6/15 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求a的值： 2)写出方程组y=x+1 的解； y=mx+n (3)写出>y2>0时，x的取值范围. 【变式2】(24-25九年级上全国课后作业)如图，一次函数y=ax+b的图象与x、y轴分别交于B,A两点， 与正比例函数y=交于点P. -Ih (1)关于x的方程ax+b=0的解是 y=ax+b (2)关于x,y的二元一次方程组 的解为 [y=kx 一，关于x的不等式kx>ax+b的解集为 (3)关于x的不等式ax+b>0的解集为 不等式ar+b<4的解集为 【变式3】(24-25七年级下山东烟台期末)如图，直线4：y=2x+1与直线：y=mx+4相交于点P1,b), 与x轴分别交于A,B两点. y=2x+1 y=mx+4 、B 2x-y=-1 (1)求b,m的值，并结合图象写出关于x,y的方程组 (mr-y=4的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式2x+1≥mx+4的解集； (3)求△ABP的面积： (4)垂直于x轴的直线x=a与直线4，分别交于点C,D,若线段CD的长为3，直接写出a的值。 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型05含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题 【典例5】(25-26八年级上江苏南京·月考)通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数 图象研究函数的性质.对函数y=2x-的图象与性质进行了探究. % 8 7 5 3 6-54-32-19 12.34.5.6x (1)当a=1时， ①化简函数的表达式： 当x≥时，y= 当x<时，y明 ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： ③函数y=2x-1的图象可由y=2x的图象向平移 个单位得到； (2)结合图象，关于函数y=2x-的图象与性质，下列说法正确的有 A.图象经过第一、二象限 B.x>0时，y值随x值的增大而增大 C.图象关于直线x=g对称 2 D.若a>0,当-a≤x≤a时，0≤y≤3a (3)对于任意的1<x<3都满足关于x的不等式2x-a<x+2,请直接写出实数a的取值范围. 【变式1】(25-26八年级上江苏南京·月考)小明根据学习函数的经验，对函数y=-2x-4+3的图像与性 质进行了探究，并尝试解决了相关问题，下面是小明的探究过程，请补充完成： 8/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 8 6 8 6=4=2 0 6 8 (1)当x=4时，y=-2x-4+3=3: 当x<4时，y=-2x-4+3= 当x>4时，y=-2x-4+3= (2)在平面直角坐标系中画出y=-2x-4+3的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质。 (3)直接写出关于x的方程-2x-4+3=kx+6(k为常数，k≠0)解的个数及对应k的取值范围. 【变式2】(25-26八年级上·山东青岛期末)阅读、思考与问题解决 下面是小铭在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、增减性、对称性等角度分析.例如，一次函数y=x一2的图 象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③少y值随x值 的增大而增大；事实上，一次函数y=x-2的图象可以看成将直线y=x向下平移2个单位长度得到. 将一次函数y=x-2的表达式中添加绝对值符号，再向上平移1个单位长度，得到一个新函数y=x-2+1. 我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象. ①列表： -2 -1 0 2 3 4 y 5 3 ③在图②中描点、连线： 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 3 2 2 5-4-3-21,0y345 -5-4-3-2-1, 012345 r--4- 3 5 5 ① ② (1)请将文中描点、连线的过程补充完整： (2)请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；(包括端点) ③关于x的方程x-2+1=5的解是 ④若y=x-2+1的图象与直线y=x+3(k≠0)只有一个交点，直接写出k的取值范围， 【变式3】(24-25八年级上江苏扬州·月考)小亮根据学习函数的经验，对函数y=-x-2+3的图像与性质 进行了探究，并尝试解决了相关问题.下面是小亮的探究过程，请补充完成： A 6 -4 -3 -2 6-5-4-32-1Q 123456 (1)当x=2时，y=-x-2+3=3; 当x<2时，y=-k-2+3=: 当x>2时，y=-x-2+3= (2)在平面直角坐标系中画出y=-x-2+3的图象（无需列表），并根据图像回答：该函数有 (填“最 大值或最小值”)，这个值为 (3)直接写出关于x的方程-x-2+3=x+4(k为常数且k<0)的解的个数及对应k的取值范围. 10/15 专题2.3 一元一次不等式与一次函数 教学目标 1. 理解一元一次不等式与一次函数的内在联系，能借助一次函数的图象求解一元一次不等式。 2. 掌握通过比较函数值大小，将不等式问题转化为函数图象位置关系的数形结合方法。 3. 能够综合运用函数图象与不等式解法，解决含参数的实际应用问题，发展几何直观与代数推理能力。 教学重难点 重点： 1. 利用一次函数图象直观地求解一元一次不等式，理解“看图象，找解集”的方法。 2. 掌握“解不等式 \(ax+b>0\)”与“求函数 \(y=ax+b\) 图象在x轴上方部分”的等价转化。 教学难点： 1. 理解“函数值大于0”与“图象在x轴上方”之间的对应关系，并能进行双向转化。 2. 在实际问题中，根据题意建立函数关系与不等式，并借助图象分析得出符合情境的解。 知识点1：利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 【即学即练】1．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．A、求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；B、根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；C、依据题意，由直线为可得与y轴的交点坐标，即可得解；D、依据题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围，结合直线：与直线：都经过，从而可以判断得解． 【详解】解：A．把代入直线，则， 解得， 在中，令，则 ， ∴， ∴， ∵直线经过，交y轴于点， 把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在直线：中，令，则 ， ∴， ∴， ∴，故A正确； B．∵直线：与直线都经过， ∴方程组的解为故B正确； C．由题意，∵直线为， ∴令，则． ∴，故C错误； D．由题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围， 又∵直线：与直线：都经过， ∴结合图象可得，不等式的解集是，故D正确． 故选：C． 2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，一次函数和的图象交于点． (1)求出______；______． (2)求方程组的解． (3)请直接写出的解集． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）交点的横纵坐标即为方程组的解； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，两直线的交点为， 把代入，得：，解得； 把代入，得：，解得； （2）∵两直线的交点为， ∴方程组的解为； （3）由图象可知：的解集为． 题型01 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例1】（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．由图象可知，经过点，然后求出，再代入得，最后解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，，经过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·月考）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，注意数形结合；由图象知，图象位于x轴下方时自变量的取值范围即为所求． 【详解】解：当时，函数图象位于x轴下方， 由图象知，此时； 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）（1）已知一次函数的图象经过两点，则当x 时，． （2）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质， （1）利用待定系数法把点代入，可得关于k、b的方程组，再解出方程组可得k、b的值，进而得到函数解析式，再解不等式即可； （2）根据当时，图象在x轴上方，此时，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过两点， ∴， 解得：， 这个一次函数的表达式为． 解不等式， 解得． 故答案为：； （2）解：由题意可得：一次函数中，当时，图象在x轴上方，， 则关于x的不等式的解是， 故答案为：． 题型02 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象的位置关系确定不等式的解集． 不等式的解集，对应直线的图象在直线图象下方时的取值范围；结合两直线交点，确定该取值范围． 【详解】解：不等式的解集，即直线在直线下方时的取值范围． 由图知，两直线交于，当时，的图象在的图象下方． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，一次函数与的图象交于，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，熟练掌握函数图象之间的关系是解题的关键．根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解： 要使得，即需一次函数的图象在的图象的下方， 由函数图象可知，关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知直线与直线的交点横坐标为1，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可得到该不等式的解集． 【详解】解：， ，即为， ∵直线与直线的交点横坐标为1， ∴由图象可得，的解集为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标为，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 题型03 一次函数与一元一次不等式综合问题 【典例3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 【答案】(1)直线为，直线； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，过点的直线与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当时，x的取值范围是________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图象求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求，结合确定解析式即可． （2）根据交点坐标，结合图象确定解集即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵直线经过、， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵直线：与直线：交于点，且， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线在上方的区域，直接得出不等式的解集； （2）先将点代入​求出其坐标，再代入求出得到的解析式，找到相关点的坐标后，将的面积拆分为两个三角形的面积和进行计算． 【详解】（1）解：直线与交于点，且不等式表示的函数值大于​的函数值． 则关于的不等式的解集为． （2）解：把代入，得， ． 把代入，得，解得， 直线的函数解析式为． 如图，设直线与轴交于点． 对于，令，则， ． 对于，令，则， ； 令，则，解得， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：． 题型04 一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 【典例4】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】图象法解二元一次方程组、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及二元一次方程组，属于基础题，关键是正确作出图象，根据图象进行求解． （1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可； （2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组的解； （3）由图象可知，不等式的解集为：． 【详解】（1）解：对于函数， 当，， 当，，解得：， ∴直线与两坐标轴交点为， 同理可求直线与两坐标轴交点为， ∴可画图象如图所示： （2）解：由图象可知：两直线的交点为， ∴方程组的解为：； （3）解：由图象可知：不等式的解集为：． 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为3，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)2或0 【知识点】一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是待定系数法求函数解析式． （1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值，从而求得P点的坐标，进而求得方程组的解； （2）结合两个函数图象解题即可． （3）先求出点A、B的坐标，然后根据计算面积； （4）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵点在直线：， ∴， ∵点在直线：， ∴， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． （2）由（1）可知：，：， 要使不等式，则的函数图象在函数图象的上面， 结合函数图象可知此时， 故不等式的解集为：． （3）令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴． （4）当时，；当时，， ∵， ∴， 解得：或． ∴a的值为2或0． 题型05 含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题 【典例5】（25-26八年级上·江苏南京·月考）通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)①，；②图见解析；③右，0.5 (2)A、C、D (3) 【分析】本题考查的是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据绝对值的代数意义去掉绝对值即可； ②根据一次函数的图象特征和自变量x的取值范围不同，确定三个点即可画出该函数图象； ③画出函数的图象，结合图象得出平移方式即可； （2）根据函数的图象进行性质判断即可； （3）根据题意画出图象，结合图象求出的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，； ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： ③函数，当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： 由图可知，函数的图象可由的图象向右平移0.5个单位得到； （2）解：结合图象，函数的图象经过第一、二象限； 当时，， 解得：， ∴时，值随值的增大而增大；图象关于直线对称； 函数当时，有最小值为0， 若，当时，， 当时，， ∴若，当时，； 故说法正确的有：A、C、D； （3）解：当时，函数； 当时，函数， 把，代入， 解得：或； 把，代入， 解得：或； 结合上图，当的图象根据a的不同，在坐标系中左右平移时，对于任意的都满足关于x的不等式， 则的图象的两个临界情况分别是右侧分支经过点和左侧分支经过点， 即的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小， 当时，对于任意的都满足关于x的不等式， ∴a的取值范围为． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题，下面是小明的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时，______． 当时，______． (2)在平面直角坐标系中画出的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质． (3)直接写出关于x的方程（k为常数，）解的个数及对应k的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析；性质1：当时，y随x的增大而减小；性质2：函数图象关于直线对称（答案不唯一） (3)当或时，关于x的方程（k为常数，）没有解；当或或时，关于x的方程（k为常数，）有1个解；当时，关于x的方程（k为常数，）有2个解． 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，写出对应范围内的函数关系式即可； （2）根据题意，画出图象，再结合图象写出两条性质即可； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 当时，； 当时，． 故答案为：，； （2）解：函数图象如图所示， 性质1：当时，y随x的增大而减小； 性质2：函数图象关于直线对称（答案不唯一）； （3）解：由题知， 函数过定点． 将代入得，， 解得， 所以当时，关于x的方程（k为常数，）有1个解； 当时，关于x的方程（k为常数，）没有解； 当时，关于x的方程（k为常数，）有2个解； 当时，关于x的方程（k为常数，）有1个解； 当时，关于x的方程（k为常数，）没有解； 当时，关于x的方程（k为常数，）有1个解， 综上所述，当或时，关于x的方程（k为常数，）没有解；当或或时，关于x的方程（k为常数，）有1个解；当时，关于x的方程（k为常数，）有2个解． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）阅读、思考与问题解决 下面是小铭在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、增减性、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③y值随x值的增大而增大；……事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中添加绝对值符号，再向上平移1个单位长度，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 4 … ③在图②中描点、连线：    (1)请将文中描点、连线的过程补充完整； (2)请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是____________； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是____________；（包括端点） ③关于x的方程的解是____________． ④若的图象与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②；③或；④或 【分析】本题主要考查画一次函数的图象，一次函数与不等式的应用，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据表格描点，依次连线，即可； （2）①由函数图象进行解答即可；②由函数图象进行解答即可；③对绝对值方程进行求解即可；④根据函数将分为当时和当时，分别求解进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格，描点，依次连线，如下图， （2）解：①由函数图象可得，该函数图象的最低点的坐标是， 故答案为：； ②由函数图象可得，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是， 故答案为：； ③ 或 解得或， 故答案为：或； ④当时，，将与联立， 得 ， 若， 解得， ∵， ∴当时，，则 解得，则其取值范围为； 当时，，则（不满足），无解． 当时，，将与联立， 得 ， 若，解得，即恒有一个交点． 若，方程变为，左支与直线重合，有无数交点（不符合题意）； ∴当时，的图象与直线有两个交点， ∴当或时，的图象与直线只有1个交点． 【变式3】（24-25八年级上·江苏扬州·月考）小亮根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小亮的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时，______； 当时，______； (2)在平面直角坐标系中画出的图象（无需列表），并根据图像回答：该函数有______（填“最大值或最小值”），这个值为______． (3)直接写出关于x的方程（k为常数且）的解的个数及对应k的取值范围． 【答案】(1)， (2)画图见解析，最大值，； (3)当或时，关于的方程（为常数且）有1个解，当时，关于的方程（为常数且）有2个解，当时，关于的方程（为常数且）无解. 【分析】本题考查的是画一次函数的图象，一次函数的性质，利用图象法求解一次方程的解. （1）根据绝对值的性质化简即可. （2）根据一次函数的解析式，利用描点法画图即可；①根据图象可得函数最大值；②根据函数图象可得增减性. （3）根据（为常数且）过定点，再利用图象法求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，. （2）解：的图象如图所示： 该函数有最大值，这个值为； （3）解：∵（为常数且）过定点， 当直线与直线平行时，如图， 此时，关于的方程（为常数且）有1个解， 如图，当时， 此时关于的方程（为常数且）有1个解， 如图，当直线过时， ∴， 解得：， 此时关于的方程（为常数且）有1个解， 当时，如图， 此时关于的方程（为常数且）有2个解， 当时，如图， 此时关于的方程（为常数且）无解， 综上：当或时，关于的方程（为常数且）有1个解; 当时，关于的方程（为常数且）有2个解; 当时，关于的方程（为常数且）无解. 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是理解不等式的解集就是函数的图象在轴上方时的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点横坐标为2， ∴当时，， 又∵由图象可知该一次函数随的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为； 故选：C． 2．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据图象可得，两直线交点的横坐标为1，即可得到当时，的取值范围． 【详解】解：由图象可得，两直线交点的横坐标为1， ∴当时，的取值范围为， 故选D． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 4．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系问题，利用数形结合思想求解一元一次不等式是解决本题的关键． 根据一次函数与一元一次不等式的关系问题，分析图象，即可得出答案． 【详解】解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分， 从图中可以看出的范围是． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，根据两条直线的交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据两条直线在交点两侧的位置回答即可． 【详解】解：函数和的图像交于点， 在直线右侧，直线在直线的上方，即， 不等式的解集为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）一次函数与的图像如图，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据图像法解不等式． 直接根据图像求解即可． 【详解】解：由图像可得，当时，的图像在的图像的下方， 关于的不等式的解集为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论是 ．(填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．也考查了一次函数的性质和一次函数与一元一次方程． 直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与的图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴，所以①正确； ∵一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ∴， ∴，所以②错误； ∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴时，，所以③正确； 把代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，， ∴当时，，所以④正确． 故答案为：①③④． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论： ①； ②； ③不等式的解集是； ④当时，． 其中正确的是 ．    【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数的性质以及一次函数与一元一次不等式的关系．根据正比例函数与一次函数的图象性质，通过观察图象的位置判断、的正负，根据函数图象的位置关系确定不等式的解集以及的正负情况． 【详解】①由图象可知正比例函数的图象从左到右下降，根据正比例函数的性质，当时，图象从左到右下降，所以，故①错误； ②一次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，根据一次函数的性质，当时，图象与轴交于正半轴，所以，故②正确； ③不等式的解集是就是正比例函数的图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，由图象可知，此时，故③正确； ④当时，，，根据有理数乘法法则，异号得负，所以，故④正确； 故答案为：②③④． 三、解答题 11．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为C． (1)求一次函数表达式； (2)点C的坐标为________，不等式的解集为________； 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将点代入，求出m，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点为， ， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：；． 12．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图在平面直角坐标系中，直线与直线交于点P，直线与直线分别与x轴相交于点A、B． (1)求点P的坐标； (2)当时，x的取值范围为______； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了两条直线相交的问题． （1）依据题意，可得方程组，计算即可得解； （2）依据题意，由当时，的函数图象在上方，结合，即可判断得解； （3）依据题意，分别求出A、B的坐标，再结合，进而可以计算得解． 【详解】（1）解：∵， 解得， ∴； （2）解：∵当时，的函数图象在上方， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴令，则， ∴， 又对于，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式． (2)求的面积． (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）将点，分别代入两个解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接,先求得的坐标，进而根据，即可求解． （3）根据不等式组的解集是一次函数在下方，且在轴下方部分对应的自变量的取值范围，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，直线和直线相交于点， ，． ，． 直线为，直线． （2）如图，连接． 直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点， 对于，当时，，当时，， 对于，当时， ，，． ，． 又， ． （3）由题意得，不等式组的解集是一次函数在下方，且在轴下方部分对应的自变量的取值范围， 结合函数图象可得，． 14．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，一次函数和的图象交于点． (1)求出______；______． (2)求方程组的解． (3)请直接写出的解集． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）交点的横纵坐标即为方程组的解； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，两直线的交点为， 把代入，得：，解得； 把代入，得：，解得； （2）∵两直线的交点为， ∴方程组的解为； （3）由图象可知：的解集为． 15．（23-24八年级下·吉林·期末）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——绘制函数图象——研究函数性质——运用性质解决问题”的学习过程．类比这种研究函数的一般方法研究函数的性质及应用，请根据下表信息，按要求完成下列各小题． (1)，___； (2)请在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)请结合图象判断下列关于该函数的性质说法是否正确(正确的打√，错误的打×)； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴；(    ) ②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．(    ) (4)在同一平面直角坐标系中再画出函数的图象，结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①√；②√ (4) 【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． （1）把代入，根据待定系数法即可求得，将和分别代入函数即可求解出； （2）利用描点法画出图象； （3）观察图象即可判断； （4）求得交点坐标，根据图象即可求得结论． 【详解】（1）∵函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的表达式是； ∴当时，， ∴，， 故答案为：，． （2）函数的图象如图所示： （3）①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．正确； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，正确； 故答案为：√；√； （4）在同一平面直角坐标系中画出直线与函数的图象，如图 把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， 根据图象可知，不等式的解集是． 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $