专题07：空间向量与立体几何讲义（思维导图+10大考点精练+真题检验）- 2026届高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）

2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用） 专题07 空间向量与立体几何 考点01：空间向量的概念与运算 1. （2025上海市徐汇中学高三三模）空间向量的单位向量的坐标是__________． 2.（2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷） 已知空间向量，，共面，则实数______ 3. （2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 4.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则________ 5. （2025行知中学高三6月模拟）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于______. 6.（2026届高三青浦区一模）如图，在四面体中，为的中点，，且为的中点,设,用表示，则_____. 7. 已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为________. 考点02：平面基本性质的理解 8.以下选项正确的是_______ (1)空间中两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. (2)过空间中任意三点有且仅有一个平面. (3)若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. (4)若直线平面，直线平面，则. 9．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．经过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一平面的两直线相互平行 C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 10.如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 考点03：异面直线的判定 11. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 12.（2026届高三长宁区一模）如图,已知分别是正方体所在棱的中点,则下列直线中与直线异面的是（ ） A.直线; B.直线;C.直线; D.直线. 13.（2025上海宝山区高三三模） 如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ） A. B. C. D. 14．（2025·上海·模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 考点04：空间中的位置关系的判定 15. 已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. B. C. D. 16.（2026届高三黄埔区一模）设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( ). A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 17. （2024青浦区高三三次学业监测）已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. B. C. D. 18.（2026届高三奉贤区一模）设是互不重合的平面,是互不重合的直线,给出四个命题: ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 19. （2025建平中学高三下学期三模）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 20.（2026届高三静安一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（ ） A.垂直于同一条直线的两条直线平行. B.垂直于同一个平面的两个平面平行. C.若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直. D.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直. 21. （2025上海市金山中学高三三模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 考点05：空间几何体的表面积和体积 22. （2025进才中学高三模拟）已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______． 23. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为________． 24. （2025届上海市大同中学高三三模）某圆锥高为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为________ 25. （2025上海市崇明中学高三三模）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 26. （2025上海宝山区高三三模）若球的大圆的面积为，则该球的体积为________ 27. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________． 28. 已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 29. （2025上海市徐汇中学高三三模）已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为______. 30. （2025上海市格致中学高三三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 31.如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为_______ 32. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为_______ 考点06：空间中角与距离问题 33. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 34. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知一圆锥的侧面积与底面积的比值为2，则该圆锥的母线与底面所成的角为_____. 35. （2024学年宜川中学高三模拟）正四面体中，相邻两个面所成的锐二面角的大小为______. 36.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 已知圆锥底面半径为，母线长为2，点A为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 37. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是________． 考点07：直线与平面平行、垂直的证明（综合题） 38. （2025上海宝山区高三三模）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值. 39. （2025上海市格致中学高三三模）图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 40. （2025上海市崇明区高三三模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径. （1）求证：； （2）若，，圆柱体积为，求异面直线与所成角的大小. 41. （2025届上海市大同中学高三三模）如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角大小为. （1）证明：平面； （2）求的长. 42. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）如图，三棱柱中､四边形是菱形，且，，，， （1）证明：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值； 考点08：空间中的角与距离问题（综合题） 43. （2025进才中学高三模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，PAD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点． （1）求证：PQ∥平面D1DCC1； （2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值． 44. （2025七宝中学高三三模）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面. （1）求该圆锥的体积： （2）求异面直线与所成角的大小. 45. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）如图，四边形是圆柱的轴截面，，，以圆柱上底面为底面作高为的圆锥，、分别在、上，，. （1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角的余弦值. 46. 如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合） （1）证明：平面平面； （2）若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值． 47. （2025上海市徐汇中学高三三模）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上． （1）求直线和平面所成角的大小； （2）求该几何体的表面积． 考点09：存在性问题（综合题） 48. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. （1）求证：； （2）记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小. 考点10：最值与范围问题（综合题） 49.（2026届高三普陀一模）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于、两点的点. （1）设平面平面，求证:； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 1.（2025·全国2卷·14题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　 ． 2．（2025·天津卷·4题）若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2024·甲卷（文）·11题）设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或          ②若，则 ③若，且，则       ④若与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 4.（2024·新高考Ⅰ卷·5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·新高考Ⅱ卷·7题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．【2022年上海市高考数学第5题】已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为　　　　． 7.（2022·新课标甲卷·文10题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 8．【2021年上海市高考数学第9题】已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为 　　　　． 9.（2021·新高考2卷·5题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 10.（2021·新课标甲卷·文14题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 11.（2025·上海·18题）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且． （1）若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，．设点在线段上，证明：直线平面． 12．（2024·北京·17题）已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用） 专题07 空间向量与立体几何 考点01：空间向量的概念与运算 1. （2025上海市徐汇中学高三三模）空间向量的单位向量的坐标是__________． 【答案】 【分析】单位向量只需根据即可求出. 【详解】，，. 故答案为： 2.（2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷） 已知空间向量，，共面，则实数______ 【答案】3 【分析】根据空间向量共面得到，得到方程，求出 【详解】设，即， 故，解得. 故答案为：3 3. （2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 【答案】## 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 4.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则_____ 答案：. 5. （2025行知中学高三6月模拟）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意，. 故答案为： 6.（2026届高三青浦区一模）如图，在四面体中，为的中点，，且为的中点,设,用,表示，则_____. 【解析】 7. 已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】不妨设，，，，由空间向量模的意义及条件可得，进而求出范围. 【详解】不妨设，，，则. 设，则有， 所以， 由，及， 因此得到等式，即， 所以. 故答案为：. 考点02：平面基本性质的理解 8.以下选项正确的是（   ） A．空间中两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. B．过空间中任意三点有且仅有一个平面. C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. D．若直线平面，直线平面，则. 【答案】(1)(4) 【解析】对于(1)，可设与相交， 这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内， 同理，与的交点也在平面内，所以，，即，故(1)正确； 对于(2)，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故(2)错误； 对于(3)，空间中两条直线相交、平行或异面，故(3)错误； 对于(4)，若直线平面，则垂直于平面内所有直线， 直线平面，直线直线，故(4)正确. 故选：(1)(4). 9．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．经过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一平面的两直线相互平行 C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 【答案】D 【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误； 平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误； 由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误； 如果两个相交平面垂直于同一个平面，且，则在平面、内分别存在直线垂直于平面，由线面垂直的性质可知，再由线面平行的判定定理得，由线面平行的性质得出，则，故D正确； 故选：D 10.如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以． 因为，所以，，所以． 还原直观图得到，如图所示．    因为，，所以． 故选：B 考点03：异面直线的判定 11. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 选：D. 12.（2026届高三长宁区一模）如图,已知分别是正方体所在棱的中点,则下列直线中与直线异面的是（ ） A.直线; B.直线;C.直线; D.直线. 【解析】由异面直线判定定理得与直线异面的是 故选：D. 13.（2025上海宝山区高三三模） 如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答. 【详解】在长方体中， ，当是与的交点时，平面，与相交，A不是； 当点与重合时，平面，与相交，B不是； 当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是； 因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是. 故选：D 14．（2025·上海·模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【解析】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 考点04：空间中的位置关系的判定 15. 已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果. 【详解】对于A，，则与相交、平行或，故A错误； 对于B，，则与相交、平行或，故B错误； 对于C，，由线面垂直的性质知，故C正确； 对于D，，则与相交、平行或，故D错误 故选：C. 16.（2026届高三黄埔区一模）设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( ). A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【解析】若,则，正确； 故选：C. 17. （2024青浦区高三三次学业监测）已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果. 【详解】对于A，，则与相交、平行或，故A错误； 对于B，，则与相交、平行或，故B错误； 对于C，，由线面垂直的性质知，故C正确； 对于D，，则与相交、平行或，故D错误. 故选：C. 18.（2026届高三奉贤区一模）设是互不重合的平面,是互不重合的直线,给出四个命题: ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】③若，则正确；④若，则 其中正确命题的个数是为两个；故选：B. 19. （2025建平中学高三下学期三模）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可. 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C 20.（2026届高三静安一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（ ） A.垂直于同一条直线的两条直线平行. B.垂直于同一个平面的两个平面平行. C.若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直. D.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直. 【答案】D 【解析】一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直.正确；故选：C. 21. （2025上海市金山中学高三三模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 【答案】D 【分析】取线段的中点，求证平面平面，即可逐一分析选项. 【详解】取线段的中点，连接，则， 因点分别是棱的中点，则，则， 因平面，平面，则平面， 因，，，，则，， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 故欲使在正方形（包括边界）内，且平面， 则点必在线段上； A选项：当为时，无法得出平面，故A错误； B选项：当为的中点，无法得出平面，故B错误； C选项：的轨迹长度为，无法说明点在线段上， 但若平面，则的轨迹长度为， 则的轨迹长度为是平面的必要不充分条件，故C错误； D选项：为的中点，即点重合时，必有平面， 但平面时，不一定为的中点， 故为的中点是平面的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 考点05：空间几何体的表面积和体积 22. （2025进才中学高三模拟）已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求解即得. 【详解】令扇形所在圆的半径为，依题意，，所以. 故答案为：3 23. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，先求底面半径，再根据求，利用圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，，即， 所以，所以圆锥侧面积为， 故答案为：. 24. （2025届上海市大同中学高三三模）某圆锥高为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为________ 【答案】 【分析】根据给定条件，确定圆锥轴截面三角形形状，求出圆锥底面圆半径及母线长即可. 【详解】由母线与底面所成的角为，得该圆锥轴截面是等腰直角三角形，而该圆锥的高为1， 即轴截面是等腰直角三角形斜边上的高为1，因此底面圆半径，母线， 所以该圆锥的表面积为. 故答案为： 25. （2025上海市崇明中学高三三模）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为. 26. （2025上海宝山区高三三模）若球的大圆的面积为，则该球的体积为________ 【答案】 【分析】根据球的大圆的面积，先计算出球的半径，进而可得球的体积． 【详解】设球的半径为R， 则球的大圆面积为9π=πR2， 解得R=3， 故该球的体积V=πR3=36π， 故答案为36π 【点睛】本题考查了球的体积公式，面积公式，属于基础题． 27. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________． 【答案】 【分析】由已知可求圆锥底面圆的半径与母线，设轴截面的内切圆半径为，进而由，可求得，进而可求得球的表面积. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，， 易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，，且点为边上的中点， 设内切圆的圆心为，由于， 故， 设内切圆半径为，则， 解得，其表面积为. 故答案为：. 28. 已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求出球的直径，进而求出球的半径和表面积. 【详解】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为 所以球的半径为． 故选：B 29. （2025上海市徐汇中学高三三模）已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为______. 【答案】## 【分析】过作于，利用勾股定理求出，再利用棱台的体积公式求解即可. 【详解】过作于，则， 因为平面，所以平面， 在中，， 可得， 从而棱台的高， 所以四棱台的体积为： 故答案为：. 30. （2025上海市格致中学高三三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 【答案】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再应用体积公式计算求解. 【详解】 如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中， 则三棱锥 外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， . 故答案为：. 31.如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为_______ 【解析】设，则，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点，，则， ，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 且，因此， 该正四棱台的体积为. 32. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为_______ 【解析】将该多面体放入正方体中, 如图所示. 由于多面体的棱长为, 所以正方体的棱长为 因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得,所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即，所以 所以该多面体外接球的体积 . 考点06：空间中角与距离问题 33. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案. 【详解】①由题意作图如下： 由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下： 由图易知为等边三角形，则直线与夹角为； ③由题意作图如下： 由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 34. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知一圆锥的侧面积与底面积的比值为2，则该圆锥的母线与底面所成的角为_____. 【答案】## 【分析】利用侧面积和底面积公式即可求出，即可求出圆锥的母线与底面所成的角的余弦值. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则底面积，侧面积， 由题知：，得， 设圆锥的母线与底面所成的角，则，得. 故答案为： 35. （2024学年宜川中学高三模拟）正四面体中，相邻两个面所成的锐二面角的大小为______. 【答案】 【分析】在正四面体中，作出正四面体中相邻平面的二面角，利用余弦定理可求其锐二面角的大小. 【详解】 在正四面体中，E为中点，则， 又平面平面，所以就是平面与平面所成锐二面角的平面角， 设正四面体棱长为，，， 所以相邻两个面所成的锐二面角的大小为. 故答案为：. 36.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 已知圆锥底面半径为，母线长为2，点A为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，结合等腰直角三角形，即可求得最短距离. 【详解】由题意，圆锥底面半径为，母线长为2， 因为圆锥底面半径为，可得底面周长为， 可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，如图所示， 则三角形为边长为2的等腰直角三角形，所以最短距离为. 故答案为： 37. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据圆柱的结构特征及异面直线定义，数形结合判断线段长度范围. 【详解】如下图， 要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合， 假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为3； 若与重合时线段AB长度最大为， 综上，线段AB长度的取值范围是. 故答案为： . 考点07：直线与平面平行、垂直的证明（综合题） 38. （2025上海宝山区高三三模）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系求出平面的法向量，进而利用向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 连接交于点是的中点，是中点.. 又平面平面平面. 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系.则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 是平面的一个法向量.， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为. 39. （2025上海市格致中学高三三模）图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点为，连接和，证明四边形为平行四边形， 可得，再由线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量法求解即可 【小问1详解】 图二中，取线段的中点为，连接和， ∵点为的中点， ∴且； 由题易知：且， ∴且； ∴四边形为平行四边形， ∴； ∵平面，平面， ∴平面 【小问2详解】 由题知：在图一中，、都是正三角形，且点为的中点， 则有，，，， 此时； 设三棱锥的高为，则，则， 即点到平面的距离为1，而，故平面； 则可以建立如图所示的空间直角坐标系， 且，，，， 则，，； 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 则， 设二面角的平面角为， 则 40. （2025上海市崇明区高三三模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径. （1）求证：； （2）若，，圆柱体积为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，即可求解； （2）延长交圆于点，连接、、，易知或其补角即为所求的角，即可求解. 【小问1详解】 证明：易知， 又由平面，平面，得， 而平面， 则平面，而平面，故. 【小问2详解】 延长交圆于点，连接、、， 易知或其补角即为所求的角， 由题知，解得， 中， 由余弦定理得， 所以，所以异面直线与所成角的大小为. 41. （2025届上海市大同中学高三三模）如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角大小为. （1）证明：平面； （2）求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得，把这个三棱锥换成以作底面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即， 又，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 把这个三棱锥换成以作底面，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 设，则，则，， ，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 因为二面角的大小为， 所以，解得. 42. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）如图，三棱柱中､四边形是菱形，且，，，， （1）证明：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于O，连接，证明可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离，再由线面角公式求解即可. 【小问1详解】 连接交于O，连接，如图， 四边形是菱形，所以， 又，，是的中点， 所以且， 由，可知为正三角形， 所以，， 在中，，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面 【小问2详解】 设到平面的距离为， 因为中，，， 所以， 又，， 所以由，可得, 即, 设直线和平面所成角为， 则. 考点08：空间中的角与距离问题（综合题） 43. （2025进才中学高三模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，PAD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点． （1）求证：PQ∥平面D1DCC1； （2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接AC，CD1，推导出PQ∥CD1，由此能证明PQ∥平面D1DCC1． （2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，推导出四边形FPDE是平行四边形，从而∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角，由此能求出异面直线CE和DP所成角的余弦值． 试题解析：（1）证明：连接.∵底面 ∴ 取 ∴ 故四边形是平行四边形，∴ ∴或其补角中的锐角或直角为异面直线和所成角. 在 ∴异面直线和所成角的余弦值为． 44. （2025七宝中学高三三模）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面. （1）求该圆锥的体积： （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）（2） 【分析】(1)运用圆锥的体积公式求解； (2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解. 【详解】解：（1）设该圆锥的母线长为，底面圆半径为，高为， 由题意，∴， 底面圆周长，∴， ∴， 因此，该圆锥的体积； （2）如图所示，取弧的中点，则， 因为垂直于底面，所以、、两两垂直 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 计算得，，，， 所以，， 设与所成角的大小为， 则， 所以， 即异面直线与所成角的大小为. 【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题. 45. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）如图，四边形是圆柱的轴截面，，，以圆柱上底面为底面作高为的圆锥，、分别在、上，，. （1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）表面积为，体积为；（2）. 【解析】 【分析】（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为， 因为为圆锥的高，且，所以，圆锥的母线长为， 又，因此，该几何体的表面积为. 该几何体的体积为； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则点，，，， 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， ， 由图象可知，二面角为锐角，它的余弦值为. 【点睛】本题考查组合体的表面积与体积的计算，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题. 46. 如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合） （1）证明：平面平面； （2）若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）面面垂直判定应用，由两个线线垂直：，，得线面垂直，进而得面面垂直； （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 在半圆柱内，平面，所以； 因为为上底面对应圆的直径，所以， 又，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 根据题意以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以，，，，， 所以，， 平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 取，所以， 由图可知，二面角为钝角， 所以所求二面角的余弦值为. 47. （2025上海市徐汇中学高三三模）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上． （1）求直线和平面所成角的大小； （2）求该几何体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）找到直线和平面所成角等于，由，求出线面角； （2）求出圆锥表面积的一半加上、和的面积即可. 【小问1详解】 连接，由题意，⊥平面，故直线在平面上的射影为直线， 因此直线和平面所成角等于． 因为是以为直径的等腰直角三角形，所以． 因此，由知． 即直线和平面所成角的大小为． 【小问2详解】 由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、和的面积． 因为圆锥的高，圆锥的底面半径，所以圆锥的母线长为， 表面积为． 在和中，，， 所以，得． 同理． 因此． 而， 因此，所求表面积为． 考点09：存在性问题（综合题） 48. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. （1）求证：； （2）记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析，理由见解析，， 【解析】 【分析】（1）通过条件证明面，进而证明面，即可求解； （2）以为临边，构造矩形,通过中位线可说明点即为点，再通过二面角平面角的概念求得为二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 因为，， ， 所以，所以，即， 图2中，， 则,所以，又， 又为平面内两条相交直线， 所以面，又在面， 所以又， 为平面内两条相交直线， 所以面，又在面内， 所以. 【小问2详解】 以为临边，构造矩形,连接，易知过点， 因为分别为的中点， 所以，又在平面内，在平面外，所以平面, 即点就是点， 由（1）知面，在面内， 所以，又， 是平面内两条相交直线， 所以面，在面内， 所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为, 所以， 所以二面角的大小为. 考点10：最值与范围问题（综合题） 49.（2026届高三普陀一模）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于、两点的点. （1）设平面平面，求证:； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 【解析】（1）由已知得，又平面，在平面外， 则平面, 4分 又平面平面平面 则. 6分 （2）设的边上的高为，则，， 当三棱锥的体积最大时，，即为的中点， 2分 又平面是在平面上的投影，， 由三垂线定理得，， 则是二面角的平面角, 6分 在直角三角形中,,则, 即所求的二面角的余弦值为. 1.（2025·全国2卷·14题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　 ． 【答案】 【解析】若两铁球相切，且下方铁球与底面和侧面均相切，轴截面如图， 则球的半径，此时，故不符合题意； 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心均在圆柱上下底面中心连线上，如图， 则铁球半径满足，此时； 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心分别在圆柱轴截面对角的角平分线上，轴截面如图， 其中为轴截面对角线，、为两球球心， 分别过作的平行线，过作的平行线，两线交于点， 设铁球半径为，则，，， 所以，解得或（舍去），故此时． 综上，铁球半径的最大值为． 故答案为：． 2．（2025·天津卷·4题）若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】对于，若，，则与可能平行也可能异面，故错误； 对于，若，，则，故错误； 对于，若，，则，正确； 对于，若，，则可能平行于，也可能与斜交，也可能垂直于，故错误． 故选：． 3．（2024·甲卷（文）·11题）设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或          ②若，则 ③若，且，则       ④若与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【解析】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 4.（2024·新高考Ⅰ卷·5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 5.（2024·新高考Ⅱ卷·7题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 6．【2022年上海市高考数学第5题】已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为　　　　． 【答案】24π． 【解答】解：因为圆柱的底面积为9π，即πR2＝9π， 所以R＝3， 所以S侧＝2πRh＝24π． 故答案为：24π． 7.（2022·新课标甲卷·文10题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以， 又，则，所以，所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高，所以. 故选：C. 8．【2021年上海市高考数学第9题】已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为 　　　　． 【答案】 【解答】解：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O'， 连接OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M， 则， 根据题意，AB为定值2，所以S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化， 如图2所示，当点M与点O重合时，CM＝OC， 此时S△ABC取得最大值为； 如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2， 此时S△ABC取得最小值为． 综上所述，S△ABC的取值范围为． 故答案为：． 9.（2021·新高考2卷·5题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：D. 10.（2021·新课标甲卷·文14题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 【答案】 【解析】∵∴∴ ∴. 故答案为：. 11.（2025·上海·18题）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且． （1）若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，．设点在线段上，证明：直线平面． 【解析】：（1）如图，连接，依题意及圆锥的性质得，，， 所以， 所以圆锥的侧面积． （2）证明：连接，，， 因为是母线的中点，是底面圆的直径， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为， 所以， 因为， 所以， 则△为等边三角形，， 所以， 所以△为等边三角形，， 所以， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面， 而，，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 解法二：同解法一 （1） 连接，，， 在中 ，为等边三角形可得四边形为平行四边形 解法三：同解法一 （1） ，设的中点为，建立坐标系为坐标原点，以分别为轴，可得.所以，设是平面的一个法向量，令，可得。所以。 令则，， , 所以，即 12．（2024·北京·17题）已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $