2026年中考数学二轮信息必刷卷01（无锡专用）

2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考・新动向：命题重基础且全覆盖核心考点，相反数、科学记数法等基础知识点以选择填空基础题呈现，同时实现轻综合，如第 9 题将反比例函数 k 的几何意义与三角形中位线、等腰三角形性质结合；题目梯度鲜明，选择填空从纯基础（1-5题、11-14题）过渡到基础综合（6-10题、15-18题），解答题按“计算—证明—应用—压轴” 排布，压轴题多小问设计降低入口难度；新定义成创新载体，第10题“对偶关系”、第28题“对称四边形”，以核心知识为基底考查阅读理解与知识迁移能力。 中考・新考法：常规考点跨模块融合，第 16 题圆的切线性质结合等腰三角形、解直角三角形，第 18 题平行四边形融合折叠性质与勾股定理，打破知识壁垒；经典题型设问创新，第 7 题因式分解考查分解完整性，第 24 题尺规作图要求作出满足 “DE=CF” 的点，实现 “作图+推理+计算” 融合；压轴题叠加考点与思想，27 题二次函数结合相似、等腰直角三角形，28 题新定义四边形融合全等、解直角三角形，考查数形结合、分类讨论思想。 中考・新情境：生活实际情境深度融入，第 8 题轮船航行考分式方程应用，第 26 题围墙测高考相似三角形应用，要求提取信息建立数学模型；几何操作情境贴合新课标，第 18 题平行四边形折叠、第 24 题正方形尺规作图，强调 “操作—推理—计算” 闭环；学科内创新情境灵活多变，紧扣新定义将函数、四边形知识转化为常规问题求解，考查学生应变能力。 命题・大预测：①基础知识点必考且形式灵活，需夯实基础，强化变式训练，保证基础题不丢分；② 几何综合题持续融合多定理，突出投影、角平分线全等模型，需梳理定理联系，总结模型解法；③ 新定义题型成热点，均基于教材核心，需掌握 “理解定义—转化知识—推导求解”步骤；④函数综合题聚焦数形结合，结合几何存在性、最值考查，需强化函数与几何转化训练；⑤ 实际应用题侧重建模，需提升信息提取能力，熟练掌握各类应用题解题思路；⑥尺规作图与几何操作题持续创新，需夯实基本作图方法，强化操作后的推理计算。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.） 1．2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：2026的相反数是﹣2026． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．将数据﹣970000用科学记数法表示为（　　） A．9.7×105 B．0.97×106 C．﹣9.7×105 D．﹣0.97×104 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：﹣970000＝﹣9.7×105． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a3 C．（a3）3＝a9 D．a2+a2＝a4 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项的计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、a2⋅a3＝a5，故该选项错误； B、a3÷a＝a2，故该选项错误； C、（a3）3＝a9，故该选项正确； D、a2+a2＝2a2，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 4．某校为了解同学们某季度参与“青年大学习”的时长，从中随机抽取5位同学，统计他们的学习时长（单位：分钟）分别为：75，80，85，90，▲（被污损）．若该组数据的平均数为82，则这组数据的众数为（　　） A．75 B．80 C．85 D．90 【答案】B 【分析】先根据算术平均数的定义求出被污损的数据，然后根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解答． 【详解】解：∵该组数据的平均数为82， 设被污损的数据为x， ∴（75+80+85+90+x）÷5＝82， 解得x＝80， ∴这组数据为：75，80，85，90，80， ∵80出现的次数最多， ∴这组数据的众数为80． 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平均数以及众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若∠B＝36°，则∠ADE的度数为（　　） A．36° B．54° C．72° D．144° 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理推出DE∥BC，得到∠ADE＝∠B＝36°． 【详解】解：∵D、E分别是AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝36°． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边． 6．半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 【答案】A 【分析】利用弧长公式求解． 【详解】解：半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为：2π． 故选：A． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l． 7．下列因式分解中，完全正确的是（　　） A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 C．x2+y2＝（x+y）2 D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2 【答案】D 【分析】先分解每一个整式，根据分解结果得结论． 【详解】解：A．x2﹣1还能分解，故选项A因式分解不正确； B．整式B应该用完全平方公式分解，故选项B因式分解错误； C．原整式C二项，不能用完全平方公式分解，故选项C因式分解错误； D．整式D因式分解正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法等知识点是解决本题的关键． 8．安江镇一艘轮船在静水中最大航速为30km/h，它以最大航速沿沅江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，设江水的流速为v km/h，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得顺水速度为（30+v）km/h，逆水速度为（30﹣v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行100km所用时间＝以最大航速逆流航行60km所用时间，根据此等量关系列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，列出方程． 9．如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，点C，点D分别为OA、OB的中点，连接CD，点E为CD上任意一点，连接AE、BE，反比例函数y（x＜0）的图象经过点A，若△ABE的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣6 D． 【答案】B 【分析】过点A作AH⊥x轴交于点H，根据三角形中位线的性质求出S△AOB的值，根据等腰三角形的性质求出S△AHO的值，利用反比例函数中k的几何意义，求出k的值即可． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥x轴交于点H， 由题可知：点C，点D分别为OA、OB的中点， ∴CD是△ABO的中位线， 点E在线段CD上， ∴S△AOB＝2S△ABE＝8， ∵AO＝AB， ∴△AOB是等腰三角形，AH⊥x轴， ∴AH是△AOB的中线， S△AOHS△AOB＝4， 设A（x，y）， S△AOH|x|×|y|＝4， 根据图象，x＜0，y＞0， ∴x•y＝﹣8， 点A在反比例函数上， ∴k＝﹣8． 故选：B． 【点睛】本题以反比例函数为背景考查了反比例中k值得几何意义，考查学生对反比例函数和三角形性质的综合运用．本题利用三角形的性质求出点A坐标中横纵坐标的乘积是解决问题的关键． 10． 若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P，Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数y1＝2x+2与函数y2＝﹣x+4不具有“对偶关系”； ②函数y1＝2x+2与函数y2＝﹣x+4的“对偶值”为6； ③若函数y1＝kx﹣2与函数的“对偶值”为2，则k＝2； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则﹣3≤b≤3． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据P、Q关于y轴对称，称函数y1和y2具有“对偶关系”，则P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可． 【详解】解：①设函数y1＝2x+2上点P坐标轴为（m，2m+2）， ∵P、Q关于y轴对称， ∴Q点坐标为（﹣m，m+4）， 若点P或点Q的纵坐标相等， ∴2m+2＝m+4， 解得：m＝2， 则存在这样的点P、Q，使得他们关于y轴对称， ∴函数y1＝2x+2与函数y2＝﹣x+4具有“对偶关系”； 故①错误，不符合题意； ②当y1＝y2＝6时，则2x+2＝6， 解得x＝2； ﹣x+4＝6，解得x＝﹣2； 横坐标是相反数， 故②正确，符合题意； ③当y1＝y2＝2时，则， 解得x＝2， 把x＝﹣2，y＝2代入y1＝kx﹣2得：2＝﹣2k﹣2，解得k＝﹣2， 故③错误，不符合题意； ④设点P坐标为（m，﹣2m+b），则点Q坐标为（﹣m，）， ∵P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等， ∴﹣2m+b， 整理得b＝2m， ∵﹣2≤m，对于函数b＝2m，b随m的增大而增大， 当m＝﹣2时，b＝2×（﹣2）4+1＝﹣3， 当m时，b＝21+4＝3， ∴﹣3≤b≤3， 故④正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查新定义题型，涉及反比例函数点的坐标特征、一次函数点的坐标特征及性质、轴对称的性质等内容，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分;第18题第一个空1分，第二个空2分.） 11．计算：　 　 ． 【答案】1 【分析】先计算算术平方根和绝对值，再计算加减． 【解答】解： ＝3﹣2 ＝1， 故答案为：1． 【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算． 12．在函数中，自变量x的取值范围为 　 ． 【答案】x≠3 【分析】根据分母不为0可得x﹣3≠0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：x﹣3≠0， 解得：x≠3． 故答案为：x≠3． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 13．若5amb4与﹣4a3bn+2是同类项，则m+n的值为 　 　 ． 【答案】5 【分析】根据同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项求得m、n值，进而代入求解即可． 【详解】解：∵5amb4与﹣4a3bn+2是同类项， ∴m＝3，4＝n+2， ∴m＝3，n＝2， ∴m+n＝3+2＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查同类项、代数式求值，理解同类项的概念，并正确求得m、n值是解答的关键． 14．命题“若a≠b，b≠c，则a≠c”是 　 　 命题．（填“真”“假”） 【答案】假 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：命题“若a≠b，b≠c，则a≠c”是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题主要考查了命题和定理，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 15．正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正 　 　 边形． 【答案】八 【分析】求出正多边形的一个外角为45°，设该多边形的边数为n，根据多边形的外角和为360°，列出方程，即可解决问题． 【详解】解：∵正多边形的一个内角等于135°， ∴正多边形的一个外角＝180°﹣135°＝45°， 设该多边形的边数为n， 由题意得：45°n＝360°， 解得：n＝8， 故答案为：八． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和为360°是解题的关键． 16．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，若AB＝4，tan∠CAB＝2，则切线DE的长为 　 　 ． 【答案】4 【分析】连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，则∠ODB＝∠C，推导出OD∥AC，则∠DOE＝∠CAB，由切线的性质得∠ODE＝90°，而AB＝4，tan∠CAB＝2，则ODAB＝2，tan∠DOE＝tan∠CAB＝2，求得DE＝2OD＝4，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠DOE＝∠CAB， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴DE⊥OD， ∴∠ODE＝90°， ∵AB＝4，tan∠CAB＝2， ∴ODAB＝2，tan∠DOE＝tan∠CAB＝2， ∴DE＝2OD＝4， 故答案为：4． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的性质、解直角三角形等知识，推导出OD∥AC是解题的关键． 17．如图，某校园内有一个由两个相同的边长为2m的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为 　 　 m． 【答案】24 【分析】 根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG＝GM＝2m，同理可证出AF＝EF＝2m，再根据AB＝BG+GF+AF，求出AB的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成， ∴∠FGM＝∠GMN＝120°，GM＝GF＝EF， ∴∠BMG＝∠BGM＝60°， ∴△BMG是等边三角形， ∴BG＝GM＝2m， 同理可证：AF＝EF＝2m， ∴AB＝BG+GF+AF＝2×3＝6（m）， ∴扩建后菱形区域的周长为6×4＝24（m）， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正六边形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，BC＝9，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BED，AD与BE交于点F，F恰好为AD的中点，则BF＝ ；△BDE与平行四边形ABCD重叠部分的面积为 　 　 ． 【答案】； 【分析】由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC＝9，再由平行线的性质和折叠的性质可证明∠ADB＝∠EBD，则FB＝DF，再根据线段中点的定义可得，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明∠ABD＝90°，利用勾股定理求出BD，再根据重叠部分的面积为△BDF的面积，即△ABD面积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝9， ∴∠ADB＝∠CBD， 由折叠的性质可得∠EBD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠EBD， ∴FB＝DF， ∵F恰好为AD的中点， ∴， ∴∠FAB＝∠FBA，∠FBD＝∠FDB， ∵∠FAB+∠FBA+∠FBD+∠FDB＝180°， ∴∠FBA+∠FBD＝90°，即∠ABD＝90°， ∴， ∴， ∴△BDE与平行四边形ABCD重叠部分的面积为， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等等，掌握平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0； （2）解不等式组：． 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， ， ，； （2）． 由①得：x≤0； 由②得：x＞﹣2． ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤0． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，注意正确计算． 20．（5分）先化简，再求值：，其中a＝2． 【分析】先根据分式的混合运算，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当a＝2时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F． （1）求证：AB＝DF． （2）若AB＝8，CE＝4，求BC的长． 【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△DFA即可得出结论； （2）根据（1）全等可知AE＝AD，根据矩形的性质，可知BC＝AD，∠B＝90°，设BC＝x，则AB2+BE2＝AE2，求解关于x的方程即可． 【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠FAD＝∠BEA． ∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝90°＝∠B． 在△ABE和△DFA中， ， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AB＝DF； （2）解：∵△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AE＝AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD，∠B＝90°， 设BC＝x， 则AB2+BE2＝AE2， ∴82+（x﹣4）2＝x2， 解得x＝10， ∴BC＝10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明△ABE≌△DFA是解题的关键． 22．（9分）小亮和父母计划寒假期间从A：无锡鼋头渚、B：南京中山陵、C：连云港花果山、D：苏州拙政园这4个景点中随机选择景点游玩． （1）若小亮一家从中随机选择一个景点游玩，则选中A：无锡鼋头渚的概率为　 　 ； （2）若小亮一家从中随机选择两个景点游玩，请用列举法（画树状图或列表）求选中A、C两个景点的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及选中A、C两个景点的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）∵共有4个风景名胜区，分别是A：无锡鼋头渚、B：南京中山陵、C：连云港花果山、D：苏州拙政园， ∴选中A：无锡鼋头渚的概率为， 故答案为：； （2）用表格列出所有可能的结果： A B C D A (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) 共有12种等可能的结果，其中选择A、C两个景点的有2种， 选中A、C两个景点的概率是． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23．（10分）某市为提高学生参与体育活动的积极性，2026年3月围绕“你最喜欢的体育运动项目（只写一项）”这一问题，对初一学生进行随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是多少？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该市2026年约有初一学生20000人，请你估计全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有多少人？ 【分析】（1）用健身操的人数除以其占总人数的百分比即可求解； （2）先求得足球人数所占比例，再根据百分比之和为1得出篮球的百分比，总人数乘以其百分比求得人数即可补全图形； （3）总人数20000乘以样本中足球所占的百分比即可求解． 【详解】解：（1）100÷20%＝500（人）， 答：本次抽样调查的样本容量是500． （2）解：足球所占的百分比：， 篮球的人数：500×（1﹣20%﹣19%﹣12%﹣20%）＝145（人）， 补全图形如下： （3）解：根据题意得：20000×12%＝2400（人）， 答：全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有2400人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是结合两种统计图，对照统计图中各已知量，分析要求解的量． 24．（10分）已知：如图，BD为正方形ABCD的对角线． （1）在BD上求作一点E，过点E作EF⊥BD，交DC于点F，使得DE＝CF；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知AB＝2，求DF的长． 【分析】（1）作∠CBD的平分线，交CD于点F，再过点F作FE⊥BD于点E，则点E即为所求． （2）由正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝2，∠C＝90°，∠CDB＝45°，则BD.证明Rt△BCF≌Rt△BEF，可得BE＝BC＝2，则DE＝BD﹣BE，进而可得DF． 【详解】解：（1）如图，作∠CBD的平分线，交CD于点F，再过点F作FE⊥BD于点E， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CDB＝45°，∠C＝90°， ∴DE＝EF，EF＝CF， ∴DE＝CF， 则点E即为所求． （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝2，∠C＝90°，∠CDB＝45°， ∴BD． 由（1）知，EF＝CF，∠BEF＝∠C＝90°， ∵BF＝BF， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴BE＝BC＝2， ∴DE＝BD﹣BE， ∴DF． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的半圆O交AB于点D，E是AC中点，射线DE交BC的延长线于点F． （1）求证：DF是半圆O的切线； （2）若BC＝12，tanA＝2，求线段DF的长． 【分析】（1）连接OD，CD，根据圆周角定理得出∠BDC＝90°，根据直角三角形性质得出DE＝CE＝AE，求出∠ACD+∠DCO＝∠EDC+∠CDO＝90°，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可； （2）根据∠A+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°，可得∠A＝∠BCD，tan∠BCD＝tanA＝2，即，证明△FBD∽△FDC，得，DF2＝CF•BF，设CF＝x，则DF＝2x，可得（2x）2＝x•（x+12），解得x＝4，可得DF＝8． 【详解】（1）证明：连接OD，CD， ∵BC是半圆O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵E是AC的中点， ∴． ∴∠EDC＝∠ECD， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCD+∠ECD＝90°， ∴∠ODC+∠EDC＝90°； 即OD⊥DF， ∵OD是半径， ∴DF是半圆O的切线； （2）解：∵∠A+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴tan∠BCD＝tanA＝2， 即， ∵∠DBC+∠OCD＝90°，∠FDC+∠ODC＝90°，∠ODC＝∠OCD， ∴∠DBC＝∠FDC， 又∵∠F＝∠F， ∴△FBD∽△FDC． ∴， ∴，DF2＝CF•BF， 设CF＝x，则DF＝2x， ∵BC＝12， ∴BF＝x+12， ∴（2x）2＝x•（x+12）， 解得x1＝4，x2＝﹣4（舍）， ∴DF＝2x＝8． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，勾股定理，圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 26．（10分）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进地面F点时，测得OF＝6m； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，测得窗高CD＝1.8m，窗户距地面的高度OD＝1.2m． 解决问题 （1）如图，靠窗放置一张长方形桌子，DN∥OF，点N在光线AF上，求DN的长； （2）求AB，OB的长． 【分析】（1）先证明△EOD∽△EBA，根据相似三角形的性质得①，再证明△FOC∽△FBA，根据相似三角形的性质得到②，则解①②组成的方程组得OB＝1.8，AB＝3.9，接着证明△EOD∽△EBA，根据相似三角形的性质得到，利用比例的性质得到，然后证明△ADN∽△AEF，根据相似三角形的性质得，从而可求出DN的长； （2）由（1）得AB和OB的长． 【详解】解：（1）∵OD∥AB， ∴△EOD∽△EBA， ∴， 即①， ∵CO∥AB， ∴△FOC∽△FBA， ∴， 即②， 解由①②组成的方程组得OB＝1.8，AB＝3.9， ∵△EOD∽△EBA， ∴， ∴， ∵DN∥OF， ∴△ADN∽△AEF， ∴， 即， 解得DN＝3.6， 答：DN的长为3.6m； （2）由（1）得AB的长为3.9m，OB的长为1.8m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 27．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，C．连接AB，AC，点P是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G． （1）求出点A，B，C的坐标； （2）若点P的横坐标为m，用含m的式子表示DG的长，并写出m的取值范围； （3）如图2，当点P的坐标为（5，）时，若点M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，在点M运动时，抛物线上存在一点R，使得△ARS为等腰直角三角形，请求出此时点R的坐标． 【分析】（1）在解析式中，令x＝0，可求得点A的坐标；令y＝0，解一元二次方程则可求得点B、C的坐标； （2）过点P作PH⊥x轴于点H，则易得DH＝PH，由点P的坐标则可求得DH，易得△ABO∽△PGH，则可得GH，由DG＝DH﹣GH即可求解； （3）当A为直角顶点时，则AR＝AS，过点R、S作y轴的垂线，垂足分别为H、Q，则可得Rt△RHA≌Rt△SQA；求出直线AC解析式为y＝﹣x+6，设S（a，﹣a+6），则可得点R的坐标，由点R在抛物线上可求得a的值，从而求得点R的坐标；作点A关于对称轴的对称点R1，则此点也满足题意，此时点R或点S为直角顶点． 【详解】解：（1）令x＝0，得y＝6，即点A的坐标为（0，6）； 令y＝0，即， 解得x1＝﹣2，x2＝6， ∴点B、C坐标分别为（﹣2，0），（6，0）； 即点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（﹣2，0）、（6，0）； （2）如图，过点P作PH⊥x轴于点H， ∵A、C的坐标分别为（0，6）、（6，0），B（﹣2，0）， ∴OA＝OC＝6，OB＝2， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°； ∵PD⊥AC， ∴∠PDC＝90°﹣∠OCA＝45°， ∴∠DPH＝∠PDC＝45°， ∴DH＝PH， ∵点P的横坐标为m，且在抛物线上， ∴， ∵点P在抛物线对称轴右侧第一象限，其对称轴为直线x＝2， ∴2＜m＜6，， ∴， ∵PG∥AB， ∴∠ABO＝∠PGH， ∵∠AOB＝∠PHG＝90°， ∴△ABO∽△PGH， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，且2＜m＜6； （3）当A为直角顶点时，则AR＝AS，∠RAS＝90°， 如图，过点R、S作y轴的垂线，垂足分别为H、Q， ∵∠OAC＝45°， ∴∠RAH＝180°﹣∠RAS﹣∠OAC＝45°， ∴∠RAH＝∠ARH＝∠OAC＝∠ASQ＝45°， ∴AH＝RH，SQ＝AQ； ∵AR＝AS， ∴Rt△RHA≌Rt△SQA（ASA）， ∴AQ＝SQ＝AH＝RH； 设直线AC解析式为y＝kx+b， 把A、C两点坐标分别代入得， 解得， ∴y＝﹣x+6， 设S（a，﹣a+6），则AQ＝SQ＝AH＝RH＝a， ∴OH＝OA+AH＝a+6， ∴点R的坐标为（a，a+6）， ∵点R在抛物线上， ∴， 解得a＝2或a＝0（舍去）， ∴点R的坐标为（2，8）； ∴， 即此时点R为抛物线的顶点； ∴抛物线的对称轴为直线x＝2； 由抛物线的对称性，点A关于对称轴的对称点R1（4，6）满足∠ASR＝90°，AS＝SR1， 即△ASR1是以S为直角顶点的等腰直角三角形； 过R1作SR1⊥AR1交AC于点S1，则R1S1∥OA， ∴∠AS1R1＝∠OAC＝∠S1AR1＝45°， 故AR1＝R1S1， 此时△AR1S1是以R1为直角顶点的等腰直角三角形； 综上，满足条件的点R坐标为（2，8）与（4，6）． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 28．（13分）如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 问题发现 （1）如图①，四边形ABCD是“对称四边形，对角线AC，BD交于点O，AC是“对称线”，若AO＝4．OC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是 　 　 ． 问题探究 （2）如图②，四边形ABCD是“对称四边形”，AC是“对称线”，∠DAC＝45°，∠DCA＝30°，AC＝6+6，P，Q分别为线段AC，BC上的动点，求PB+PQ的最小值． 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中．O为坐标原点，已知点A（6，6），过A作射线PQ∥x轴，交y轴于点P，E为射线AQ上的动点（不与点A重合），G，F分别为线段AO和x轴正半轴上的动点，连接EG，EF，点M是线段OE与GF的交点，并且四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”．请问△MEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）证明△DAC≌△BAC（ASA），推出AD＝AB，CD＝CB，推出AC垂直平分线段BD，可得OD＝OB5，推出BD＝2OD＝10，再根据S四边形ABCD•AC•BD．求解即可； （2）如图，在CD上取一点Q′，使得CQ′＝CQ，连接PQ′，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．证明PQ＝PQ′，解直角三角形求出BH，利用垂线段最短，解决问题； （3）存在，理由：过点E作EH⊥x轴于点H．证明S△EMFS△EOF•OF•EHEFEF，求出EF的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）在△ADC和△ABC中， ， ∴△DAC≌△BAC（ASA）， ∴AD＝AB，CD＝CB， ∴AC垂直平分线段BD， ∴OD＝OB5， ∴BD＝2OD＝10， ∴S四边形ABCD•AC•BD（4+12）×10＝80， 故答案为：80； （2）如图，在CD上取一点Q′，使得CQ′＝CQ，连接PQ′，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O． 由（1）可知AC⊥BD， ∵∠DAC＝45°，∠DCA＝30°， ∴OA＝OD，OCOD， 设OD＝OA＝m，则OCm， ∵AC＝6+6， ∴mm＝6+6， ∴m＝6， ∴OA＝OD＝6，CD＝2OD＝12， ∴CD＝CB＝12， ∵∠DCA＝∠BCA＝30°， ∴∠BCH＝60°，∠CBH＝30°， ∴CHBC＝6，BH＝6， 在△CPQ和△CPQ′中， ， ∴△PCQ≌△PCQ′（SAS）， ∴PQ＝PQ′， ∴PB+PQ＝PB+PQ′≥BH＝6， ∴PB+PQ的最小值为6； （3）存在， 理由：过点E作EH⊥x轴于点H． ∵PQ∥OF，A（6，6）， ∴OP＝EH＝6， ∵四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”， ∴FE＝FO，FG⊥OE，OM＝ME， ∴S△EMFS△EOF•OF•EHEFEF， ∴当EF⊥OF时，EF的值最小，最小值为6， ∴△EMF的面积的最小值为27， 此时E（6，6）， ∴M（3，3）． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了“对称四边形”的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，特殊直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 2/24 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C B A A D C B B 二、（本题共8小题，每小题3分，共24分;第18题第一个空1分，第二个空2分.） 11．1 12．x≠3． 13．5 14．假 15．八 16．4 17．24 18．； 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分） 【详解】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5，············（2分） ， ，；············（4分） （2）． 由①得：x≤0； 由②得：x＞﹣2．············（6分） ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤0．············（8分） 20．（5分） 解：原式 ，············（3分） 当a＝2时，原式．············（5分） 21．（8分） 【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠FAD＝∠BEA． ∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝90°＝∠B．············（1分） 在△ABE和△DFA中， ， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AB＝DF；············（4分） （2）解：∵△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AE＝AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD，∠B＝90°，············（5分） 设BC＝x， 则AB2+BE2＝AE2， ∴82+（x﹣4）2＝x2， 解得x＝10， ∴BC＝10．············（8分） 22．（9分） 【详解】解：（1）；············（3分） （2）用表格列出所有可能的结果： A B C D A (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) ············（6分） 共有12种等可能的结果，其中选择A、C两个景点的有2种， 选中A、C两个景点的概率是．············（9分） 23．（10分） 【详解】解：（1）100÷20%＝500（人）， 答：本次抽样调查的样本容量是500．············（3分） （2）解：足球所占的百分比：， 篮球的人数：500×（1﹣20%﹣19%﹣12%﹣20%）＝145（人）， 补全图形如下： ············（7分） （3）解：根据题意得：20000×12%＝2400（人）， 答：全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有2400人．············（10分） 24．（10分） 【详解】解：（1）如图，作∠CBD的平分线，交CD于点F，再过点F作FE⊥BD于点E， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CDB＝45°，∠C＝90°， ∴DE＝EF，EF＝CF， ∴DE＝CF， 则点E即为所求． ············（5分） （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝2，∠C＝90°，∠CDB＝45°， ∴BD． 由（1）知，EF＝CF，∠BEF＝∠C＝90°， ∵BF＝BF， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），············（8分） ∴BE＝BC＝2， ∴DE＝BD﹣BE， ∴DF．············（10分） 25．（10分） 【详解】（1）证明：连接OD，CD， ∵BC是半圆O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°，············（1分） ∵E是AC的中点， ∴． ∴∠EDC＝∠ECD，············（2分） ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD，············（3分） ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCD+∠ECD＝90°， ∴∠ODC+∠EDC＝90°； 即OD⊥DF，············（4分） ∵OD是半径， ∴DF是半圆O的切线；············（5分） （2）解：∵∠A+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴tan∠BCD＝tanA＝2， 即，············（6分） ∵∠DBC+∠OCD＝90°，∠FDC+∠ODC＝90°，∠ODC＝∠OCD， ∴∠DBC＝∠FDC， 又∵∠F＝∠F， ∴△FBD∽△FDC． ∴， ∴，DF2＝CF•BF，············（8分） 设CF＝x，则DF＝2x， ∵BC＝12， ∴BF＝x+12， ∴（2x）2＝x•（x+12）， 解得x＝4，x＝﹣4（舍）， ∴DF＝2x＝8．············（10分） 26．（10分） 【详解】解：（1）∵OD∥AB， ∴△EOD∽△EBA， ∴， 即①，············（2分） ∵CO∥AB， ∴△FOC∽△FBA， ∴， 即②，············（4分） 解由①②组成的方程组得OB＝1.8，AB＝3.9，············（5分） ∵△EOD∽△EBA， ∴， ∴， ∵DN∥OF， ∴△ADN∽△AEF， ∴， 即， 解得DN＝3.6， 答：DN的长为3.6m；············（8分） （2）由（1）得AB的长为3.9m，OB的长为1.8m．············（10分） 27．（13分） 【详解】解：（1）令x＝0，得y＝6，即点A的坐标为（0，6）； 令y＝0，即， 解得x1＝﹣2，x2＝6， ∴点B、C坐标分别为（﹣2，0），（6，0）； 即点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（﹣2，0）、（6，0）；············（3分） （2）如图，过点P作PH⊥x轴于点H， ∵A、C的坐标分别为（0，6）、（6，0），B（﹣2，0）， ∴OA＝OC＝6，OB＝2， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°； ∵PD⊥AC， ∴∠PDC＝90°﹣∠OCA＝45°， ∴∠DPH＝∠PDC＝45°， ∴DH＝PH，············（4分） ∵点P的横坐标为m，且在抛物线上， ∴， ∵点P在抛物线对称轴右侧第一象限，其对称轴为直线x＝2， ∴2＜m＜6，， ∴， ∵PG∥AB， ∴∠ABO＝∠PGH， ∵∠AOB＝∠PHG＝90°， ∴△ABO∽△PGH， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，且2＜m＜6；············（8分） （3）当A为直角顶点时，则AR＝AS，∠RAS＝90°， 如图，过点R、S作y轴的垂线，垂足分别为H、Q， ∵∠OAC＝45°， ∴∠RAH＝180°﹣∠RAS﹣∠OAC＝45°， ∴∠RAH＝∠ARH＝∠OAC＝∠ASQ＝45°， ∴AH＝RH，SQ＝AQ； ∵AR＝AS， ∴Rt△RHA≌Rt△SQA（ASA）， ∴AQ＝SQ＝AH＝RH；············（9分） 设直线AC解析式为y＝kx+b， 把A、C两点坐标分别代入得， 解得， ∴y＝﹣x+6， 设S（a，﹣a+6），则AQ＝SQ＝AH＝RH＝a， ∴OH＝OA+AH＝a+6， ∴点R的坐标为（a，a+6）， ∵点R在抛物线上， ∴， 解得a＝2或a＝0（舍去）， ∴点R的坐标为（2，8）；············（11分） ∴， 即此时点R为抛物线的顶点； ∴抛物线的对称轴为直线x＝2； 由抛物线的对称性，点A关于对称轴的对称点R1（4，6）满足∠ASR＝90°，AS＝SR1， 即△ASR1是以S为直角顶点的等腰直角三角形； 过R1作SR1⊥AR1交AC于点S1，则R1S1∥OA， ∴∠AS1R1＝∠OAC＝∠S1AR1＝45°， 故AR1＝R1S1， 此时△AR1S1是以R1为直角顶点的等腰直角三角形； 综上，满足条件的点R坐标为（2，8）与（4，6）．············（13分） 28．（13分） 【详解】解：（1）80；············（3分） （2）如图，在CD上取一点Q′，使得CQ′＝CQ，连接PQ′，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O． 由（1）可知AC⊥BD， ∵∠DAC＝45°，∠DCA＝30°， ∴OA＝OD，OCOD， 设OD＝OA＝m，则OCm， ∵AC＝6+6， ∴mm＝6+6， ∴m＝6，············（4分） ∴OA＝OD＝6，CD＝2OD＝12， ∴CD＝CB＝12， ∵∠DCA＝∠BCA＝30°， ∴∠BCH＝60°，∠CBH＝30°， ∴CHBC＝6，BH＝6， 在△CPQ和△CPQ′中， ， ∴△PCQ≌△PCQ′（SAS），············（6分） ∴PQ＝PQ′， ∴PB+PQ＝PB+PQ′≥BH＝6， ∴PB+PQ的最小值为6；············（8分） （3）存在， 理由：过点E作EH⊥x轴于点H． ∵PQ∥OF，A（6，6）， ∴OP＝EH＝6， ∵四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”， ∴FE＝FO，FG⊥OE，OM＝ME， ∴S△EMFS△EOF•OF•EHEFEF，············（11分） ∴当EF⊥OF时，EF的值最小，最小值为6， ∴△EMF的面积的最小值为27， 此时E（6，6）， ∴M（3，3）．············（13分） 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考・新动向：命题重基础且全覆盖核心考点，相反数、科学记数法等基础知识点以选择填空基础题呈现，同时实现轻综合，如第 9 题将反比例函数 k 的几何意义与三角形中位线、等腰三角形性质结合；题目梯度鲜明，选择填空从纯基础（1-5 题、11-14 题）过渡到基础综合（6-10 题、15-18 题），解答题按 “计算—证明—应用—压轴” 排布，压轴题多小问设计降低入口难度；新定义成创新载体，第 10 题 “对偶关系”、第 28 题 “对称四边形”，以核心知识为基底考查阅读理解与知识迁移能力。 中考・新考法：常规考点跨模块融合，第 16 题圆的切线性质结合等腰三角形、解直角三角形，第 18 题平行四边形融合折叠性质与勾股定理，打破知识壁垒；经典题型设问创新，第 7 题因式分解考查分解完整性，第 24 题尺规作图要求作出满足 “DE=CF” 的点，实现 “作图 + 推理 + 计算” 融合；压轴题叠加考点与思想，27 题二次函数结合相似、等腰直角三角形，28 题新定义四边形融合全等、解直角三角形，考查数形结合、分类讨论思想。 中考・新情境：生活实际情境深度融入，第 8 题轮船航行考分式方程应用，第 26 题围墙测高考相似三角形应用，要求提取信息建立数学模型；几何操作情境贴合新课标，第 18 题平行四边形折叠、第 24 题正方形尺规作图，强调 “操作—推理—计算” 闭环；学科内创新情境灵活多变，紧扣新定义将函数、四边形知识转化为常规问题求解，考查学生应变能力。 命题・大预测：①基础知识点必考且形式灵活，需夯实基础，强化变式训练，保证基础题不丢分；② 几何综合题持续融合多定理，突出投影、角平分线全等模型，需梳理定理联系，总结模型解法；③ 新定义题型成热点，均基于教材核心，需掌握 “理解定义—转化知识—推导求解” 步骤；④函数综合题聚焦数形结合，结合几何存在性、最值考查，需强化函数与几何转化训练；⑤ 实际应用题侧重建模，需提升信息提取能力，熟练掌握各类应用题解题思路；⑥尺规作图与几何操作题持续创新，需夯实基本作图方法，强化操作后的推理计算。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.） 1．2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．将数据﹣970000用科学记数法表示为（　　） A．9.7×105 B．0.97×106 C．﹣9.7×105 D．﹣0.97×104 3．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a3 C．（a3）3＝a9 D．a2+a2＝a4 4．某校为了解同学们某季度参与“青年大学习”的时长，从中随机抽取5位同学，统计他们的学习时长（单位：分钟）分别为：75，80，85，90，▲（被污损）．若该组数据的平均数为82，则这组数据的众数为（　　） A．75 B．80 C．85 D．90 5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若∠B＝36°，则∠ADE的度数为（　　） A．36° B．54° C．72° D．144° 6．半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 7．下列因式分解中，完全正确的是（　　） A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 C．x2+y2＝（x+y）2 D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2 8．安江镇一艘轮船在静水中最大航速为30km/h，它以最大航速沿沅江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，设江水的流速为v km/h，则方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，点C，点D分别为OA、OB的中点，连接CD，点E为CD上任意一点，连接AE、BE，反比例函数y（x＜0）的图象经过点A，若△ABE的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣6 D． 10． 若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P，Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数y1＝2x+2与函数y2＝﹣x+4不具有“对偶关系”； ②函数y1＝2x+2与函数y2＝﹣x+4的“对偶值”为6； ③若函数y1＝kx﹣2与函数的“对偶值”为2，则k＝2； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则﹣3≤b≤3． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分;第18题第一个空1分，第二个空2分.） 11．计算：　 　 ． 12．在函数中，自变量x的取值范围为 　 ． 13．若5amb4与﹣4a3bn+2是同类项，则m+n的值为 　 　 ． 14．命题“若a≠b，b≠c，则a≠c”是 　 　 命题．（填“真”“假”） 15．正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正 　 　 边形． 16．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，若AB＝4，tan∠CAB＝2，则切线DE的长为 　 　 ． 17．如图，某校园内有一个由两个相同的边长为2m的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为 　 　 m． 18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，BC＝9，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BED，AD与BE交于点F，F恰好为AD的中点，则BF＝ ；△BDE与平行四边形ABCD重叠部分的面积为 　 　 ． 3、 （本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0； （2）解不等式组：． 20．（5分）先化简，再求值：，其中a＝2． 21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F． （1）求证：AB＝DF． （2）若AB＝8，CE＝4，求BC的长． 22．（9分）小亮和父母计划寒假期间从A：无锡鼋头渚、B：南京中山陵、C：连云港花果山、D：苏州拙政园这4个景点中随机选择景点游玩． （1）若小亮一家从中随机选择一个景点游玩，则选中A：无锡鼋头渚的概率为　 　 ； （2）若小亮一家从中随机选择两个景点游玩，请用列举法（画树状图或列表）求选中A、C两个景点的概率． 23．（10分）某市为提高学生参与体育活动的积极性，2026年3月围绕“你最喜欢的体育运动项目（只写一项）”这一问题，对初一学生进行随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是多少？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该市2026年约有初一学生20000人，请你估计全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有多少人？ 24．（10分）已知：如图，BD为正方形ABCD的对角线． （1）在BD上求作一点E，过点E作EF⊥BD，交DC于点F，使得DE＝CF；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知AB＝2，求DF的长． 25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的半圆O交AB于点D，E是AC中点，射线DE交BC的延长线于点F． （1）求证：DF是半圆O的切线； （2）若BC＝12，tanA＝2，求线段DF的长． 26．（10分）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进地面F点时，测得OF＝6m； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，测得窗高CD＝1.8m，窗户距地面的高度OD＝1.2m． 解决问题 （1）如图，靠窗放置一张长方形桌子，DN∥OF，点N在光线AF上，求DN的长； （2）求AB，OB的长． 27．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，C．连接AB，AC，点P是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G． （1）求出点A，B，C的坐标； （2）若点P的横坐标为m，用含m的式子表示DG的长，并写出m的取值范围； （3）如图2，当点P的坐标为（5，）时，若点M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，在点M运动时，抛物线上存在一点R，使得△ARS为等腰直角三角形，请求出此时点R的坐标． 28．（13分）如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 问题发现 （1）如图①，四边形ABCD是“对称四边形，对角线AC，BD交于点O，AC是“对称线”，若AO＝4．OC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是 　 　 ． 问题探究 （2）如图②，四边形ABCD是“对称四边形”，AC是“对称线”，∠DAC＝45°，∠DCA＝30°，AC＝6+6，P，Q分别为线段AC，BC上的动点，求PB+PQ的最小值． 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中．O为坐标原点，已知点A（6，6），过A作射线PQ∥x轴，交y轴于点P，E为射线AQ上的动点（不与点A重合），G，F分别为线段AO和x轴正半轴上的动点，连接EG，EF，点M是线段OE与GF的交点，并且四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”．请问△MEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2/7 学科网（北京）股份有限公司 $