精品解析：天津市和平区第十九中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

2025-2026第二学期数学学科适应性练习 一、客观题． 1. 化简的结果为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 关于方程四种的说法正确的是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 两实数根的和为 D. 两实数根的积为 5. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作交于点．若，，且为边的中点，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 6. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题． 7. 不透明袋子中装有13个球，其中有6个红球、7个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 8. 计算的结果为_______． 9. 计算的结果等于________； 10. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位，平移后的直线经过点，则m的值为____． 三、解答题． 11. 九年级研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书数量．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取参与问卷的学生人数为_______，图①中m的值为_______； （2）求统计的这组一个月阅读课外书数量数据的平均数、众数和中位数； （3）全校共有学生1400名，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？ 12. 已知是直径，为的中点，连接． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，交的延长线于点，弦与交于点，若，求的直径． 13. 如图，某校数学兴趣小组要测量建筑物的高度，测角仪的高度为米．他们在点C测得楼顶A的仰角为，前行米到达F点，这时在点E处测得楼顶A的仰角为，求建筑物的高度（结果保留整数）．参考数据： ． 14. 已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家距离关于时间的函数解析式； （2）当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线表达式； （2）点P是直线下方对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期数学学科适应性练习 一、客观题． 1. 化简的结果为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先进行乘方，特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故选B． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握同分母分式的减法运算法则是解题的关键． 3. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据题意，反比例函数的比例系数，图像在每个象限，函数值随自变量的增大而增大，由此即可求解，掌握反比例函数图象的性质，增减性比较自变量、函数值的大小的知识是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，且当时，；当时，； ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 4. 关于方程四种的说法正确的是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 两实数根的和为 D. 两实数根的积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系计算后即可作出判断． 【详解】解：， ∵， ∴有两个不相等的实数根，故A、B错误； 设方程的两个根为， ∴，， 故C错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 5. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作交于点．若，，且为边的中点，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由得出，由作图可知∶平分，得出是等腰三角形，得出，为边的中点，得出． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知∶平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 故选∶． 【点睛】本题考查作图一基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，根据旋转得到，，，，再逐个判断即可． 【详解】解：∵将以点为中心顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， 当时， 才成立，故选项A不一定正确； 现有条件无法证明，，故选项B，C不一定正确； 如图，与交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选项D一定正确； 故选：D． 二、填空题． 7. 不透明袋子中装有13个球，其中有6个红球、7个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用概率公式进行计算，用部分的数量除以总数即可． 8. 计算的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 计算的结果等于________； 【答案】 【解析】 【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键． 10. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位，平移后的直线经过点，则m的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规律求出直线向上平移2个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线向上平移2个单位，得到直线， 把点代入，得， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 三、解答题． 11. 九年级研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取参与问卷的学生人数为_______，图①中m的值为_______； （2）求统计的这组一个月阅读课外书数量数据的平均数、众数和中位数； （3）全校共有学生1400名，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？ 【答案】（1）100,41 （2）2.54,2,2 （3）574 【解析】 【分析】（1）用一个月阅读课外书的数量1本的数量除以其所占的百分比即可求得参与问卷学生的人数，用1减去1本、3本、4本所占的百分比即可求得m； （2）用平均数=，阅读课外书的人数最多的本数即为众数，根据中位数的定义即可确定中位数； （3）用总人数乘以样本中“阅读2本课外书”人数所占百分比即可解答． 【小问1详解】 解：本次抽取参与问卷的学生人数为（人）； ∵． ∴． 故答案为100，41． 【小问2详解】 解：∵， ∴这组数据的平均数是2.54； ∵在这组数据中，2出现了41次，出现的次数最多， ∴这组数据众数为2； ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有， ∴这组数据的中位数为2． 【小问3详解】 解：该校1400名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：（本）． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合、平均数、众数、中位数的求法、用样本估计总体等知识点，读懂统计图、从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键． 12. 已知是的直径，为的中点，连接． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，交的延长线于点，弦与交于点，若，求的直径． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）由圆周角定理得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，即可得，最后根据即可求解； （）由切线的性质得，进而得，即得，由三角函数可得，即得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵切于点， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）知， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即直径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 13. 如图，某校数学兴趣小组要测量建筑物的高度，测角仪的高度为米．他们在点C测得楼顶A的仰角为，前行米到达F点，这时在点E处测得楼顶A的仰角为，求建筑物的高度（结果保留整数）．参考数据： ． 【答案】20 【解析】 【分析】如图：由题意可得：，设,再解直角三角形表示出、的长，再根据求得的长，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，设， 在中，,即； 在中，,即； 又∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，发现直角三角形并正确的运用三角函数解直角三角形是解答本题的关键． 14. 已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①，，；②120；③；④当时，；当时， （2） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据函数图象得出每个小明离开家的时间所对应的离家的距离，进行作答即可； ②运用时间相减即可作答； ③根据路程除以时间等于速度，即可作答． ④根据函数图象得当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，运用待定系数法进行作答即可． （2）先由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，得到当小明离开科技馆时，小明已经走了，再设小华和小明相遇时，小华走了分钟，列式，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：①根据函数图像， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为； 故答案为：，，； ② ∴小明在科技馆参观学习花费的时间为； 故答案为：120； ③ ∴小明从科技馆返回家的速度为； 故答案为：； ④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； 设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为， 依题意，把，代入得， ， 解得， ∴当时，小明离家距离关于时间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为， 当小明离开科技馆时，小明已经走了， 设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为， ∴， 解得， 则， ∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； 【答案】（1） （2）的最大值为11，此时． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）过P点作轴交直线于H，由二次函数的性质可得出，对称轴为直线，再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到，再运用待定系数法求出直线的解析式为：，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得 ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：过P点作轴交直线于H， ∵抛物线的表达式为， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， 则， ∴，， ∴ ∴当时，即时，最大值为11． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $