2026年中考数学一轮复习 第08讲 位置与函数【2大考点13大题型】

第08讲 位置与函数（练习） 1．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 2．（2025·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为2，并写出点B的对应点的坐标． 3．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时，_________________ ． 4．（2025·四川广元·一模）如图，每个小正方形的边长表示．请按以下要求解答问题， (1)在方格图中画．三个顶点的位置分别是、、； (2)请画出绕点顺时针旋转后的图形，并求出的面积； (3)在以上旋转过程中，求出点经过的路线长． 5．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的象棋盘上，若“帅”和“相”所在位置的坐标分别是和，则“炮”所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南周口·一模）如图①，在四边形中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则的周长是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（    ） A．B． C． D． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是 ________ ． 10．（2025·甘肃定西·模拟预测）众志成城，预防“禽流感”．在这场没有硝烟的战斗中，科技工作者和医务人员通过探索，把某种药液稀释在水中进行喷洒，消毒效果较好，并且发现当稀释到某一浓度a时，效果最好而不是越浓越好．有一同学把效果与浓度的关系绘成曲线（如图），正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁锦州·二模）如图①，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在函数中，自变量的取值范围是_____． 13．（2025·上海杨浦·模拟预测）在直角三角形中，，是边上的中线，，，在上任取一点（不与点，重合）设面积为，长为，则关于的函数解析式和定义域为___________． 14．（2025·辽宁鞍山·一模）解析式法、列表法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： _______ _______ (1)求的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 15．（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 16．（2025·黑龙江·模拟预测）甲、乙两名学生同时从同一地点出发，前往同一学校．甲骑单车，乙由家长开汽车送去，汽车开出5分钟后遇到早高峰，车速变缓，结果乙比甲晚4分钟到校．图1是甲、乙行驶的路程与时间的函数图象． (1)分别写出甲、乙的行驶路程与时间的函数表达式； (2)求途中甲乙相遇时的时间； (3)设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为，图2是关于的函数图象，则______，______． 17．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A． B． C．D． 18．（2025·黑龙江·模拟预测）快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 19．（2025·云南·模拟预测）已知a是常数，函数，记． (1)当，时，求y的值； (2)若时，，试证明：． 20．（2025·陕西汉中·一模）2025年全国两会期间，“体重管理”成为热议话题，国家卫健委启动为期三年的“体重管理年”行动，这意味着，科学减重已从个人健康升级为国家战略．某网店购进一批哑铃进行销售．经市场调查发现，哑铃每月的销售量（组）是售价x（元/组）的一次函数．已知当每组售价为50元时，每月可售出150组；当每组售价为45元时，每月可售出200组． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每组售价为48元时，该哑铃每月的销售量为多少组？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 位置与函数（举一反三复习讲义） 【2大考点13大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026年重点） 2 （四）命题趋势（2026年预测） 2 （五）复习建议 2 考点一 位置的确定 3 【题型1 点到坐标轴的距离】 5 【题型2 中点坐标】 5 【题型3 点所在的象限】 7 【题型4 坐标的平移、对称、旋转】 8 【题型5 坐标系中的动点问题】 9 【题型6 坐标与图形综合】 10 【题型7 坐标的实际应用】 12 考点二 函数的表示 13 【题型8 常量与变量】 15 【题型9 函数的概念】 16 【题型10 函数的解析式】 17 【题型11自变量与函数值】 19 【题型12 函数的图像】 20 【题型13 函数的三种表示方法】 21 特色专项练 23 【新考向：新考法】 23 【新考向：新情境】 24 【新考向：跨学科】 25 中考真题练 26 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 位置与函数是中考数学核心模块，衔接几何与代数，近4年遵循“素养立意”，侧重基础应用与综合衔接，具体核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，位置与函数分值6～10分，占总分7%～9%，以选择、填空、解答题为主，属重点必拿分模块。 （二）考查题型 基础题型（70%）：平面直角坐标系中点的坐标、函数概念与自变量取值范围； 中档题型（25%）：一次函数的图像与性质、点的平移/对称坐标求解； 创新题型（5%）：结合实际情境的函数应用、函数与几何简单综合。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心：平面直角坐标系中点的坐标特征、一次函数图像与性质； 必考：点的平移/对称、函数自变量取值范围、一次函数解析式求解； 高频：一次函数与实际情境结合、简单函数图像分析。 （四）命题趋势（2026年预测） 1. 整体难度适中，侧重基础应用与综合衔接，无偏怪题； 2. 情境化、图像化命题增多，强化函数的实际应用； 3. 重点考查坐标平移、函数图像判断、自变量取值范围等易错点。 （五）复习建议 1. 牢记坐标特征与平移规律，熟练掌握一次函数核心性质； 2. 强化图像分析能力，规避坐标符号、自变量取值范围等错误； 3. 专项训练情境化题型，掌握函数与实际问题的衔接技巧。 考点一 位置的确定 一、点的坐标特征 点的坐标特征 坐标轴上的点（x，y） 在x轴上 （x，0） 在y轴上 （0，y） 在原点 （0，0） 点在各象限的坐标特点 第一象限 （+，+） 第二象限 （–，+） 第三象限 （–，–） 第四象限 （+，–） 象限角平分线上的点 第一、三象限 （m，m） 第二、四象限 （m，-m） 点P（a，b）到 坐标轴的距离 到x轴的距离=点P的纵坐标的绝对值，即|b| 到y轴的距离=点P的横坐标的绝对值，即|a| 具有特殊位置关系的两个点的坐标特征 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2 点平移后的坐标特征 点（x，y） 向右平移a个单位长度 （x+a，y） 点（x，y） 向左平移a个单位长度 （x–a，y） 点（x，y） 向上平移b个单位长度 （x，y+b） 点（x，y） 向下平移b个单位长度 （x，y–b） 二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系 1.横坐标变化，纵坐标不变： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位 2.横坐标不变，纵坐标变化： 原图形上的点（x，y）向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向下平移b个单位 3.横坐标、纵坐标都变化： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位 三、用坐标表示地理位置 1.确定坐标原点 用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置．不同的原点产生的地理位置的坐标也不同．原点不同，地理位置的坐标也不同．用适当的位置表示原点，可以降低计算的难度． 2.如何确定x轴与y轴的方向 坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致． 四、用坐标表示平移 1.一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． 2.对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． 3.在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度． 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度． 【题型1 点到坐标轴的距离】 【例1】．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为________． 【变式1-1】．（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点D为对角线上一点，且，连接，过点O作于点E，交于点F．若点B的坐标为，则点E的横坐标为___________ 【变式1-2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，等腰中，顶点的坐标，将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，则点的坐标为______． 【变式1-3】．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则_________，点的坐标为_________． 【题型2 中点坐标】 【例2】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【变式2-1】．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【变式2-2】．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【变式2-3】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴于点． (1)如图①，_____； (2)如图②，在线段上取点，连接交轴于点，若点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； (3)如图③，在（2）的条件下，过点的直线交于点，过点作交轴于点，连接．若以，，为边长的三角形面积与的面积比为，求点的坐标． 【题型3 点所在的象限】 【例3】．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【变式3-2】．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式3-3】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是__________． 【题型4 坐标的平移、对称、旋转】 【例4】．（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 【变式4-1】．（2025·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为______． 【变式4-2】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【题型5 坐标系中的动点问题】 【例5】．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（   ） A．6 B．8 C．12 D． 【变式5-1】．（2025·江西宜春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若经过A，B两点，且圆心P的横坐标为正整数，纵坐标为负整数，则圆心P的坐标为______． 【变式5-2】．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是________． 【变式5-3】 （2025·河北唐山·二模）如图，已知点坐标为，B为轴正半轴上一动点，是的中点,则在点运动的过程中的最小值为_____． 【题型6 坐标与图形综合】 【例6】．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【变式6-1】 （2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【变式6-2】 （25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 【变式6-3】 （2025·河南焦作·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为． (1)在轴左侧以为位似中心作的位似图形，且与的相似比为； (2)如果内部一点的坐标为，写出点在内的对应点的坐标； (3)计算△的面积． 【题型7 坐标的实际应用】 【例7】 （2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】 （24-25七年级下·全国·单元测试）外婆生病住院，洋洋想去医院看望外婆，如图是外婆家、洋洋家、医院的大致位置，则下列说法正确的是（   ） A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处 B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处 C．洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处 D．医院在外婆家南偏东方向，距离400米处 【变式7-2】 （23-24八年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】 （2024·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 考点二 函数的表示 一、常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 1.变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． 2.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． 3.变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． 4.判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： 1.有两个变量． 2.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． 3.函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 三、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 四、函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． 1.函数解析式是等式． 2.函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． 3.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 五、函数的图象及其画法 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 【题型8 常量与变量】 【例8】 （2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 _______ ，因变量是 _______ ． 【变式8-1】．（2025·广西·模拟预测）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·云南·模拟预测）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【变式8-3】（2025·广东中山·二模）小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y米与时间t分钟之间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【题型9 函数的概念】 【例9】（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【变式9-1】（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·山西吕梁·三模）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型10 函数的解析式】 【例10】（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【变式10-2】（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【变式10-3】（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【题型11自变量与函数值】 【例11】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____． 【变式11-2】（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是______． 【变式11-3】（2025·黑龙江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是_______． 【题型12 函数的图像】 【例12】（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【变式12-1】（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C．D． 【变式12-2】 （2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________． 【变式12-3】 （2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型13 函数的三种表示方法】 【例13】 （2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【变式13-1】 （2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小杨同学用描点法画它的图象，列出了下列表格： … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象是一个轴对称图形；②该函数图象在轴下方； ③该函数没有最高点；④当时，随的增大而增大； ⑤若将该函数图象关于轴对称，则对称后的图象函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【变式13-2】 （2023·湖北宜昌·中考真题）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90    (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； (2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式； (3)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【变式13-3】 （21-22七年级下·陕西汉中·期末）一空水池深，现以均匀的速度往进注水，注水时间与水池内水的深度之间的关系如表，由表可知，注满水池所需要的时间为______． 注水时间 … 水的深度 … 特色专项练 【新考向：新考法】 1．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 2．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【新考向：新情境】 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 2．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【新考向：跨学科】 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 2．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 中考真题练 1．（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 8．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 9．（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 11．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 14．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 15．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 16．（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1）______；（2）______． 17．（2025·新疆·中考真题）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 18．（2025·甘肃·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 19．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 20．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 位置与函数（举一反三复习讲义） 【2大考点13大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026年重点） 2 （四）命题趋势（2026年预测） 2 （五）复习建议 2 考点一 位置的确定 3 【题型1 点到坐标轴的距离】 5 【题型2 中点坐标】 10 【题型3 点所在的象限】 17 【题型4 坐标的平移、对称、旋转】 19 【题型5 坐标系中的动点问题】 26 【题型6 坐标与图形综合】 30 【题型7 坐标的实际应用】 39 考点二 函数的表示 42 【题型8 常量与变量】 43 【题型9 函数的概念】 45 【题型10 函数的解析式】 47 【题型11自变量与函数值】 55 【题型12 函数的图像】 57 【题型13 函数的三种表示方法】 63 特色专项练 66 【新考向：新考法】 66 【新考向：新情境】 69 【新考向：跨学科】 71 中考真题练 74 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 位置与函数是中考数学核心模块，衔接几何与代数，近4年遵循“素养立意”，侧重基础应用与综合衔接，具体核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，位置与函数分值6～10分，占总分7%～9%，以选择、填空、解答题为主，属重点必拿分模块。 （二）考查题型 基础题型（70%）：平面直角坐标系中点的坐标、函数概念与自变量取值范围； 中档题型（25%）：一次函数的图像与性质、点的平移/对称坐标求解； 创新题型（5%）：结合实际情境的函数应用、函数与几何简单综合。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心：平面直角坐标系中点的坐标特征、一次函数图像与性质； 必考：点的平移/对称、函数自变量取值范围、一次函数解析式求解； 高频：一次函数与实际情境结合、简单函数图像分析。 （四）命题趋势（2026年预测） 1. 整体难度适中，侧重基础应用与综合衔接，无偏怪题； 2. 情境化、图像化命题增多，强化函数的实际应用； 3. 重点考查坐标平移、函数图像判断、自变量取值范围等易错点。 （五）复习建议 1. 牢记坐标特征与平移规律，熟练掌握一次函数核心性质； 2. 强化图像分析能力，规避坐标符号、自变量取值范围等错误； 3. 专项训练情境化题型，掌握函数与实际问题的衔接技巧。 考点一 位置的确定 一、点的坐标特征 点的坐标特征 坐标轴上的点（x，y） 在x轴上 （x，0） 在y轴上 （0，y） 在原点 （0，0） 点在各象限的坐标特点 第一象限 （+，+） 第二象限 （–，+） 第三象限 （–，–） 第四象限 （+，–） 象限角平分线上的点 第一、三象限 （m，m） 第二、四象限 （m，-m） 点P（a，b）到 坐标轴的距离 到x轴的距离=点P的纵坐标的绝对值，即|b| 到y轴的距离=点P的横坐标的绝对值，即|a| 具有特殊位置关系的两个点的坐标特征 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2 点平移后的坐标特征 点（x，y） 向右平移a个单位长度 （x+a，y） 点（x，y） 向左平移a个单位长度 （x–a，y） 点（x，y） 向上平移b个单位长度 （x，y+b） 点（x，y） 向下平移b个单位长度 （x，y–b） 二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系 1.横坐标变化，纵坐标不变： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位 2.横坐标不变，纵坐标变化： 原图形上的点（x，y）向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向下平移b个单位 3.横坐标、纵坐标都变化： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位 三、用坐标表示地理位置 1.确定坐标原点 用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置．不同的原点产生的地理位置的坐标也不同．原点不同，地理位置的坐标也不同．用适当的位置表示原点，可以降低计算的难度． 2.如何确定x轴与y轴的方向 坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致． 四、用坐标表示平移 1.一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． 2.对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． 3.在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度． 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度． 【题型1 点到坐标轴的距离】 【例1】．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为________． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质、两点间距离公式的应用，解题关键是根据圆与轴相切及过点的条件，建立圆心坐标的关系式，进而求解与轴的交点． 设圆心为，因为圆与轴相切，所以半径为．又圆过点，根据两点间距离公式，圆心到的距离等于半径，可得，平方后整理得，令，求出，即得与轴交点． 【详解】设圆心为， 圆与轴相切， 圆的半径 圆心到的距离为半径，即 整理得 当时， 即交点为 【变式1-1】．（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点D为对角线上一点，且，连接，过点O作于点E，交于点F．若点B的坐标为，则点E的横坐标为___________ 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，过D作于H，过E作于G，证明，可求出，，证明，可求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出即可． 【详解】解：过D作于H，过E作于G， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， 故答案为：． 【变式1-2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，等腰中，顶点的坐标，将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质、勾股定理及面积法的应用，关键是通过勾股定理求线段长度，利用面积法求高，再结合坐标关系确定点的位置． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， ∵等腰中， ∴． ∴． ∵绕点旋转得到， ∴，，与的面积相等， 即， 即， 解得． 在中，，∴， ∴，纵坐标为， 即点的坐标为． 故答案为：． 【变式1-3】．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则_________，点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，能够正确作出辅助线是解题关键． 直接根据点，点即可求出；过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴ 如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【题型2 中点坐标】 【例2】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 【变式2-1】．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得； （2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键． 【变式2-2】．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 【变式2-3】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴于点． (1)如图①，_____； (2)如图②，在线段上取点，连接交轴于点，若点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； (3)如图③，在（2）的条件下，过点的直线交于点，过点作交轴于点，连接．若以，，为边长的三角形面积与的面积比为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】本题考查一次函数的综合，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等，熟练掌握相关的知识点和准确添加辅助线是解题的关键． （1）通过计算函数交点可求出的值； （2）由，先计算出图中各点坐标，令点的坐标为，求出直线的函数表达式，可用表示出点的纵坐标，即可求出与之间的函数关系式； （3）在延长线上截取，连接、，通过点，得出直线所在的函数表达式，得出点的坐标，也可求出点的坐标表达式，可证，证出，通过线段等量关系，可得出以，，为边长的三角形为，结合，可求出点的坐标表达式，通过，可求出的值，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点为两直线的交点，且在轴上， 所以当时，函数值相等， ∴， 解出， 故答案为：． （2）解：∵， ∴直线表达式为， 可得点，， 直线表达式为， 可得点， ∴点的坐标为， 令直线表达式为， 结合点，， ∴，解得， ∴直线表达式为， 当时，， ∴点的坐标为， ∴． （3）解：在延长线上截取，连接、，如下图所示： ∵点坐标为，代入， 得， 解得， 故直线表达式为， 结合直线表达式， 得， 解得， 故点坐标为， ∵点为中点，由中点公式， 可得点横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为 ∴点恰为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分，且， 故垂直平分， ∴， 故以，，为边长的三角形可为， 令点坐标为， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴, 化简得， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为． 【题型3 点所在的象限】 【例3】．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，   已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 【变式3-1】．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 【变式3-2】．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征、中心投影的特点、平方根的定义以及垂线的性质，解题的关键是逐一分析每个选项所涉及的知识点，判断其正确性． 分别对各选项涉及的知识点进行分析：根据关于x轴对称点的坐标变化规律判断选项A；结合中心投影中物体与光源距离对影长的影响分析选项B；依据平方根的定义判断选项C；根据垂线的性质（强调“在同一平面内”的前提）判断选项D，进而选出正确选项． 【详解】解：选项点关于x轴的对称点坐标为．若对称点在第二象限，则横坐标，纵坐标，即，该选项正确． 选项夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误． 选项的平方根是，并非只有2，该选项错误． 选项垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误． 故选：A． 【变式3-3】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 【题型4 坐标的平移、对称、旋转】 【例4】．（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点在一次函数图象上，求出点的横坐标，从而得到点，设点向下平移的距离为a，则平移后的点，再利用反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：四边形为平行四边形， ， 轴， 轴， 点， 点A的纵坐标为2， 当时，， ， ， 点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ，解得， 平移的距离为． 【变式4-1】．（2025·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．利用中心对称图形的性质即可求出D的坐标． 【详解】解：∵正六边形是中心对称图形，且对称中心为坐标原点O， ∴点A与点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式4-3】（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【详解】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 【题型5 坐标系中的动点问题】 【例5】．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（   ） A．6 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】如图所示，作矩形，过点作轴交于点，取的中点，连接、，证明，得，由已知，得，继而得到，，根据勾股定理，再根据，即可得解． 【详解】解：如图所示，作矩形，过点作轴交于点，取的中点，连接、， ∵ ∴， 又∵ ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴的最大值是． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是将线段的最大值转化为三角形的三边关系求解． 【变式5-1】．（2025·江西宜春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若经过A，B两点，且圆心P的横坐标为正整数，纵坐标为负整数，则圆心P的坐标为______． 【答案】或或 【分析】题目主要考查中垂线的性质，圆的基本性质，根据题意得出经过A，B两点圆的圆心在的中垂线上，然后作出图形求解即可． 【详解】解：经过A，B两点圆的圆心在的中垂线上，由条件“圆心O的横坐标为正整数、纵坐标为负整数”所限， 如图所示： 只有或或三点． 【变式5-2】．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂直平分线的性质，根据新定义可得，即可得到点P在以B为圆心，长为半径的圆上，然后得到点P的纵坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵点P是线段关于点A的对垂点， ∴， ∴点P在以B为圆心，长为半径的圆上，即， ∴点P的纵坐标的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-3】 （2025·河北唐山·二模）如图，已知点坐标为，B为轴正半轴上一动点，是的中点,则在点运动的过程中的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标系中的动点问题，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握三角函数知识和证明当，，三点共线时，有最小值，是解决本题的关键．过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，根据点坐标，写出和长，根据三角函数知识求出即可，证，，得到，然后在中，根据三角函数知识求出即可． 【详解】解：过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点， 点坐标为，轴， ，， 在中， ， ； ， ， ， ， ， ，关于轴对称， ，， ， 是的中点 ， 当，，三点共线时，有最小值，即长， 在中， ， 故答案为：． 【题型6 坐标与图形综合】 【例6】．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 【变式6-1】 （2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或或 【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解． ②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解； （3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 【变式6-2】 （25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数上点的坐标特征、一次函数解析式的求解以及一次函数的平移性质． （1）先利用反比例函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标确定直线的解析式，最后将点的纵坐标代入直线解析式求出点的坐标； （2）由直线的解析式得到，结合，根据同位角相等判定轴，从而得到点的横坐标与点相同，再代入反比例函数求出点的坐标；最后设出平移后直线的解析式，代入点的坐标求出参数． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴代入得，故. ∵直线过点， ∴，解得 ∴直线的解析式为. ∵点在直线上， ∴代入得，故； （2）解：如图，点在点右侧，设点， ∵， ∴点到两坐标轴的距离相等， ∴. ∵， ∴轴， ∴点的横坐标与点的横坐标相同，即点的横坐标为， ∴将代入，得， ∴点的坐标为. 设平移后所得直线的解析式为， 将点代入解析式，得，解得， ∴平移后所得直线的表达式为． 【变式6-3】 （2025·河南焦作·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为． (1)在轴左侧以为位似中心作的位似图形，且与的相似比为； (2)如果内部一点的坐标为，写出点在内的对应点的坐标； (3)计算△的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了位似变换的性质，还考查了学生的动手能力．题目比较简单，注意数形结合思想的应用． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似三角形； （2）结合图形，由位似变化的性质，即可求得点在内的对应点的坐标； （3）设线段与轴交于点，则，从而求得的面积． 【详解】（1）解：如图，画出即为所求； （2）解：∵在轴左侧以为位似中心作△的位似图形△，且△与△的相似比为， ∴点在内的对应点的坐标为； （3）解：如图所示，由图可知：5， ∵ ∴． 【题型7 坐标的实际应用】 【例7】 （2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 【变式7-1】 （24-25七年级下·全国·单元测试）外婆生病住院，洋洋想去医院看望外婆，如图是外婆家、洋洋家、医院的大致位置，则下列说法正确的是（   ） A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处 B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处 C．洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处 D．医院在外婆家南偏东方向，距离400米处 【答案】B 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，理解确定位置需要两个元素是解答本题的关键．根据图形逐项分析即可． 【详解】解：A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处，故不正确； B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处，正确； C洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处，故不正确； D．医院在外婆家南偏东方向，距离300米处，故不正确； 故选B． 【变式7-2】 （23-24八年级下·河北石家庄·期末）货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是根据方位角找出对应的图形，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 根据方位角的定义判断即可． 【详解】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意； B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意； C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意； D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式7-3】 （2024·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 【答案】D 【分析】此题主要考查依据方向和距离判定物体位置的方法，结合示意图，是解答此类题的关键． 依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”判断即可． 【详解】解：A、向西走150m， 再向南走80m，故本选项不符合题意； B、向西走150m，再向左走80m，故本选项不符合题意； C、向南走80m，再向西走150m；故本选项不符合题意； D、向南走80m，应该再向右走150m，故本选项符合题意． 故选：D． 考点二 函数的表示 一、常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 1.变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． 2.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． 3.变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． 4.判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： 1.有两个变量． 2.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． 3.函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 三、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 四、函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． 1.函数解析式是等式． 2.函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． 3.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 五、函数的图象及其画法 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 【题型8 常量与变量】 【例8】 （2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 _______ ，因变量是 _______ ． 【答案】 t s 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义． 根据自变量和因变量的定义，时间t是独立变化的量，路程s随t的变化而变化 【详解】解：从表格数据可知，时间t每增加5分钟，路程s相应增加1公里， 因此路程s的变化依赖于时间t的变化， 故自变量是时间t，因变量是路程s． 故答案为：t，s． 【变式8-1】．（2025·广西·模拟预测）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的关系式，通过表格中两个变量的对应值的变化关系，发现它们的乘积相等是正确解答的关键．根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式．通过计算降雨强度 I 与产汇流历时 t 的乘积，发现乘积近似为常数72，因此 t 与 I 成反比例关系 【详解】解：由表格数据：时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，． ∵ I 与 t 的乘积近似常数72， ∴ t 与 I 成反比例关系，即， 故选：A． 【变式8-2】（2025·云南·模拟预测）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量． 【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量， 故选：． 【变式8-3】（2025·广东中山·二模）小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y米与时间t分钟之间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，掌握相关知识是解题的关键．由爷爷锻炼身体的行程，可得出距离的变化是先增加、中间有段不变后减少，再根据跑步的速度快于漫步的速度，对照选项即可得出结论． 【详解】解：爷爷跑步去公园，慢步回家，且在公园停留打了一会儿太极拳， 距离的变化是先增加、中间有段不变后减少，且增加的快，减少的慢． 故选：C． 【题型9 函数的概念】 【例9】（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 【变式9-1】（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义确定图象，理解函数的定义是解题关键．由函数的定义可知，对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； B、有两个函数值与自变量对应，不符合函数的定义，不能表示是的函数，选项正确； C、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； D、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； 故选：B． 【变式9-2】（2025·山西吕梁·三模）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数定义的应用，由已知结合函数的定义检验各选项即可判断． 【详解】解：由函数的概念可知，一个自变量x的值只能对应一个因变量y的值． A、一个自变量x的值可以对应两个因变量y的值，不符合函数的概念，故A选项不能表示是的函数； B、任意一个自变量x只有唯一一个因变量y与之对应，故B选项能表示是的函数； C、任意一个自变量x只有唯一一个因变量y与之对应，故C选项能表示是的函数； D、任意一个自变量x只有唯一一个因变量y与之对应，故D选项能表示是的函数； 故选：A． 【变式9-3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，B、C、D中y是x的函数， ∴A符合题意，B、C、D不符合题意． 故选：A． 【题型10 函数的解析式】 【例10】（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 【变式10-1】（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 【变式10-2】（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【详解】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式10-3】（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 【题型11自变量与函数值】 【例11】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【变式11-2】（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式11-3】（2025·黑龙江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：． 【题型12 函数的图像】 【例12】（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 【变式12-1】（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 【变式12-2】 （2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 【变式12-3】 （2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 【题型13 函数的三种表示方法】 【例13】 （2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意； B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意； C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意； D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式13-1】 （2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小杨同学用描点法画它的图象，列出了下列表格： … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象是一个轴对称图形；②该函数图象在轴下方； ③该函数没有最高点；④当时，随的增大而增大； ⑤若将该函数图象关于轴对称，则对称后的图象函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了函数的表示、反例法、轴对称的性质、函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 直接根据表格数据可判定①；举反例可以判定②；根据表格数据可以判定③和④；根据关于坐标轴对称的特点可判定⑤． 【详解】解：①通过表格数据可知该函数是一个对称轴为的轴对称图形，即①正确； ②当时，，故该函数图象不一定在轴下方，即②错误； ③由结论②的分析可知，当时，，而表格中的值均为负数，说明函数没有最高点，即③正确； ④当时，由表格可知，即随的增大而减小，故④错误； ⑤若将该函数图象关于轴对称，则纵坐标变为原来的相反数，即，故⑤正确． 综上，正确的为①③⑤． 故答案为①③⑤． 【变式13-2】 （2023·湖北宜昌·中考真题）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90    (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； (2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式； (3)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【答案】(1)一次 (2) (3)当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为 【分析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可． （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【详解】（1）由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故可知可能是一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设这个一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， ∴y关于t的函数解析式为； （3）当时， 答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为． 【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 【变式13-3】 （21-22七年级下·陕西汉中·期末）一空水池深，现以均匀的速度往进注水，注水时间与水池内水的深度之间的关系如表，由表可知，注满水池所需要的时间为______． 注水时间 … 水的深度 … 【答案】 【分析】利用表格的信息求得每小时注入使水池的水升高的高度即可得出结论． 【详解】解：由表格可知：每小时注入使水池的水升高， (h)， 注满水池所需要的时间为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，充分利用表格信息是解题的关键． 特色专项练 【新考向：新考法】 1．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 2．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【新考向：新情境】 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 2．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【答案】B 【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意； B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：B． 【新考向：跨学科】 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)7分或11分或13分 【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a； （2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解； （3）由题意可分三种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： （2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； （3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 2．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 中考真题练 1．（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）②；（3）；（4）且 【分析】（）结合图形找出点的位置即可求解； （）根据点位置的分布即可判断； （）利用勾股定理及线段垂直平分线的性质解答即可求解； （）结合图形性质，根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴， ∴点的坐标为； 当为时，如图所示，点的坐标为， 故答案为：，； （）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为， ∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数， 故答案为：； （）由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴； （）如图，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形， ∴， 综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，理解题意是解题的关键． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】(1)见解析，，； (2)见解析． 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2）解：画出平移后的菱形，如图所示． 3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 4．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点在第四象限； 故选D． 5．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 6．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 8．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 9．（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意．根据题意求出“漏壶”的漏水速度，即可求出水面高度从变化到所用的时间． 【详解】解：“漏壶”的漏水速度为：， 水面高度从变化到所用的时间是， 故选：A． 10．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 11．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】(1)， (2) (3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； （2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； （3）解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 13．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质，得到当点P运动到点C时，的面积最大是解题的关键； 根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为4，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图， ∵等腰直角三角形，，点D为边的中点， ∴， ∴， 当点P运动到的中点时， ∵点D为边的中点， ∴； 故选：A. 14．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 15．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 16．（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1）______；（2）______． 【答案】 8 12 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 17．（2025·新疆·中考真题）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据时，，时，可判断A、B；根据函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，据此根据速度等于路程除以时间求出两车的速度，即可判断C、D． 【详解】解：∵时，， ∴A，B两地相距，故B结论正确，不符合题意； ∵时，， ∴两车出发后相遇，故A结论正确，不符合题意； 由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地， ∴快车比慢车早到达目的地，故C结论错误，符合题意； ，， ∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论正确，不符合题意； 故选：C． 18．（2025·甘肃·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ，点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ，点D为边的中点， ， 故选：A． 19．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 20．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ． 根据分母不等于0得到，求解即可． 【详解】解：∵函数的分母为． ∴当分母时，分式无意义， ∴． 解得， 故自变量的取值范围是， 故选：D． 21．（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故选：A． 22．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 位置与函数（练习） 1．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小 (3)（或或或或） 【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，， ∴，， ∴， 当时，，如图， ∴； 当时，，如图， ∴； ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴的面积为， 同理可得的面积为， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴； （2）解：作图如下： 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小； （3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）． 2．（2025·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为2，并写出点B的对应点的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解，点的坐标为． 【分析】本题考查了关于原点对称作图、作位似图形，掌握其画法是解题的关键； （1）根据关于原点对称点的特征，将的横纵坐标分别乘以，得到，再顺次连接，即可求解； （2）根据题意，将横纵坐标分别乘以，找到，再顺次连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所求作的图形； （2）解：如图，为所求作的图形； 点的坐标为． 3．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时，_________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，得到直线与圆位置关系是解题的关键． 首先根据直角三角形斜边中线性质确定点C的运动轨迹，得到点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆，再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质来求解b的值 【详解】解：∵，C是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，已知，则, ∴点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 设直线l与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，作于点D，如下图： 当直线l与圆只有1个交点时，直线l与圆相切，此时圆心到直线l的距离等于圆的半径， ∴， 在直线中，令，则，令，则求得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·四川广元·一模）如图，每个小正方形的边长表示．请按以下要求解答问题， (1)在方格图中画．三个顶点的位置分别是、、； (2)请画出绕点顺时针旋转后的图形，并求出的面积； (3)在以上旋转过程中，求出点经过的路线长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形绘制、图形的旋转、三角形面积计算、弧长公式，熟练掌握图形旋转的性质和弧长公式是解题的关键． （1）在方格图中找到、、，依次连接三点，得到； （2）按旋转规则画出旋转后的图形，利用旋转不改变图形面积的性质，结合三角形面积公式计算面积； （3）先求点到旋转中心的距离（即弧的半径），再根据弧长公式计算点经过的路线长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ； （3）解：∵、， ∴ ∴点经过的路线长（弧长）：。 5．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ，． 设，则， ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为：6； 6．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的象棋盘上，若“帅”和“相”所在位置的坐标分别是和，则“炮”所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用坐标表示实际位置，根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出直角坐标系，进而根据坐标系即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示： 由图可得，“炮”所在位置的坐标是， 故选：． 7．（2025·河南周口·一模）如图①，在四边形中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理， 先设，再结合图象可知点P在边上运动时，可知，再根据点P在运动路程时，可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：设边上的高为h． ∴， 当动点P沿边上运动时，， ∴，对应图象为部分， 由图象可知：点P在边上运动的路程为； 当点P沿边上运动时，为定值，对应图象部分，由图象可知，点P在运动路程为． 如图，连接， ∵在四边形中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 8．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、动点的函数图象问题，解题的关键是通过相似三角形得到边的关系，进而得出关于的函数表达式，再根据函数性质判断函数图象． 先求出的长度以及、的长度，通过角度关系证明，得出，根据边的关系求出关于的表达式，进而得出关于的函数表达式，根据函数性质确定函数图象． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 过点作于点， ， ， ， ， ， 又当时，即，， ， 关于的函数的图象是将反比例函数的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只有选项C符合条件． 故选：C. 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的性质，被开方数必须非负，据此进行计算即可． 【详解】解：函数中含有二次根式，需满足被开方数，解得． 故答案为：． 10．（2025·甘肃定西·模拟预测）众志成城，预防“禽流感”．在这场没有硝烟的战斗中，科技工作者和医务人员通过探索，把某种药液稀释在水中进行喷洒，消毒效果较好，并且发现当稀释到某一浓度a时，效果最好而不是越浓越好．有一同学把效果与浓度的关系绘成曲线（如图），正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图像的实际应用，熟练掌握根据实际问题分析函数变化趋势是解题的关键．根据题意，消毒效果随浓度变化的规律为：从无到有，随浓度增加效果先上升，达到某一浓度时效果最好，之后继续增加浓度，效果反而下降，且浓度为0时效果为0． 解题思路：逐一分析每个选项的曲线是否符合“效果从0开始，先上升后下降”的变化趋势． 【详解】解：浓度不能为负数，消毒效果也不能为负数，但A选项中，浓度为负数，消毒效果也为负数，故A项错误； B选项中，曲线过原点，且趋势为先上升后下降，故B项正确； 浓度为0时，消毒效果为0，曲线应过原点，但C选项中，浓度为0时效果不为0（曲线与纵轴负半轴相交），故C项错误； 消毒效果并非随浓度增大而一直上升，但D选项中，曲线呈持续上升趋势，与题意矛盾，故D项错误． 故选：B． 11．（2025·辽宁锦州·二模）如图①，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数与几何图形相结合的变换，勾股定理，合理从图中获取相关信息是解题的关键． 从图形变化中获取和的长，连接，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法列式运算即可． 【详解】由题图①可知，当时，，此时点与点重合， ∴， ∵是底边的中点， ∴， ∵当时，此时点E与点C重合， ∴， ∴， 如图，连接AD，则， ∴， ∴， 由题图②可知，m为函数的最小值， ∴点到的距离为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解即可． 【详解】解：在函数中，分母， 解得． 故答案为：． 13．（2025·上海杨浦·模拟预测）在直角三角形中，，是边上的中线，，，在上任取一点（不与点，重合）设面积为，长为，则关于的函数解析式和定义域为___________． 【答案】（） 【分析】先根据勾股定理求斜边长，再利用直角三角形斜边上的中线性质求长，从而确定定义域；通过建立坐标系表示点P坐标，利用三角形面积公式求y关于x的解析式． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵是边上的中线， ∴． ∵P在上，， ∴定义域为． 以点C为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，． ∴中点D的横坐标为，纵坐标为， ∴． 设直线的表达式为，则， 解得：， 所以直线的表达式为， 设点P坐标为， 因为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P坐标为． ∴的面积为． 故答案为：（）． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，动点问题的函数图象，斜边的中线等于斜边的一半，一次函数与几何综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 14．（2025·辽宁鞍山·一模）解析式法、列表法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： _______ _______ (1)求的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，见解析 (2)或 【分析】（）利用待定系数法可求出的值，进而求出函数解析式，再补全表格即可； （）画出函数图象，再根据图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可得，， 解得， 即，， ∴一次函数为， 当时，， 把，代入，得， ∴， ∴反比例函数为， 当时，， ∴补全表格如下： （2）解：画函数图象如下： 由函数图象可知，当的图象在的图象上方时，的取值范围为或． 15．（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 16．（2025·黑龙江·模拟预测）甲、乙两名学生同时从同一地点出发，前往同一学校．甲骑单车，乙由家长开汽车送去，汽车开出5分钟后遇到早高峰，车速变缓，结果乙比甲晚4分钟到校．图1是甲、乙行驶的路程与时间的函数图象． (1)分别写出甲、乙的行驶路程与时间的函数表达式； (2)求途中甲乙相遇时的时间； (3)设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为，图2是关于的函数图象，则______，______． 【答案】(1)甲的行驶路程与时间的函数表达式为：；乙的行驶路程与时间的函数表达式为 (2)分 (3)1850， 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的实际应用，根据图象得出未知的条件是解题的关键． （1）根据图1得出甲行驶的时间和路程，计算出甲行驶的速度，即可得到甲的行驶路程与时间的函数表达式，再分别求得乙行驶两段的时间和路程，计算两段路程的速度，即可得到乙的行驶路程与时间的函数表达式； （2）根据图1得出当甲、乙行驶的路程一样的时候是甲乙两人相遇的时候，即与相交时，求得交点的坐标即为甲乙相遇时的时间； （3）先根据图2得出a，b两点表示的意义，再结合图1对应的最远距离和相遇时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意，∵乙比甲晚4分钟到校，再结合乙所用时间24分钟， ∴甲所用时间为20分钟， ∴甲的速度（米／分）， ∴甲的行驶路程与时间的函数表达式为：， 由图1知，乙的行程分成、两段， 当时，乙的速度（米／分）， ∴此时表达式为， 当时，乙的速度（米／分）， ∴此时可设表达式为：， 将点代入表达式，即， ∴乙的行驶路程与时间的函数表达式为， 故：甲的行驶路程与时间的函数表达式为：，乙的行驶路程与时间的函数表达式为； （2）解：由题意，设甲行驶了分钟后与乙相遇， ∴， ∴（分）； （3）解：根据图2得，5分钟时两人相距最大，当时，两人相遇， ∴当时，根据乙的行程减去甲的行程可以得； ∵当甲到达图1中时，两人相遇， ∴， 故答案为：1850，． 17．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别用含x的式子表示出的面积，即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 即当时，，可以排除C，D选项； 当点P在上运动时，如图： ∵， ∴， 即当时， ，可以排除B选项； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 18．（2025·黑龙江·模拟预测）快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 【答案】(1)， (2) (3)2小时或5小时或小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图像、待定系数法确定函数解析式等知识点，正确从函数图像上获取信息、确定快车与慢车的速度是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，然后根据行程问题即可求得速度和；由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走，即快车与慢车的速度比为，进而求得快车到达乙地的时间； （2）由题意可得：，再求得点C的坐标为，然后运用待定系数法求解即可； （3）分相遇前两车间的距离是200千米、快车到达乙地前、快车返回甲地前三种情况，分别运用一次函数和行程问题求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，则快、慢两车的速度和是； 由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走， ∴快车与慢车的速度比为， ∴快车的速度为，慢车的速度为， ∴快车到达乙地的时间为小时． 故答案为：，6． （2）解：由题意可得：，当快车到达乙地的时，总共行驶了6小时，慢车行驶了， 则从B点到点C，快车休息了半小时，即C点的横坐标为，慢车行驶路程为：，即C点的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 设的解析式为， 则，解得：， ∴． （3）解：如图：当相遇前两车间的距离是200千米时， 由图像可知：， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶小时，两车相距200千米； ②如图：当快车到达乙地前，两车相距200千米时， 由题意的点，， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶5小时，两车相距200千米； ③当快车返回甲地前，两车相距200千米时， 由题意可得：快车到达乙地共用时6小时，返回甲地行驶时间小时， ∴快车返回甲地的速度为， ∴快车返回甲地前，两车相距200千米，快车行驶时间为 小时． 综上，快车行驶2小时或5小时或小时时，两车间的距离是200千米． 19．（2025·云南·模拟预测）已知a是常数，函数，记． (1)当，时，求y的值； (2)若时，，试证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了求函数值，分式的混合运算，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）将，代入，即可求解y的值； （2）先将时，代入，并整理得，，则或，然后再分类讨论求证即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：把时，代入， 整理得， ∴或， 当，即时， 当时，， ， 综上：可得． 20．（2025·陕西汉中·一模）2025年全国两会期间，“体重管理”成为热议话题，国家卫健委启动为期三年的“体重管理年”行动，这意味着，科学减重已从个人健康升级为国家战略．某网店购进一批哑铃进行销售．经市场调查发现，哑铃每月的销售量（组）是售价x（元/组）的一次函数．已知当每组售价为50元时，每月可售出150组；当每组售价为45元时，每月可售出200组． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每组售价为48元时，该哑铃每月的销售量为多少组？ 【答案】(1) (2)170组 【分析】此题考查了一次函数的应用，准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，根据题意可得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）当每组售价为48元时，即，此时， 即该哑铃每月的销售量为170组． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $