1.2 等腰三角形 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

初二讲义第二讲：等腰三角形 【复习巩固】 1、 全等三角形 1.三角形全等的判定定理： ①边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； ②边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； ③角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； ④角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； ⑤对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.全等三角形的性质： ①全等三角形的对应边相等，对应角相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等； ③推论：全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 2、 等腰三角形 1. 等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）． ②等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 2. 等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）． 这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等． 3、 等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． 2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．另外具有等腰三角形的一切性质. 3.判定：①（定义法）三边相等的三角形时三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 【精准突破】 1、 等腰三角形 例1：（与等腰三角形有关的分类计算）（1）与角度有关：已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是_____________． （2）与长度有关：等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　） A．17 B．22 C．13 D．17或22 （3）与高有关：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是______． 例2：（几何计算）（1）如图，在中，，M，N，K分别是，，上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． （2）如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 例3：（角平分线+平行线=等腰三角形）（1）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． （2）如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 例4：（腰高和差模型）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则_____． 例5：（“角分线+垂线=等腰”模型）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠DCB＝∠B，若AC＝10，AB＝26，则AD＝　 　． 例6：（“角分线+垂线=等腰”模型）已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，∠DCB＝∠B，当AC＝10，AB＝26，则AD长为 ． 例7：（特殊等腰三角形）如图，若和均为等腰直角三角形，且，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则___________． 例8：（等腰三角形+坐标系：两圆一线）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例9：（等腰三角形判定）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 例10：（一线三等角模型）如图，在中，，点在边上，的垂直平分线交于点，若，，则_________． 例11：（手拉手模型）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．       (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，从图中找出一对全等三角形并说明理由； (2)【拓展探究】如图2，若和和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，求的度数． 【实战演练】 1．（1）等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 （2）钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（   ） A． B． C． D．或 （3）若等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为（  ） A． B． C． D．或 （4）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是______． （5）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为________． 2．（1）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． （2）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点B落在点D处，连接．若，则的度数是____． （3）如图，在中，，是的角平分线，D是上一点，连接．过点C作，且，的度数为________． 3．如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长（   ） A．5 B．6 C． D． 4．如图，在中，分别是和的角平分线，过点作，交边、于点，如果，那么的周长等于 _______ ． 5．在△ABC中，，，点是上的动点，过点作PD⊥AB于点，PE⊥AC于，则　 　． 6．如图所示，三角形ABC的面积为4cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是__． 7．如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是_____________． 8．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标． (2)点为轴上一动点，且使得周长最小，直接写出周长的最小值：______． (3)坐标轴上有一点，为等腰三角形，满足条件的点有几个：_______． 9．“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法． 例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高． 如图1，当点P在边BC上时，我们可得如下推理： ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP， ∴AC•BF＝AB•PD+AC•PE． ∵AB＝AC， ∴AC•BF＝AC•（PD+PE）． ∴BF＝PD+PE． 请模仿上述方法，完成下列问题：如图2，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由． 10．在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、； (1)如图1，若点是的中点时，求证：； (2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由． (3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度． 11．如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．如图1：在中，平分，且． (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 13．综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 14．如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 15．如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设的面积为，求与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 12．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：； 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 12．如图1：在中，平分，且． (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 13．综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 14．如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 16．如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设的面积为，求与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 2、 等边三角形 例1：如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2：（几何计算）（1）如图，是等边三角形，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． （2）如图，在等边中，为的平分线，在，上分别取点，，且 ，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 （3）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( ) A． B． C． D．不能确定 （4）如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为　　． （5）如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（　　） A．12 B．8 C．4 D．3 例3：（等边三角形中的手拉手模型）如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是______．（只填写序号） 【实战演练】 1．如图，在中，以为边向外作两个等边和，连接，且和相交于O．则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为____ 4．偏难：如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为___________． 6．如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为______． 7．（2023春•市北区期中）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠F＝　 　度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论． 8. 如图：△ABC和△ADE是等边三角形． （1） 证明：BD＝CE． （2） 求直线BD与CE的夹角. 9．如图，点C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形；正确结论的序号有_____． 10．如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． (1)求证：； (2)当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 11．如图，边长为的等边中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； (3)连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？ 初二讲义第二讲：等腰三角形 【复习巩固】 一、全等三角形 1.三角形全等的判定定理： ①边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； ②边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； ③角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； ④角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； ⑤对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.全等三角形的性质： ①全等三角形的对应边相等，对应角相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等； ③推论：全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 二、等腰三角形 1. 等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）． ②等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 3. 等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）． 这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等． 三、等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． 2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．另外具有等腰三角形的一切性质. 3.判定：①（定义法）三边相等的三角形时三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 【精准突破】 一、等腰三角形 例1：（与等腰三角形有关的分类计算）（1）与角度有关：已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是_____________． 【答案】或 【详解】解：若角为顶角，此时它的顶角是； 若角为底角，此时它的顶角是； 综上所述，它的顶角是或． 故答案为：或 （2）与长度有关：等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　） A．17 B．22 C．13 D．17或22 【答案】B 【详解】解：当腰长为4时，则该等腰三角形的三边长分别为4，4，9， ∵， ∴此时不能构成三角形，故不符合题意； 当腰长为9时，则该等腰三角形的三边长分别为4，9，9， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：B． （3）与高有关：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是______． 【答案】或 【详解】解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： 则， ， 等腰三角形的顶角为； 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 例2：（几何计算）（1）如图，在中，，M，N，K分别是，，上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． （2）如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】8 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 例3：（角平分线+平行线=等腰三角形）（1）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 【答案】11 【详解】解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． （2）如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】C 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 例4：（腰高和差模型）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则_____． 【答案】6 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边上任意一点，，， ∴，， ∵，的面积为12， ∴， ∴； 故答案为：6． 例5：（“角分线+垂线=等腰”模型）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠DCB＝∠B，若AC＝10，AB＝26，则AD＝　 　． 【答案】6 【详解】如图，延长CD交AB于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴(ASA) ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∴． 例6：（“角分线+垂线=等腰”模型）已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，∠DCB＝∠B，当AC＝10，AB＝26，则AD长为 ． 例7：（特殊等腰三角形）如图，若和均为等腰直角三角形，且，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则___________． 【答案】/ 【详解】解： ， ，， ， ， ，， ， ， 为中边上的高， ， ， ； 故答案为：． 例8：（等腰三角形+坐标系：两圆一线）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：分二种情况进行讨论：如图， ①当为等腰三角形的腰时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个， 故选：C． 例9：（等腰三角形判定）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 例10：（一线三等角模型）如图，在中，，点在边上，的垂直平分线交于点，若，，则_________． 【答案】4 【详解】解：∵AB＝AC＝12， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°−∠B−∠ADB，∠CDE＝180°−∠ADE−∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中，， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝12，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝4， 故答案为：4． 例11：（手拉手模型）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．       (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，从图中找出一对全等三角形并说明理由； (2)【拓展探究】如图2，若和和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：． 理由如下： 和均是顶角为的等腰三角形 ，，． ，即． ． （2）为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上， ． ．     由（1）知，     为等边三角形， ．     ． 【实战演练】 1．（1）等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：①当的角是底角的外角时，则底角度数为， 则它的顶角为； ②当的角是顶角的外角时，则顶角度数为； 综上，这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． （2）钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：如图，取中点，连接， 依题意，， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故选：． （3）若等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵等腰三角形周长为，一边长为， ∴当为腰长时，底边长为，此时三边、、，满足，能构成三角形； 当为底边长时，腰长为，此时三边、、，满足，能构成三角形； 综上所述：底边长为或； 故选：D； （4）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是______． 【答案】或或 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． （5）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为________． 【答案】或 【详解】解：①如图：当三角形为锐角三角形时， ∵，，为高，即，， ∴， ②如图：当三角形为钝角三角形时， ∵，，为高，即， ∴， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 2．（1）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． （2）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点B落在点D处，连接．若，则的度数是____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∵， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）如图，在中，，是的角平分线，D是上一点，连接．过点C作，且，的度数为________． 【答案】/36度 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ∵， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】解： 是等腰三角形，且为底边中点， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：A． 4．如图，在中，分别是和的角平分线，过点作，交边、于点，如果，那么的周长等于 _______ ． 【答案】16 【详解】解：∵分别是和的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵的周长为，， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为， 故答案为：． 5．在△ABC中，，，点是上的动点，过点作PD⊥AB于点，PE⊥AC于，则　 　． 【答案】4.8 6．如图所示，三角形ABC的面积为4cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是__． 【答案】2cm2 【详解】延长AP,交BC于点E,如图所示． ∵AP垂直∠B的平分线BP于点P， ∴∠ABP=∠EBP. 在△ABP和△EBP中, ， ∴△ABP≌△EBP(ASA)， ∴AP=EP. ∵△APC和△EPC等底同高， S△PBC=S△BPE+S△EPC=S△ABC=2（cm2）. 故答案为2cm2. 7．如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是_____________． 【答案】8 【详解】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 8．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标． (2)点为轴上一动点，且使得周长最小，直接写出周长的最小值：______． (3)坐标轴上有一点，为等腰三角形，满足条件的点有几个：_______． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)9 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）解：如上图，点P即为所求， 由图知，周长最小值为， ∵，， ∴周长最小值为， 故答案为：； （3）解：如图， 当时，以A为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点M，有4个M点满足为等腰三角形； 当时，以C为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点M，有3个M点满足为等腰三角形； 当时，作的垂直平分线，交坐标轴于点M，有2个M点满足为等腰三角形； 综上，共有9个M点满足为等腰三角形， 故答案为：9． 9．“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法． 例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高． 如图1，当点P在边BC上时，我们可得如下推理： ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP， ∴AC•BF＝AB•PD+AC•PE． ∵AB＝AC， ∴AC•BF＝AC•（PD+PE）． ∴BF＝PD+PE． 请模仿上述方法，完成下列问题：如图2，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由． 【答案】BF＝PD﹣PE，理由见解析 【详解】解：BF＝PD﹣PE， 理由如下： 如图2，连接AP， ∵S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP， ∴AC•BF＝AB•PD﹣AC•PE， ∵AB＝AC， ∴BF＝PD﹣PE． 10．在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、； (1)如图1，若点是的中点时，求证：； (2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由． (3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：如图1所示，连接， ，点是的中点，、， ， 即， ； （2）解：，理由如下， 如图2所示，连接， ，、，为腰上的高， ， ， ； （3）如下图，过点作于点，连接， ，、，， ， ， ， 若， 则． 11．如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【详解】（1）证明：∵在等腰中，， ，， 是等腰三角形，且， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ，， 在等腰中，， ， ，即， ， ， ． ∵， ∴（舍负）． 12．如图1：在中，平分，且． (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2)4 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又 ， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又 为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 13．综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【详解】（1）证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 14．如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 15．如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设的面积为，求与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ， ∴， 如图， 过点作于， 过点作于， 过点作于， ∴， 由题意得： ， ， ， 由（1）同理得： ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； （3）存在，分三种情况： ①如图，过点作于， ， 在中，， ， ∵， ， ； ②如图， ， ∵， ∴， ∴； ③如图，，过点作于， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是或或 12．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：； 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】[初步把握]；[深入研究]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”． [初步把握]根据证明即可； [深入研究]根据证明，再由全等的性质得到； [拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证 【详解】[初步把握] 证明：， ， ， 在和中， ， ； [深入研究] 证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中，， ， ；， ， ； [拓展延伸] 解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ，， ， ， ． 12．如图1：在中，平分，且． (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2)4 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又 ， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又 为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 13．综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【详解】（1）证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 14．如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 16．如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设的面积为，求与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ， ∴， 如图， 过点作于， 过点作于， 过点作于， ∴， 由题意得： ， ， ， 由（1）同理得： ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； （3）存在，分三种情况： ①如图，过点作于， ， 在中，， ， ∵， ， ； ②如图， ， ∵， ∴， ∴； ③如图，，过点作于， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是或或 二、等边三角形 例1：如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 例2：（几何计算）（1）如图，是等边三角形，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． （2）如图，在等边中，为的平分线，在，上分别取点，，且 ，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，∴， 判断最值情况，以为对称轴作点的对称点，则，连接，故当最小时即为的长度，过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴，∵， ∴，结合， ∴，由勾股定理可得， ∵，，， ∴， 结合，， 由勾股定理得， 即的最小值为， 故选A． （3）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( ) A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】如图， ∵等边三角形的边长为3， ∴高线AH=3× S△ABC= ∴ ∴PD+PE+PF=AH= 即点P到三角形三边距离之和为. 故选B. （4）如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为　　． 【答案】a+b （5）如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（　　） A．12 B．8 C．4 D．3 【答案】C 例3：（等边三角形中的手拉手模型）如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】①②③ 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ②∵， ∴， 在中， ， 在中，， 又∵， ∴，，故结论②正确； ③在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， 这与相矛盾， ∴假设是错误的， ∴，故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为： ①②③． 【实战演练】 1．如图，在中，以为边向外作两个等边和，连接，且和相交于O．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设交于点， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 2．如图，为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为____ 【答案】8 【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：8． 4．偏难：如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，作于， ，都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ≌， ，， ∵ ， ， 是等边三角形，   ∴， ∵ ， 四边形是平行四边形， ． 故选：B 5．如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为___________． 【答案】/度 【详解】解：分别作点关于的对称点、，分别连接、、交、于、， 由轴对称周长等于 ， 由两点之间线段最短可知，此时周长的最小， ， 由对称得， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为______． 【答案】/0.5 【详解】过点作交于点， ，是等边三角形， ，是等边三角形， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ， ， ． 故答案为： 7．（2023春•市北区期中）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠F＝　 　度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论． 9. 如图：△ABC和△ADE是等边三角形． （3） 证明：BD＝CE． （4） 求直线BD与CE的夹角. 9．如图，点C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形；正确结论的序号有_____． 【答案】①②③⑤ 【详解】解：∵和是正三角形， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②③⑤正确； 若， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴与是等边三角形相矛盾，假设不成立， 故④错误； 故答案为：①②③⑤． 10．如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． (1)求证：； (2)当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【答案】(1)见详解 (2)不变化， (3)不变化， 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同， ∴， ∴； （2）解：不变化，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 即点P、Q分别在、边上运动时，不变化； （3）解：不变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴ 即点P、Q继续运动时，不变化． 11．如图，边长为的等边中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； (3)连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？ 【答案】(1)证明见解析； (2)的大小是不发生变化，理由见解析； (3)当第秒或第秒时，为直角三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， （2）解：的大小是不发生变化，理由， 由（）知：， ∴， ∴； （3）解：设时间为，则，, 当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $