专题03：复数 讲义（思维导图+8大考点精练+真题检验）- 2026届高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）

2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用） 专题03 复数 考点1：复数的运算 1.已知，则__________ 2.设为虚数单位，若复数，则________ 3.若复数满足，则_______ 4.已知复数z满足：，则______ 5.已知，，若，则______ 6. （2025行知中学高三6月模拟）已知两个复数的和为4、积为6，这两个复数为___________.． 7.若（a，，i为虚数单位），则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 考点2：复数的实部与虚部 8.（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 9.（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 10. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）若复数在复平面内对应的点为，则________． 11. （2025上海市徐汇中学高三三模） 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z虚部为______. 12. （2025华东师大三附中高三三模）复数的虚部是______． 13.已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为_______ 14. （2024青浦区高三三次学业监测）已知非零复数满足，则的虚部为_______． 15. （2025进才中学高三模拟）若复数满足（是虚数单位），则的虚部是______. 16. （2025届上海市大同中学高三三模）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 考点3：复数的分类 17. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）设，i为虚数单位，若为纯虚数，则______. 18.若复数为纯虚数，则实数_____ 19.已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数_____ 20.设，若为实数，则______ 21．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 考点4：共轭复数 22. 如果复数满足（为虚数单位），则______. 23． 若复数满足，其中为虚数单位，则 ． 24.已知复数 ，则 ______ 25. （2025上海市崇明区高三三模）若复数（是虚数单位），则____________. 26．（2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 考点5：复数的模 27. （2025建平中高三下学期三模）复数，则______． 28. （2025上海市崇明中学高三三模）已知复数为虚数单位，则__________． 29. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知复数满足(为虚数单位)，则_____. 30. （24-25长宁区高三监测练习试卷）设为虚数单位，若复数满足，则________. 31. （24-25长宁区高三监测练习试卷）已知复数，其中为虚数单位，则的值为________． 32.（2026届高三奉贤区一模）若复数满足，，则复数_____. 33.（2025复旦大学附属中学高三（上）阶段练习） 设为虚数单位，若复数满足，则________. 34. （2024学年宜川中学高三模拟）已知复数满足（其中为虚数单位），则______. 35. （24-25长宁区高三监测练习试卷）已知复数和复数满足（为虚数单位），则__________. 考点6：复数的几何意义 36. （2025上海市进才中学高三5月模拟）若，则复数对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 37 （2025上海市格致中学高三三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 38. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则_________． 39.（2026届高三松江区一模）复数(其中是虚数单位)在复平面内对应点的坐标为_____. 40.（2026届高三宝山区一模）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是( ) A. B. C. D. 41．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 考点7：实系数一元二次方程 42.已知复数是关于的方程的根，则 . 43.（2026虹口区高三一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则_____. 44.（2026届高三黄埔区一模）已知是虚数单位，则_____. 45.已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为 . 46.（2026届高三崇明区一模）已知,且(是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是（ ） A. B. C. D. 考点8：与复数模相关的轨迹图形问题 47.已知复数，（为虚数单位）则的最大值是______ 48. 复数，，则的最大值是__________. 49.若复数z满足，那么的最大值是_____ 50.若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 51．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 52. （2025上海市金山中学高三三模）已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________． 53. （2025上海市育才中学高三三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 1．（2025上海高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 2．（2025全国二卷高考）已知，则（   ） A． B． C． D．1 3．（2025全国一卷高考）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 4．（2024全国甲卷高考）设，则（    ） A． B． C． D．2 5．（2024上海高考）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 6．（2024年上海春季卷03）已知，则＝　　． 7．（2024全国甲卷高考）若，则（    ） A． B． C．10 D． 8．（2024新课标Ⅱ卷高考）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 9．【2023年上海卷06】已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝　 　． 10．（2023北京高考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 11．（2023全国乙卷·高考）（    ） A．1 B．2 C． D．5 12．（2023全国甲卷）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 13．（2023新课标Ⅱ卷高考）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（2024·天津高考）是虚数单位，复数 ． 15．（2023·上海高考）已知当，则 ； 16．【2022年上海卷01】已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2　 　． 17．（2022·上海春考卷01）已知 ，则 　 　 18．【2021年上海卷01】已知z1＝1+i，z2＝2+3i，则z1+z2＝　 　． 19．（2020上海春考04）已知复数满足，则的实部为　　． 20. (2020上海高考）已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则|z|＝　　　　． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用） 专题03 复数 考点1：复数的运算 1.已知，则__________ 【详解】由题意得，. 2.设为虚数单位，若复数，则________ 【分析】利用复数的除法化简复数即可. 【详解】. 3.若复数满足，则_______ 【详解】因为，所以. 4.已知复数z满足：，则______ 【详解】由， 5.已知，，若，则______ 【详解】由题意可得，， ， 则， 则. 6. （2025行知中学高三6月模拟）已知两个复数的和为4、积为6，这两个复数为___________.． 【答案】和 【解析】 【分析】由韦达定理构造方程，再求解方程即可. 【详解】设这两个数分别是，则， 因此这两个数是方程的两个根， 整理得，解得， 所以这两个复数为和． 故答案为：和 7.若（a，，i为虚数单位），则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的乘法计算结合复数相等得出参数即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，，得，，所以． 故选：A． 考点2：复数的实部与虚部 8.（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 【答案】/2.5 【分析】根据复数的运算法则求出，再写出复数的虚部即可. 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 9.（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 10. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）若复数在复平面内对应的点为，则________． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，复数与复平面内点的一一对应关系，得出复数虚部. 【详解】由题意知，虚部为1. 故答案为：1. 11. （2025上海市徐汇中学高三三模） 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z虚部为______. 【答案】 【分析】设，利用复数相等可得答案. 【详解】设，， 则， 所以，解得， 则z的虚部为. 故答案为：. 12. （2025华东师大三附中高三三模）复数的虚部是______． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的概念即得. 【详解】， 故复数的虚部是. 故答案为： 13.已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为_______ 【分析】由复数的乘方运算和除法运算，以及实部和虚部的概念可得结果. 【详解】由，可得， 所以的实部为，虚部为，则实部与虚部和为. 14. （2024青浦区高三三次学业监测）已知非零复数满足，则的虚部为_______． 【答案】 【分析】设，根据复数的模得到方程组，解得即可. 【详解】设，则， 因为，，所以，解得或（舍去）， 所以，则的虚部为. 故答案为： 15. （2025进才中学高三模拟）若复数满足（是虚数单位），则的虚部是______. 【答案】2 【分析】根据复数代数形式的除法化简复数，即可得解； 【详解】解：因为，所以，故的虚部是2 故答案为：2 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的相关概念，属于基础题. 16. （2025届上海市大同中学高三三模）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 考点3：复数的分类 17. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）设，i为虚数单位，若为纯虚数，则______. 【答案】2 【分析】由复数的乘法运算与纯虚数的概念求解即可 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得， 故答案为：2 18.若复数为纯虚数，则实数_____ 【详解】复数为纯虚数，则，解的. 19.已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数_____ 【分析】利用待定系数法结合复数乘法、复数相等的充要条件即可求解. 【详解】设，则， 所以，所以，所以． 20.设，若为实数，则______ 【详解】因为 为实数， 可得 21．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果. 【详解】因为， 所以复数是纯虚数，则满足，则， 故答案为：. 考点4：共轭复数 22. 如果复数满足（为虚数单位），则______. 【答案】## 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，进而求出复数. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 23． 若复数满足，其中为虚数单位，则 ． 答案： 24.已知复数 ，则 ______ 【分析】先求复数的共轭复数，利用复数的乘法运算即可求解. 【详解】由题意有，所以， 25. （2025上海市崇明区高三三模）若复数（是虚数单位），则____________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义，结合复数乘法、减法求解即得. 【详解】复数，则， 所以. 故答案为： 26．（2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解. 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 考点5：复数的模 27. （2025建平中高三下学期三模）复数，则______． 【答案】 【分析】由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数，则. 故答案为： 28. （2025上海市崇明中学高三三模）已知复数为虚数单位，则__________． 【答案】 【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 29. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知复数满足(为虚数单位)，则_____. 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出，再根据复数模的公式计算可得结果. 【详解】因为，则. 所以. 故答案为： 30. （24-25长宁区高三监测练习试卷）设为虚数单位，若复数满足，则________. 【答案】2 【分析】设复数，，计算出，利用复数相等求出，即得. 【详解】设复数，，则， 所以， 因为， 所以， 则，所以. 故答案为：. 31. （24-25长宁区高三监测练习试卷）已知复数，其中为虚数单位，则的值为________． 【答案】 【分析】先由，利用复数乘法求出，再用模长公式求其模长即得. 【详解】由，可得， 故. 故答案为：. 32.（2026届高三奉贤区一模）若复数满足，，则复数_____. 【答案】 【解析】设， 所以 所以 33.（2025复旦大学附属中学高三（上）阶段练习） 设为虚数单位，若复数满足，则________. 【答案】2 【分析】设复数，，计算出，利用复数相等求出，即得. 【详解】设复数，，则， 所以， 因为， 所以， 则，所以. 故答案为：. 34. （2024学年宜川中学高三模拟）已知复数满足（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【分析】应用复数模的运算有且，即可得. 【详解】由，则，故. 故答案为： 35. （24-25长宁区高三监测练习试卷）已知复数和复数满足（为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值. 【详解】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 考点6：复数的几何意义 36. （2025上海市进才中学高三5月模拟）若，则复数对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【分析】先进行复数化简，再根据几何意义得解. 【详解】，化简，即,即. 根据复数几何意义知道，对应的点为，在第四象限. 故选：D. 37 （2025上海市格致中学高三三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 【答案】三 【分析】由复数的除法、复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，则在复平面内，z对应的点为在第三象限. 故答案为：三. 38. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则_________． 【答案】## 【分析】根据复数的几何意义，可得，进而可得，再根据复数的乘法进行运算即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，则， 所以 故答案为：. 39.（2026届高三松江区一模）复数(其中是虚数单位)在复平面内对应点的坐标为_____. 【答案】 【解析】，在复平面内对应点的坐标为 40.（2026届高三宝山区一模）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，向量所对应的复数是，故选：A. 41．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 考点7：实系数一元二次方程 42.已知复数是关于的方程的根，则 . 【答案】26 【分析】依据题意可知也是方程的根，然后利用韦达定理可知. 【详解】由题可知：复数是关于的方程的根， 则也是方程的根， 所以. 故答案为：26 43.（2026虹口区高三一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则_____. 【答案】 【解析】由题意可知所以. 44.（2026届高三黄埔区一模）已知是虚数单位，则_____. 【答案】 【解析】 46.（2026届高三崇明区一模）已知,且(是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以，所以，解得.故选：C 考点8：与复数模相关的轨迹图形问题 47.已知复数，（为虚数单位）则的最大值是______ 【详解】设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，则点在标准单位圆上，， 则，其中为坐标原点， 所以的最大值是3. 48. 复数，，则的最大值是__________. 【答案】## 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】由题意可得，由三角不等式可得. 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 49.若复数z满足，那么的最大值是_____ 【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 50.若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 51．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 52. （2025上海市金山中学高三三模）已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据已知分析出中对应的轨迹圆，结合交集结果知两圆有交点，利用圆与圆的相交关系列不等式求参数范围. 【详解】由，， 所以的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部， 则的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部，如下图所示， 对于集合中，则，结合集合的描述知， 即的轨迹是以的轨迹上的每一点为圆心，半径为1的圆的并集， 对于集合中，即的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆， 由，即中对应的轨迹有交点，则能成立， 由上图知，，即， 所以，可得，即. 故答案为： 53. （2025上海市育才中学高三三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的运算法则得，结合条件得，再利用复数和圆的几何意义，即可求解. 【详解】复数是纯虚数， ，，解得， ，其对应的点为， 为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上， 所以与之间的最小距离. 故答案为：. 1．（2025上海高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 2．（2025全国二卷高考）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3．（2025全国一卷高考）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 4．（2024全国甲卷高考）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 5．（2024上海高考）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 6．（2024年上海春季卷03）已知，则＝　　． (分析)利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解． (解答)解：由题意可得z＝i（1+i）＝﹣1+i， 所以＝﹣1﹣i． 故答案为：﹣1﹣i． (点评)本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题． 7．（2024全国甲卷高考）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 8．（2024新课标Ⅱ卷高考）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 9．【2023年上海卷06】已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝　 　． 【答案】． 【解答】解：∵z＝1﹣i， ∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|． 故答案为：． 10．（2023北京高考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 11．（2023全国乙卷·高考）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 12．（2023全国甲卷）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 13．（2023新课标Ⅱ卷高考）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 14．（2024·天津高考）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 15．（2023·上海高考）已知当，则 ； 【答案】 【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案. 【详解】，. 故答案为：. 16．【2022年上海卷01】已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2　 　． 【答案】2﹣2i 【解答】解：z＝1+i，则1﹣i，所以22﹣2i． 故答案为：2﹣2i． 17．（2022·上海春考卷01）已知 ，则 　 　 (答案)2-i (知识点)复数的基本概念 (解析)(解答)解：∵z=2+i， ∴ 故答案为：2-i (分析)根据共轭复数的定义求解即可. 18．【2021年上海卷01】已知z1＝1+i，z2＝2+3i，则z1+z2＝　 　． 【答案】3+4i 【解答】解：因为z1＝1+i，z2＝2+3i， 所以z1+z2＝3+4i． 故答案为：3+4i． 19．（2020上海春考04）已知复数满足，则的实部为　　． (分析)设，．根据复数满足，利用复数的运算法则、复数相等即可得出． (解答)解：设，． 复数满足， ， 可得：，，解得，． 则的实部为2． 故答案为：2． 20.(2020上海高考）已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则|z|＝　　　　． 【答案】解：由（1+i）z＝1﹣7i， 得， 则|z|． 故答案为：5． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $