1.5角平分线（3知识点+7大题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

1.5角平分线 （3知识点+7大题型+过关检测） 【题型 1】利用角平分线的性质求值 3 【题型 2】利用角平分线的性质证明 5 【题型 3】利用角平分线的性质与角平分线作图求值证明 12 【题型 4】利用角平分线的判定求值 17 【题型 5】利用角平分线的判定证明 21 【题型 6】利用角平分线的判定与尺规作图求值证明 29 【题型 7】角平分线的性质的实际应用 35 1.理解并熟记角平分线的性质定理和判定定理，厘清定理的条件和结论，区分性质与判定的应用场景。 2.能灵活运用角平分线的性质、判定进行线段求值、角度计算、几何证明，规范推理过程，做到步步有据。 3.学会结合尺规作图、几何图形性质，解决角平分线相关的综合证明与实际应用问题，提升逻辑推理和数形结合能力。 03 知识•梳理 知识点1：角平分线的性质定理 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等 几何语言 ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴PD=PE. 核心要点 · 两个前提：点在角平分线上；点到角两边的垂线段（垂直是关键）； · 作用：直接证明线段相等，无需证全等，简化推理过程。 知识点2：角平分线的判定定理 文字语言 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 几何语言 ∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 核心要点 · 适用范围：角的内部（角外部点不满足）； · 作用：证明角相等、射线是角平分线，确定角平分线位置。 性质与判定的区别 定理 条件 结论 用途 性质定理 点在角平分线上 点到角两边距离相等 证线段相等、求线段长度 判定定理 点到角两边距离相等 点在角平分线上 证角相等、证射线是角平分线 常用辅助线 遇到角平分线，立即过角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段，为全等、求值、证明创造条件。 知识点3：三角形的角平分线性质定理 1.性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 2.几何语言 如图，在△ABC中，AD,BM,CN分别是∠BAC,∠ABC，∠ACB的平分线，AD,BM,CN交于一点O，且点O到三边BC,AB,AC的距离（OE,OG,OF的长）相等，即OE=OG=OF. 特别解读 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 常见易错点 · 忽略“垂直”条件，直接用角平分线得线段相等； · 判定定理忘记“角内部”的前提； · 尺规作图痕迹缺失、步骤不规范； · 混淆性质和判定的推理顺序，因果倒置。 解题通法：角平分线，垂线连；性质判，线段等；证相等，用性质；证平分，用判定；作图题，痕迹全。 04 题型•汇总 【题型 1】利用角平分线的性质求值 解题方法： 找角平分线，过线上点作角两边的垂线； 用性质得垂线段相等，转化线段长度； 结合勾股定理、面积公式、线段和差求数值。 【典例1】．如图，在中，，是的角平分线，过点D作于点E．若，，则的周长为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质得到，再通过证明三角形全等得到，最后根据三角形周长的定义求出的周长． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 跟随训练1．如图，，，，若，则___________． 【答案】4 【分析】过P点作于E，再利用平行线的性质得到，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到，根据角平分线的性质得到，从而得到的长． 【详解】解：过P点作于E，如图， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 跟随训练2．如图，在中，平分，交于点，垂足为点E，若，则的长为（） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两条边的距离相等．”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴． 跟随训练3．如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用角平分线的性质证明． 先利用角平分线的性质证明，由全等三角形的性质得，最后由即可得解． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， 的周长． 故选：． 【题型 2】利用角平分线的性质证明 解题方法： 作垂线，应用性质得相等线段； 结合全等三角形、等腰三角形、线段相等关系推导结论； 规范书写推理过程，标注定理依据。 【典例2】．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为5． 跟随训练1．如图，已知四边形中，对角线、交于点，，，，则下列说法∶；②；③若平分，则；④若，，则的面积为；其中正确结论的序号是_____． 【答案】①②③ 【分析】①由得四点共圆，结合推出； ②利用对顶角相等和直角三角形的角互余关系推导； ③延长交延长线于，先证得，再证，结合等腰三角形性质得； ④通过构造辅助线 + 利用已知角度和三角函数建立边长关系来求解． 【详解】解：已知：，，，故，为等腰直角三角形，． ①， 四点共圆（对角互补的四边形内接于圆）． ， ， （同弧所对的圆周角相等）． 故①正确． ②由①已知四点共圆 ∴（同弧所对的圆周角相等）． 如图所示： 故②正确． ③延长交的延长线于点． 平分， ． ， ， 又， ， ，即． ，，， ， ． ． 故③正确． ④ 过 作 于 ，由 ，得 ． ∵， ∴，， 设 ，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解并检验得：，即， ∴， 故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质及三角函数，核心思想为数形结合与转化思想，解题关键是利用的条件，构造四点共圆或全等、相似三角形来逐一验证结论． 跟随训练2．如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由，，可得，根据作图可知，即可判断①；证明可得，，，可判断②；设，则，利用含角的直角三角形的性质可判断③；求出，再根据勾股定理求出可判断④． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形，故①正确，不符合题意； 由作图可知平分， ， ，， ， ， ， ， 又， 垂直平分线段，故②正确，不符合题意； 设，则， ， ，即， 解得：， ，故③正确，不符合题意； ， 在中，，故④错误，符合题意； 综上，错误的有1个． 跟随训练3．如图，四边形中，平分，，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明△，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，再证，可得，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 【题型 3】利用角平分线的性质与角平分线作图求值证明 解题方法： 先按尺规作图步骤画出角平分线，保留痕迹； 结合作图得到的角平分线，应用性质作垂线、得相等线段； 完成求值或证明，兼顾作图规范与推理严谨。 【典例3】．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧在的内部相交于点．作射线交于点．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点和点．分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．连接交于点．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了作图—角平分线和垂线、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质，理解题意是解决本题的关键． 由作图可得，是的角平分线，，则根据角平分线的性质，证明，可得，进而即可求解． 【详解】解：由作图可得，是的角平分线，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为 ． 又∵，且， ∴， ∴ ． 故选：B． 跟随训练1．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B两点为圆心，相同长度（大于的长度）为半径作弧，两弧分别交于点P，Q；②作直线；③以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；④分别以点D，E为圆心，相同长度（大于的长度）为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线，交于点M，则的值为（   ） A．102 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、中垂线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握角平分线、垂直平分线的性质是解题的关键．根据三角形的内角和定理，得到，根据作图步骤，为角平分线，为的垂直平分线，所以，，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图知，平分 ，， ∴，， ∴． 故选：B． 跟随训练2．如图，在中，，，按以下步骤作图． ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点； ④以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N； ⑤分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于点． 若，则的长是_____． 【答案】8 【分析】过点作的延长线于点，由题中的作图步骤得平分，垂直于线段，所以，所以，由得，所以，由含的直角三角形的性质得，设，则，由勾股定理得，解得，所以． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 由题中的作图步骤得平分，垂直于线段， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：（负根已经舍去）， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了作图—角平分线，垂线，角平分线的性质定理，含的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 跟随训练3．如图所示，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③画射线，交于点． (2)能说明的依据是_______（填序号）． ①；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等 (3)若，，，过点作于，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)5 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线； （1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）作的平分线的正确顺序是②①③ （2）解：能说明的依据是①；如图所示，连接，． 在和中， ， 故选：①． （3）解：如图所示，过点作于点． ，，， ． ， 即， ， 解得． 【题型 4】利用角平分线的判定求值 解题方法： 找角内部一点到两边的垂线段，证明垂线段相等； 用判定得角平分线，推出角相等； 结合角度和差、三角形内角和求角度。 【典例4】．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，由角平分线的性质得到是的外角的平分线是解题的关键． 由角平分线的性质可得点D到直线，的距离相等，即是的外角的平分线，进而列式得到，则，故． 【详解】解∵的平分线与的外角的平分线相交于点D， ∴点D到直线，的距离相等，点D到直线，的距离相等， ∴点D到直线，的距离相等， ∴是的外角的平分线， ∵ ， ， ． 故选：D． 跟随训练1．如图，在中，，为延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质以及判定，解题的关键是正确作出辅助线求解． 过点分别作直线的垂线，垂足为，先由等边对等角以及三角形内角和定理求解，以及可求，再证明平分，然后由角平分线的定义求解，，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作直线的垂线，垂足为 ∵，， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， 故选：B． 跟随训练2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得平分，进而得到即可． 【详解】解：∵，， ∴平分， ∴； 故选：D． 跟随训练3．如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，三角形的面积；连接，根据已知得出平分，根据平行线的性质，以及等角对等边得出，同理得出，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和分别是的外角和的平分线， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到的距离为4， ∴的面积为， 故选：B． 【题型 5】利用角平分线的判定证明 解题方法： 要证某射线是角平分线，先证射线上点到角两边距离相等； 应用判定定理得出结论； 常结合全等三角形证明垂线段相等。 【典例5】．如图，在和中，，，，，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论： ①； ②； ③OM平分； ④MO平分， 其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； ， 而， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ， 平分，所以④正确； 而， ，所以③错误． 故选：C 跟随训练1．如图，于点E，于点F，，与相交于点D，有以下结论：①；②；③点D在的平分线上．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了全等判定定理及角平分线判定定理，解决本题的关键是灵活使用全等的方法证明两个三角形全等． ①：根据题意得，进而利用“”进行证明全等；②：根据可得，则，进而利用“”进行证明全等；③：根据可得，再依据角平分线判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴在和中， ， ∴，故②正确； ∴， 又∵于点E，于点F， ∴点D在的平分线上，故③正确， 综上所述，正确的有：①②③， 故选D． 跟随训练2．如图，在中，，点在外，，且平分．以下结论：①平分的外角；②；③平分；④；其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解角平分线的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． ①根据得，再根据得，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ②由平分设，的，则，根据三角形外角性质得，则，据此可对该结论进行判断； ③过点作于点，于点，，交的延长线于点，设与相交于点，根据角平分线性质得，由此得是的平分线，再由得，则，据此可对该结论进行判断； ④根据直角三角形性质得，在中，由三角形内角和定理得，据此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在中，， ， ， ， ， ， 平分， 即平分的外角， 故结论①正确； ②平分， 设， ， 在中，， ， ，是的外角， ， ， ， ， 故结论②正确； ③过点作于点，于点，，交的延长线于点，设与相交于点，如图所示： 平分，平分△的外角， ，， ， 又点在的内部， 是的平分线， ， ， ， ， 不是的平分线， 故结论③不正确； ④在中，， ， 在中，， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 跟随训练3．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析，的面积为12 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点H，可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点Q，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得；在线段上取点，使得，求出和，可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，分别是，的高， ∴． 故答案为：； （2）证明：如图2，于点H， 在和中， ， ∴， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，∵， ∴， 延长交的延长线于点Q， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 如图4，在线段上取点，使得， ∵， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定和性质，关键是熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的性质解决线段或角的相等关系． 【题型 6】利用角平分线的判定与尺规作图求值证明 解题方法： 根据判定定理，尺规作图找到角平分线； 验证距离相等，用判定确认作图正确性； 结合图形完成求值、证明，规范作答。 【典例6】．已知锐角，如图 （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接； （3）作射线交于点．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．③ 【答案】B 【分析】由作图易判断射线OP为的角平分线，又为CD的垂直平分线，为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可． 【详解】由作图（1）（2）可知OC=OD，CP=DP， ∴射线OP为的角平分线，又为CD的垂直平分线． ∴即，，故③④正确； 由作图（2）可知CP=CD=DP，即为等边三角形， 又∵， ∴CP=2CQ，故②正确； 若，则， 又∵， ∴， ∴OC=PC， 故只有当OC=PC时，，故①错误． 综上，正确的有②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键． 跟随训练1．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，根据题和尺规作角平分线的方法可得平分，根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出，，求得，推得，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的判定推得平分，即可求解． 【详解】解：延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，如图， 由作图可知平分， ， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 跟随训练2．在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理． 以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法． 方法1： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）连接； （3）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作射线． 所以射线即为的平分线． 方法2： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）在射线上分别截取，使； （2）分别过点作的垂线，两垂线交于点； （3）作射线． 所以射线即为的平分线． 请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题： (1)请证明方法1中的是的平分线； (2)①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）； ②写出方法2中是的平分线的依据． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图、角平分线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用“”证明，得出，即可得证； （2）①根据题意，补全图形即可；②根据全等三角形的判定与性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 平分， （2）解：①如图，射线即为所作， ②由作图可得：，， 在和中， ， ， ， 平分 故依据是：判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等． 跟随训练3．下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作的射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． (3)如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可得到结论． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示； （2）解：如图2，连接，． 在与中， ， ， ． 即射线平分； 故答案为：，，； （3）解：交于E，交于F，， ∴平分（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 【题型 7】角平分线的性质的实际应用 解题方法： 将实际问题转化为几何模型，抽象出角、点、线段； 判断是否符合角平分线性质/判定的条件； 应用定理求解，检验结果是否符合实际意义。 【典例7】．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 跟随训练1．某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 跟随训练2．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1)见详解 (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：、和如图所示： （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 跟随训练3．已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，结合平行线的性质构造全等三角形是解题的关键． （1）根据定义得出，过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得，即可求解； （2）①结合小明的思路，构造，使其与全等，结合平行线的性质和全等三角形的判定和性质即可证明； ②根据全等三角形的判定的定理可得出，，根据全等三角形的性质得出，，，推得，即点、、三点共线，即可证明． 【详解】（1）解：∵为关于点的“好线”， ∴点是的中点， 即， 过点分别作于点，于点，如图： ∵点在的平分线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （2）①解： 画图步骤： 步骤一：过点作，交于点； 步骤二：以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 步骤三：连接，交于点，线段即为所求的关于点的“好线”． 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点是的中点； ②解：如图：线段即为所求． 画图步骤： 步骤一：作点关于点的对称点，连接； 步骤二：过点作，交于点；过点作，交于点； 步骤三：连接，，线段即为所求的关于点的“好线”． 05 过关•检测 1．如图，在中，平分交于点D，E是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据垂线段最短，得的最小值即为到的距离，再结合角平分线上的点到角的两边距离相等，得到的距离到的距离，又因为，的面积为5，故到的距离，即可作答． 【详解】解：∵E是上一动点， ∴的最小值即为到的距离， ∵平分交于点D， ∴到的距离到的距离， ∵，的面积为5， ∴到的距离 ∴到的距离， 即的最小值为2， 故选：B． 2．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【详解】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 3．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线是线段的垂直平分线，点在上，那么 B．如果点到线段两个端点的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上 C．如果点是内一点，、分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，是上一点，那么点到、的距离相等 【答案】C 【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质与判定定理逐项判断即可；本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线和角平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，点在上， ∴（垂直平分线的性质），故A正确； ∵点到线段两个端点的距离相等， ∴点在线段的垂直平分线上（垂直平分线的判定），故B正确； ∵点是内一点，、分别在、上，， 但和不一定是点到、的距离， ∴无法推出是角平分线，故C错误； ∵是的平分线，是上一点， ∴点到、的距离相等（角平分线的性质），故D正确； 故选：C． 4．如图，，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、含的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过点作于，根据角平分线的性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 的面积为：， 故选：． 5．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， 由题意可知：平分，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，平分于点，且，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、勾股定理、坐标与图形，过A作于H，先根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理求得，然后根据点A所在象限求得点A坐标即可． 【详解】解：过A作于H， ∵平分，于点，，， ∴，又， ∴， 由图知，点A在第二象限， ∴点A坐标为． 故选：D． 7．如图，中，，平分，于，的垂直平分线交于点，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，先通过勾股定理求出，再由角平分线性质可得，从而得，所以，又垂直平分，所以，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：． 8．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由作法可知，平分，由垂线段最短可知，当时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法可知，平分， 由垂线段最短可知，当时有最小值， ， ， 即的最小值为1， 故选：B． 9．如图，在中，，是的平分线，M为的中点，交的延长线于E，交于F，则________． 【答案】5.5 【分析】根据平行线的性质，利用“”证明，再根据全等三角形的性质结合等腰三角形的判定与性质进行等量代换求解． 【详解】如图，过点作交的延长线于， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 又，平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 即． 10．如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm． 【答案】3 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线，，， ∴． 即点到的距离是． 11．如图，为内角平分线的交点，过点O作于点M．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，作合适的辅助线是解题的关键． 过作交于，由角平分线的性质可得，，再解即可． 【详解】解：过作交于， 为内角平分线的交点， ，， ， ． 故答案为：． 12．如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 【答案】/32度 【分析】先说明平分，平分，可得．再根据三角形外角的性质得，然后说明，可得答案． 【详解】解：∵且， ∴平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 即． 13．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线．交边于点，若，，，则的长为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、角平分线的性质，由作法得平分，过点作于，则，利用面积法求解． 【详解】解：如下图所示，由作法得平分，过点作于，则， 在中，，，， ， ， 即， ． 故答案为：． 14．如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为______． 【答案】1 【分析】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识．如图，过点作于．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于． 由作图可知，平分， ，， ， 根据垂线段最短可知，的最小值为1， 故答案为：1． 15．已知：如图，，．求证： (1)； (2)（要求不用三角形全等证明）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）证明，即可证得结论； （2）根据角平分线的性质，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴与均为直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴平分， ∵， ∴，， ∴． 16．如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）先推导出，，得到，则，进而推导出，根据三角形的内角和即可求出的度数； （2）过点E作于点F，于点M，先推导出，求出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， ， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点F，于点M，如图 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 解得， ∴， ∴． 17．如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）①根据角平分线的作法作图即可； ②过点作于点，由角平分线的性质得到，再结合三角形面积公式求解即可． （2）过点分别作于，于，根据角平分线的性质可得，再证明，即可得证． 【详解】（1）①解：即为的平分线，如图所示． ②解：如图，过点作于点． ∵平分，，， ∴， ∴ ； （2）证明：过点分别作于，于． 平分， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， ， ． 18．如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 19．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，则． (1)【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为： ； (2)【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于E，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为 ； (3)【拓展应用】 ①如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； ②如图4，在中，，，点F在线段上，，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为36，请直接写出的长 ． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②6 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由条件证得是解题的关键． （1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据互余得出的度数，进而利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可； （3）①延长，交于点F，根据证明解答即可； ②过F作交的延长线于H，交于G，根据①的结论得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：①．理由如下： 延长，交于点F． ∵， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ②过F作交的延长线于H，交于G， ∴是等腰三角形， 由①可知， ∵的面积为36， ∴， ∴， 故答案为：6． 20．综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以（_______）． 因为，所以_______． 在中，根据三角形内角和为，有_______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案） 【答案】（1），， （2）见解析 （3）或或或 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理． (1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理找到角之间的关系求解； (2)根据邻补角定义可知，根据角平分线定义可得，根据三角形内角和定理可证结论成立； (3)根据角平分线定义可知，再根据一个内角等于另一个内角的倍，分情况求解． 【详解】（1）解：在中，根据三角形内角和为，则， 由于，分别是，的平分线， ，， ， ， ， 在中，根据三角形内角和为，有， 故答案为：；；； （2）证明：，，， ， 外角，的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：或或或， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ①当时， ， ； ②当时，， ； ； ③当时， ， ； ④当时， ， ， ； 综上所述，或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5角平分线 （3知识点+7大题型+过关检测） 【题型 1】利用角平分线的性质求值 3 【题型 2】利用角平分线的性质证明 3 【题型 3】利用角平分线的性质与角平分线作图求值证明 5 【题型 4】利用角平分线的判定求值 7 【题型 5】利用角平分线的判定证明 8 【题型 6】利用角平分线的判定与尺规作图求值证明 9 【题型 7】角平分线的性质的实际应用 12 1.理解并熟记角平分线的性质定理和判定定理，厘清定理的条件和结论，区分性质与判定的应用场景。 2.能灵活运用角平分线的性质、判定进行线段求值、角度计算、几何证明，规范推理过程，做到步步有据。 3.学会结合尺规作图、几何图形性质，解决角平分线相关的综合证明与实际应用问题，提升逻辑推理和数形结合能力。 03 知识•梳理 知识点1：角平分线的性质定理 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等 几何语言 ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴PD=PE. 核心要点 · 两个前提：点在角平分线上；点到角两边的垂线段（垂直是关键）； · 作用：直接证明线段相等，无需证全等，简化推理过程。 知识点2：角平分线的判定定理 文字语言 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 几何语言 ∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 核心要点 · 适用范围：角的内部（角外部点不满足）； · 作用：证明角相等、射线是角平分线，确定角平分线位置。 性质与判定的区别 定理 条件 结论 用途 性质定理 点在角平分线上 点到角两边距离相等 证线段相等、求线段长度 判定定理 点到角两边距离相等 点在角平分线上 证角相等、证射线是角平分线 常用辅助线 遇到角平分线，立即过角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段，为全等、求值、证明创造条件。 知识点3：三角形的角平分线性质定理 1.性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 2.几何语言 如图，在△ABC中，AD,BM,CN分别是∠BAC,∠ABC，∠ACB的平分线，AD,BM,CN交于一点O，且点O到三边BC,AB,AC的距离（OE,OG,OF的长）相等，即OE=OG=OF. 特别解读 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 常见易错点 · 忽略“垂直”条件，直接用角平分线得线段相等； · 判定定理忘记“角内部”的前提； · 尺规作图痕迹缺失、步骤不规范； · 混淆性质和判定的推理顺序，因果倒置。 解题通法：角平分线，垂线连；性质判，线段等；证相等，用性质；证平分，用判定；作图题，痕迹全。 04 题型•汇总 【题型 1】利用角平分线的性质求值 解题方法： 找角平分线，过线上点作角两边的垂线； 用性质得垂线段相等，转化线段长度； 结合勾股定理、面积公式、线段和差求数值。 【典例1】．如图，在中，，是的角平分线，过点D作于点E．若，，则的周长为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 跟随训练1．如图，，，，若，则___________． 跟随训练2．如图，在中，平分，交于点，垂足为点E，若，则的长为（） A．4 B．6 C．8 D．10 跟随训练3．如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【题型 2】利用角平分线的性质证明 解题方法： 作垂线，应用性质得相等线段； 结合全等三角形、等腰三角形、线段相等关系推导结论； 规范书写推理过程，标注定理依据。 【典例2】．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 跟随训练1．如图，已知四边形中，对角线、交于点，，，，则下列说法∶；②；③若平分，则；④若，，则的面积为；其中正确结论的序号是_____． 跟随训练2．如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练3．如图，四边形中，平分，，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【题型 3】利用角平分线的性质与角平分线作图求值证明 解题方法： 先按尺规作图步骤画出角平分线，保留痕迹； 结合作图得到的角平分线，应用性质作垂线、得相等线段； 完成求值或证明，兼顾作图规范与推理严谨。 【典例3】．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧在的内部相交于点．作射线交于点．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点和点．分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．连接交于点．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 跟随训练1．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B两点为圆心，相同长度（大于的长度）为半径作弧，两弧分别交于点P，Q；②作直线；③以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；④分别以点D，E为圆心，相同长度（大于的长度）为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线，交于点M，则的值为（   ） A．102 B． C． D． 跟随训练2．如图，在中，，，按以下步骤作图． ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点； ④以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N； ⑤分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于点． 若，则的长是_____． 跟随训练3．如图所示，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③画射线，交于点． (2)能说明的依据是_______（填序号）． ①；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等 (3)若，，，过点作于，求的长． 【题型 4】利用角平分线的判定求值 解题方法： 找角内部一点到两边的垂线段，证明垂线段相等； 用判定得角平分线，推出角相等； 结合角度和差、三角形内角和求角度。 【典例4】．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，在中，，为延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练3．如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型 5】利用角平分线的判定证明 解题方法： 要证某射线是角平分线，先证射线上点到角两边距离相等； 应用判定定理得出结论； 常结合全等三角形证明垂线段相等。 【典例5】．如图，在和中，，，，，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论： ①； ②； ③OM平分； ④MO平分， 其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 跟随训练1．如图，于点E，于点F，，与相交于点D，有以下结论：①；②；③点D在的平分线上．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 跟随训练2．如图，在中，，点在外，，且平分．以下结论：①平分的外角；②；③平分；④；其中正确的结论是______（填写序号）． 跟随训练3．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【题型 6】利用角平分线的判定与尺规作图求值证明 解题方法： 根据判定定理，尺规作图找到角平分线； 验证距离相等，用判定确认作图正确性； 结合图形完成求值、证明，规范作答。 【典例6】．已知锐角，如图 （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接； （3）作射线交于点．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．③ 跟随训练1．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则______． 跟随训练2．在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理． 以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法． 方法1： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）连接； （3）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作射线． 所以射线即为的平分线． 方法2： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）在射线上分别截取，使； （2）分别过点作的垂线，两垂线交于点； （3）作射线． 所以射线即为的平分线． 请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题： (1)请证明方法1中的是的平分线； (2)①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）； ②写出方法2中是的平分线的依据． 跟随训练3．下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作的射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． (3)如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 【题型 7】角平分线的性质的实际应用 解题方法： 将实际问题转化为几何模型，抽象出角、点、线段； 判断是否符合角平分线性质/判定的条件； 应用定理求解，检验结果是否符合实际意义。 【典例7】．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 跟随训练1．某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 跟随训练2．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 跟随训练3．已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 05 过关•检测 1．如图，在中，平分交于点D，E是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 3．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线是线段的垂直平分线，点在上，那么 B．如果点到线段两个端点的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上 C．如果点是内一点，、分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，是上一点，那么点到、的距离相等 4．如图，，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C． D． 5．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A． B． C． D． 6．如图，平分于点，且，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，平分，于，的垂直平分线交于点，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D．无法确定 9．如图，在中，，是的平分线，M为的中点，交的延长线于E，交于F，则________． 10．如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm． 11．如图，为内角平分线的交点，过点O作于点M．若，则的长为__________． 12．如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 13．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线．交边于点，若，，，则的长为____． 14．如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为______． 15．已知：如图，，．求证： (1)； (2)（要求不用三角形全等证明）． 16．如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 17．如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 18．如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 19．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，则． (1)【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为： ； (2)【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于E，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为 ； (3)【拓展应用】 ①如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； ②如图4，在中，，，点F在线段上，，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为36，请直接写出的长 ． 20．综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以（_______）． 因为，所以_______． 在中，根据三角形内角和为，有_______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $