函数中的哲学思想， 一分为二（解析式与）函数图象讲义-2026届高三数学一轮复习

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——14函数中的哲学思想， 一分为二（解析式与）函数图象 图象是函数的一种表示形式，是认识、研究和记忆函数性质基本方法，也是探求解题途径、获得问题结果的重要途径.因此，图象法重在分析问题、分散解题难点和寻求解题切入点的重要手段，只有极特殊的问题用图象直接求解，主要用于方程或不等式（在变中寻找不变量；与根的个数有关的问题）.解选择题或填空题时利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用，在解答题时是启迪代数解题思路的基本途径之一. 解锁一：函数图象的本质属性 1.函数图象的定义 把自变量的一个值和函数值的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标可以作出一个点，所有这些点组成的曲线就是这个函数的图象. 2.函数图象变换 (1)平移变换 ①水平平移：的图象，可由的图象向左(＋)或向右(－)平移单位而得到． ②竖直平移:的图象，可由的图象向上(＋)或向下(－)平移单位而得到． 说明: ❶一般地,的图象，可以由的图象 向左平移，可以由的图象向上平移； ❷水平平移函数不变的性质有: Ⅰ值域与最值; Ⅱ周期性；Ⅲ单调性（单调区间变化）；Ⅳ对称性（对称位置变化了）. ❸竖直平移不变的性质有: Ⅰ定义域；Ⅱ周期性；Ⅲ单调性、单调区间；Ⅳ对称性（对称位置变化了）. (2)对称变换(见函数的奇偶性) (3)翻折变换: ①关于轴翻折: 将函数的图象的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到函数的图象； ②关于轴翻折:将将函数的图象右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到函数的图象; ③既关于轴又关于轴翻折：将函数的图象右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分再将轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到函数的图象. (4)伸缩变换 ①的图象，可将图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍，横坐标不变而得到． ②的图象，可将图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍，纵坐标不变而得到． 说明:会判定一个函数的图象变换；会说明一个函数的图象变换；会用图象变换解题. 探点1函数的对称性为 . 探究:函数是奇函数，所以其图象关于原点对称，而 ，所以的图象关于对称. 悟惑.有关对称性的判定或对称点的求法，一般有三个策略：其一是利用函数的奇偶性；其二是利用函数的对称结论；其三是待定系数法. 探点2.为了得到函数的图象，可以把函数的图象向___平移____个单位长度． 探究：已知函数可变为，所以函数的图象向右、 . 3.函数图象的本质属性 通过图象抽象出变量间的依赖关系，理解“图象即关系”的本质；依据解析式推断图象特征或由图象反推函数的代数性质，形成严谨的因果论证；将实际问题转化为函数图象，建立出模型并用于预测或决策；借助图象的直观感和知函数的整体形态、趋势及局部行为，实现“数”与“形”的相互转化；在图象分析中涉及求交点、截距、斜率等运算，提升符号操作与数值计算能力；结合图象解读实验或统计数据的变化规律，提取数学信息并作出合理推断. 解锁二：解函数图象题的原则 1.解几何题的原则： 第一步：搞清研究对象； 第二步：先定位后定法(代数与几何)； 第三步：先化归后直求(函数，先用基本函数图象，后转为基本曲线；立体，先几何后向量；解几，先平几后解几)，运动问题轨迹法，静止问题几何法； 第四步：求解运算； 第五步：回答问题. 2.解函数图象题的原则 第一步：搞清研究对象； 第二步：先由函数的参数意义定图象总体特征后选由“由数识图”还是由“用图研数”； 第三步：先用性质，后用基本函数图象或基本曲线的特殊性； 第四步：求解运算； 第五步：回答问题. 解锁三：利用图象解函数题的常见类型 1.由数识图 (1)作图 作(画)图的步骤: 第一步:先看是否能用图象变换（除三角之外）？ 第二步:能,直接利用图象变换画图;否,先化简，后确定范围（动谁就要考虑谁的范围.如）； 第三步:选择法. ①利用图象变换； ②利用已学过的基本函数或基本曲线； ③描点法. 说明: ❶描点法的对象，主要指三角函数式或初次接触的函数； ❷描点法作图的步骤: Ⅰ确定函数的定义域； Ⅱ化简函数的解析式； Ⅲ讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值、凸凹性、渐近线、连续性（变化趋势）； Ⅳ列表（尤其注意一些特殊点，如：图象与坐标轴的交点，最大值与最小值点，拐点）； Ⅴ画坐标系； Ⅵ描点连线，画出函数的图象. (2)识图. 对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值 域、特殊性、单调性、最值、奇偶性、周期性等.甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题. 识图的常见类型: ①已知解析式，选择函数的图象; 探点1.函数的图象大致是探点： 探究：当时，函数单调递增，故排除C、D，又，故选A. 探点2.在同一直角坐标系中，函数 的图象可能是 探究：突破口是对对数底数的讨论，选. 悟惑:求解此类问题的基本策略有二. 其一是，利用函数的特殊性（定、值域；函数值的界限、函数值符号 的变化；函数增减速度与函数图象的凸凹特征等）或一般性质(单调性、最值；奇偶性、周期性、对称性等)借助排除法确定正确的图象作为选项； 其二是，依据每个函数图象的特征(范围、在原点或其它特殊点两侧的符号变化特点、对称性、单调性、凸凹性、拐点等)所反映出的函数性质与函数对照，完全对应上的为正确答案. 探点3.函数的部分图象大致是 探究：利用函数性质可知选，排除 ，又，排除， ，故选. 结论：用函数性质检验 探点4.函数的图象大致为 探究1：因为 ，所以为奇函数，排除.又因为在上都是减函数，排除、.故选. 探究2：当趋向于零时，函数值趋向于正无穷或负无穷，可排除、、，故选. ②已知几个函数的图象关系，确定参数的值或取值范围. 探点1.已知函数.若方程恰有个互异的实数根，则实数的取值范围为________． 探究:利用数形结合法可得实数的取值范围为或 探点.2已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是______. 探究：函数，当时，，当时， ，综上函数 ，做出函数的图象(蓝线)，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在四边形区域内(和直线平行的直线除外，如图，则此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且. ③已知一个函数的图象，确定相关函数的图象. 探点.若函数 的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是 ④已知具体问题，确定函数的图象. 探点1.如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边 为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为( ) 探究1(数形结合):由圆的对称性知选排除,又，所以，排除，选. 探究2(函数法): 探点2.如图，长方形的边是的中点，点沿着边与运动，.将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为 探究：由矩形的对称性知选 2.用图研数——用图: (1)记忆函数的性质； (2)分析、理解问题-----找解题的突破口； (3)用图象解题: ①解选择题、填空题; ②利用导数研究问题; ③利用含绝对值函数最值;④利用基本函数或基本曲线解决问题; ⑤利用函数图象求解方程、不等式、运算等问题. 探点1.方程的两个实根为 ，则满足的大小关系为 . 探究:不妨设，则由函数单调递减知，所以. 悟惑:涉及两个函数方程根的大小，一般利用图象法，一个定性，一个定量；凡是基本函数的图象变换的大小问题都要还原到原函数的大小问题. 探点2.已知函数 ，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 探究1(图象法):设，则问题变为函数的图象恒在函数的图象的上方. 找两边切的值，，故选. 探究2(排除检验法):取，则已知不等式变为 ，即,从而排除，再取，检验，故选 探点3.已知函数，则函数图象关于轴的对称点的个数为 探究:利用函数图象.延长函数的图象,看与图象交点个数.可得 探点4.对于任何实数取三者中较小者，则的最大值为 探究:在同一个坐标系中，画出三个函数的图象可知. 探点5.函数的对称轴方程为,则实数 . 探究:对称性来自于“”，当时，对称轴方程为；当对称轴方程为. 探点6.方程的解为，的解为，则 . 探究1(图象法）:对称点是与的交点，则为与的交点，所以，所以。 探究2：与的交点和与的交点的中点为与交点的中点，所以，所以 探点7.方程的各个实根为，所对应的点均在直线的同侧.则实数的取值范围是 . 探究:原方程可变为，设，则点在 图象上，直线与交于，由图象可知或，解得或，故实数的取值范围是或. 探点8.已知，则，是的 . 探究:利用图象变换，的图形关于轴，轴，原点均对称，当，有，所以满足的点在一个正方形外或边上构成的区域，而的区域是由直线外部完成的区域. 所以，是的必要不充分条件. 解锁四：有关函数对称问题的解题策略 1.一个函数自身对称性的判定方式 (1)利用函数奇偶性或对称性的性质去寻找； (2)利用基本函数的对称性或奇偶性再依据图象变换确定对称性. 探点1.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数的图象与的图象关于_____对称，则指出一个函数________. 探究:常见答案有4种 ①轴对称，； ②轴对称，； ③原点对称，； ④直线对称，；另外，还有关于直线对称，. 悟惑.有关对称问题主要指特殊的对称：直线对称：坐标轴、角分线、水平或铅直的线；点对称：原点、坐标轴上的点、点关于对称的点. 探点2.设是定义域为上的以为周期的偶函数，当时，，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象图象上，求这个矩形面积的最大值. 探究:因为是以为周期的偶函数，所以，所以，即若点在的图象上，则点也在的图象上，所以函数的图象关于对称.当时，，因为当时，，所以 ，设，则，所以矩形面积时取等号，所以当，矩形面积的最大值，且最大值为. 2.论述两个函数的对称性的方法 ①归一法.如：特殊对称关系；特殊对称函数关系； ②待定系数法. 悟惑.判定函数与函数图象的对称关系？ 探点一（归一法）：与关于轴对称，而与分别是由与向右平移一个单位所得，所以它们的图象关于直线对称. 探点二(待定系数法):假设函数与函数图象关于对称则对称点为代入得即为，所以，即，故函数与函数图象关于直线对称. 3.求对称量就是利用对称性将未知转移到已知或可知. 解锁五：函数图象对称性的判定与证明 1.证明函数图象自身对称，只需证明其图象上任意一点的对称点仍在图象上； 2.证明两条曲线与对称，只需证明上任意一点的对称点在上，且上任意一点的对称点在上. 探点.已知或 (1)证明函数的图象关于点对称； (2)证明函数与关于点对称. 探究: (1)设是图象上任意一点，则点关于点的对称点为，因为 ，所以点在图象上，所以函数的图象关于点对称； (2)同(1)正反两方面证明.（略）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $