1.5 角平分线(2) 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明及其应用 1.5 角平分线(2) 01 课前预习 02 例题精讲 目录 03 课堂检测 目录 1． 三角形的三条角平分线 ⁠，并且这一点到三条边 的距离 ⁠． 2． 几何语言：如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点 P，过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为点M， N，F，则PM PN PF，点P在∠BAC的平分线上． 相交于一点 相等 ＝ ＝   三角形中角平分线的性质 ⁠ 例1 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的 角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4，求AC的长； (1)解：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC. ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝CD＝4. ∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B. 又∵∠C＝90°，∴∠B＝ ×90°＝45°. ∴∠BDE＝90°－45°＝45°.∴DE＝BE＝4. 在Rt△BDE中，由勾股定理， 得BD＝ ＝4 . ∴AC＝BC＝CD＋BD＝4＋4 . (2)求证：AB＝AC＋CD. (2)证明：在Rt△ADC和Rt△ADE中， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．∴AC＝AE. 又BE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF. (1)求证：CF＝EB； 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DE＝DC. 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)．∴CF＝EB. (2)求证：AB＝AF＋2EB. (2)在Rt△ADC和Rt△ADE中， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．∴AC＝AE. ∴AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB. 例2 如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点， OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F. 求证：OD ＝OE. 证明：∵O为∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB， OE⊥AC，OF⊥BC， ∴OD＝OF，OF＝OE. ∴OD＝OE. 2. 如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求 证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：如图，分别作FM⊥AD于点M，FN⊥BC于点N， FG⊥AE于点G. ∵BF平分∠CBD，FM⊥AD，FN⊥BC，∴FM＝FN. 同理，FG＝FN，∴FM＝FG. 又∵FM⊥AD，FG⊥AE， ∴点F在∠DAE的平分线上． 与角平分线有关的面积问题的结论： (1)如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD ＝AB∶AC； (2)如图2，当点E在角平分线AD上的任何位置(不与点A重合)，都 有S△ABE∶S△ACE＝AB∶AC； (3)如图3，在△ABC中，O是其三条角平分线的交点，连接OA， OB，OC，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝AB∶AC∶BC. 1． 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　A　) A. 3 B． 4 C． 5 D． 6 A 2． 如图，在△ABC中，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，过 点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 若BD＝3，CE＝2，则 线段DE的长为(　A　) A. 5 B． 6 C． 7 D． 8 A 3． 如图，点D到△ABC三边的距离相等，连接BD，AD，BD的 延长线交AC于点E. 若∠ADE＝50°，则∠C的度数为 ⁠． 80° 4． 如图，△ABC的三条角平分线交于点O，OD⊥BC， OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F. 已知OD＝3，△ABC 的周长是14，求△ABC的面积． 解：∵△ABC的三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OE＝OF＝3. 由题意，得S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝ AB·OE＋ BC·OD＋ AC·OF＝ OD(AB＋BC＋AC)． ∵△ABC的周长是14，即AB＋BC＋AC＝14， ∴S△ABC＝ ×3×14＝21. $