专题09：函数 （思维导图+10大考点精练+真题检验）讲义-2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）

2026年高考数学百日冲刺基础全通关（上海专用） 专题09 函数 考点01：指数对数的运算 1. （2025上海市崇明区高三三模）已知，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】先把指数式化为对数式求出的值，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由已知，则， 所以. 故答案为：1. 2. （2025复旦大学附属中学高三期末）方程的解为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】由对数运算法则化方程为．再根据对数函数的性质求解． 【详解】由得， 所以，解得． 故答案为：8． 3. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）若正实数、满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算公式，求出实数、满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意得，可得， 由对数性质可知，根据基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 4. （2025届上海市大同中学高三三模）已知正实数满足，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解. 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 考点02：基本初等函数 5. 已知幂函数在上严格增，则实数__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质有，即可求. 【详解】由题设，可得. 故答案为：2 6.（2025上海宝山区高三三模） 已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，进而得的定义域与单调性，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题可设，因为函数过点， 所以，所以函数， 所以函数是定义在上的增函数， 所以若，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 7. （2024松江二中期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可. 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 8.（2025闵行中学开学考试）若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.  【答案】(0,2) 【解析】在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象,如图所示. ∴当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0,2). 8.设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案. 【解析】令，可得恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 9.已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】解：当时，，解得， 当时，，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 考点03：函数的概念与表示 10．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由题意可得关于x的不等式组求解． 【解析】由，解得且. ∴函数的定义域为． 故答案为：. 1.1 （2025进才中学高三模拟）函数的定义域是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数式的真数大于求解出的取值范围即为定义域. 【详解】因为，所以， 所以定义域为， 故答案为：. 12. （2025上海市徐汇中学高三三模）函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出和定义域，再求交集. 【详解】由题意 ， ； 故答案为： . 13. （2025上海市崇明中学高三三模）已知函数，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用分段函数解析式，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 14. 已知函数，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 15. （2025上海市金山中学高三三模）已知函数，其中，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据自变量的取值代入求值即可. 【详解】因为时，， 所以， 故答案为： 16.已知函数是奇函数，当时，，当时， . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质直接求解即可. 【解析】设，则， 因为是奇函数， 所以， 则. 故答案为： 考点04：函数的值域与最值 17．函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性可得最值. 【解析】由函数，在上单调递减， 所以， 故答案为：. 18．函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案. 【解析】当时，， 当时，则，即， 综上的值域为， 故答案为：. 19. （2025行知中学高三6月模拟）已知函数，则的值域是________． 【答案】 【解析】 详解】当时，； 当时，； 考查一个周期内三角函数的性质： 当时，； 当时，， 绘制函数在内的图象如图(实线)所示， 观察可得，函数的值域为. 考点05：函数的图像与变换 20．已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【解析】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 21．已知函数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得，利用基本不等式即可求解． 【解析】， 若，不妨设， 则， 所以，即， 所以，当且仅当，时，等号成立． 故答案为：． 22.函数的大致图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的定义域，零点，时函数值的符号进行判断. 【详解】由知，，排除C选项； 函数没有定义，排除B； 时，，根据指数函数的单调性可知，， 又弧度是第二象限角，故，于是时，，排除D. 故选：A. 23.函数的大致图象可能为（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性与特殊的函数值对选项逐一判断， 【详解】，故为奇函数，所以排除B，D， 又当时，，所以排除A． 故选：C 考点06：函数单调性与奇偶性 24. （2025上海市金山中学高三三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 25.已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的值为_______ 【分析】由是偶函数，得到为奇函数，结合．列出方程，即可求解. 【详解】由函数的图象关于轴对称，可得函数是偶函数， 因为为奇函数，所以函数为奇函数， 所以．即， 所以，所以. 26.已知为偶函数，则的值为________ 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 27．设.若函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】1 【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，且满足，即可求出结果. 【解析】由函数是定义在上的奇函数，可知， 再由， 所以， 故答案为：1. 8. （2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解. 【详解】因为函数为奇函数， 当时， 所以. 故答案为： 28．函数的单调递增区间是 . 【答案】（或） 【分析】根据复合函数的单调性求解. 【解析】由在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 所以在上单调递增. 故答案为：（或） 29.（2024青浦区高三三次学业监测）已知，则的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 30.已知函数是增函数，则的取值范围是_______ 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】若是增函数， 则要保证: ①:函数在上单调递增，此时要满足，即； ②:函数在上单调递增，此时要满足，即； ③:在处，右侧函数值要大于等于左侧函数值，即：. 综上：的取值范围是：， 31.已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围是______ 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】若分段函数在上单调递减，则 故的取值范围为. 32.已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______ 【分析】结合题意化为，即，根据是R上的增函数，得对恒成立，进而利用判别式法求解即可. 【详解】由题意得，如图所示， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以原不等式化为， 由图可知是R上的增函数，所以对恒成立， 所以，则，即. 33.已知函数，若，则实数的取值范围是______ 【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减； 为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即， 解得或， 所以实数的取值范围是。 34.已知是定义在上的奇函数，，对，且，有，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断出在上的单调性，然后根据奇偶性以及判断出在各段上的取值正负，据此可求解出不等式解集. 【详解】对，且，有， 所以函数在上单调递增. 因为是定义在上的奇函数，，且， 所以当时，，当时，， 由奇函数性质可知，当时，，当时，， 若，则或， 则或，解得. 故选：B. 35.已知函数若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________ 【分析】分析可知在定义域上单调递增，由不等式可得恒成立，参变分离结合二次函数最值分析求解. 【详解】当时，在上单调递增，且； 当时，在上单调递增，且； 如图所示，可知在定义域上单调递增， 因为不等式恒成立，则恒成立， 即在上恒成立， 且，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 考点07：函数的周期性与对称性 36.设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知推得函数的周期为4，再应用周期性求函数值. 【详解】由题意，， 所以4是的周期，故 故选：D 37.已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 ________ 【分析】由题意知得出函数周期，由奇函数的性质得出时的解析式，结合对数恒等式即可求解． 【详解】由题意得，，对称轴为直线，则， 所以，所以， 所以，则的周期， 因为，所以， 又当时，，函数是定义在上的奇函数， 所以时，， 所以， 考点08：函数零点、实数根问题 38.已知，且，则函数的零点为 . 【答案】3 【分析】令，分和两种情况，解方程可得答案. 【解析】因为，则，所以， 令，则， 当时，，令，解得：； 当，，令，解得：(舍去)， 故函数的零点为 故答案为：3 39.设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合图像即可求解. 【解析】由画出函数图像， 结合图像可知，方程恰有一解， 的取值范围为. 故答案为： 40.（2025上海市进才中学高三5月模拟）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 考点09：函数与导数 41.（2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知，则曲线在点处的切线方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程. 【详解】， ∴曲线在点处的切线斜率为， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 42.（2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过特例可得两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项. 【详解】取，则，而为上严格增函数， 而不是上严格增函数， 故“在上严格增”推不出“在上严格增”. 取，，则是上严格增函数， 而不是上严格增函数， 故“在上严格增”推不出“在上严格增”. 故“在上严格增”是“在上严格增”的非充分非必要条件， 故选：D. 43.（2025复旦大学附属中学高三期末）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 44.（2025进才中学高三模拟）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式. 【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，当x∈时，， 因为，所以或， 即或或，解得或， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 45. （2025上海市格致中学高三三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【详解】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C 46. （2025届上海市大同中学高三三模）已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 47.（2025行知中学高三6月模拟）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 48. （2025杨浦区高三5月质量检测）若有唯一解，则的范围是______________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据有唯一解等价于的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，画出图象结合导数的几何意义求解即可. 【详解】因为有唯一解， 所以的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方， 直线过定点， 画出的图象上与直线的图象如图， 由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解； 当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集； 当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解， 设切点坐标为，因为， 所以， 故答案为：1. 49.（2025上海市崇明区高三三模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，直线在曲线上方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解． 【详解】原不等式可化为：， 令，，显然时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以，且时，，, 同一坐标系中，作出与（过定点的图象： 据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足， 解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数交点问题. 考点10：综合题 50.（2025上海市格致中学高三三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用，可得解析式； （2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围． 【小问1详解】 因为为奇函数，，设，则， 则, 因为为奇函数，则 ， 则． 【小问2详解】 当时，为单调递增函数， 由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数， 又∵，∴， 故有：，则有，解得： 所以实数a取值范围是： 51.（2025建平中高三下学期三模）设且，已知函数． （1）判断是否为偶函数，并说明理由； （2）令函数，解关于的不等式． 【答案】（1）偶函数，理由见解析. （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质证明即可； （2）由偶函数的性质，换元令，再分和结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即可. 【小问1详解】 是偶函数. 理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. 【小问2详解】 为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 52. 已知（且）． （1）若，解方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解. （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围; 【小问1详解】 当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； 【小问2详解】 当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：取值范围为． 53.（2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据解得，并检验时，满足题意，得出函数解析式，求解值域； （2）根据函数值域，将问题转化，故，利用换元法求解最值即可得解. 【详解】（1）由解得，反之时， ，符合题意， 故，据此，， 即值域为 （2）在显然是单调增函数，为正数， 所以，故， 令，则 随的增大而增大， 最大值为，实数范围是. 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值. 54. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知函数， （1）当时，解不等式； （2）已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； 根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解. 【小问1详解】 当时，函数， 函数是和都是R上减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． 【小问2详解】 由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 55.（2025华东师大三附中高三三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）已知，求的取值范围； （2）若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 3．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 6．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 8．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 9.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 10．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 11．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 14．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 16．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 18．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 19．【2024年上海市高考数学第18题】若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 20．【2023年上海市高考数学第18题】已知a，c∈R，函数f（x）． （1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由； （2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围． 【答案】（1）a＝0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c使得f（x）是奇函数． （2）（，）∪（，+∞）． 【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）x1， 要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}， ∵y＝x是奇函数，y＝1是偶函数， ∴函数f（x）＝x1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数． （2）若函数过点（1，3），则f（1）3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1， 此时f（x），若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点， 即f（x）0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点， 设g（x）＝x2+（3a+1）x+1， 则，得，得，即a， 若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根， 则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a或a＝﹣1， 则实数a的取值范围是a且a且a≠﹣1， 即（，）∪（，+∞）． 21．【2022年上海市高考数学第18题】f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）． （1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值． （2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）． 【答案】（1）a＝﹣2，m＝1． （2）﹣3＜a＜0时，解集是（﹣a，3]； a＞0时，解集是[3，6）． 【解答】解：（1）因为函数f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）， 将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log3（a+x）+log3（6﹣x）﹣m的图像， 由函数图像经过点（3，0）和（5，0）， 所以， 解得a＝﹣2，m＝1． （2）a＞﹣3且a≠0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x， 等价于， 解得， 当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3， 当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6； 综上知，﹣3＜a＜0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]， a＞0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学百日冲刺基础全通关（上海专用） 专题09 函数 考点01：指数对数的运算 1. （2025上海市崇明区高三三模）已知，则___________． 2. （2025复旦大学附属中学高三期末）方程的解为___________. 3. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）若正实数、满足，则的最小值为________． 4. （2025届上海市大同中学高三三模）已知正实数满足，，则______. 考点02：基本初等函数 5. 已知幂函数在上严格增，则实数__________ 6.（2025上海宝山区高三三模） 已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_________. 7. （2024松江二中期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 8.（2025闵行中学开学考试）若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.  8.设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ． 9.已知函数，则不等式的解集为______. 考点03：函数的概念与表示 10．函数的定义域为 ． 1.1 （2025进才中学高三模拟）函数的定义域是____________ 12. （2025上海市徐汇中学高三三模）函数的定义域是__________． 13. （2025上海市崇明中学高三三模）已知函数，则__________. 14. 已知函数，则______. 15. （2025上海市金山中学高三三模）已知函数，其中，则__________． 16.已知函数是奇函数，当时，，当时， . 考点04：函数的值域与最值 17．函数，的值域是 ． 18．函数的值域为 . 19. （2025行知中学高三6月模拟）已知函数，则的值域是________． 考点05：函数的图像与变换 20．已知函数的大致图像如图所示，则 ． 21．已知函数，若，则的最小值为 ． 22.函数的大致图像为（    ） A． B． C． D． 23.函数的大致图象可能为（    ） A． B． B． C． D． 考点06：函数单调性与奇偶性 24. （2025上海市金山中学高三三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 25.已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的值为_______ 26.已知为偶函数，则的值为________ 27．设.若函数是定义在上的奇函数，则 . 8. （2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）已知函数为奇函数，则______. 28．函数的单调递增区间是 . 29.（2024青浦区高三三次学业监测）已知，则的解集是_______． 30.已知函数是增函数，则的取值范围是_______ 31.已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围是______ 32.已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______ 33.已知函数，若，则实数的取值范围是______ 34.已知是定义在上的奇函数，，对，且，有，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 35.已知函数若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________ 考点07：函数的周期性与对称性 36.设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 37.已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 ________ 考点08：函数零点、实数根问题 38.已知，且，则函数的零点为 . 39.设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为 ． 40.（2025上海市进才中学高三5月模拟）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 考点09：函数与导数 41.（2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知，则曲线在点处的切线方程是__________． 42.（2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 43.（2025复旦大学附属中学高三期末）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_____. 44.（2025进才中学高三模拟）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ____． 45. （2025上海市格致中学高三三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 46. （2025届上海市大同中学高三三模）已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 47.（2025行知中学高三6月模拟）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 48. （2025杨浦区高三5月质量检测）若有唯一解，则的范围是______________ 49.（2025上海市崇明区高三三模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 考点10：综合题 50.（2025上海市格致中学高三三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 51.（2025建平中高三下学期三模）设且，已知函数． （1）判断是否为偶函数，并说明理由； （2）令函数，解关于的不等式． 52. 已知（且）． （1）若，解方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 53.（2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 54. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知函数， （1）当时，解不等式； （2）已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 55.（2025华东师大三附中高三三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）已知，求的取值范围； （2）若方程存在实数解，求的取值范围． 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 9.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 10．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 11．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 14．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 16．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 19．【2024年上海市高考数学第18题】若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 20．【2023年上海市高考数学第18题】已知a，c∈R，函数f（x）． （1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由； （2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围． 21．【2022年上海市高考数学第18题】f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）． （1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值． （2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $