10.1.2 两角和与差的正弦-分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.1.2　两角和与差的正弦 A层 基础达标练 1.sin 135°cos(-15°)+cos 225°sin 15°=(　　) A.- B.- C. D. 2.已知角α的终边经过点(-3,4),则sin(α+)的值为(　　) A. B.- C. D.- 3.sin +cos 的值为(　　) A.0 B.1 C. D. 4.已知α,β均为锐角,且sin(α+β)=2sin(α-β),则=(　　) A. B. C.2 D.3 5.已知tan α=-,且α∈(0,π),则sin(α+)=(　　) A. B. C. D. 6.的值为　　　　.  7.化简下列各式: (1)sin(x+)+2sin(x-)-cos(-x); (2)-2cos(α+β). B层 能力提升练 8.已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过后,终边交单位圆于点P,则sin α的值为(　　) A. B. C. D. 9.已知α∈,β∈,sin β=-,且cos(α-β)=,则α的值为(　　) A. B. C. D. 10.(多选题)下列对等式sin(α+β)=sin α+sin β的描述正确的是(　　) A.对任意的角α,β都成立 B.α=β=0时成立 C.只对有限个α,β的值成立 D.有无限个α,β的值使等式成立 11.(多选题)下列计算中正确的是(　　) A.sin 15°-cos 15°=- B.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= C.sincos=- D.sin 105°= 12.在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 13.若锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=,则sin β的值是(　　) A. B. C. D. 14.已知α∈,且sin,则sin α=　　　　,cos=　　　　.  15.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β=　　　　.  16.已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f. (1)求A的值; (2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求f的值. C层 拓展探究练 17.已知关于x的方程x2+(sin α+cos β)x-(cos α+sin β)2=0有两个相等的实数根. (1)求sin(α+β)的值; (2)若0<α<,π<β<,sin α=,求sin β的值. 18.已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin x+bcos x,称向量=(a,b)为函数f(x)的伴随向量,同时称函数f(x)为向量的伴随函数. (1)设函数g(x)=sin(π+x)-sin,试求g(x)的伴随向量; (2)记向量=(1,)的伴随函数为f(x),求当f(x)=且x∈时sin x的值 参考答案 1.C　原式=sin(180°-45°)cos 15°+cos(180°+45°)sin 15°=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=故选C. 2.C　因为角α的终边经过点(-3,4),所以sin α=,cos α=-,所以sin(α+)=sin αcos+cos αsin 3.C　sin +cos =2=2sin=2sin 故选C. 4.D　由sin(α+β)=2sin(α-β),可得sin αcos β+cos αsin β=2sin αcos β-2cos αsin β,所以sin αcos β=3cos αsin β,则=3.故选D. 5.B　因为tan α=-,且α∈(0,π),所以α=,则sin α=,cos α=-,故sin(α+)=sin α+cos α)=sin α+cos α=故选B. 6故答案为 7.解 (1)原式=sin xcos+cos xsin+2sin xcos-2cos xsincoscos x-sinsin x=sin x+cos x+sin x-cos x+cos x-sin x=(+1-)·sin x+()cos x=0. (2)原式= = = 8.D　因为锐角α绕原点逆时针转过后,终边交单位圆于点P,所以+y2=1,y=或-(舍去),所以点P为,则sin,cos=-,故sin α=sin=sincos -cos(α+)sin 故选D. 9.B　因为,sin β=-,所以cos β= 因为,,所以α-β∈(0,π). 因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)= 因为sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sin β= 又,所以α=故选B. 10.BD　因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=sin α+sin β,所以cos β=1且cos α=1可使等式成立,所以α=2k1π,β=2k2π(k1,k2∈Z),因为k1,k2∈Z,所以α,β有无限多个,包含α=β=0,故B,D成立.故选BD. 11.ACD　对于A,sin 15°-cos 15°=sin 15°cos 60°-cos 15°sin 60°=sin(15°-60°)=sin(-45°)=-sin 45°=-,故A正确;对于B,sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°-cos(180°-20°)sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故B错误;对于C,sincos=2(sincos)=2(sincos-cossin)=2sin()=2sin(-)=-2sin=-,故C正确;对于D,sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=,故D正确.故选ACD. 12.C　∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C). 由已知可得sin[π-(B+C)]=2sin Ccos B,则sin(B+C)=2sin Ccos B,∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B, 即sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0. ∵0<B<π,0<C<π,∴-π<B-C<π, ∴B-C=0,即B=C. 故△ABC一定为等腰三角形.故选C. 13.C　∵cos α=,cos(α+β)=,α,, ∴0<α+β<,∴sin α=,sin(α+β)=, ∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=故选C. 14　-　,∴α-, ∴cos, ∴sin α=sin =sincos+cossin, cos=cos=-sin=- 15　因为α,β均为锐角,所以-<α-β< 又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)= 又sin α=,所以cos α=, 所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=(-)= 所以β=故答案为 16.解 (1)由f=Asin=Asin ,可得A=3. (2)由(1)得f(x)=3sin, 则f(θ)-f(-θ)=3sin-3sin, 即3-3, 得sin θ= 因为,所以cos θ=,所以f=3sin=3sin=3cos θ= 17.解 (1)因为方程x2+(sin α+cos β)x-(cos α+sin β)2=0有两个相等的实数根, 所以判别式Δ=(sin α+cos β)2+4(cos α+sin β)2=0, 所以sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=0,即2+2(sin αcos β+cos αsin β)=0,所以sin(α+β)=-1. (2)因为0<α<,sin α=, 所以cos α= 因为sin(α+β)=-1,所以cos(α+β)=0, 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=-1-0=- 18.解 (1)由题意得,g(x)=-sinsin(π+x)=cos x-sin x=-sin x+cos x, ∴g(x)的伴随向量=(-,1). (2)向量=(1,)的伴随函数为f(x)=sin x+cos x, ∵f(x)=sin x+cos x=2(sin x+cos x)=2sin,∴sin ∵x,∴x+, ∴cos, ∴sin x=sin =sin(x+)cos-cos(x+)sin = 5 学科网（北京）股份有限公司 $