黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2025-2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试卷

2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是(    ) A. 2026 B. C. D. 2.博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既藏着传统美学，又含着几何智慧.下列博物馆标志中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则(    ) A. B. C. D. 5.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是(    ) A. B. C. D. 6.如果关于x的分式方程的解是正数，那么实数m的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 且 7.为助力家校协同育人，某校开展家庭教育指导咨询大集活动.现场需从3名学生志愿者名男生，1名女生里随机抽2人负责家长签到引导工作，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是(    ) A. B. C. D. 8.某村为推广农作物大米品牌，计划将100千克的大米分装成3千克和5千克“大米礼盒”捐赠给社区两种礼盒都要有且每种礼盒不少于10盒现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有(    ) A. 6种 B. 5种 C. 3种 D. 2种 9.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以的速度分别沿和的路径向点C运动.设运动时间为单位：，四边形PBDQ的面积为单位：，则y与之间的函数图象大致是下列图中的(    ) A. B. C. D. 10.二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与x轴的交点为和点B，与y轴的交点在与之间包括端点其中正确结论的个数是(    ) ①； ②； ③点，，都在抛物线上，则； ④方程无实根； ⑤ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.神舟二十一号载人飞船于北京时间2025年10月31日23时44分，在酒泉卫星发射中心由长征二号F遥二十一运载火箭发射升空.飞船入轨后，采用自主快速交会对接模式，在发射后约12600秒，成功对接于空间站天和核心舱的前向端口.将12600用科学记数法表示为        . 12.一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若这个圆锥体的底面圆的半径为1，则这个圆锥体的高为        . 13.如图，在▱ABCD中，，，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线BP，交AD于点E，交CD延长线于点F，则      . 14.如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点A作AB垂直x轴交反比例函数的图象于点B，连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，连接AC，则的面积为        . 15.如图，在中，，，，点E，F分别在边AC，BC上，连接EF，把沿着EF折叠，点C的对应点D落在AB边上.若是以BF为腰的等腰三角形，则        . 16.如图，点在直线：上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交：于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交：于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交：于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为，…，按此规律，若，，则的坐标为        . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题9分 计算：； 因式分解： 18.本小题4分 解不等式组： 19.本小题5分 解方程： 20.本小题8分 为强化学生技能，助力终身运动，帮助学生掌握实用运动技能，提高学生身体素质，我市中考体育考试项目新增设了足球、篮球、排球、滑冰四项选一项的考试内容.某校为了解学生选择考试项目情况，在该校学生中随机抽取部分学生做“参加四选一体育项目考试”问卷调查每人必选其中一项，其中A：足球、B：篮球、C：排球、D：滑冰，将参加问卷的学生的数据整理后，依据样本数据得到不完整的条形图和扇形图. 请根据图中所给出的信息解答下列问题： 本次调查的样本容量是______，______； 补全条形统计图； 扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______度； 若该校有2500名学生，请你估计喜爱排球的学生有多少人？ 21.本小题10分 如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作，垂足为点E，延长CA交于点 求证：DE是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积. 22.本小题10分 在一条平坦笔直的道路上依次有A、B、C三地，甲车先从C地向A地匀速行驶，1小时后，乙车从A地出发，先匀速行驶到B地，装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，匀速行驶到C地，结果比甲车晚半小时到达目的地.甲、乙两车距各自出发地的路程单位：千米，单位：千米与甲车的行驶时间单位：小时之间的函数图象如图所示.请结合图象信息解答下列问题： 的值______； b的值______；甲车的速度为______千米/时； 求乙车减速前的速度，及图象中线段EF的函数解析式； 直接写出乙车出发多少小时与甲车相距220千米. 23.本小题12分 综合与探究 问题情境： 如图1，是等腰直角三角形纸片，将BA边对折，折痕交BA边于点D，交BC边于点F，再沿过点F且平行于BA边的直线将向右折叠，折痕交CA边于点E，连接DF、 猜想证明： 判断四边形ADFE的形状，并说明理由； 深入探究： 创新小组在解决了上述问题后，将展开铺平.将绕点C逆时针方向旋转，得到，点E，F的对应点分别为P，Q，如图2，连接AP，试探究线段AP，BQ之间的数量关系，并说明理由； 在的条件下，若，在旋转的过程中，连接AQ，取AQ中点M，连接BM，则BM的最小值是______； 问题解决： 在的条件下，当B，P，Q三点在同一条直线上时，请直接写出的面积. 24.本小题14分 综合与实践 如图1，抛物线与x轴相交于，B两点，且，与y轴相交于点 求抛物线的解析式及顶点坐标； 点Q是抛物线上任意一点，若是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为______； 如图2，点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点H，当的值最大时，求面积； 如图3，点与动点N在直线BC上，点与动点M在抛物线的对称轴上，则的最小值为______. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：的绝对值为： 故选： 根据绝对值的定义进行解题即可． 本题考查绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、选项图形绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题； C、选项图形绕某点旋转后，能与自身重合，是中心对称图，符合题意； D、选项图形绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选： 根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转，判断是否能与自身重合即可解答． 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键． 3.【答案】C  【解析】解：，，选项计算错误，不符合题意； B.，，选项计算错误，不符合题意； C.，选项计算正确，符合题意； D.，，选项计算错误，不符合题意． 故选： 根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方的运算法则逐一判断即可． 本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 4.【答案】C  【解析】解：如图所示， ， ， 对顶角相等， 根据题意可知， 两直线平行，同位角相等 故选： 根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得 本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 5.【答案】B  【解析】解：左视图从左到右有两列，第1列为1个小正方形，第2列为2个小正方形． 故选： 根据从左侧看有两列，第1列为1个小正方形，第2列为2个小正方形，即可求解． 该题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键． 6.【答案】C  【解析】解：方程为， 变形得， 去分母得，， 解得：， 分式方程的分母不能为0， ，即，解得， 方程的解是正数， ，即，解得， 且， 故选： 先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零列不等式求解即可． 本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7.【答案】D  【解析】解：记2名男生分别为男1、男2，记1名女生为女． 从3人中随机抽取2人，所有等可能的结果为男1，男、男1，女、男2，女，共3种等可能性结果． 其中恰好为1名男生和1名女生的结果有2种． 所求概率， 故选： 使用列举法列出所有等可能的抽取结果，统计满足条件的结果数，代入概率公式即可求解． 本题主要考查了概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：计划将100千克的大米分装成3千克和5千克“大米礼盒”捐赠给社区两种礼盒都要有且每种礼盒不少于10盒 设3千克装礼盒有x盒，5千克装礼盒有y盒，x，y均为正整数， 根据题意可得，且，， ， ，可得，即， ， ，且y为正整数， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 符合条件的方案共有2种． 故选： 先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可． 本题考查二元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 9.【答案】A  【解析】解：①时， 正方形的边长为4cm， ， ， ， ②时， ， ， ， 与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合． 故选： 根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据四边形PBDQ的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据四边形PBDQ的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：二次函数的图象与x轴的交点为和点B， ， ①正确； 顶点坐标为， 对称轴为直线， 对称轴为直线， ， ， 把代入， 得， ， ②不正确； 二次函数对称轴为，开口向下， 当时，y随x的增大而增大， 点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ， ③不正确； 直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， 方程无实根， ④正确； 对，令，则， 二次函数的图象交y轴于点， ， ， 把代入， 得 ， 即 ⑤正确． 正确的有①④⑤，共3个． 故选： 根据二次函数的图象与x轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为，得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大，，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得，即得，可判断⑤． 本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数图象开口方向，二次函数图象与x轴、y轴的交点，对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性增减性，从函数图象中获取信息，是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解： 根据科学记数法的表示方法进行解答． 本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握科学记数法的表示方法是关键． 12.【答案】  【解析】解：设这个圆锥体的母线长为R，由弧长公式可得， 解得， 由勾股定理可得圆锥的高为 先根据圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长求出圆锥的母线长，再利用勾股定理计算圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算，熟练掌握相关公式是关键． 13.【答案】  【解析】解：由条件可知，， ，， 由作图可知，BF平分， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 故答案为：； 根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到，，计算出，证出∽，得到 此题重点考查角平分线的尺规作图、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，推导出∽是解题的关键． 14.【答案】6  【解析】解：如图，连接OA， 由条件可知， 点B在反比例函数图象上， ， ， 点C与点B关于原点对称， ， 故答案为： 根据反比例函数k值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 15.【答案】2或  【解析】解：把沿着EF折叠，点C的对应点D落在AB边上， ， 当时， 在中，，，， 由勾股定理得：， 当时，如图，延长BC至G，使得， 在直角三角形ACG中，由勾股定理得：， ， ， ， 又， ∽， ， 设，则，， ， 解得：， 综上所述，或， 故答案为：2或 分两种情况讨论，当时，根据折叠的性质直接可得，当时，延长BC至G，使得，证明∽，根据相似三角形的性质，即可求解． 本题主要考查了翻折变换折叠问题，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 16.【答案】  【解析】解：设直线的解析式为，代入，， ， 解得：， ， 直线与坐标轴的夹角为， ，， ， 是等腰直角三角形，为斜边， ， ， 设直线的解析式为，代入， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，则， 联立， 解得：，则， ， ， ， 设直线的解析式为，代入， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，则， 联立， 解得：，则， ， ， ， …， ， 的坐标为， 故答案为： 根据题意先求得，，，得出规律，即可求解． 本题主要考查了规律型：点的坐标，正确找出规律是解题的关键． 17.【答案】    【解析】解： ； 先算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、平方根，再合并即可； 先去括号整理，再根据完全平方公式因式分解即可． 本题考查了因式分解-十字相乘法，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键． 18.【答案】解：， 由不等式①，得 ， 由不等式②，得 ， 故原不等式组的解集是  【解析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题． 本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 19.【答案】，  【解析】解：原方程配方可得： ， ， ， ， 先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握该知识点是关键． 20.【答案】  补全条形统计图如下：   108  750  【解析】解：样本容量：人， 选择A的人数占比： ：人，C：人； 补全条形统计图如图， 用乘以选择排球的占比可得： 扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为： 故答案为：108； 人 答：估计喜爱排球的学生有750人． 根据选择滑冰的人数除以其占比即可求得样本容量；根据选择足球的人数除以样本容量即可求得n的值； 根据样本容量乘以选择篮球的占比即可计算出选择篮球的人数，再用样本容量减去选择足球，篮球，滑冰的人数即可得选择排球的人数，再补全条形统计图； 用乘以选择排球的占比即可求解； 用总人数2500名乘以选择排球的占比即可求解． 本题考查了条形统计图，熟练掌握该知识点是关键． 21.【答案】见解析   【解析】证明：如图，以AB为直径的交BC于点D，连接OD，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：如图2，，，过点O作，垂足为点G， ， ， ， ， ，， ， ，，， ，，， 四边形ODEG是矩形， ， ， ， 如图1，连接OD，由根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得即可证明结论； 如图2，过点O作，垂足为点G，根据垂径定理，则得，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，解直角三角形可得，，进而得到；再证明四边形ODEG是矩形，以及；易得，则，最后根据求解即可． 本题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，圆周角定理，扇形面积的计算，通过添加辅助线转化为规则图形的面积的和差是解题的关键． 22.【答案】  90千米/小时；  乙车出发小时或小时，与甲车相距220千米  【解析】解：根据题意得，小时， 小时， 甲车的速度为：千米/小时； 设乙车减速前的速度为v千米/小时， 根据题意可得：， 解得， 乙车减速前的速度为90千米/小时， ， ， 由可知，， 设线段EF的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得， ； 甲车的行驶时间x小时， 乙车的行驶时间小时， 当时，乙车的路程为千米，甲车的路程为千米，即千米， 甲乙两车相距介于千米之间，故不存在相距220千米； 当时，有：， 解得； ； 当时，有：， 解得， ； 综上，乙车出发小时或小时，与甲车相距220千米． 由装货耗时半小时，即可求得a的值；由乙车比甲车晚半小时到达目的地，即可求得b的值，根据速度=路程时间，即可求出甲车的速度； 设乙车减速前的速度，进而表示出减速后的速度，根据乙车的总路程等于480千米列方程求解即可；分别表示出E，F的坐标，利用待定系数法求解线段EF的函数解析式即可； 根据乙车的三种运动状态，分段讨论，分别根据甲、乙两车的运动路程、道路总长以及两车相距220千米列方程求解即可． 本题考查依次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23.【答案】四边形ADFE是正方形， 将BA边对折，折痕交BA边于点D，交BC边于点F，再沿过点F且平行于BA边的直线将向右折叠，折痕交CA边于点E，连接DF、 为的中位线，且， ，， ， 四边形ADFE为平行四边形， 是等腰直角三角形， ，， 平行四边形ADFE为矩形，， 四边形ADFE是正方形 ，理由见解析   或  【解析】解：四边形ADFE是正方形， 将BA边对折，折痕交BA边于点D，交BC边于点F，再沿过点F且平行于BA边的直线将向右折叠，折痕交CA边于点E，连接DF、 为的中位线，且， ，， ， 四边形ADFE为平行四边形， 是等腰直角三角形， ，， 平行四边形ADFE为矩形，， 四边形ADFE是正方形； ， 由可得为等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ，，， ，， ∽， ， ； ，   点Q的运动轨迹是以点C为圆心，以CQ长为半径的圆上， 则点M的轨迹也是一个圆， ， ，， 点M所在圆的半径为， ， 点M所在圆的圆心为点E， 当点B，M，E共线时，BM的值最小， 由勾股定理得， 此时，BM的最小值为， 故答案为：； ①如图， 此时，点B，P，Q三点在同一条直线上， ，， ， ， ； ②如图， 此时，点B，P，Q三点在同一条直线上， ，， ， ， ； 综上，的面积为或 根据三角形的中位线得出关键条件，然后根据正方形的判定定理进行得出结论； 根据等腰直角三角形的性质，得出相等的边和角，证明∽，即可求解； 掌握“瓜豆”模型，主从动点； 画出图形，分两情况解直角三角形即可． 本题考查四边形，掌握平行四边形、矩形、等腰三角形的性质是解题的关键． 24.【答案】；顶点坐标  或    【解析】解：，， ， 抛物线与x轴相交于A，B两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ， ， 顶点坐标； ①如图，此时，，交y轴于点E， 由得，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 假设直线BQ的解析式为，将点B，点E的坐标分别代入得： ， 解得：， ， 联立得：， 解得：或， ； ②如图，此时，， ， 设的解析式为，将点C的坐标代入得：， ， 联立得：， 解得：或， ； 综上所述，点Q的坐标为或， 故答案为：或； 如图2，过点P作，交BC于点I， ，， ∽， ， 当IP的值最大时，的值最大， 假设直线BC的解析式为，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ， 设，则， ， 当时，IP的值最大，最大值为， ； 如图3，令抛物线对称轴与直线BC交于点G，过点G作，过点G作，在射线GK上截取，连接，交抛物线对称轴于点M，交GH于点，连接，过点作于点L， 为等腰直角三角形， ， ，为等腰直角三角形， 又， ≌， ，且存在，， 的最小值为线段的长度， ， 当时，， ， ， ， ，， 由勾股定理得：， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 即的最小值为， 故答案为： 待定系数法求解析式，二次函数顶点解析式求顶点坐标； 分两种情况进行讨论，求出直线解析式，然后联立求交点坐标； 过点P作，交BC于点I，证明∽，当IP的值最大时，的值最大，表示出IP的最大值，即可求出三角形的面积； 令抛物线对称轴与直线BC交于点G，过点G作，过点G作，在射线GK上截取，连接，交抛物线对称轴于点M，交GH于点，连接，过点于点L，利用角平分线得出线段和最小值的情况，然后利用勾股定理进行求解． 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $