专题10.2 两角和与差的正弦（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦高中数学“两角和与差的正弦”核心知识点，以两角差（和）的余弦公式为基础推导正弦公式，构建从公式推导到求值、化简、证明的学习支架，涵盖公式记忆技巧、变角方法及辅助角公式应用等内容。 该资料通过类比推理培养逻辑推理素养，设计“即学即练”和8类题型（如给值求值、逆用公式）强化数学运算能力。课中助力教师分层教学，课后通过变式练习帮助学生巩固变角技巧，提升观察分析与化归能力，体现用数学思维解决问题的学科特色。

专题10.2 两角和与差的正弦 教学目标 1.能以两角差(和)的余弦公式为基础推导出两角差(和)的正弦公式，并能运用它们进行简单的三角函数式的求值、化简及证明． 2.通过公式推导，培养学生的类比推理能力；通过公式比较，培养学生的逻辑推理能力和化归思想，通过公式的运用，掌握变角技巧，培养学生的观察、分析、类比、联想及化归的能力． 3.通过类比两角差与和的余弦公式，推导出两角和与差的正弦公式，提升学生的逻辑推理素养；依托例题教学，提升学生的数学运算素养． 4.通过两角和与差的正弦公式的运用，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的正向、逆向和发散思维的能力，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 两角和与差的正弦公式在三角函数式的求值和恒等变形中的应用． 2.难点 通过条件中的角与结论中的角的差异，运用公式灵活地进行变角. 知识点01 两角和的正弦公式 1．两角和的正弦公式 对于任意角α，β有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其和角α+β的正弦之间的关系，称为和角的正弦公式，简记作. 公式巧记为：两角和的正弦值等于两角的异名三角函数值乘积的和. 注：（1）结构特征：：左边是两角和的正弦，右边是异名三角函数积的和． （2）公式中的α， β可以是任意的角(或式子)． （3）当α， β中有一个是90°的整数倍时，用诱导公式比较简便． 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 2．已知，，则（  ） A．1 B．2 C． D． 知识点02 两角差的正弦公式 1．两角差的正弦公式 对于任意角α，β有sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其和角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作. 公式巧记为：两角差的正弦值等于两角的异名三角函数值乘积的差. 注：（1）结构特征：S(α＋β)：左边是两角和的余弦，右边是同名三角函数积的差． （2）公式中的α， β可以是任意的角(或式子)． （3）当α， β中有一个是90°的整数倍时，用诱导公式比较简便． 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 2．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型01 两角和与差的正弦公式 【典例1】已知，若，则（  ） A． B． C． D． 两角和与差的正弦公式的记忆技巧： 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【变式1】化简，得（ ） A． B． C． D． 【变式2】计算（  ） A． B． C． D． 题型02 用和、差角的正弦公式化简，求值 【典例1】已知，且，则（  ） A． B． C． D． 两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 逆用: 说明:公式使用时不仅要会正用, 还要能够逆用, 在很多时 候,逆用更能简捷地处理问题. 【变式1】已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 【变式3】已知，则（  ） A． B． C． D． 题型03 给角求值 【典例1】计算（  ） A． B． C． D． 利用公式S(αβ)求值的常见类型及解法： (1)两特殊角之差的正弦值，利用两角差的正弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用两角差的正弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的正弦公式求解． 【变式1】 （  ） A． B． C． D． 【变式2】的值是（  ） A． B． C．1 D． 【变式3】 （  ） A． B． C． D． 题型04 给值求值 【典例1】已知，，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 给值求值问题的解题策略： (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α＋β)－β；②α＝－；③2α＝(α＋β)－(β－α)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【变式1】若，，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】若，，且都为锐角，则（  ） A． B． C． D．1 【变式3】已知，则 （  ） A． B． C． D． 【变式4】已知，则（  ） A． B． C． D． 题型05 给值求角 【典例1】若，，其中，，则的值为 ． 给值求角问题的解题步骤： (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 【变式1】已知，，，则（ ） A． B． C． D．或 【变式2】已知. (1)求； (2)求. 题型06 逆用和、差角的正弦公式化简，求值 【典例1】（  ） A． B． C． D． 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【变式2】化简：（  ） A． B． C． D． 【变式3】的值为（ ） A． B． C． D． 题型07 两角和与差的正弦公式的综合应用 【典例1】在中，已知，则是（  ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【变式1】在中，若，则该三角形的形状一定是（  ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】在中，内角满足，则的形状为（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【变式3】平面直角坐标系中，点，，则的最大值为（  ） A．1 B． C． D．2 【变式4】（多选）已知函数，则（  ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间内单调递减 D．在区间内的最小值为0 题型08 辅助角公式的运用 【典例1】已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 【变式1】 （  ） A． B． C． D． 【变式2】若，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 . 【变式4】已知函数（）在区间上单调递减，且存在唯一实数，使得，则的取值范围为 . 【变式5】已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)把的图象向右平移后得到的图象，求的最大值及取最大值时的取值集合． 1．（  ） A． B． C． D． 2．已知，则（  ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（  ） A． B． C． D． 4．已知角终边过点，则（  ） A． B． C． D． 5．已知角，，，，则（  ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（  ） A．若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B．当，时，的值域为 C．当时，是的对称中心 D．若在内有且仅有两个零点，则 7．（多选）若，则下列等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（  ） A． B．β终边在第二象限 C． D． 9.（多选）已知，则下列选项正确的是（  ） A．函数的最小正周期为 B．函数的对称轴方程为 C．函数在区间上单调递减 D．将函数的图象向左平移个单位，所得函数为偶函数 10．____________ 11．已知，，，，则 . 12．已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和3条对称轴，则的取值范围是_________ 13．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 14．已知、均为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 两角和与差的正弦 教学目标 1.能以两角差(和)的余弦公式为基础推导出两角差(和)的正弦公式，并能运用它们进行简单的三角函数式的求值、化简及证明． 2.通过公式推导，培养学生的类比推理能力；通过公式比较，培养学生的逻辑推理能力和化归思想，通过公式的运用，掌握变角技巧，培养学生的观察、分析、类比、联想及化归的能力． 3.通过类比两角差与和的余弦公式，推导出两角和与差的正弦公式，提升学生的逻辑推理素养；依托例题教学，提升学生的数学运算素养． 4.通过两角和与差的正弦公式的运用，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的正向、逆向和发散思维的能力，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 两角和与差的正弦公式在三角函数式的求值和恒等变形中的应用． 2.难点 通过条件中的角与结论中的角的差异，运用公式灵活地进行变角. 知识点01 两角和的正弦公式 1．两角和的正弦公式 对于任意角α，β有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其和角α+β的正弦之间的关系，称为和角的正弦公式，简记作. 公式巧记为：两角和的正弦值等于两角的异名三角函数值乘积的和. 注：（1）结构特征：：左边是两角和的正弦，右边是异名三角函数积的和． （2）公式中的α， β可以是任意的角(或式子)． （3）当α， β中有一个是90°的整数倍时，用诱导公式比较简便． 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【解析】 . 故选：B. 2．已知，，则（  ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的关系式求出，然后利用正弦的和角公式即可求出答案. 【解析】因为，，所以， 所以. 故选：C. 知识点02 两角差的正弦公式 1．两角差的正弦公式 对于任意角α，β有sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其和角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作. 公式巧记为：两角差的正弦值等于两角的异名三角函数值乘积的差. 注：（1）结构特征：S(α＋β)：左边是两角和的余弦，右边是同名三角函数积的差． （2）公式中的α， β可以是任意的角(或式子)． （3）当α， β中有一个是90°的整数倍时，用诱导公式比较简便． 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用差角的正弦公式将原式化简，再求值即可. 【解析】. 故选：B. 2．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【解析】（1）因，则. 从而； （2）因，则. 从而. 题型01 两角和与差的正弦公式 【典例1】已知，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合公式求，再利用两角差正弦公式求结论. 【解析】因为，，， 所以， 所以， 故选：A. 两角和与差的正弦公式的记忆技巧： 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【变式1】化简，得（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可. 【解析】由，， ∴. 故选：A 【变式2】计算（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可. 【解析】， 代入原式可得. 故选：A. 题型02 用和、差角的正弦公式化简，求值 【典例1】已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的值，再利用两角差的正弦公式计算． 【解析】由得到，即，即， 已知，则， 根据两角差的正弦公式，得． 故选：C． 两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 逆用: 说明:公式使用时不仅要会正用, 还要能够逆用, 在很多时 候,逆用更能简捷地处理问题. 【变式1】已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，，再结合两角和与差的三角公式进行化简，然后利用同角三角函数的基本关系可得答案. 【解析】因为 ， ， 所以：，. 又 . 故选：B. 【变式2】已知，则的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合正弦和差公式和三角函数有界性得到答案. 【解析】设， 则，得； ，得． 综上知． 故选：C． 【变式3】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和、差的正弦可求得和的值，即可得到. 【解析】由题意得， 联立两式得， 故． 故选：A. 题型03 给角求值 【典例1】计算（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案. 【解析】 . 故选：D． 利用公式S(αβ)求值的常见类型及解法： (1)两特殊角之差的正弦值，利用两角差的正弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用两角差的正弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的正弦公式求解． 【变式1】 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【解析】 . 故选：D 【变式2】的值是（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由，结合两角差的正弦展开化简即可. 【解析】原式. 故选：A 【变式3】 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将写成，利用两角和的正弦公式化简即可. 【解析】因为 . 故选：A. 题型04 给值求值 【典例1】已知，，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的平方关系结合求解． 【解析】因为，，所以， 又，则，， 又，所以， 所以， ， 故选：D. 给值求值问题的解题策略： (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α＋β)－β；②α＝－；③2α＝(α＋β)－(β－α)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【变式1】若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【解析】因为，则， 所以， 因此 . 故选：A. 【变式2】若，，且都为锐角，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利用两角差的正弦公式求值即可. 【解析】因为都为锐角，所以，所以，， 所以， 因为。，所以， 因为，， 所以， 所以 . 故选：D. 【变式3】已知，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出利用同角三角函数关系和角的范围求出，，利用诱导公式，凑角法和余弦和角公式进行求解. 【解析】由题意得， 则，， 所以 . 故选：B. 【变式4】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换以及诱导公式计算即可． 【解析】因为， 所以，故． 故选：B. 题型05 给值求角 【典例1】若，，其中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，进而利用两角和与差的余弦求得，然后求出. 【解析】因为，所以. 因为，所以. 由已知可得，， 则 . 因为，所以. 故答案为： 给值求角问题的解题步骤： (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 【变式1】已知，，，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用切化弦以及正弦的和角公式即可求解 【解析】因为，， 所以或； 若，则， 此时（舍）； 若，则， 此时（符合题意）， 所以，即； 因为且， 所以且，解得，， 则， 又，所以. 故选：B. 【变式2】已知. (1)求； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据同角关系即可求解， （2）根据同角关系以及正弦的差角公式即可求解. 【解析】（1）由于故 因此 （2）由于则，结合，故 ， 故 ， 由于则， 故. 题型06 逆用和、差角的正弦公式化简，求值 【典例1】（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的正弦公式逆用即可求解. 【解析】. 故选：B. 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用差角的正弦公式求解. 【解析】. 故选：B. 【变式2】化简：（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦的两角差公式和诱导公式化简可得. 【解析】由和差公式和诱导公式可得： . 故选：B 【变式3】的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式即可求解． 【解析】 故选：B． 题型07 两角和与差的正弦公式的综合应用 【典例1】在中，已知，则是（  ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用两角差的正弦公式可得，即可确定选项. 【解析】由题意得，即，所以， 因为，所以，故，即， 所以是等腰三角形． 故选：D. 【变式1】在中，若，则该三角形的形状一定是（  ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状． 【解析】解：在中，， ，即， ，， ，即，则为等腰三角形． 故选：A． 【变式2】在中，内角满足，则的形状为（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】B 【分析】根据得到，求出，得到三角形形状. 【解析】， 故，即， 因为，所以， 故为等腰三角形. 故选：B 【变式3】平面直角坐标系中，点，，则的最大值为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换，即可由三角函数的有界性求解最值. 【解析】由，可得， 所以 ， 故当时，取最大值， 故选：B 【变式4】（多选）已知函数，则（  ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间内单调递减 D．在区间内的最小值为0 【答案】AC 【分析】首先利用三角恒等变换将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可； 【解析】根据题意可知 对于A，由，则， 则的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由， 则的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，当时，则，此时函数单调递减， 则函数在上单调递减，故C正确； 对于D，当时，则，函数在上单调递增，所以最小值为，故D错误． 故选：AC 题型08 辅助角公式的运用 【典例1】已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 【答案】(1)，函数的单调递增区间为，；(2) 【分析】（1）利用辅助角公式可得，则可求其最小正周期，利用整体代换法可求其单调递增区间； （2）利用整体代换法求出，由的取值范围为，从而可求解. 【解析】（1）由， 则最小正周期为， 令，因为的单调递增区间是，， 所以，，即，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，； （2）当时，， 令，则，所以的取值范围为， 由的性质可知，，解得， 所以的最大值为． 【变式1】 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将写成，利用两角和的正弦公式化简即可. 【解析】因为 . 故选：A. 【变式2】若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式化简求值得，结合诱导公式利用两角差的正弦公式求值得，即可比较大小. 【解析】因为， ，又，所以. 故选：D 【变式3】若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知与没有交点，利用辅助角公式结合正弦函数值域分析求解. 【解析】由题意可知：与没有交点， 因为， 且，可得， 可知，所以实数k的取值范围是. 故答案为： 【变式4】已知函数（）在区间上单调递减，且存在唯一实数，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性及最小值条件列出不等式求解. 【解析】函数， 当时，，由在上单调递减， 得，解得，又，则，， 当时，，由存在唯一实数，使得， 得，解得，因此， 所以的取值范围为为. 故答案为：. 【变式5】已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)把的图象向右平移后得到的图象，求的最大值及取最大值时的取值集合． 【答案】(1)，；(2)最大值为2，，. 【分析】（1）应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质求单调增区间； （2）根据图象平移得，结合余弦函数的性质求最大值及其对应的自变量. 【解析】（1）由， 由，，得，， 所以的单调递增区间为，； （2）的图象右移得，所以的最大值为2， 由，得，解得，， 所以取最大值时的集合为，. 1．（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用差角的正弦公式求解. 【解析】. 故选：B 2．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用两角和的正弦公式得解. 【解析】因为， 所以，所以. 故选：B. 3．已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【解析】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D. 4．已知角终边过点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【解析】由三角函数的定义可得，， 由两角差的正弦公式可得. 故选：B. 5．已知角，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方关系求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可. 【解析】由，，则， 则， ， 所以 . 故选：B. 6．已知函数，则（  ） A．若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B．当，时，的值域为 C．当时，是的对称中心 D．若在内有且仅有两个零点，则 【答案】B 【分析】利用辅助角公式可得，根据周期公式以及函数图象可判断A错误，结合正弦函数图象性质可得B正确，将代入检验可得C错误，根据整体代换法以及正弦函数图象性质，结合零点个数限定出不等式，解得，可得D错误. 【解析】易知， 对于A，若函数相邻两条对称轴的距离为，即可得，因此可得，即A错误； 对于B，当，可得， 当时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又 所以的值域为，即B正确； 对于C，当时，，将代入检验可得， 显然不是的对称中心，即C错误； 对于D，若，可得， 若在内有且仅有两个零点，可得，解得， 因此D错误. 故选：B. 7．（多选）若，则下列等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角和差的正余弦公式，结合已知条件，依次判断即可. 【解析】对于A，，则，，不一定为0，故选项A错误； 对于B，，则，，故选项B正确； 对于C，，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 故选：BC. 8．（多选）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（  ） A． B．β终边在第二象限 C． D． 【答案】AD 【分析】利用三角函数定义即可判断A；判断所在象限，即可判断B；根据角所在象限，利用两角和差的正余弦公式，即可判断CD. 【解析】由题意可得， A正确； 由于，故可在第一象限或第三象限， 在第一象限时，，则在第二象限， 在第三象限时，，则在第四象限， 即β终边在第二象限或第四象限，B错误； 由于，在第一象限时，， 此时在第二象限，，则， 故； ； 在第三象限时，， 此时在第四象限，，则， 故， ，C错误，D正确； 故选：AD 9.（多选）已知，则下列选项正确的是（  ） A．函数的最小正周期为 B．函数的对称轴方程为 C．函数在区间上单调递减 D．将函数的图象向左平移个单位，所得函数为偶函数 【答案】ABD 【分析】A选项，利用辅助角公式得到，求出最小正周期；B选项，整体法求出函数对称轴方程；C选项，求出，因为在上单调递增，C错误；D选项，求出平移后的解析式为，得到奇偶性. 【解析】A选项，， 所以的最小正周期为，A正确； B选项，令，解得，B正确； C选项，时，， 因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，C错误； D选项，函数的图象向左平移个单位， 得到， 由于， 故为偶函数，D正确. 故选：ABD. 10．____________ 【答案】0 【分析】利用正弦和余弦的差角公式及诱导公式，即可求解. 【解析】 . 故答案为：0 11．已知，，，，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系可得与，再结合以及同角三角函数的关系可得. 【解析】∵，且， ∴. ∵，∴，∴. 又，∴， ∴ ， 又∵，∴. 故答案为： 12．已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和3条对称轴，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】由辅助角公式先化简，由题意有解出即可. 【解析】由， 因为在区间上有且仅有4个零点和3条对称轴， 所以，即. 故答案为：. 13．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【解析】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 14．已知、均为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）运用同角三角函数关系式，结合两角差的余弦公式计算即可； （2）运用两角和的正弦公式计算即可. 【解析】（1）因为均为锐角，所以． 又，所以． 所以． （2）根据第（1）问可知. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $