第27讲 正方形的性质与判定（复习讲义，2考点6题型3重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 四边形 第27讲 正方形的性质与判定 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 正方形的性质 题型01 利用正方形的性质求角度 题型02 利用正方形的性质求线段长度 题型03 利用正方形的性质证明 命题点二 正方形的判定 题型01 证明正方形 命题点三 正方形的判定与性质综合 题型01 正方形的判定与性质综合 命题点四 中点四边形 题型01 中点四边形 05·重难突破·思维进阶 19 突破一 正方形的折叠问题 突破二 正方形相关最值问题 突破三 正方形与函数综合 06·优题精选·练能提分 24 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 正方形的性质 / / 大连卷T16 丹东卷T16 鞍山卷T16 阜新卷T23 盘锦卷T25 了解正方形的定义，掌握正方形的性质，及其与平行四边形、矩形、菱形间的区别与联系，熟练应用性质求相关图形的角度、线段长、面积、或证明类问题。 正方形的判定 / / / 掌握正方形的判定定理，熟练运用使得矩形、菱形成为正方形的条件，理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。 命题预测 正方形的性质与判定考点主要围绕着正方形的性质考查，难度跨度较大，从基础题到压轴题均有涉及。常见为以正方形为背景，结合相似、全等、旋转、折叠、最值问题等几何模型，着重考察知识综合应用能力。 考点一 正方形的性质 1. 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 2. 正方形的性质 （1）对边平行，四边相等； （2）四个角都是直角； （3）对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角，为45°； （4）对角线把正方形分割成4个全等的等腰直角三角形； （5）中心对称图形，轴对称图形。 3. 正方形的面积 ① 面积=边长的平方； ② 面积=对角线的乘积。 1．（2025·辽宁沈阳·一模）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在正方形中，点是的中点，点是上一点，， 点在上， 若， 延长交于点H，若， 则的长为（    ） A．4 B． C．8 D． 考点二 正方形的判定 1. 正方形的判定 （1）一组邻边相等的矩形是正方形； （2）对角线互相垂直的矩形是正方形； （3）一个角为直角的菱形是正方形； （4）对角线相等的菱形是正方形。 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 1．（2025·辽宁·模拟预测）小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接．    (1)求证：； (2)当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)四边形的形状为______； (2)如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； (3)在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值； ②若，，请直接写出四边形的面积． 命题点一 正方形的性质 ►题型01 利用正方形的性质求角度 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，正方形内的为正三角形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【典例】2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，以正方形的边为边在正方形内作等边三角形，连接并延长交边于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，四边形分别是菱形与正方形．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接．若，则用含的代数式表示为______． ►题型02 利用正方形的性质求线段长度 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则线段的长为________． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E是中点，以D为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点G和H，再以A为圆心，长为半径作弧交于点M，以M为圆心，长为半径作弧交前弧于点N，作射线交延长线于点P，连接并延长交于点F，则的长为_______． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，连接，以为边，作正方形（、、、按顺时针排列），连接．当时，的长为（   ）． A． B． C． D． ►题型03 利用正方形的性质证明 【典例】1．（2025·辽宁丹东·二模）如题图，正方形中，E为线段上一点，过B作于G，延长至点F，使，交于点K，延长交于点M，连接，若C为中点，，下列结论： ①，②点G为线段的三等分点；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例】2．（2025·辽宁锦州·三模）综合与实践 【了解定义】 如果两条线段同时满足下面两个条件①端点都在正方形的边（所在直线）上；②垂直且相等，则称这两条线段叫做正方形的等垂线段．如图1，正方形中，点，分别在，边上，连接，，若且，则称与为正方形的等垂线段． 【基础探究】 （1）如图2，正方形中，点，，分别在，，上，连接，，若于点，请判断与是否为正方形的等垂线段，说明理由； 【深入探究】 （2）如图3，正方形中，点在边上，点在延长线上，连接，，交于点，若，求证：与是正方形的等垂线段； 【拓展应用】 （3）如图4，正方形中，，是中点，点，分别在，上，，交于点，连接，，若，为正方形的等垂线段，，求的长． 【变式】1．（2025·辽宁辽阳·一模）【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 【变式】2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数： ①小明同学给出的解题思路是：如图2，在上截取，连接，……； ②小亮同学给出如下解题思路是：如图3，过点F作，交的延长线于点H，……： 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）王老师发现两名同学都是根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，作射线交的延长线于点G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求的长． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 命题点二 正方形的判定 ►题型01 证明正方形 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）【问题解决】如图1，在矩形中，点，分别在，C边上，，于点．      （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 【类比迁移】 如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ）    A．四边形是菱形 B．与互相垂直且平分 C．当时，四边形是菱形 D．若时，则四边形是正方形 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，则________． 命题点三 正方形的判定与性质综合 ►题型01 正方形的判定与性质综合 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN，以上结论中，正确的个数有（　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）【方法回顾】 （1）如图1，正方形中，点E是边上一点不与点B，C重合，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 方法1：如图2，过点F作边延长线的垂线，垂足为点；方法2：如图3，在边上截取，使得，连接；以上两种方法都是构造全等三角形来解决问题，都可以得出______； 【类比探究】 （2）如图4，点E是菱形的边上一点不与点B，C重合，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图5，在平行四边形中，，，且，点E，F，G分别为边，，上的点且都不与平行四边形的顶点重合，，，． ①线段的长为______； ②在①的结论下，求线段的长． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）（1）如图1，是直角三角形，，绕点逆时针旋转得到，的延长线交于点，求证：； （2）如图2，四边形是正方形，点在边上的一个动点，以为边在正方形的外侧作等边三角形，连接，，的延长线交于点． ①当时，求证：； ②当时，求的值． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，将正方形沿方向平移得到正方形，其中点的对应点在线段上运动，连接，交于点，交于点，交于点，连接，． (1)直接写出和的数量关系； (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)设的面积为，的面积为，的面积为． ①若正方形的边长为，当点运动到何处时，取得最大值？求出的最大值； ②求证：． 【变式】3．（2025·辽宁锦州·一模）数学课上，张老师提出如下数学问题． 如图1，在菱形中，是边上一点，是边上一点，且满足．试探究与之间的数量关系． 两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线的方法： 方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接． 方法2：连接，过点作交于点． (1)请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题； (2)借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题： 如图2，在正方形中，是延长线上的一点，是边下方的一点．若，求证：； (3)如图3，在矩形中，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转后，点落在边上的点处．若，求的长． 命题点四 中点四边形 ►题型01 中点四边形 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·二模）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（    ）． A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当时，四边形为矩形． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形面积的 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A．互相平分 B．相等且互相平分 C．互相垂直平分 D．互相垂直 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 突破一 正方形的折叠问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，正方形的边长为，点在边上，，是在边上不与点，重合的一个动点，把沿着折叠，点落在处，若恰为以为腰的等腰三角形，则长为________． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·一模）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点． (1)如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数． (2)如图2，若为的中点，求的值． (3)如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________．    【变式】2．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，点是正方形边上的一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交的延长线于点，连接、．若，，则________． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 突破二 正方形相关最值问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正方形边长为3，点是边的中点，点在边上，且，动点从点沿运动到点，过点作于点，作于点，连接，则线段长度的最小值为______． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点为边长为6的正方形的边的中点，点是边上一点，交于点，连接，，当最小时，______． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为______． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，F为射线上一点．若，则面积的最大值为__________． 【变式】3．（2025·辽宁营口·模拟预测）已知正方形的边长为3，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为__________． 突破三 正方形与函数综合 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，为的中点，若四边形的面积为，则的值为___________． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”． 例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”． (1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 1．如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列命题中，假命题是（    ） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线垂直的四边形是菱形 3．如图，在正方形中，，交于点，则的度数为_____________． 4．如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点．若，，则的长为______． 5．如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 6．如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心，以长为半径作弧，交对角线于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的长为________． 7．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(    ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 8．如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 9．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为________． 10．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接，平分交于F，连接，则的长为_____________．    11．在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C，A分别在x轴，y轴上，其中点，点D为的中点，连接．点P为边上一点，连接，先以点P为圆心，长为半径作弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点P的坐标为______． 13．如图，四边形是正方形，点M在上，点N在的延长线上，，连接，，点H在的延长线上，，点E在线段上，且，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，使得，交于点F．    (1)线段与线段的关系是______． (2)若，，求的长． (3)求证：． 14．综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．    15．【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 16．边长为3的正方形 (本题所给正方形的名称均为按顺时针方向排列顶点所得结果)，点E在直线上，连接，以为边，作正方形，连接．当时，正方形的面积为_________． 17．如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．    18．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 19．（1）如图1，有一正方形纸片，E为边上一点，连接，F，G分别是上的两点，将正方形纸片分别沿直线，折叠，使点D恰好落在线段上的点处，点E恰好落在线段上的点处，再将正方形纸片展平，连接，．求证：； （2）如图2，已知线段，，，，，求线段的长； （3）如图3，在中，，，将沿直线折叠，使得点A与点C重合，折痕交于点D，交于点E，展开后连接，F是的中点，连接，，交于点G． ①若，求四边形的面积； ②猜想和的数量关系，并加以证明． 20．在平面直角坐标系中，若某函数图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，当时，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”，将矩形沿折叠，点B的对应点为E． ①如图2，若点A的坐标为，点E落在y轴上，求k的值； ②如图3，当点E，D重合时，连接交于点P，以点O为圆心，长为半径作，若，当与的边有交点时，请直接写出k的取值范围． 1．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 2．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 4．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 6．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 7．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 8．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 9．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 11．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 12．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是________（填写序号）． 14．（2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是________． 15．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．（2025·甘肃平凉·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 17．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 18．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 第27讲 正方形的性质与判定 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 正方形的性质 题型01 利用正方形的性质求角度 题型02 利用正方形的性质求线段长度 题型03 利用正方形的性质证明 命题点二 正方形的判定 题型01 证明正方形 命题点三 正方形的判定与性质综合 题型01 正方形的判定与性质综合 命题点四 中点四边形 题型01 中点四边形 05·重难突破·思维进阶 66 突破一 正方形的折叠问题 突破二 正方形相关最值问题 突破三 正方形与函数综合 06·优题精选·练能提分 93 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 正方形的性质 / / 大连卷T16 丹东卷T16 鞍山卷T16 阜新卷T23 盘锦卷T25 了解正方形的定义，掌握正方形的性质，及其与平行四边形、矩形、菱形间的区别与联系，熟练应用性质求相关图形的角度、线段长、面积、或证明类问题。 正方形的判定 / / / 掌握正方形的判定定理，熟练运用使得矩形、菱形成为正方形的条件，理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。 命题预测 正方形的性质与判定考点主要围绕着正方形的性质考查，难度跨度较大，从基础题到压轴题均有涉及。常见为以正方形为背景，结合相似、全等、旋转、折叠、最值问题等几何模型，着重考察知识综合应用能力。 考点一 正方形的性质 1. 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 2. 正方形的性质 （1）对边平行，四边相等； （2）四个角都是直角； （3）对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角，为45°； （4）对角线把正方形分割成4个全等的等腰直角三角形； （5）中心对称图形，轴对称图形。 3. 正方形的面积 ① 面积=边长的平方； ② 面积=对角线的乘积。 1．（2025·辽宁沈阳·一模）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，，，，则，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出的度数． 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， 故选：A． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在正方形中，点是的中点，点是上一点，， 点在上， 若， 延长交于点H，若， 则的长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，由相似三角形的判定和性质，勾股定理得到，设，则，，如图所示，过点作于点，则是矩形，在中，，代入计算得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵点是延长线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，则是矩形， ∴，，则， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，勾股定理等值的综合运用，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是关键． 考点二 正方形的判定 1. 正方形的判定 （1）一组邻边相等的矩形是正方形； （2）对角线互相垂直的矩形是正方形； （3）一个角为直角的菱形是正方形； （4）对角线相等的菱形是正方形。 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 1．（2025·辽宁·模拟预测）小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键． 根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， （3）处可填是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， 无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接．    (1)求证：； (2)当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）根据菱形的性质，利用证明即可； （2）菱形的性质和中位线定理，得到，得到四边形是菱形，再根据，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为的中点， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形．            理由如下： ∵点E，O，F分别为的中点， ∴，， 又，， ∴， ∴四边形是菱形，        ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握菱形的性质． 3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)四边形的形状为______； (2)如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； (3)在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值； ②若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正方形 (2)，证明见解析 (3)①2；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，求得，根据正方形的判定定理得到结论； （2）连接，根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得得到，于是得到； （3）①过点M作于点H，作于点P，过点E作于点根据矩形的性质得到，，求得根据全等三角形的性质得到，求得根据角平分线的性质得到，于是得到结论； ②由（2）知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据角平分线到现在得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到四边形的面积 【详解】（1）解：四边形的形状为正方形， 理由：四边形是矩形， ，， 将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为， ，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）解：， 证明：如图，连接， 四边形是矩形， ，， 由折叠，得， ，， ，，， ， ， ， ， 平分， 又，， ， ， ； （3）解：①证明：如图，过点M作于点H，作于点P，过点E作于点 ， 四边形是矩形， ，， ∴ 又，， ， ， ，，， ， 平分，，， ， ， ； ②由（2）知是等腰直角三角形， ，， ， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积 命题点一 正方形的性质 ►题型01 利用正方形的性质求角度 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，正方形内的为正三角形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四边形是正方形和是正三角形，得出是等腰三角形，，由等腰三角形的性质得出，求出，同理得出，最后由三角形内角和求出． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵是正三角形， ，， ，即是等腰三角形，， ， ， 同理：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键． 【典例】2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，以正方形的边为边在正方形内作等边三角形，连接并延长交边于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由正方形得到，，然后由等边三角形得到，，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴， ∵是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，四边形分别是菱形与正方形．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．由为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵为正方形与菱形的对角线， ∴． ∵， ∴． ∵菱形中，， ∴． ∴． 故选：B． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到是等边三角形是解题的关键． 根据条件可以得到是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：连接、， ， 是等边三角形， ， 在正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：A． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接．若，则用含的代数式表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握性质与判定方法是解题的关键． 先证明 得出再证明得出由此推出 ，得到据此求解即可． 【详解】解：设与的交点为， ∵正方形中， 点E， F分别为对角线，的三等分点， ，， ， ， ， ， ∵点分别为对角线的三等分点， ， ∵正方形， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型02 利用正方形的性质求线段长度 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 由正方形和正方形可得、、、得，得，由，则，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形和正方形，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．先确定正方形的性质，然后计算对角线长度，进而即可计算线段的长度． 【详解】解：四边形是正方形， ，且， ， ， 点是的中点， ， ． 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E是中点，以D为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点G和H，再以A为圆心，长为半径作弧交于点M，以M为圆心，长为半径作弧交前弧于点N，作射线交延长线于点P，连接并延长交于点F，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点F作于点H，设，则可知，由作图可知，从而证明，从而得到， 证明得到，可求得，证明∽得到，即，可求得，则，，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点F作于点H，如图所示： 设， 四边形ABCD是正方形，且边长为4， ，， ， 点E是AB的中点， ， ， 由尺规作图可知：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，用两次相似建立方程求解是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把绕点C逆时针旋转90°得，此时E，B，F'三点共线，证明 得，设DF=x，在Rt中，由勾股定理列出x的方程求得x，再在Rt 中，由勾股定理得结果． 【详解】解： 正方形, 把绕点C逆时针旋转90°得， 此时E，B，三点共线，则，连接EF． ∴，   ∵，∠ECF=45°， ∴ ∵CE=CE， ∴（SAS）， ∴． 在Rt中， ∴AE=AB-BE=2． 设DF=x，则AF=4-x． ∵ ∴， 在Rt中，   ∴ 解得：． 在Rt中，   ∴ 解得： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，连接，以为边，作正方形（、、、按顺时针排列），连接．当时，的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．设交轴于点，过点作轴于点，由四边形是正方形，点的坐标为，可得，，由，可得，再根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，，证明，根据相似三角形的性质求出，，进而得到，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设交轴于点，过点作轴于点， 四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 故选：D． ►题型03 利用正方形的性质证明 【典例】1．（2025·辽宁丹东·二模）如题图，正方形中，E为线段上一点，过B作于G，延长至点F，使，交于点K，延长交于点M，连接，若C为中点，，下列结论： ①，②点G为线段的三等分点；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据上述性质逐一判断即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，过点作于点，连接， ， ， 为等腰直角三角形， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， 点G为线段的三等分点，故②正确； ， ， ，故③正确； 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，故④错误； ，故⑤正确， 则正确的有4个， 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁锦州·三模）综合与实践 【了解定义】 如果两条线段同时满足下面两个条件①端点都在正方形的边（所在直线）上；②垂直且相等，则称这两条线段叫做正方形的等垂线段．如图1，正方形中，点，分别在，边上，连接，，若且，则称与为正方形的等垂线段． 【基础探究】 （1）如图2，正方形中，点，，分别在，，上，连接，，若于点，请判断与是否为正方形的等垂线段，说明理由； 【深入探究】 （2）如图3，正方形中，点在边上，点在延长线上，连接，，交于点，若，求证：与是正方形的等垂线段； 【拓展应用】 （3）如图4，正方形中，，是中点，点，分别在，上，，交于点，连接，，若，为正方形的等垂线段，，求的长． 【答案】（1）与是正方形的等垂线段，理由见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中定义是解答的关键． （1）过点作分别交，于点，，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，则，根据等垂线段定义可得结论； （2）过点D作于点N，交于点M，由（1）知．根据等角对等边得到．证明得到，则，进而可得，，根据等垂线段可得结论； （3）过点G作于M，则有，根据等垂线段可得．证明可得．设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可解答． 【详解】解：（1）与是正方形的等垂线段 理由：过点作分别交，于点，， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∴四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴与是正方形的等垂线段． （2）证明：过点D作于点N，交于点M， ∴由（1）知． ∵， ∴． ∴． ∴． 即． ∵四边形为正方形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴与是正方形的等垂线段； （3）解：过点G作于M，则有， ∵，为正方形的等垂线段， ∴． ∵在正方形中，有，， ∴， ∴， ∴． ∵，F是中点， ∴． 设，则，， 在中，， ． 即． （负值已舍去）． 即的长为． 【变式】1．（2025·辽宁辽阳·一模）【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）3.4；（3） 【分析】（1）证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （2）证明，得出，设，则，由勾股定理可得出答案； （3）构造正方形，由（1）知，则，，设，则，，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 由轴对称可知，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴∠BAF=∠PAF， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，构造正方形，由（1）知， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数： ①小明同学给出的解题思路是：如图2，在上截取，连接，……； ②小亮同学给出如下解题思路是：如图3，过点F作，交的延长线于点H，……： 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）王老师发现两名同学都是根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，作射线交的延长线于点G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选择小明解题思路，如图，在上截取，使得，连接，证明，推出，据此可求解；选择小亮解题思路：过点F作交的延长线于点H，证明，推出，，据此可求解； （2）在上截取，使得，连接，证明，，得到，求得，利用直角三角形的性质即可证明结论成立； （3），结合直角三角形的性质求得，，得到，在上截取，使得，连接，过点B作，垂足为H，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：小明解题思路：如图，在上截取，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 小亮解题思路：如图，过点F作交的延长线于点H， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中， ， ， ； （3）解：∵四边形是菱形，， ，， ， ， 由（2）知，， ，， ， ， ∴， 在上截取，使得，连接，过点B作，垂足为H， 由（2）知， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是四边形综合、全等三角形的判定与性质、正方形性质、菱形性质、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 命题点二 正方形的判定 ►题型01 证明正方形 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定与性质是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定与性质分别判断即可． 【详解】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误；②矩形的对角线不一定垂直但平分，故原说法错误；③对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误；④对角线相等的菱形是正方形，说法正确；⑤邻边相等的矩形是正方形，说法正确；⑥三个角都是直角的四边形是矩形，说法正确， 其中说法正确的有3个， 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）【问题解决】如图1，在矩形中，点，分别在，C边上，，于点．      （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 【类比迁移】 如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【答案】证明见解析； 是等腰三角形，理由见解析； 类比迁移：． 【分析】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，解决本题的关键是做辅助线构造三角形全等． （1）利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可证结论成立； （2）由（1）可知，根据全等三角形的性质可知，又因为，所以，根据正方形的性质可知，所以是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，所以是等腰三角形； 【类比迁移】延长到点，使得，连接，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形． （2）是等腰三角形， 理由如下： 四边形是正方形 ， 即， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【类比迁移】解：如下图所示，延长到点，使得，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 在和中，， ， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ）    A．四边形是菱形 B．与互相垂直且平分 C．当时，四边形是菱形 D．若时，则四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，掌握菱形的判定与性质成为解题的关键． 先判定四边形是菱形可判定A选项；再根据菱形的性质可判定B选项；再根据三角形等腰三角形的性质、三角形的中位线可证明是平行四边形；最后根据有一个内角是直角的菱形是正方形可判定D选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，即A选项正确，不符合题意； ∴与互相垂直且平分，即B选项正确，不符合题意； 当时，由等腰三角形的性质得； ∵四边形是菱形， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴F点是的中点； 同理：得E点是的中点， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴四边形是平行四边形；故选项C错误，符合题意； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形，即选项D正确，不符合题意． 故选C． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 【答案】(1)当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不会，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，菱形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，同理可得，则，当，可得与相等且互相平分，据此可证明四边形是矩形； （2）当时，可证明，进而证明，据此可证明四边形是正方形； （3）连接交于G，可证明，若四边形是菱形，则，但在中，不可能存在两个角为，故四边形不会是菱形． 【详解】（1）解：当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴与相等且互相平分， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （3）解：四边形不会是菱形，理由如下： 如图所示，连接交于G， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为， ∴四边形不会是菱形． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，则________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）连接，证明，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可解答； （3）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再证明即可求得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）解：如图，连接， ， ， 根据（1）中可得， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 则， 在中，， 即可得， 解得， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， 点是的中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 在中，， ， ， 根据（1）中可得， ， ， ． 命题点三 正方形的判定与性质综合 ►题型01 正方形的判定与性质综合 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN，以上结论中，正确的个数有（　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，所以∠ANM=∠AEB，则可求得②正确； 根据三角形的外角的性质得到①正确； 根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确； 根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE＝AN，再根据相似三角形的性质得到EF＝MN，于是得到S△AEF=2S△AMN．故④正确． 【详解】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH 由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF ∵∠EAF＝45° ∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45° ∴∠EAH＝∠EAF＝45° 在△AEF和△AEH中 ∴△AEF≌△AEH（SAS） ∴EH＝EF ∴∠AEB＝∠AEF ∴BE+BH＝BE+DF＝EF， 故②正确 ∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN， ∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH ∴∠ANM＝∠AEB ∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM； 故③正确， ∵AC⊥BD ∴∠AOM＝∠ADF＝90° ∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO ∴△OAM∽△DAF 故①正确 连接NE， ∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME ∴△AMN∽△BME ∴ ∴ ∵∠AMB＝∠EMN ∴△AMB∽△NME ∴∠AEN＝∠ABD＝45° ∵∠EAN＝45° ∴∠NAE＝NEA＝45° ∴△AEN是等腰直角三角形 ∴AE＝ ∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME ∴△AMN∽△AFE ∴ ∴ ∴ ∴S△AFE＝2S△AMN 故④正确 故选D． 【点睛】此题考查相似三角形全等三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定定理是解决此类题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）【方法回顾】 （1）如图1，正方形中，点E是边上一点不与点B，C重合，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 方法1：如图2，过点F作边延长线的垂线，垂足为点；方法2：如图3，在边上截取，使得，连接；以上两种方法都是构造全等三角形来解决问题，都可以得出______； 【类比探究】 （2）如图4，点E是菱形的边上一点不与点B，C重合，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图5，在平行四边形中，，，且，点E，F，G分别为边，，上的点且都不与平行四边形的顶点重合，，，． ①线段的长为______； ②在①的结论下，求线段的长． 【答案】（1）45；（2）；（3）①4；② 【分析】（1）过点F作交的延长线于点G，由“”可证，可得，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）可证，可得，由等腰三角形的性质可求解； （3）①如图，在上取点K，使，易得，即可得出； ②延长交延长线于点Q，由，易证，进而利用特殊角求出和，再利用相似求出，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点F作交的延长线于点G， 将绕点E顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，在上截取，使得，连接， 四边形是菱形，， ， ， ， 将绕点E顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①如图，在上取点K，使， ， ， 为等边三角形， ，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ， ， ∴， 整理得，， 解得或（负值舍去）， ， 故答案为：4； ②如图，延长交延长线于点Q， 由①知， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）（1）如图1，是直角三角形，，绕点逆时针旋转得到，的延长线交于点，求证：； （2）如图2，四边形是正方形，点在边上的一个动点，以为边在正方形的外侧作等边三角形，连接，，的延长线交于点． ①当时，求证：； ②当时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，进而得出，根据，进而得出，即可得证； （2）①延长，交于点，证明，得出，根据为等边三角形，进而证明是等腰直角三角形，得出，进一步即可证明； ②设，，则，延长，交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，证明，，，得出，根据，得出比例式，即可求解． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 又 ， ， ； （2）①证明：延长，交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； ②∵，四边形是正方形 设，，则 延长，交于点，过点作于点，交于点，过点作于点 ， ， ， ，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，将正方形沿方向平移得到正方形，其中点的对应点在线段上运动，连接，交于点，交于点，交于点，连接，． (1)直接写出和的数量关系； (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)设的面积为，的面积为，的面积为． ①若正方形的边长为，当点运动到何处时，取得最大值？求出的最大值； ②求证：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①为中点时，有最大值；②证明见解析． 【分析】（1）根据正方形的性质及平移的性质证明四边形是矩形，由等角对等边推出，即可得出结论； （2）如图，连接，根据正方形的性质得，再推出， 证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）①过点作垂足为，设，则，根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，进一步得到，再根据二次函数的最值可得结论； ②如图，设点到的距离为，点到的距离为，得，推出，，即可得证． 【详解】（1）解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵将正方形沿方向平移得到正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴和的数量关系为：； （2）． 理由：如图，连接， ∵、是正方形的对角线， ∴，，，， ∴， ∵将正方形沿方向平移得到正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）①过点作垂足为， 设， ∵正方形的边长为， ∴， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴当时（此时为中点），取得最大值，此时， ∴为中点时，有最大值； ②证明：如图，设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识点．掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁锦州·一模）数学课上，张老师提出如下数学问题． 如图1，在菱形中，是边上一点，是边上一点，且满足．试探究与之间的数量关系． 两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线的方法： 方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接． 方法2：连接，过点作交于点． (1)请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题； (2)借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题： 如图2，在正方形中，是延长线上的一点，是边下方的一点．若，求证：； (3)如图3，在矩形中，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转后，点落在边上的点处．若，求的长． 【答案】(1)，详见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．证明．即可得到结论；方法2：连接，过点作交于点．证明，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接．证明，即可得到结论； （3）连接，过点作于点，过点作交于点，交于点．由得到．则，证明四边形是平行四边形．得到是矩形．证明．进一步即可得到结论． 【详解】（1）解：方法1：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接． ， 是等边三角形． ． ． 四边形是菱形， ． ． ． ， ． ． ． 方法2：连接，过点作交于点． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长到点，使，连接． 四边形是正方形， ． ． ． ， ． ， ． ， ． ， ，即， ， ； （3）解：如图，连接，过点作于点，过点作交于点，交于点． ， ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 是矩形． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关图形的性质是关键． 命题点四 中点四边形 ►题型01 中点四边形 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·二模）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（    ）． A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当时，四边形为矩形． 【答案】B 【分析】根据题意证出四边形是平行四边形，再分别证明当时，当时，当时，四边形的形状即可． 【详解】连接， 分别为四边形各边的中点， ， 且， ， 且， 故四边形为平行四边形，故A正确； 当时， 故平行四边形不是矩形，B错误； 当时，则，故四边形为菱形，C正确； 当时， ， ， 故四边形为矩形，D正确； 故选：B． 【点睛】该题主要考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，以及三角形中位线定理，解题的关键是掌握各种四边形的性质和判定方法． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】证出、、、分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形为平行四边形，当时，，得出平行四边形是菱形；当时，，即，即可得出菱形是正方形． 【详解】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形为平行四边形， 当时，， 平行四边形是菱形； 当时，，即， 菱形是正方形； 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形面积的 【答案】C 【分析】连接，根据三角形中位线的性质，，，继而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：连接，设交于点， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，， A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意； C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意； D. 四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A．互相平分 B．相等且互相平分 C．互相垂直平分 D．互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理结合，推出四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直且平分，即可得出结果． 【详解】解：由题意和三角形的中位线定理可知：， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴四边形的对角线互相垂直平分； 故选C． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 突破一 正方形的折叠问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，正方形的边长为，点在边上，，是在边上不与点，重合的一个动点，把沿着折叠，点落在处，若恰为以为腰的等腰三角形，则长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键．根据翻折的性质，可得的长，根据勾股定理，可得的长，根据等腰三角形的判定，可得答案． 【详解】（1）当时，过点作，则四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴． 由翻折的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）当时，则； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·一模）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点． (1)如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数． (2)如图2，若为的中点，求的值． (3)如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长． 【答案】(1)， (2) (3)15 【分析】（1）由正方形和翻折的性质可得是等边三角形，得，进而求得，，再利用平行线和三角形外角的性质得出和，最后根据等角对等边即可得出结论； （2）由正方形和翻折的性质可得，，延长交延长线于点，可证得，得到，进而可知垂直平分，得，可知，在利用余弦的定义得出，即可求解； （3）延长交于点，连接交于点，利用正方形和翻折的性质证出，得到，得出是的垂直平分线，证出，得到，设，表示出，设，在中利用勾股定理列出方程，解得，再通过证明得到，求出的长，再在中利用勾股定理解出的值，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，，， 由翻折的性质可得，， ∴， 又∵， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． （2）解：∵正方形， ∴，，， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 延长交延长线于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长交于点，连接交于点， ∵正方形， ∴，， 由翻折的性质可得，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、特殊角的三角函数值、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________．    【答案】 【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，        ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴， 设，则，则 ∴ 即 ∴ ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 又, ∴， ∴ 在中， 即 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，点是正方形边上的一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交的延长线于点，连接、．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，求得，根据翻折的性质得到，求出，得到，得出，可证明，得到，求出，，证明，得到，可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，作于点， ， 四边形是正方形，， ，，，， 根据翻折的性质得，， ， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45； [探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解； [深入研究] 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而，  则，可得，，，那么，故． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [探究证明] 解：（1）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 突破二 正方形相关最值问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正方形边长为3，点是边的中点，点在边上，且，动点从点沿运动到点，过点作于点，作于点，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短， 先说明四边形是矩形，根据矩形的性质得，当时，最短，即最短，连接，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最短，即最短． 连接， 由题意得， 根据勾股定理，得， ∴ ， 解得． 所以长度的最小值是3． 故答案为：3． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点为边长为6的正方形的边的中点，点是边上一点，交于点，连接，，当最小时，______． 【答案】2 【分析】过点作于点，将平移至，连接，证明，则，由勾股定理求得，则最小值即为的最小值，由平移性质可得四边形为平行四边形，则，，由，得到点三点共线时，取得最小值，即为，可得为等腰直角三角形，设，由，得到，根据，求出，则，，则． 【详解】解：过点作于点，将平移至，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴最小值即为的最小值 由平移可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线时，取得最小值，即为，如图： ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键在于转化思想的运用． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小，作交的延长线于，的延长线交的延长线于，在中由勾股定理即可解决问题． 本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小， 理由：，， 是等边三角形， ，， ， 当、、、共线时，最小， 作交的延长线于，的延长线交的延长线于，则四边形是矩形， 在中， ，，， ，，，， 中， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，F为射线上一点．若，则面积的最大值为__________． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数的应用、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 过点作于点，先证出，再设，则，根据等腰三角形的三线合一可得，然后利用三角形的面积公式、二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴的面积为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为16， 即面积的最大值为16， 故答案为：16． 【变式】3．（2025·辽宁营口·模拟预测）已知正方形的边长为3，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN +CM=MN+AM≥AN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明△DCG~△FCE，再由，可得，分别求出DE=1，CE=2，CF=6，即可求出AN． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴A点与C点关于BD对称， ∴CM=AM， ∴MN+CM=MN+AM≥AN， ∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小， ∵AD∥CF， ∴∠DAE=∠F， ∵∠DAE+∠DEH=90°， ∵DG⊥AF， ∴∠CDG+∠DEH=90°， ∴∠DAE=∠CDG， ∴∠CDG=∠F， ∴△DCG~△FCE， ∵， ∴ ， ∵正方形边长为3， ∴CF=6， ∵AD∥CF， ， ∴DE=1，CE=2， 在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2， ∴ ， ∵N是EF的中点， ， 在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2， ∴ ， ∴ ， ∴MN+MC的最小值为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，灵活应用三角形相似、勾股定理是解题的关键． 突破三 正方形与函数综合 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，连接，作轴于点，正方形的性质求出的长，旋转结合角的和差关系，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：连接，作轴于点， ∵正方形，边长为， ∴， ∴， ∵旋转， ∴与轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点落在抛物线上， ∴， ∴； 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积等知识，根据题意列出方程求出m的值是解题的关键．先表示出点A的坐标，继而表示出正方形的边长，求出点B的坐标从而待定系数法求出的解析式，再令，求出点E的坐标，从而得出并表示出直线与围成的阴影三角形的面积，继而列出方程解出m，从而判断，求出AE，继而求出的面积，从而判断C，继而得解． 【详解】解：依题意得：，， 当时，， ∴， ∴在正方形中，， ∴， 设直线的解析是， 将点B的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析是 当时，， 即：， ∴， ∴直线与围成的阴影三角形的面积为：， 解得：(舍去)， ∴m的值为2，正方形的边长是2，直线的解析式是，， ∴， ∴的面积是， ∴选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，为的中点，若四边形的面积为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数 的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 过点作于点，则，得到，得到，设，得到，再由列方程，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 为的中点， ， 点在反比例函数的图象上， 设， ， 根据题意得， ， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”． 例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”． (1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 【答案】(1)（或） (2)是，理由见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可； （2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数    是正方形的“函数”； （3）当时，把点代入二次函数  可得，故，该函数图象的顶点坐标为，可知点在函数    的图象上，①当时，抛物线顶点在轴上方，即可得，；②当时，函数  图象经过点，，一定是正方形的“函数”；从而可得的取值范围为或； （4）当时，抛物线开口向上，点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，可得，当时，抛物线开口向下，①当，点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点，知，②当，即时，点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，有，分别解方程并检验可得答案． 本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“函数”的定义． 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时，其解析式为，此时直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：该函数是正方形的“函数”；理由如下： 把点代入中得：， 解得， ， 把代入得， 点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数    是正方形的“函数”； （3）解：当时，点的坐标为，点的坐标为， 把点代入二次函数    中得：， ， ， 该函数图象的顶点坐标为， 在中，令得， 点在函数    的图象上， 函数    是正方形的“函数”，其图象经过点，， ①当时，抛物线顶点在轴上方， ， 解得， ； ②当时，函数  图象经过点，，则函数  一定是正方形的“函数”； 综上所述，的取值范围为或； （4）解：由（3）知，该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，有，，抛物线开口向上， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点， ， 整理得：， 解得：，  （舍去）； 当时，抛物线开口向下， ①当，即时，有，， 点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点， ， 整理得  ，此方程无实数根，的值不存在； ②当，即时，有， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是点， ， 整理得， 解得； 综上所述，的值是或． 1．如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 2．下列命题中，假命题是（    ） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线垂直的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．需根据矩形、菱形、正方形的性质判断各命题的真假． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直，若对角线相等，则其为正方形，故A为真命题，不符合题意； 矩形的对角线相等，若对角线互相垂直，则其为正方形，故B为真命题，不符合题意； 平行四边形的对角线互相平分，若对角线相等，则其为矩形，故C为真命题，不符合题意； 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如筝形），必须是平行四边形才对，故D为假命题，符合题意； 故选：D． 3．如图，在正方形中，，交于点，则的度数为_____________． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由正方形的性质得到，则可证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，则∠CGE＝90°，根据等角的余弦相等可得CG的长，进而可得结论． 【详解】解：∵正方形ABCD中，BC＝4， ∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∵AF＝DE＝1， ∴DF＝CE＝3， ∴BE＝CF＝5， 在△BCE和△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCF， ∴∠CBE＋∠CEB＝∠ECG＋∠CEB＝90°， ∴∠CGE＝90°， ∴cos∠CBE＝cos∠ECG＝， ∴， ∴CG＝， ∴GF＝CF−CG＝5−＝， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键． 5．如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键 利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 【详解】如图：连接，交于点O， 因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得 ． ∴ 在中 ． 故选：B． 6．如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心，以长为半径作弧，交对角线于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质以及尺规作图，解直角三角形，正确作出垂线是解题的关键． 过点E作于点G，由题意得，平分，则，设，则，由得，求解，再由求解即可． 【详解】解：过点E作于点G， 由题意得，平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 设，则， ∴在中，由得：， 解得：，经检验是分式方程的解， ∴， 故答案为：． 7．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(    ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为(2,3-m)，代入解析式即可求出m． 【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图， ∴∠ABM+∠BAM=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=DA， ∴∠DAO+∠BAM=90°， ∴∠DAO=∠ABM， 在△DAO和△ABM中， ， ∴△DAO≌△ABM(AAS)， ∴OA=BM，OD=AM， ∵B(3,1)， ∴BM=1，OM=3， ∴OA=1， ∴AM=OM-OA=2， ∴OD=2， 同理可证△CDN≌△DAO， ∴DN=OA=1，CN=DO=2， ∴ON=OD+DN=3， ∴C(2,3)， ∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上， ∴3k+4=1， ∴k=-1， ∴直线l的解析式为y=-x+4， 设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3-m)， ∵点C在直线l上， ∴-2+4=3-m， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键． 8．如图，边长为3的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵边长为3的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 9．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 10．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接，平分交于F，连接，则的长为_____________．    【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例. 过点作于， 作于点，首先证四边形为正方形，再设则 ，然后证和相似，由相似三角形的性质求出，进而在中由勾股定理即可求出． 【详解】解：过点作于， 作于点，    ∵四边形为正方形， ， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵平分， ， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 故答案为： ． 11．在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 【答案】或或 【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，则：， ∴， ∴， 画图如下： 当正方形绕点A顺时针旋转， ①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，如图，作轴， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的对应点的坐标为； ②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，如图， ， 点C的对应点的坐标为； ③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，如图， 同①可知： ， ，，， ∴点横坐标为， 点C的对应点的坐标为； 综上所述：点C的对应点的坐标为或或 故答案为：或或 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C，A分别在x轴，y轴上，其中点，点D为的中点，连接．点P为边上一点，连接，先以点P为圆心，长为半径作弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设点，射线交y轴于点H，证明，得，由中点定义，得，由勾股定理得，证明，可得，由，得，解出x的值即可解答． 【详解】解：设点，射线交y轴于点H， ∵， ∴正方形的边长为4， ∵D是中点， ∴， 由作图知垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 13．如图，四边形是正方形，点M在上，点N在的延长线上，，连接，，点H在的延长线上，，点E在线段上，且，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，使得，交于点F．    (1)线段与线段的关系是______． (2)若，，求的长． (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）求证，即可得证结论；     （2）由题知，，于是，可证，所以，于是； （3）连接，令，则，中，，可求，所以，得证；延长线段至点I，使，可证，得，于是． 【详解】（1）解： ∵四边形是正方形， ∴，. ∴ 又∵， ∴ ∴． （2）解：由题知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：连接，令，则， 中，， ∴． 中，． ∴． ∴． ∴． 延长线段至点I，使，连接，则垂直平分， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴．      【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等；添加辅助线，构造全等三角形，从而求证线段之间的相等关系是解题的关键． 14．综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．    【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析； 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 15．【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；（3） 【分析】（1）延长交于J．证明，即可； （2）①延长，交的延长线于点H，证明，即可；②过点G作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，根据题意可得点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，从而得到，在中，根据勾股定理可得的长，由（2）得：，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图1中，延长交于J． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． （2）①结论：；．理由： 如图，延长，交的延长线于点H， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图3，过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则， 由（2）得：可知，，， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4， 即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题． 16．边长为3的正方形 (本题所给正方形的名称均为按顺时针方向排列顶点所得结果)，点E在直线上，连接，以为边，作正方形，连接．当时，正方形的面积为_________． 【答案】34或13 【分析】当点E在射线上时，作，交于点H，并延长交于点I，可知是矩形，得，再根据正方形的性质可说明，可得，，然后设，则，，进而表示，，再根据勾股定理求出答案即可； 当点E在的延长线上时，作，作，可知四边形时矩形， 得，，可证明，得出，再设，则，表示，然后根据勾股定理可得答案. 当点E在线段上时，过点F作，交延长线于点R，过点E作，于于点Q．证明，设，则，然后根据勾股定理可得答案. 【详解】当点E在射线上时，过点F作，交于点H，并延长交于点I. 可知是矩形， ∴． ∵四边形，是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设，则，， ∴，， 根据勾股定理，得， 即， 解得，（舍去）， ∴，， 根据勾股定理，得， 所以四边形的面积是34； 当点E在的延长线上时，过点F作，交于点H，过点F作，于点N． 可知四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得，（舍去）， ∴， 根据勾股定理，， 所以正方形的面积是13． 当点E在线段上时，过点F作，交延长线于点R，过点E作，于于点Q． 由题意可知四边形，四边形都是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得，（舍去）， ∴，不合题意舍去； 故答案为：13或34． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，注意多种情况讨论，不能丢解． 17．如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．    【答案】/ 【分析】根据题干条件可得，所以≌，得到，又证明得≌，，所以≌，；设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据∽，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，≌， ， , ， 、是等腰直角三角形， ； 连接、, ≌， ， 连接， ，， ≌， ， ， 又，， ≌，， 连接、， ，， ≌，， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 得， ， 解得（舍），， ，，， 又∽， ， ，    故答案是．   【点睛】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出双勾股方程计算求解是解题的关键． 18．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作轴，轴，易证，进而得到，等角的余角相等，得到，进而得到，设，则：，设，则：，根据点在反比例函数上求出的值，进而求出点坐标，点坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：作轴，轴，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则：， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵点，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 当时，， ∴， ∴，即：， 设直线的解析式为直线， 则：，解得：， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握相关知识点，求出点的坐标是解题的关键． 19．（1）如图1，有一正方形纸片，E为边上一点，连接，F，G分别是上的两点，将正方形纸片分别沿直线，折叠，使点D恰好落在线段上的点处，点E恰好落在线段上的点处，再将正方形纸片展平，连接，．求证：； （2）如图2，已知线段，，，，，求线段的长； （3）如图3，在中，，，将沿直线折叠，使得点A与点C重合，折痕交于点D，交于点E，展开后连接，F是的中点，连接，，交于点G． ①若，求四边形的面积； ②猜想和的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析，（2），（3）①，②．理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，，进而得，，再根据正方形的性质得，，进而得，再根据证明即可； （2）过点C作于点F，延长交于点G．证得四边形是矩形，所以，．设，证得，则，，所以，解方程求解即可； （3）①证得，得，求得，由，得，再根据计算即可； ②延长到点H，使，连接，过点D作于点K，设，，证得，则，求得，由面积相等求得，根据勾股定理求得， 由，，得，进而可得结论． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得，， 又∵，， ∴，， ∴， ∵为正方形， ∴，即，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）过点C作于点F，延长交于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴在． ∴在中，； （3）①根据折叠的性质得，，， ∵，， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴ ； ②．理由如下： 延长到点H，使，连接，过点D作于点K， 设，， ∵F是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∵，即， ∴， 根据勾股定理求得， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点． 20．在平面直角坐标系中，若某函数图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，当时，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”，将矩形沿折叠，点B的对应点为E． ①如图2，若点A的坐标为，点E落在y轴上，求k的值； ②如图3，当点E，D重合时，连接交于点P，以点O为圆心，长为半径作，若，当与的边有交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，该函数为矩形的“友好函数” (2)①，②． 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； ②可证明四边形是正方形；根据题意可得直线经过A、C两点，证明，得到是等腰直角三角形，则，则可推出点A在直线，即，设，则，可求出；设，则，；求出当恰好经过点A时，；再证明当，与的边一定有交点，而，故当时，k随r增大而增大，据此可得答案． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， ， ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②由折叠的性质可得，故当点E与点D重合时，， ∴四边形是正方形； ∵直线经过点A，且是矩形的“友好函数”， ∴直线经过A、C两点， 由正方形的性质可得， ∵轴，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点A在第一象限， ∴点A的横纵坐标相同， ∴点A在直线，即， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 设，则， ∴； 如图所示，当恰好经过点A时， 此时有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时； 当时，的长逐渐减小，则的半径逐渐减小，故此时与的边不可能有交点； 当时， 此时的长逐渐增大，则的半径逐渐增大， ∵， ∴的半径一定小于， ∴此时与的边一定有交点， 综上所述，当，与的边一定有交点， ∵， ∴当时，k随r增大而增大， ∵当时， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，二次函数的性质，正方形的性质与判定，勾股定理等等，运用数形结合的思想求解是解题的关键． 1．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 2．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 4．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程． 6．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 7．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 9．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点D作于G，过点F作于H，由正方形的性质得到；由线段中点的定义得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可证明，解得到，由三线合一定理得到，则；解得到，，则，在中，由勾股定理得，即可解题． 【详解】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴； ∵为的中点， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∵，， ∴， ∴； 在中，， ， ∴， 在中，由勾股定理得． 故选：B． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 11．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 12．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 13．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是________（填写序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．证明，推出，再由直角三角形斜边中线的性质求得，推出，可得到，故①正确；证明，由正切函数的定义可判断②错误；由平行线的性质求得，即可求得，故③错误；证明，推出，再等量代换即可证明故④正确． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形， ∴，即， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴，故③错误； ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④． 14．（2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】过作，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到，证明，推出为等腰直角三角形，进而得到，进而得到，判断①；延长至点，使，连接，证明，再证明，得到，判断②；设，则：，，将的面积转化为二次函数求最值，判断③；设，得到，在中，由勾股定理，求出的值，判断④即可． 【详解】解：过作，交的延长线于点，则：， ∵正方形，边长为4， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，故①正确； 延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；故②错误； 设，则：，， ∴的面积， ∴当时，的面积最大为2；故③正确； ∵， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴点G是线段的中点；故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 15．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 16．（2025·甘肃平凉·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 17．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【分析】（1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长； （2）将绕点B逆时针旋转得，连接，先由旋转性质可得：，根据全等三角形的性质可得，，，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再根据平行线的性质可得，进而可证明，再利用勾股定理可求解； （3）先利用正方形的性质，结合，可得同H为中点，是等腰直角三角形，从而可得，再根据中位线定理可得，，从而可说明是等腰直角三角形，再根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，于是就有，进而求得，再证明，列出比例式，求得的值． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至， ∴，，，， ∴，， ∴点M在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴成立； ②∵，，， ， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为； （2），理由如下： 将绕点B逆时针旋转得，连接，如图： 由旋转性质可得：， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）过C作于H，连接，设交于K，如图： ∵四边形是正方形，， ∴H为中点，是等腰直角三角形， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形综合应用，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质． 18．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明见解析 ②为定值，该定值为 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 2 / 157 学科网（北京）股份有限公司 $